11 DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG
TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I. Tóm tắt lý thuyết phương trình đường thẳng
1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng
a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
- Cho đường thẳng (d), vectơ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của (d) nếu giá
của vuông góc với (d).
* Nhận xét: Nếu là vectơ pháp tuyến của (d) thì cũng là VTPT của (d).
b) Phương trình tổng quát của đường thẳng
* Định nghĩa
- Phương trình (d): ax + by + c = 0, trong đó a và b không đồng thời bằng 0 tức là (a2 +
b2 ≠ 0) là phương trình tổng quát của đường thẳng (d) nhận là vectơ pháp tuyến.
* Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng.
- (d): ax + c = 0 (a ≠ 0): (d) song song hoặc trùng với Oy
- (d): by + c = 0 (b ≠ 0): (d) song song hoặc trùng với Ox
- (d): ax + by = 0 (a2 + b2 ≠ 0): (d) đi qua gốc toạ độ.
- Phương trình dạng đoạn chắn: ax + by = 1 nên (d) đi qua A (a;0) B(0;b) (a,b ≠ 0)
- Phương trình đường thẳng có hệ số góc k: y= kx+m (k được gọi là hệ số góc của đường
thẳng)
2. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường
thẳng
a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng
- Cho đường thẳng (d), vectơ gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của (d) nếu giá
của song song hoặc trùng với (d).
* Nhận xét: Nếu là vectơ chỉ phương của (d) thì cũng là VTCP của (d). VTCP và
VTPT vuông góc với nhau, vì vậy nếu (d) có VTCP thì là VTPT của (d).
b) Phương trình tham số của đường thẳng:
* có dạng: ; (a2 + b2 ≠ 0) đường thẳng (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và
nhận làm vectơ chỉ phương, t là tham số.
* Chú ý: - Khi thay mỗi t ∈ R vào PT tham số ta được 1 điểm M(x;y) ∈ (d).
- Nếu điểm M(x;y) ∈ (d) thì sẽ có một t sao cho x, y thoả mãn PT tham số.
- 1 đường thẳng sẽ có vô số phương trình tham số (vì ứng với mỗi t ∈ R ta có 1 phương
trình tham số).
c) Phương trình chính tắc của đường thẳng
* có dạng: ; (a,b ≠ 0) đường thẳng (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và
nhận làm vectơ chỉ phương.
d) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
- Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) có dạng:
+ Nếu: thì đường thẳng qua AB có PT chính tắc là:
+ Nếu: xA = xB: ⇒ AB: x = xA
+ Nếu: yA = yB: ⇒ AB: y = yA
e) Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng
- Cho điểm M(x0;y0) và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0, khoảng cách từ M đến Δ được
tính theo công thức sau:
3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
- Cho 2 đường thẳng (d1): a1x + b1y + c1 = 0; và (d2): a2x + b2y + c =0;
+ d1 cắt d2 ⇔
+ d1 // d2 ⇔ và hoặc và
+ d1 ⊥ d2 ⇔
* Lưu ý: nếu a2.b2.c2 ≠ 0 thì:
- Hai đường thẳng cắt nhau nếu:
- Hai đường thẳng // nhau nếu:
- Hai đường thẳng ⊥ nhau nếu:
II. Các dạng toán về phương trình đường thẳng
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến và 1 điểm thuộc
đường thẳng
Ví dụ: Viết PT tổng quát của đường thẳng (d) biết (d): đi qua điểm M(1;2) và có
VTPT = (2;-3).
* Lời giải: Vì (d) đi qua điểm M(1;2) và có VTPT = (2;-3)
⇒ PT tổng quát của đường thẳng (d) là: 2(x-1) - 3(y-2) = 0 ⇔ 2x - 3y +4 = 0
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương và 1 điểm thuộc
đường thẳng
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng (d) đi qua điểm M(-1;2) và có
VTCP = (2;-1)
* Lời giải: Vì đường thẳng đi qua M (1 ;-2) và có vtcp là = (2;-1)
⇒ phương trình tham số của đường thẳng là :
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng:
a) đi qua M(3;2) và //Δ:
b) đi qua M(3;2) và //Δ: 2x - y - 1 = 0
* Lời giải:
a) Đường thẳng Δ có VTCP = (2;-1) vì (d) // Δ nên (d) nhận = (2;-1) là VTCP, (d)
qua M(3;2)
⇒ PT đường thẳng (d) là:
b) đường thẳng Δ: 2x – y – 1 = 0 có vtpt là = (2;-1). Đường thẳng (d) //Δ nên = (2;-1)
cũng là VTPT của (d).
⇒ PT (d) đi qua điểm M(3;2) và có VTPT = (2;-1) là: 2(x-3) - (y-2) = 0 ⇔ 2x - y -4 =
0
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường
thẳng
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng (d):
a) đi qua M(-2;3) và ⊥ Δ: 2x - 5y + 3 = 0
b) đi qua M(4;-3) và ⊥ Δ:
* Lời giải:
a) Đường thẳng Δ: 2x - 5y + 3 = 0 nên Δ có VTPT là =(2;-5)
vì (d) vuông góc với Δ nên (d) nhận VTPT của Δ làm VTCP ⇒ = (2;-5)
⇒ PT (d) đi qua M(-2;3) có VTCP = (2;-5) là:
b) Đường thẳng Δ có VTCP = (2;-1), vì d⊥ Δ nên (d) nhận VTCP làm VTPT
⇒ = (2;-1)
⇒ Vậy (d) đi qua M(4;-3) có VTPT = (2;-1) có PTTQ là: 2(x-4) - (y+3) = 0 ⇔ 2x - y -
11 = 0.
Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
- Đường thẳng đi qua 2 điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A nhận nhận
vectơ làm vectơ chỉ phương (trở về dạng toán 2).
Ví dụ: Viết PTĐT đi qua 2 điểm A(1;2) và B(3;4).
* Lời giải:
- Vì (d) đi qua 2 điểm A, B nên (d) có VTCP là: = (3-1;4-2) = (2;2)
⇒ Phương trình tham số của (d) là:
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k cho trước
- (d) có dạng: y = k(x-x0) + y0
Ví dụ: Viết PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 3;
* Lời giải:
- PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 3 có dạng: y = k(x-x0) + y0
⇒ Vậy PTĐT (d) là: y = 3(x+1) + 2 ⇔ y = 3x + 5