DẤU HIỆU TRỤC ĐỐI XỨNG, TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM ĐA THỨC
G/v: Nguyễn Văn Nhiệm Trường THPT chuyên lam Sơn, Thanh hoá Trục đối xứng và tâm đối xứng của đồ thị hàm số là những tính chất hình học quan trọng của hàm số, nó liên quan đến nhiều bài toán mà khi giải sử dụng tới nó thì đạt được kết quả nhanh chóng. Vấn đề đặt ra là đối với một hàm số cho trước làm thế nào nhanh chóng biết được đồ thị của nó có trục đối xứng hay tâm đối xứng không ? Và hãy tìm trục đối xứng, tâm đối xứng đó nếu có. Trong bài viết này tôi xin giới thiệu một phương pháp sử dụng đạo hàm giải quyết một lớp bài toán của yêu cầu trên, đó là lớp đồ thị các hàm đa thức.
n
f x ( )
LÝ THUYẾT + + ... +
(1)
0)
≠
(
là một đa thức với các hệ số
a x n
a n
a x 1 .
I. Cho = a 0 x ∈ (cid:1) Gọi đồ thị hàm số (1) là (C). thực, đối số Ta dễ dàng chứng minh được các nhận xét sau:
( )
• Nếu
deg
2.
f
Bây giờ giả sử
f x là đa thức hằng, hoặc đa thức bậc nhất thì mọi đường thẳng vuông góc với nó đều là trục đối xứng của đồ thị và mọi điểm nằm trên đồ thị đều là tâm đối xứng của của đồ thị. n= ≥
(
)
• Nếu đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng thì n là số tự nhiên lẻ và tâm đối
xứng thuộc đồ thị.
• Nếu đồ thị hàm số (1) có trục đối xứng thì n là số tự nhiện chẵn và trục
đối xứng cùng phương với trục O y .
)
*
kf (
( ),
x k ∈ (cid:1) là đạo hàm cấp k của hàm số ( ),
f x và
Ghi chú. Ở đây kí hiệu f x f ( ).
(0)( ) x
=
n
+
=
f x ( )
+ + ...
(
≠
0,
n
≥
Ta viết
a x n
2) n
a 0 =
−
)
dưới dạng (2).
b 0
x 0
a n b x ( n
x
) ).
+ + ...
x − 0 f x 0(
b ta lần lượt đạo hàm hai vế của (2) theo x từ cấp 1 đến
a x 1 ( + f x ( ) b x 1 vào (2), ta được 0 = b ,..., n
b b 2,
Thế x= 0 Để xác định 1 cấp n:
n
− 1
−
−
f x '( )
+ + ...
)
)
= + b 1
b x 2 ( 2
x 0
−
n
2
=
+
−
x 0 +
−
f
x ''( )
...
n n (
1)
)
nb x ( n b x ( n
b 1.2 2
x 0
.....
k
− n k
(
)
=
−
−
− +
−
+ + ...
1)(
2)...(
1)(
)
f
( ) x
( n n
n
n k
x
x 0
n ( )
=
.
f
( ) x
! k b k ! n b n
1
x
Thay
vào các hệ thức trên ta được
x= 0
k ( )
n ( )
n ( )
) f ) ) f f ) = ; = ; ...; = ;...; = . b k b n b 1 b 2 f x '( 0 1! x ''( 0 2! ( x 0 n !
n ) .
(3)
Do đó
) ) f f x ( ) + + ... − = + x ( ) ( ) f x ( 0 x 0 x 0 ( x 0 ! k ( x 0 n !
=
(
(
)
, ta có công
x f x ; 0 0
+
=
.
thức chuyển hệ trục toạ độ
= +
y Y
)
x X x 0 f x 0(
)
(
;Oxy
0
0
; )
I x f x là toạ độ của điểm I đối với hệ trục ( ;
(
Oxy IXY , .
n ( )
f
Trong đó M x y M X Y lần lượt là toạ độ của điểm M đối các hệ trục ( ; ), Trong hệ trục IXY đồ thi (C) có phương trình: ) f
)
)
2
n
X
X
X
Y
+
+ + ...
.
(4)
=
)
+
( f x 0
'( f x 0 1!
''( x 0 2!
( x 0 ! n
Từ (4) suy ra:
x
làm trục đối xứng khi và chỉ khi hàm
• Đồ thị (C) nhận đường thẳng
x= 0
;
))
làm tâm đối xứng khi và chỉ khi hàm
( I x 0
( f x 0
=
y
f x
f
2
≥
x
− x uur OI '( f x 0 1! Xét phép tịnh tiến hệ trục toạ độ O xy theo vectơ
nhận đường thẳng
làm
)
(
x= 0
)
số (4) là hàm số chẵn. • Đồ thị (C) nhận điểm số (4) là hàm số lẻ. Vậy ta có các kết quả sau Mệnh đề 1. Đồ thị hàm đa thức trục đối xứng khi và chỉ khi
(2
k
( ( ) deg 0x là nghiệm của các phương trình f
+ 1)( ) 0, x
= ∀ ∈ (cid:1) . k
nhận điểm
Mệnh đề 2. Đồ thị hàm đa thức
f
y
2
≥
=
))
(
(
)
( f x ( ) deg
*
k (2 )
2
2
− 1
n
n
x
) I x f x ( ; 0 0 0x là nghiệm của các phương trình ( ) 0, = f x = + + a a 0, ( ... 0 2
n
n
n
f x ( ) n − 1
= a x n 2 + + ...
+ a 2 = 0
+
làm tâm đối ∀ ∈ (cid:1) . k ≥ ≠ n 1) 0, − 1 khi và chỉ khi đồ thị của hàm số
A 0
a X n 2
=
A X n − 1 có trục đối xứng cùng phương với trục
.O y
xứng khi và chỉ khi Hệ quả. Phương trình chuyển về dạng y f x ( )
II. MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG
4
3
x − 2 x + − = x 0, ( x ∈ (cid:1) ).
Ví dụ 1. Giải phương trình
4
3
1 4
Phân tích: Đồ thị hàm số
trục đối xứng.
y = x − 2 x x + − , nhận đường thẳng 1 x = làm 2 1 4
Vậy ta có lời giải sau: Đặt
ta được phương trình
2
x X 1 = + 2
4
2
X − X + = ⇔ = ± X 0 ± . 3 2 1 16 3 4 1 2
Vậy
4
3
2
± . 1 x = ± 2 3 4 1 2
có trục đối xứng.
y = x + 4 ax − 2 x − 12 ax
Ví dụ 2. Tìm a để đồ thị hàm số Giải. Ta có
3
2
2
+ − − y = ' 4 x 12 ax 4 x a 12 ,
4, −
3
2
y y = x '' 12 = ''' 24 x + +
Xét hệ
3
4
2
x a − = 4 12 0 ⇔ ⇒ = ± ; 1. a o + + = x 4 24 12 24 − 0 x ax a 0 = ± 1 ax 24 24 . a = x a = a a
có nghiệm dạng
; α − − + cx dx + = e xβ ; 0 x 0
có trục đối xứng là đường thẳng
2
2
0) f x ( ) ≠ =
2 2 a α β
2 − − x ][( α 2 2 ( a + − α β
+
2 − β x ) − 0
) 4 ] 2 x 0 )( ) x = = − x a x [( 0 x a x ) ( − 0
Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu phương trình: = ax + f x ( ) + bx 0, ( a + thì đồ thị hàm số y xα β ; + x 0 0 x x= 0. Giải. Ta có f x ( ) Suy ra
2
3
2 + α β
2
2
f x = '( ) 4 ( a x − − a 2 ( )( x − ) ) x 0
2 + α β
a x x ) a 2 ( ) f ''( ) 12 ( = − −
f a x x ). '''( ) 24 ( = − x 0 x 0 x 0
Xét hệ
⇔ = x . x 0 '( ) 0 = f x x f ''( ) 0 =
4
5
3
2
x y = f x ( ). là trục đối xứng của đồ thị hàm số x= 0
cx ex + + x 0
2
2
2 α
2 β
; α bx f dx + thì đồ thị hàm số + β ; xβ − 0 I x ;0). 0(
ax + = xα + ; 0 f x ( ) a x [( ] [( ]( ). = − − − − − x x ) )
Vậy Nhận xét. Ví dụ 3 cho ta một điều kiện cần để một đa thức bậc 4 (tổng quát một đa thức bậc chẵn, bậc lớn hơn hoặc bằng 2) có các nghiệm lập thành cấp số cộng có 4 số hạng là đồ thị hàm số có trục đối xứng. Ví dụ 5. Chứng minh rằng nếu phương trình: có nghiệm dạng 0) 0 ( = a ( ) f x − ≠ + có tâm đối xứng là điểm = f x y ( ) x x 0 0; Giải. Ta có
3
x 0 x 0 x 0
Xét hệ
Suy ra điểm
là tâm đối xứng của đồ thị.
(4)
f ''( ) 0 x = ⇔ = x . ;0) I x 0( x 0 f ( ) 0 x =
Nhận xét. Ví dụ 5 cho ta một điều kiện cần để một đa thức bậc 5 (tổng quát một đa thức bậc lẻ, bậc lớn hơn hoặc bằng 3) có các nghiệm lập thành một cấp số cộng có 5 số hạng là đồ thị hàm số có tâm đối xứng thuộc trục
4
3
4
3
2
− 2 mx + 2 + 9 x − .O x 2 2 m x f x ( ) = = 45 0
5 Ví dụ 6. Tìm m để phương trình − x mx có 5 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Giải. Điều kiện cần. Ta có f x
2 m x
2
2
3
= '( ) 5 mx mx − − 4 6 x + 4 + 9
2
f = ''( ) 20 x x − 12 mx − 12 mx + 4 m
(4)
f = '''( ) 60 x x − 24 mx − 12 m
f − m 24 .
Xét hệ
(4)
0,
x
5 9 x+
−
45 0
Điều kiện đủ. • Với
m = ta được phương trình
= (1)
m = yêu 0,
5 9 +
45
−
=
x
x
, có tâm đối xứng là điểm
(0; 45)
y 0,
Suy ra với
5
3
2
m = yêu cầu bài toán không thoả mãn. 4 −
10
−
+
+
9
x
x
45 0.
= (2)
− ∉ • Với
Cách 1. Dễ thấy phương trình (1) có nghiệm duy nhất, suy ra với cầu bài toán không thoả mãn. Cách 2. Đồ thị hàm số O x . I 5,m = ta được phương trình − −
− x 50 lập thành cấp số cộng.
x x 5 } 3; 1;1; 3; 5
Phương trình (2) có các nghiệm {
4
( ) 120 = x x x f ''( ) 0 = f ''( ) 0 x = m = 0 ⇒ ⇔ = 5. m = x f = ( ) 0 x m 5
