1
DẤU HIỆU TRỤC ĐỐI XỨNG, TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ
HÀM ĐA THỨC
G/v: Nguyễn Văn Nhiệm
Trường THPT chuyên lam Sơn, Thanh hoá
Trục đối xứng và tâm đối xứng của đồ thị hàm số là những tính chất hình học
quan trọng của hàm số, nó liên quan đến nhiều bài toán mà khi giải sử dụng tới
nó thì đạt được kết quả nhanh chóng. Vấn đề đặt ra là đối với một hàm số cho
trước làm thế nào nhanh chóng biết được đồ thị của nó có trục đối xứng hay tâm
đối xứng không ? Và hãy tìm trục đối xứng, tâm đối xứng đó nếu có.
Trong bài viết này tôi xin giới thiệu một phương pháp sử dụng đạo hàm giải
quyết một lớp bài toán của yêu cầu trên, đó là lớp đồ thị các hàm đa thức.
I. LÝ THUYẾT
Cho 0 1
( ) ... ( 0) (1)
n
n n
f x a a x a x a= + + + ≠ là một đa thức với các hệ số
thực, đối số
.
x
∈
Gọi đồ thị hàm số (1) là (C).
Ta dễ dàng chứng minh được các nhận xét sau:
• Nếu
( )
f x
là đa thức hằng, hoặc đa thức bậc nhất thì mọi đường thẳng
vuông góc với nó đều là trục đối xứng của đồ thị và mọi điểm nằm trên
đồ thị đều là tâm đối xứng của của đồ thị.
Bây giờ giả sử
)
deg 2.
f n
= ≥
• Nếu đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng thì n là số tự nhiên lẻ và tâm đối
xứng thuộc đồ thị.
• Nếu đồ thị hàm số (1) có trục đối xứng thì n là số tự nhiện chẵn và trục
đối xứng cùng phương với trục
O y
.
Ghi chú. Ở đây kí hiệu
( ) *
( ),
k
f x k ∈
là đạo hàm cấp k của hàm số
( ),
f x
và
(0)
( ) ( ).
f x f x
=
Ta viết 0 1
( ) ... ( 0, 2)
n
n n
f x a a x a x a n
= + + + ≠ ≥
dưới dạng
0 1 0 0
( ) ( ) ... ( ) (2).
n
n
f x b b x x b x x= + − + + −
Thế
0
x x
=
vào (2), ta được
0 0
( ).
b f x
=
Để xác định 1 2
, ,...,
n
b b b
ta lần lượt đạo hàm hai vế của (2) theo x từ cấp 1 đến
cấp n:
1
1 2 0 0
2
2 0
( )
0
( )
'( ) 2 ( ) ... ( )
''( ) 1.2 ... ( 1) ( )
.....
( ) ! ... ( 1)( 2)...( 1)( )
( ) ! .
n
n
n
n
k n k
k
n
n
f x b b x x nb x x
f x b n n b x x
f x k b n n n n k x x
f x n b
−
−
−
= + − + + −
= + + − −
= + + − − − + −
=
2
Thay
0
x x
=
vào các hệ thức trên ta được
( ) ( )
0 0 0 0
1 2
'( ) ''( ) ( ) ( )
; ; ...; ;...; .
1! 2! ! !
k n
k n
f x f x f x f x
b b b b
k n
= = = =
Do đó
( )
0 0
0 0 0
'( ) ( )
( ) ( ) ( ) ... ( ) .
1! !
n
n
f x f x
f x f x x x x x
n
= + − + + − (3)
Xét phép tịnh tiến hệ trục toạ độ
O xy
theo vectơ
0 0
( ; ( )
OI x f x
=
uur
, ta có công
thức chuyển hệ trục toạ độ 0
0
( )
x X x
y Y f x
= +
= +
.
Trong đó
0 0
( ; ( )
I x f x
là toạ độ của điểm I đối với hệ trục
;
Oxy
( ; ), ( ; )
M x y M X Y
lần lượt là toạ độ của điểm M đối các hệ trục
, .
Oxy IXY
Trong hệ trục
IXY
đồ thi (C) có phương trình:
( )
2
0 0 0
0
'( ) ''( ) ( )
( ) ... . (4)
1! 2! !
n
n
f x f x f x
Y f x X X X
n
= + + + +
Từ (4) suy ra:
• Đồ thị (C) nhận đường thẳng
0
x x
=
làm trục đối xứng khi và chỉ khi hàm
số (4) là hàm số chẵn.
• Đồ thị (C) nhận điểm 0 0
( ; ( ))
I x f x
làm tâm đối xứng khi và chỉ khi hàm
số (4) là hàm số lẻ.
Vậy ta có các kết quả sau
Mệnh đề 1.
Đồ thị hàm đa thức
(
)
)
( ) deg 2
y f x f
= ≥
nhận đường thẳng
0
x x
=
làm
trục đối xứng khi và chỉ khi
0
x
là nghiệm của các phương trình
(2 1)
( ) 0, .
k
f x k
+
= ∀ ∈
Mệnh đề 2.
Đồ thị hàm đa thức
(
)
(
)
( ) deg 2
y f x f
= ≥
nhận điểm
0 0
( ; ( ))
I x f x
làm tâm đối
xứng khi và chỉ khi
0
x
là nghiệm của các phương trình
(2 ) *
( ) 0, .
k
f x k= ∀ ∈
Hệ quả. Phương trình 2 2 1
2 2 1 0 2
( ) ... 0, ( 0, 1)
n n
n n n
f x a x a x a a n
−
−
= + + + = ≠ ≥
chuyển về dạng 1
2 1 0
... 0
n n
n n
a X A X A
−
−
+ + + =
khi và chỉ khi đồ thị của hàm số
( )
y f x
=
có trục đối xứng cùng phương với trục
O y
II. MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1. Giải phương trình 4 3 1
2 0, ( ).
4
x x x x− + − = ∈
Phân tích: Đồ thị hàm số 4 3
1
2
4
y x x x
= − + −
, nhận đường thẳng
1
2
x
=
làm
trục đối xứng.
Vậy ta có lời giải sau: Đặt 1
2
x X
= +
ta được phương trình
3
4 2
3 1 3 1
0 .
2 16 4 2
X X X− + = ⇔ = ± ±
Vậy
1 3 1
.
2 4 2
x= ± ±
Ví dụ 2. Tìm a để đồ thị hàm số 4 3 2
4 2 12
y x ax x ax
= + − − có trục đối xứng.
Giải. Ta có
3 2
2
' 4 12 4 12 ,
'' 12 24 4,
''' 24 24 .
y x ax x a
y x ax
y x a
= + − −
= + −
= +
Xét hệ
3 2
4 12 4 12 0
; 1.
0
24 24 0 1
x a
x ax x a a o
a
x a a
=
+ − − =
⇔⇒= ±
=
+ = = ±
Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu phương trình:
4 3 2
( ) 0, ( 0)
f x ax bx cx dx e a
= + + + + = ≠
có nghiệm dạng 0 0
; ;
x x
β α
− −
0 0
;x x
α β
+ +
thì đồ thị hàm số
( )
y f x
=
có trục đối xứng là đường thẳng
0
.
x x
=
Giải. Ta có
2 2 2 2
0 0
( ) [( ) ][( ) ]
f x a x x x x
α β
= − − − −
4 2 2 2 2 2
0 0
( ) ( )( )a x x a x x a
α β α β
= − − + − +
Suy ra
3 2 2
0 0
2 2 2
0
0
'( ) 4 ( ) 2 ( )( )
''( ) 12 ( ) 2 ( )
'''( ) 24 ( ).
f x a x x a x x
f x a x x a
f x a x x
α β
α β
= − − + −
= − − +
= −
Xét hệ
0
'( ) 0
.
''( ) 0
f x
x x
f x
=
⇔ =
=
Vậy
0
x x
=
là trục đối xứng của đồ thị hàm số
( ).
y f x
=
Nhận xét. Ví dụ 3 cho ta một điều kiện cần để một đa thức bậc 4 (tổng quát một
đa thức bậc chẵn, bậc lớn hơn hoặc bằng 2) có các nghiệm lập thành cấp số
cộng có 4 số hạng là đồ thị hàm số có trục đối xứng.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng nếu phương trình:
5 4 3 2
( ) 0 ( 0)
f x ax bx cx dx ex f a
= + + + + + = ≠
có nghiệm dạng 0 0
; ;
x x
β α
− −
0; 0 0
;x x x
α β
+ +
thì đồ thị hàm số
( )
y f x
=
có tâm đối xứng là điểm 0
( ;0).
I x
Giải. Ta có 2 2 2 2
0 0 0
( ) [( ) ] [( ) ]( ).
f x a x x x x x x
α β
= − − − − −
4
Xét hệ
0
(4)
''( ) 0
( ) 0
f x
x x
f x
=
⇔ =
=
Suy ra điểm 0
( ;0)
I x là tâm đối xứng của đồ thị.
Nhận xét. Ví dụ 5 cho ta một điều kiện cần để một đa thức bậc 5 (tổng quát một
đa thức bậc lẻ, bậc lớn hơn hoặc bằng 3) có các nghiệm lập thành một cấp số
cộng có 5 số hạng là đồ thị hàm số có tâm đối xứng thuộc trục
.
O x
Ví dụ 6. Tìm m để phương trình 5 4 3 2 2
( ) 2 2 9 45 0
f x x mx mx m x x
= − − + + − =
có 5 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Giải. Điều kiện cần. Ta có
4 3 2 2
3 2 2
2
(4)
'( ) 5 4 6 4 9
''( ) 20 12 12 4
'''( ) 60 24 12
( ) 120 24 .
f x x mx mx m x
f x x mx mx m
f x x mx m
f x x m
= − − + +
= − − +
= − −
= −
Xét hệ (4)
''( ) 0
''( ) 0
0
5.
( ) 0 5
f x
f x m
mm
x
f x
=
=
=
⇔⇒
=
=
=
Điều kiện đủ.
• Với
0,
m
=
ta được phương trình 5
9 45 0
x x
+ − =
(1)
Cách 1. Dễ thấy phương trình (1) có nghiệm duy nhất, suy ra với
0,
m
=
yêu
cầu bài toán không thoả mãn.
Cách 2. Đồ thị hàm số 5
9 45
y x x
= + −
, có tâm đối xứng là điểm
(0; 45) .
I O x
− ∉
Suy ra với
0,
m
=
yêu cầu bài toán không thoả mãn.
• Với
5,
m
=
ta được phương trình 5 4 3 2
5 10 50 9 45 0.
x x x x x
− − + + − =
(2)
Phương trình (2) có các nghiệm
{
}
3; 1;1; 3; 5
− −
lập thành cấp số cộng.