Đề tài nghiên cứu mô hình B-L hai lưỡng tuyến với nhóm đối xứng D4 × Z4 × Z2, tập trung vào khối lượng neutrino và cấu trúc trộn lepton gần Co-bimaximal.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
TRẦN THANH THANH
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 8440103
ĐỀ ÁN TỐT NGHIỆP THẠC SĨ
Đắk lắk, năm 2024
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
TRẦN THANH THANH
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 8440103
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Võ Văn Viên
ĐỀ ÁN TỐT NGHIỆP THẠC SĨ
Đắk lắk, năm 2024
Tôi cam đoan đề án này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi. Những số
liệu, kết quả nghiên cứu được nêu ra trong đề án là hoàn toàn trung thực,
các tài liệu tham khảo được trích dẫn một cách đầy đủ, ghi rõ ràng về
nguồn gốc theo quy định. Kết quả nghiên cứu này không trùng lặp với bất
cứ các công trình nghiên cứu nào đã được công bố trước đó. Tôi chịu trách
nhiệm với lời cam đoan của mình.
Đắk Lắk, ngày tháng năm 2024
Học viên
i
Trần Thanh Thanh
Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành đề án, tôi đã nhận được
rất nhiều sự quan tâm, hướng dẫn và giúp đỡ của quý Thầy, Cô và bạn
bè. Đó là động lực giúp tôi hoàn thành đề án này. Đầu tiên tôi xin gửi lời
cảm ơn sâu sắc tới giáo viên hướng dẫn của mình - Thầy PGS.TS. Võ Văn
Viên, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi trong suốt quá trình thực hiện đề án.
Tiếp theo tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới quý Thầy Cô trong Bộ
môn Vật Lý - Khoa Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, trường Đại học Tây
Nguyên đã truyền đạt tri thức khoa học để tôi có thể hoàn thành đề án
của mình.
Cám ơn các bạn lớp học viên cao học K22 đã luôn hỗ trợ đóng góp ý
kiến giúp tôi hoàn thành đề án này.
Cuối cùng, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi đã luôn ủng
hộ tinh thần, chia sẻ và đồng hành cùng tôi trong suốt quá trình học tập
và nghiên cứu.
Mặc dù đã cố gắng hoàn thiện đề án, tuy nhiên không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô
để kiến thức của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Đắk Lắk, ngày tháng năm 2024
Học viên
ii
Trần Thanh Thanh
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Danh mục các từ viết tắt iii
Danh sách bảng i
Danh sách hình vẽ i
Mở đầu 1
1 Tổng quan tài liệu
4 4 4 6 8 9 11 12 13 15 17 17 19 1.1 Giới thiệu về mô hình chuẩn và mô hình B - L . . . . . . 1.1.1 Các lepton trong mô hình chuẩn . . . . . . . . . . 1.1.2 Khối lượng và trộn lepton trong mô hình chuẩn . 1.1.3 Hạn chế của mô hình chuẩn . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Các lepton trong mô hình B - L . . . . . . . . . . 1.1.5 Khối lượng và trộn lepton trong mô hình B - L . 1.1.6 Hạn chế của mô hình B - L . . . . . . . . . . . . 1.2 Cơ chế seesaw giải thích khối lượng neutrino . . . . . . . 1.3 Tham số hóa cho kịch bản dao động ba neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Nhóm đối xứng D4 1.4.1 Hệ số Clebsch - Gordan của nhóm D4 . . . . . . . 1.4.2 Cơ sở để kết hợp nhóm D4 vào mô hình B - L . .
2 Đối tượng, nội dung và phương pháp nghiên cứu
2.1 Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 21 21 21 21
3 Kết quả nghiên cứu và thảo luận 22
i
3.1 Cấu trúc hạt của mô hình B - L với nhóm đối xứng D4 × . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Z4 × Z2
trong mô hình B - L với nhớm D4 × Z4 × Z2
26 36 3.2 Khối lượng và pha trộn lepton dạng gần Co-bimaximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Kết quả phân tích số
48 Kết luận
49 Tài liệu tham khảo
ii
55 Phụ lục
Viết tắt Tiếng Anh Nghĩa Tiếng Việt
NH Normal hierarchy Phân bậc chuẩn
IH Inverted hierarchy Phân bậc nghịch đảo
iii
MHC Standard Model Mô hình chuẩn
Các thế hệ lepton trong mô hình chuẩn . . . . . . . . . . . Các đại lượng đặc trưng của lepton trong MHC . . . . . .
1.1 1.2 4 6
i
3.1 Nội dung hạt và các vô hướng của mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Khối lượng và góc trộn neutrino [29] 23 38
16 1.1 Sự chồng chất của các trạng thái riêng vị neutrino (các đường nét đứt) từ các trạng thái riêng khối lượng neutrino (các đường nét liền) có thể được mô tả bằng ba góc trộn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . θ12, θ13 và θ13
3.1
36
3.2
37
3.3
39 103|h2| (hình bên trái) và 103|h3| (hình bên phải) phụ thuộc vào cθ và sψ với cθ ∈ (0.29, 0.31) và sψ ∈ (0.25, 0.65). . . . |h4| (hình bên trái) và |h5| (hình bên phải) phụ thuộc vào cθ và sψ với cθ ∈ (0.29, 0.31) và sψ ∈ (0.25, 0.65). . . . . . . . sδ phụ thuộc cθ và sψ với cθ ∈ (0.29, 0.31) và sψ ∈ (0.25, 0.65) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cho phân bậc NH và IH.
39
40
40
41
3.8
42
3.9
31 với ∆m2
và ∆m2 trái) và ∆m2 (hình bên phải).
3.10 A (meV) phụ thuộc ∆m2 42 21 ∈ (69.4, 81.4) meV2 3.4 k1 phụ thuộc cθ và sψ với cθ ∈ (0.29, 0.31) and sψ ∈ (0.25, 0.65) . . cho phân bậc NH (hình bên trái) và IH (hình bên phải). 3.5 k2 phụ thuộc cθ và sψ với cθ ∈ (0.29, 0.31) và sψ ∈ (0.25, 0.65) . . cho phân bậc NH (hình bên trái) và IH (hình bên phải). 3.6 n1 phụ thuộc cθ và sψ với cθ ∈ (0.29, 0.31) và sψ ∈ (0.25, 0.65) . . cho phân bậc NH (hình bên trái) và IH (hình bên phải). 3.7 n2 phụ thuộc cθ và sψ với cθ ∈ (0.29, 0.31) và sψ ∈ (0.25, 0.65) . . cho phân bậc NH (hình bên trái) và IH (hình bên phải). t1 phụ thuộc cθ và sψ với cθ ∈ (0.29, 0.31) và sψ ∈ (0.25, 0.65) . . cho phân bậc NH (hình bên trái) và IH (hình bên phải). t2 phụ thuộc cθ và sψ với cθ ∈ (0.29, 0.31) và sψ ∈ (0.25, 0.65) . . cho phân bậc NH (hình bên trái) và IH (hình bên phải). 21 và ∆m2
31 ∈ (2.47, 2.63)103 meV2 cho phân bậc NH (hình bên 31 ∈ (−2.53, −2.37)103 meV2 cho phân bậc IH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 với ∆m2
21 và ∆m2
và ∆m2 trái) và ∆m2 (hình bên phải).
3.11 B1 (meV) phụ thuộc ∆m2 43 21 ∈ (69.4, 81.4) meV2
31 ∈ (2.47, 2.63)103 meV2 cho phân bậc NH (hình bên 31 ∈ (−2.53, −2.37)103 meV2 cho phân bậc IH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 với ∆m2
21 và ∆m2
và ∆m2 trái) và ∆m2 (hình bên phải).
31 ∈ (2.47, 2.63)103 meV2 cho phân bậc NH (hình bên 31 ∈ (−2.53, −2.37)103 meV2 cho phân bậc IH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12 B2 (meV) phụ thuộc ∆m2 43 21 ∈ (69.4, 81.4) meV2
i
44
21 và ∆m2
31 với ∆m2
21 ∈ (69.4, 81.4) meV2
và ∆m2 trái) và ∆m2 (hình bên phải).
3.13 C1 (meV) phụ thuộc ∆m2
31 ∈ (2.47, 2.63)103 meV2 cho phân bậc NH (hình bên 31 ∈ (−2.53, −2.37)103 meV2 cho phân bậc IH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 với ∆m2
21 và ∆m2
và ∆m2 trái) và ∆m2 (hình bên phải).
3.14 C2 (meV) phụ thuộc ∆m2 44 21 ∈ (69.4, 81.4) meV2
31 ∈ (2.47, 2.63)103 meV2 cho phân bậc NH (hình bên 31 ∈ (−2.53, −2.37)103 meV2 cho phân bậc IH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 với ∆m2
21 và ∆m2
và ∆m2 trái) và ∆m2 (hình bên phải).
3.15 C3 (meV) phụ thuộc ∆m2 45 21 ∈ (69.4, 81.4) meV2
31 ∈ (2.47, 2.63)103 meV2 cho phân bậc NH (hình bên 31 ∈ (−2.53, −2.37)103 meV2 cho phân bậc IH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 với ∆m2
21 và ∆m2
và ∆m2 trái) và ∆m2 (hình bên phải).
3.16 ⟨mee⟩ (meV) phụ thộc ∆m2 46 21 ∈ (69.4, 81.4) meV2
31 ∈ (2.47, 2.63)103 meV2 cho phân bậc NH (hình bên 31 ∈ (−2.53, −2.37)103 meV2 cho phân bậc IH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 với ∆m2
21 và ∆m2
và ∆m2 trái) và ∆m2 (hình bên phải).
31 ∈ (2.47, 2.63)103 meV2 cho phân bậc NH (hình bên 31 ∈ (−2.53, −2.37)103 meV2 cho phân bậc IH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.17 mβ (meV) phụ thuộc ∆m2 47 21 ∈ (69.4, 81.4) meV2
ii
47
Mặc dù được xem là một trong những lý thuyết thành công nhất của
vật lý hạt nhưng Mô hình chuẩn (MHC) vẫn bộc lộ một số tồn tại nhất
định. Một trong những tồn tại nổi bật của MHC đó là không giải thích
được sự nhỏ bé của khối lượng neutrino, sự trộn lepton và trộn quark.
Về mặt thực nghiệm, sự khác biệt về bình phương khối lượng neutrino
và các góc trộn neutrino và kết quả phân tích thực nghiệm về pha vi
phạm CP vẫn đang được cập nhật liên tục. Dạng pha trộn lepton theo
thực nghiệm gần đây có dạng phù hợp với dạng Co-bimaximal, theo đó θ13 khác không, θ23 = 450 và δ = 2700.
Theo dữ liệu thực nghiệm năm 2020, khối lượng và góc trộn neutrino
được xác định [1] (số liệu thực nghiệm này có thể được cập nhật trong
quá trình thực hiện đề án):
Sin2θ12 = 0.307 ± 0.013, Sin2θ13(2.18 ± 0.07) × 10−2, Sin2θ23 = 0.545 ± 0.021(N H), Sin2θ23 = 0.547 ± 0.021(IH),
(1)
δCP = (1.36 ± 0.17)rad, △ m2
△ m2
21 = (7.53 ± 0.18)−5eV 2, 32 = (2.453 ± 0.034)−3eV 2(N H), 32 = (−2.546+0.034
−0.040)−3eV 2(IH),
△ m2
trong đó, “NH” là viết tắt của “Normal hierarchy” (phân bậc chuẩn)
và “IH” là viết tắt của “Inverted hierarchy” (phân bậc nghịch đảo). Về
phương diện lý thuyết, ma trận trộn lepton được xác định thông qua
ma trận trộn lepton mang điện và ma trận trộn neutrino. Hiện nay, có
1
5 dạng ma trận trộn lepton được đề xuất, bao gồm:
(1) Dạng Democratic [2,3,4]:
. (2) − − UDC = 0 (cid:114)2 3 1 √ 2 1 √ 6
− − 1 √ 2 1 √ 6 1 √ 3 1 √ 3 1 √ 3
(2) Dạng Bimaximal [5]:
− 0 1 √ 2
− . (3) UBM = UBM = 1 √ 2
1 2 1 2 1 √ 2 1 2 1 2 1 √ 2
(3) Dạng Golden – ratio [6]:
√ √ 2 2 √ √ (cid:112) (cid:112) 5 5 0 √ 5 − −1 5 + 1 . (4) UGR = √ √ (cid:112) (cid:112) 5 5
5 + −1 5 + 1 √ √ (cid:112) (cid:112) 2 2 √ 2 2 5 + 5 5 + 5
(4) Dạng Hexagonal [7, 8, 9]:
√
0 3 2 √ − 2 . (5) UH = 1 2 √ 6 4 √ − 6
2
4 √ 2 4 1 √ 2 √ 2 2 4
(5) Dạng Tri- bimaximal [10, 11, 12, 13]:
0
. (6) UHP S =
2 √ 6 −1 √ 6 −1 √ 6 1 √ 3 1 √ 3 1 √ 3 1 √ 2 −1 √ 2
Các kết quả thực nghiệm về neutrino gần đây cho thấy dạng trộn
lepton phù hợp với dạng Tri- bimaximal như ở biểu thức (6), trong đó,
các góc trộn lẫn lớn khác biệt hoàn toàn với các góc trộn quark.
Gần đây, có một hướng khả quan đang được nghiên cứu rộng, nhằm
giải thích sự trộn của lepton và các hiệu ứng vật lý quan trọng khác, đó
là đưa các đối xứng gián đoạn vào MHC và các mô hình mở rộng MHC.
Các nhóm đối xứng gián đoạn đã được đưa vào MHC, các mô hình 3-3-1,
. . . Các nhóm gián đoạn được lựa chọn nhiều đó là S3, S4, A4, D4, T4, ... Hiện nay các mô hình vật lý loại này đang được các nhà vật lý trên
thế giới đặc biệt quan tâm. Nhóm đối xứng D4 có 5 biểu diễn tối giản trong đó có 4 biểu diễn một chiều 1++; 1+−; 1−+; 1−− và một biểu diễn hai chiều (2). Từ quy luật biến đổi của hệ số Clebsch-Gordan ở các biểu
thức (1.54) và (1.55), chúng tôi nhận thấy nhóm D4 có thể kết hợp với mô hình B - L để cho lời giải thích thỏa đáng về dạng trộn lepton theo
kết quả thực nghiệm. Vì vậy, trong khuôn khổ của đề án thạc sĩ, chúng
tôi đề xuất đề tài “Mô hình B - L hai lưỡng tuyến với nhóm D4 × Z4 × Z2 sinh khối lượng và trộn lepton”.
- Trình bày sự sinh khối lượng và trộn lepton trong mô hình chuẩn và
mô hình B - L.
3
- Xây dựng mô hình B - L hai lưỡng tuyến với nhóm đối xứng D4 × Z4 × Z2 xác định khối lượng và dạng ma trận trộn gần Co-bimaximal.
1.1.1 Các lepton trong mô hình chuẩn
Mô hình chuẩn là một lý thuyết chuẩn dựa trên nhóm đối xứng định
xứng SU (3)C × SU (2)L × U (1)Y , các ký hiệu C, L, Y lần lượt chỉ tích màu, phân cực trái và siêu tích. Do đó, SU (3)C là nhóm đối xứng màu của tương tác mạnh tác động lên các quark màu và các boson chuẩn
truyền tương tác mạnh, SU (2)L là nhóm đối xứng phân cực trái của các tương tác yếu tác động lên các fermion phân cực trái, U (1)Y là nhóm đối xứng liên quan đến số lượng tử siêu tích Y.
Trong MHC, các tương tác điện yếu có thể được xem xét một cách
độc lập với tương tác mạnh, vì đối xứng dưới nhóm màu SU (3)C không bị phá vỡ và không có sự trộn giữa các phần SU (3)C và SU (2)L × U (1)Y . Mặt khác, tương tác điện từ và tương tác yếu phải được xem xét cùng nhau, có thể có sự trộn giữa các boson chuẩn trung hòa của nhóm
Bảng 1.1: Các thế hệ lepton trong mô hình chuẩn
Thế hệ 1 Thế hệ 2 Thế hệ 3 Điện tích (Q)
Leptons
0 -1
SU (2)Lvà × U (1)Y . Các lepton cơ bản đã biết được phân làm hai loại quark và lepton, theo sự sắp xếp như bảng (1.1).
νe e νµ µ ντ τ
Để xác định đặc trưng của các hạt trong đa tuyến n, chúng ta sử dụng
công thức Gellman-Nishijima có dạng:
, (1.1) Q = I3 + Y 2
4
trong đó, Q là điện tích I3 là thành phần thứ 3 của Spin đồng vị và Y là siêu tích.
Đa tuyến n và thành phần Spin đồng vị I liên hệ với nhau qua biểu
thức:
2I + 1 = n. (1.2)
Trong mô hình chuẩn người ta thừa nhận là tính chất vật lý ở các thế
hệ là như nhau, vì vậy để đơn giản chúng tôi chỉ xét tính chất vật lý cho
thế hệ thứ nhất (ψeL) của lepton và rồi sau đó suy ra kết quả cho các thế hệ kế tiếp.
Đối với thế hệ thứ nhất của lepton phân cực trái là các đa tuyến nên
n = 2, áp dụng biểu thức (1.2) ta tính được:
. I = =⇒ I3 = ± 1 2 1 2
Để xác định được siêu tích của các lepton thế hệ thứ nhất chúng ta
sử dụng công thức (1.1) ta có:
- νeL có điện tích Q = 0 và I3 = 1 2
- eL có điện tích Q = −1 và I3 = − =⇒ YeL = −1. =⇒ Yνe = −1. 1 2 Như vậy thế hệ thứ nhất của lepton phân cực trái được biểu diễn dưới (cid:32) (cid:33)
∼ (2, −1), suy ra thế hệ thứ 2, thứ 3 của lepton dạng: ψeL = νeL eL (cid:33) (cid:32) (cid:32) (cid:33)
∼ phân cực trái lần lượt là: ψµL = ∼ (2, −1) và ψτ L = νµL µL ντ L τL
(2, −1).
Trong MHC, người ta thừa nhận rằng các trường neutrino chỉ có thành
phần phân cực trái. Các thành phần của lepton phân cực phải eR, µR, τR được xem là các đơn tuyến tức là n = 0, áp dụng công thức Gellman- Nishijima, ta thu được siêu tích của eR, µR, τR là YeR,µR,τR = −2.
Các đơn tuyến lepton phân cực phải được biểu diễn như sau: eR ∼
(1, −2) , µR ∼ (1, −2) và τR ∼ (1, −2).
5
Các giá trị Spin đồng vị I, thành phần thứ 3 của nó (I3), siêu tích
Y và điện tích Q của các lưỡng tuyến, đơn tuyến fermion được thể hiện
Bảng 1.2: Các đại lượng đặc trưng của lepton trong MHC
trong bảng (1.2) như sau:
I3 1/2
0
Các đa tuyến νeL eL eR
1.1.2 Khối lượng và trộn lepton trong mô hình chuẩn
Y Q I 1/2 0 -1 1/2 -1/2 -1 -1 -2 -1 0
Một số hạng khối lượng fermion phải bao gồm liên kết của các trường
phân cực trái và phân cực phải. Trong MHC, khối lượng của các fermion
được sinh ra từ kết quả của cơ chế Higgs thông qua sự có mặt của các
tương tác Yukawwa của các trường fermion với các lưỡng tuyến Higgs
và có dạng:
(1.3) ¯f f = ¯fLfR + ¯fRfL.
Chúng ta lần lượt kí hiệu các lưỡng tuyến lepton phân cực trái và đơn
tuyến lepton phân cực phải như sau:
(cid:33) (cid:32)
∼ (2, −1) , ψαL = ναL lαL
(1.4) lαR ∼ (1, −2), eR, νR, τR ∼ (1, −2) và α = 1, 2, 3.
Trong các lepton mang điện thì các tích ¯ψαLlαR là các lưỡng tuyến (cid:32) (cid:33)
đều có siêu tích là -1, lưỡng tuyến Higgs ϕ(x) = , lại có siêu ϕ+(x) ϕ0(x)
6
tích là +1. Do đó ta tìm được Lagrangian tương tác Yukawa của Higgs
và lepton có dạng:
−LKL = h11
+ h21
(1.5) ¯ψ1Lϕl1R + h12 ¯ψ2Lϕl1R + h22 ¯ψ3Lϕl1R + h32 ¯ψ1Lϕl2R + h13 ¯ψ2Lϕl2R + h23 ¯ψ3Lϕl2R + h33 ¯ψ1Lϕl3R ¯ψ2Lϕl3R ¯ψ3Lϕl3R + hc. + h31
Lấy trung bình chân không của ϕ thì ta được chuẩn unita của lưỡng
tuyến Higgs:
(cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33) 0 . (1.6) ϕ(x) = = 1 √ 2 ⟨ϕ+⟩ ⟨ϕ0⟩ vH + H(x)
Trong trường Higgs thành phần trung hòa ϕ0 có trung bình chân
không khác không sẽ sinh ra khối lượng cho các fermion, thành phần
H(x) không sinh khối lượng nên ta có thể bỏ qua thành phần này, vì
vậy biểu thức (1.6) được viết lại có dạng:
(cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33) 0 ϕ(x) = = . (1.7) 1 √ 2 ⟨ϕ+⟩ ⟨ϕ0⟩ vH
Thay (1.4) và (1.7) vào (1.5) ta có:
−LKL = ¯l1Ll2R + h13 ¯l1Ll3R (h11 ¯l1Ll1R + h12
¯l2Ll2R + h23 ¯l3Ll2R + h33 ¯l2Ll3R ¯l3Ll3R) + hc
= (1.8) v √ 2 ¯l2Ll1R + h22 + h21 ¯l3Ll1R + h32 ¯LLMLLR + hc, + h31 v √ 2
trong đó:
. (1.9) , ML = ¯LL = (¯l1L ¯l2L, ¯l3L), LR = l1R l2R l3R h11 h12 h13 h21 h22 h23 h31 h32 h33
L và ma
7
Để chéo hóa ma trận ML chúng ta đưa thêm vào ma trận V l
R và:
trận V l
R = M diag
L MLV l V l+
l
, (1.10)
l
là một ma trận 3 x 3 của lepton và các phần tử
trong đó ma trận M diag trong ma trận này được xác định theo biểu thức sau:
αδαβ, (α, β = e, µ, τ ).
(1.11) )αβ = yl (M diag l
R là các ma trận unita 3 x 3 thỏa mãn
L và V l
Mặt khác hai ma trận V l
các hệ thức:
L)+ ≡ (V l
L)−1, V l+
R)+ ≡ (V l
R)−1.
L ≡ (V l V l+
R ≡ (V l
(1.12)
Khi đó biểu thứ Lagrangian của biểu thức (1.8) được viết lại như sau:
LV l+
RV l+
L MLV l
R LR + hc
−LKL = ¯LLV l
(1.13) = lR + hc. ¯lLM diag l v √ 2 v √ 2
Mặt khác ở MHC chỉ có neutrino phân cực trái mà không tồn tại các
neutrino phân cực phải dẫn đến khối lượng của neutrino trong MHC là
bằng không, điều này không còn phù hợp với các kết quả thực nghiệm
1.1.3 Hạn chế của mô hình chuẩn
về neutrino trong những năm gần đây vì vậy cần phải mở rộng MHC.
Được xem là mô hình nền tảng của vật lý hạt MHC đã mô tả rất
thành công 3 trong 4 tương tác (tương tác điện từ, tương tác yếu và
tương tác mạnh), tuy nhiên MHC vẫn còn bộc lộ một số hạn chế. Một
trong những hạn chế mà đề án này tập trung giải quyết đó là bài toán
khối lượng neutrino, sự nhỏ bé của khối lượng neutrino, sự trộn lepton
và trộn neutrino đã được thực nghiệm kiểm chứng.
Qua những hạn chế đó, việc mở rộng MHC là rất cần thiết nhằm bổ
8
sung những thiếu sót của mô hình này. Hiện nay có có rất nhiều cách để
mở rộng MHC, trong đó hướng mở rộng với nhóm đối xứng gián đoạn
nhằm giải quyết hai vấn đề: Khối lượng neutrino, trộn lepton và trộn
neutrino. Do đó trong đề án này chúng tôi mở rộng MHC với nhóm đối
1.1.4 Các lepton trong mô hình B - L
xứng D4.
Mô hình B - L là một phiên bản tối thiểu của MHC dựa trên nhóm
chuẩn FB−L ≡ SU (3)C × SU (2)L × U (1)Y × U (1)B−L (thường được gọi là mô hình B - L) với B là số baryon và L là là số lepton. Trong nhóm đối
xứng chuẩn FB−L sẽ tồn tại một boson chuẩn mới khác boson trong MHC và boson này được kí hiệu là Cµ. Tuy nhiên để nhóm đối xứng U (1)B−L thoa mãn các điều kiện khử dị thường thì cần phải thêm vào mô hình
B - L ba đơn tuyến fermion của MHC, các đơn tuyến này thường được gọi là các neutrino phân cực phải và được kí hiệu là νRi (i = 1, 2, 3). Trong mô hình FB−L đối xứng toàn cục trong MHC là đối xứng chuẩn và bậc phá vớ của đối xứng này cung cấp sự nhận dạng bậc seesaw một
các tự nhiên.
Biểu thức Lagrangian nhóm đối xứng chuẩn FB−L của lepton có dạng
như sau:
CµνC µν + i¯lDµγµl + i¯eRDµγµeR + i¯νRDµγµνR −LB−L = − 1 4
+ (Dµϕ)(Dµϕ) + (Dµχ) + (Dµχ) − V (ϕ, χ)
(1.14) − (λe ¯lϕeR + λν ¯l ˜ϕνR + ¯νc RχνR + hc). λνR 2
Trong mô hình B - L, phần Higgs chứa thêm một lưỡng tuyến ϕ có
dạng ϕ ∼ (1, 2, 1, 0) của nhóm SU (2)L, lưỡng tuyến ϕ này dùng để phá vỡ đối xứng SU (2)L × U (1)Y về đối xứng U (1)em. Mặt khác mô hình B - L còn có thêm một đơn tuyến phức kí hiệu là χ ∼ (1, 1, 0, 2) của
9
nhóm SU (2)L và có thể phá vỡ đối xứng U (1)B−L. Giá trị trung bình
chân không của χ là khác không, có dạng:
|⟨χ⟩| = , (1.15) v′ √ 2
và giá trị trung bình chân không này lớn hơn giá trị trung bình chân
không của trường Higgs ϕ,
. (1.16) |⟨ϕ0⟩| = v √ 2
Có một chú ý: v′ chính là bậc phá vỡ đối xứng nhóm U (1)B−L và thường thay đổi, khối lượng của các boson chuẩn với nhóm U (1)B−L thì lại phụ thuộc vào v′. Do đó, v′ sẽ được giới hạn bới các thực nghiệm tìm
kiếm boson mới.
Thế Higgs tổng quát và bất biến dưới các đối xứng của mô hình B -
L, có dạng:
1ϕ†ϕ + m2
2χ†χ + λ1(ϕ†ϕ)2+λ2(χ†χ)2 + λ3(χ†χ)(ϕ†ϕ), (1.17)
V (ϕχ) = m2
và
(cid:112) (1.18) λ1λ2, λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, λ3 > −2
để thỏa mãn điều kiện cực tiểu của thế năng. Để tránh các trương hợp
⟨χ⟩ = 0 và ⟨ϕ⟩ = 0 là một cực tiểu địa phương của biểu thức (1.17) thì điều kiện λ2 3 < 4λ1λ2 cần phải được thỏa mãn. Giống như cơ chế Higgs của MHC thì các trung bình chân không v và v′ của mô hình B - L là
i < 0, i = 1, 2).
không cùng bậc trừ khi điều kiện bình phương khối lượng là âm được thừa nhận (m2
Trong trường hợp bình phương khối lượng là âm được thừa nhận thì
cực tiểu của thế năng khác không sẽ có dạng:
1 − 2λ3m2 2
1 + λ1v2) λ3
2(m2 v2 = , v′2 = − . (1.19) 4λ2m2 λ2 3 − 4λ1λ2
10
Sau khi đối xứng B - L bị phá vỡ thì ta thu được khối lượng của trường
chuẩn Cµ như sau:
z = 4g′′2v′2.
1.1.5 Khối lượng và trộn lepton trong mô hình B - L
M ′2 (1.20)
Sau khi đối xưng của mô hình B - L bị phá vỡ ở mức năng lượng thấp
thì khối lượng neutrino có thể được sinh ra bằng cơ chế seesaw và bậc
vào cỡ khoảng 1 TeV. Từ phương trình (1.14) số hạng tương của tương
tác Yukawa cho chúng ta khối lượng của neutrino phân cực phải:
. (1.21) MR = λνRv′ √ 2
Ngoài ra sau khi đối xứng điện bị phá vỡ thì số hạng khối lượng Dirac
cũng được sinh ra và có dạng,
, (1.22) MD = λνv √ 2
từ đó sịnh ra ma trận khối lượng neutrino như sau:
(cid:32) (cid:33)
. (1.23) Mν = 0 mD mD MR
Vì các số hạng mD và MR của ma trận (1.23) tương tự như v và v′ nên ma trận khối lượng neutrino là có thể chéo hóa được, từ đó ta thu
được số hạng khối lượng cho các neutrino nhẹ và nặng như sau:
D, mνH = MR.
R M T
(1.24) MνL = −mDM −1
Như vậy mô hình đối xứng B - L đã giải thích được sự có mặt của
ba neutrino phân cực phải và cung cấp một lời giải tự nhiên cho cơ chế
seesaw.
Dựa vào cơ sở ma trận khối lượng neutrino Majorana và ma trận khối
11
lượng lepton có dạng chéo hóa, làm cho ma trận MR có dạng tham số
hóa như sau:
0
, (1.25) MR = MR3 r1 0 0 r2 0 0 r3 0
trong đó:
. (1.26) | = , r1,2 = MR3 = |λνR3 v′ √ 2 MR1,2 MR3 λνR1,2 λνR3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Hệ thức (1.25) chỉ ra rằng v′ được cố định ở bậc TeV và giá trị tuyệt đối của MR vẫn được tham số hóa bởi các tham số MR3, r1,2. Vì ma trận khối lượng Dirac có 9 tham số, hơn nữa do đối xưng U (1)B−L không thể đặt được thêm bất kì rằng buộc nào nữa để giảm các tham số này. Tổng
số các tham số tự do tham gia vào ma trận khối lượng neutrino nhẹ là
12 tham số.
Mặt khác, ma trận khối lượng của neutrino có thể được tham số hóa
dưới dạng của biểu thức sau:
ν U †
M P N S
(cid:113) (cid:112) mdiag (1.27) mD = MRR
ν
là ma trận trộn khối lượng
1.1.6 Hạn chế của mô hình B - L
và UM P N S là một ma trận trộn lepton, mdiag neutrino vật lý. Trong trường hợp mD là số thực thì R là một ma trận trực giao tùy ý và có thể được tham số hóa theo ba góc θ12, θ13, θ23.Trong biểu thức (1.27), sáu tham số không xác định được cung cấp dưới dạng ba tham số MR3, r1,2 trong ma trận khối lượng trong MR và ba góc θ12,23,13 trong R.
Trong các mô hình mở rộng MHC thì mô hình mở rộng nhóm đối
12
xứng U (1)B−L là mô hình đầy hứa hẹn do mô hình này có thể thêm vào MHC ba neutrino phân cực phải để sinh khối lượng cho các neutrino.
Mặt khác trong mô hình B - L khi boson mới được thêm vào sẽ kết
hợp với ba neutrino phân cực phải làm cho đối xứng chuẩn B - L bị phá
vỡ dẫn tới một số hiện tượng vật lý như: vật chất tối, bức xạ sóng hấp
dẫn,... được giải thích. Tuy nhiên mô hình B - L vẫn còn tồn tại một số
hạn chế nhất định và hạn chế lơn nhất của mô hình là chưa đưa ra được
các ma trộn của các fermion trong mô hình.
Theo cơ chế phá vỡ đối xứng của MHC, nếu neutrino có khối lượng
thì khối lượng của neutrino phải vào cỡ MeV, tuy nhiên theo kết quả
thực nghiệm cho ta thấy được rằng khối lượng của neutrino là rất nhỏ
vào cỡ eV. Vì vậy, cần phải có một cơ chế để giải thích cho sự nhỏ bé
khối lượng neutrino. Để giải thích cho sự nhỏ bé này chúng tôi trình bày
cơ chế seesaw với nội dung như sau:
Xét trường Majorana có dạng:
(1.28) χL = ΨL + ΨC L ,
L ≡ (ΨR)C, χL cần thỏa mãn điều kiện χC
L = χL. Số hạng
trong đó ΨC
khối lượng Lorentn bất biến trái - trái có dạng:
L + ¯ΨC
L ΨL),
(1.29) a ¯χLχL = a( ¯ΨLΨC
L ≡ (ΨR)C, ¯Ψ = Ψ+γ0 là các kí hiệu liên hợp Dirac của Ψ. Tưng tự, số hạng khối lượng Lerentz bất biến phái - phái cũng có
các kí hiệu ¯ΨC
dạng:
R + ¯ΨC
RΨR),
R = χR. Các phương trình (1.29), (1.30) được gọi
(1.30) b ¯χRχR = b( ¯ΨRΨC
và χR = ΨR + ΨC R, χC là số hạng MaJorana và có dạng như sau:
M ajorana = a ¯χLχL + b ¯χRχR.
13
(1.31) LKL
Mặt khác, số hạng khối lượng Dirac của χ:
D = MD( ¯χRχL + ¯χLχR).
LKL (1.32)
Từ các biểu thức (1.31) và (1.32) ta được biểu thức Lagrange khối
lượng neutrino là:
ν = LKL
M ajorana + LKL D
LKL
(1.33) = a ¯χLχL + b ¯χRχR + MD( ¯χRχL + ¯χLχR).
Dạng ma trận của biểu thức Lagrange khối lượng neutrino:
(cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33)
ν = ( ¯χL ¯χR)
LKL . (1.34) a MD b MD χL χR
Nếu a ≃ 0 và b = MR ≫ MD, thì khi phương trình (1.33) trở thành:
ν = MD( ¯χRχL + ¯χLχR) + MR ¯χRχR.
LKL (1.35)
Từ (1.34) ta có biểu thức ma trận khối lượng neutrino:
(cid:32) (cid:33)
. (1.36) Mν = a MD b MD
Chéo hóa ma trận (1.36) chúng ta thu được các khối lượng:
(cid:18) (cid:19) (cid:113) a + b − , (1.37) M1 = (a − b)2 + 4M 2 D
(cid:18) (cid:19) (cid:113) a + b + . (1.38) M2 = (a − b)2 + 4M 2 D 1 2 1 2
D ≈ b
(cid:19) (cid:18) , thì biểu thức (1.37), (1.38) trở thành: Nếu a ≈ 0 và MD ≪ b kết hợp với việc sử dụng biểu thức gần đúng (cid:112)b2 + 4M 2 1 + 2M 2 D b2
R MD,
(1.39) M1 = − = −MDM −1 M 2 D b
14
(1.40) M2 ≈ b = MR.
Khối lượng:
R MD khi MD ≪ MR,
(1.41) M1 = −MDM −1
ứng với nghiệm riêng:
(1.42) χ1 ≈ χL − χR, MD MR
và chủ yếu là χL. Khối lượng M2 ≈ MR ứng với nghiệm riêng:
(1.43) χ2 ≈ χR + χR, MD MR
chủ yếu χR. Do vậy, biểu thức (1.35) có hai số hạng Lagrange khối lượng:
(1.44) Lν mass = M1 ¯χ1χ1 + M2 ¯χ2χ2.
Nếu MR ≃ MGU T ≃ 1015 GeV , thì ta có hai trường hợp cho khối lượng Majorana. Trường hợp một là khối lượng Majorana trái là rất nhỏ
và trường hợp hai là khối lượng Majorana phải là rất lớn, có thể coi
cà hai trường hợp độc lập với nhau. Trong trường hợp tổng quát thì
MD, ML, MR có thể là các ma trận. Như vậy, cơ chế seesaw đã có thể giải thích được sự nhỏ bé của khối lượng neutrino qua biểu thức (1.39).
Các quá trình dao động của neutrino được mô tả bằng các hiệu ứng cơ
học lượng tử. Trong quá trình dao động của neutrino, có ba trạng thái vi
và ba trạng thái riêng khối lượng tương ứng, sự pha trộn neutrino được
mô ta bởi một ma trận U. Ma trận U là một ma trận unitary 3 x 3 thỏa
mãn điều kiện:
15
, (1.45) = ν1 ν2 ν3 νe νµ ντ Ue1 Ue2 Ue3 Uµ1 Uµ2 Uµ3 Uτ 1 Uτ 2 Uτ 3
và đều là ma trận unita của U tức là U †U = 1, để đảm bảo cho sự chuẩn
hóa tổng thể tổng thể của hàm sóng được bảo toàn, các số hạng phức
của ma trận U (Uαi trong đó: i = 1, 2, 3 và α = e, µ, τ ), được mô tả bởi các phép quay liên tiếp từ hệ của các hàm riêng trực chuẩn của trạng
thái riêng khối lượng ⟨νi|νj⟩ = δij vào các hàm riêng trực chuẩn của trạng thái riêng vị ⟨να|νβ⟩ = δαβ thông qua ba góc Euler θ12, θ13 và θ13 nhưu hình (1.1), và một số hạng phức δCP trong tham số hóa tiêu chuẩn có dạng sau:
(1.46) U = U23.U13.U12,
trong đó:
1 0 0
, 0 U12 = , U23 = s12 0 c12 −s12 c12 0 1 0 0 c23 s23 0 −s23 c23
Hình 1.1: Sự chồng chất của các trạng thái riêng vị neutrino (các đường nét đứt) từ các trạng thái riêng khối lượng neutrino (các đường nét liền) có thể được mô tả bằng ba góc trộn θ12, θ13 và θ13.
16
, (1.47) 0 U13 = 0 e−iδs13 c13 1 0 −e−iδCP s13 0 c13
mặt khác:
c12 ≡ cosθ12, s12 ≡ sinθ12, c13 ≡ cosθ13,
(1.48) s13 ≡ sinθ13, c23 ≡ cosθ23, s23 ≡ sinθ23.
Kết hợp biểu thức (1.46) và (1.47) ta thu được ma trận U:
s13e−iδCP
s23c13
c23c12
s12c13 c12c13 c12c23 − s12s23eiδ13 −s12c23 − c12s23s12eiδ13 s12s23 − c12c23s13eiδ13 −c12s23 − s12c23eiδ13
. (1.49) U =
Các trạng thái riêng hương vị neutrino được hình thành bởi sự chồng
chất bởi các trạng thái riêng khối lượng. Các neutrino khác nhau sẽ có
khối lượng khác nhau do đó trạng thái riêng khối lượng này đều biến
đổi với vận tốc pha khác nhau để cho các trạng thái riêng neutrino khối
lượng thu được khác với trạng thái riêng neutrino hương vị (ma trận
trộn neutrino U khác với ma trận đơn vị). Điều này dẫn đến hiện tượng
dao động neutrino.
1.4.1 Hệ số Clebsch - Gordan của nhóm D4
Nhóm đối xứng D4 là một nhóm thuộc họ nhóm nhị diện DN trong đó N = 4. Nhóm đối xứng D4 đẳng cấu với nhóm ZN ⋊ Z2 ≡ ∆(2N ), gồm các phép quay xung quanh trục đi qua tâm của đa giác và vuông
góc với đa giác, và các phép phản xạ. Nhóm DN được sinh ra bởi hai vi tử a và b, tác động lên N cạnh xi (i = 1, · · · , N ) của đa giác như sau :
(1.50) a : (x1, x2 · · · , xN ) → (xN , x1 · · · , xN −1),
17
(1.51) b : (x1, x2 · · · , xN ) → (x1, xN · · · , x2).
Các vi tử a và b cần thỏa mãn các biểu thức sau:
aN = e, b2 = e, bab = a−1, (1.52)
trong đó, biểu thức bab = a−1 trong (1.52) tương đương với biểu thức
aba = b.
Nhóm DN có bậc bằng 2N , do đó tất cả 2N yếu tố của nhóm DN có
thể được biểu diễn dưới dạng ambk và m = 0, · · · , N − 1, k = 0, 1.
Biếu thức bab = a−1 trong (1.52) cho biết rằng nhóm con ZN gồm các yếu tố am là một nhóm con chuẩn của DN . Do đó, nhóm DN tương ứng với nhóm tích nửa trực tiếp giữa ZN với các yếu tố am và Z2 với các yếu tố bk, nghĩa là, ZN ⋊ Z2.
Từ đó ta có được biểu diễn hai chiều của DN là:
N − sin 2π N cos 2π N
(cid:33) (cid:32) (cid:33) (cid:32) 1 0 , b = . (1.53) a = 0 −1 cos 2π sin 2π N
Trong đề án này, chúng tôi chỉ trình bày nhóm D4 làm cơ sở để xây
dựng mô hình vật lý trong chương 3.
Nhóm D4 là nhóm đối xứng của hình vuông, có 8 yếu tố, được phân chia thành 5 lớp các yếu tố liên hợp, tương ứng có 5 biểu diễn tối giãn,
trong đó có 4 biểu diễn tối giãn một chiều được ký hiệu là 1++, 1+−, 1−+, 1−− và một biểu diễn tối giãn hai chiều ký hiệu là 2.
- Tích tenser giữa các biểu diễn một chiều của nhóm D4 có dạng:
1++(x) × 1++(y) = 1+−(x) × 1+−(y)
1−+(x) × 1−+(y) = 1−−(x) × 1−−(y) = 1++(xy);
1++(x) × 1+−(y) = 1+−(xy), 1++(x) × 1−+(y) = 1−+(xy);
1++(x) × 1−−(y) = 1−−(xy); 1+−(x) × 1−+(y) = 1−−(xy);
18
(1.54) 1+−(x) × 1−−(y) = 1−+(xy); 1−+(x) × 1−−(y) = 1+−(xy),
- Tích tenser giữa các biểu diễn hai chiều của nhóm D4:
(cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33)
2 × 2 = 1++(x1y2 + x2y1) + 1+−(x1y2 + x2y2) x1 x2 y1 y2
(1.55) +1−+(x1y2 + x2y2) + 1−−(x1y2 + x2y1),
- Quy tắc lấy liên hợp phức đối với các biểu diễn cho bới:
+−(x∗) = 1+−(x∗), ++(x∗) = 1++(x∗), 1∗ 1∗ −+(x∗) = 1−+(x∗), 1∗ −−(x∗) = 1−−(x∗), 1∗ (cid:33) (cid:32)
(1.56)
(cid:33) (cid:32)
1.4.2 Cơ sở để kết hợp nhóm D4 vào mô hình B - L
2∗ = 2 . (1.57) x∗ 1 x∗ 2 x∗ 1 x∗ 2
MHC và mô hình B − L có 3 thế hệ fermion do đó, ta cần các nhóm
gián đoạn có các biểu diễn tối giản thỏa mãn một trong các điều kiện:
(1) Có ít nhất 3 biểu diễn tối giản 1 chiều.
(2) Có ít nhất 1 biểu diễn tối giản 1 chiều và 1 biểu diễn tối giản 2
chiều.
(3) Có ít nhất 1 biểu diễn tối giản 3 chiều.
(4) Có tất cả các biểu diễn tối giản trong (1), (2) và (3).
Nhóm D4 có 5 biểu diễn tối giản, trong đó có 4 biểu diễn một chiều là 1++, 1+−, 1−+, 1−− và một biểu diễn hai chiều là 2, nên thỏa mãn đủ điều kiện (1) và (2) ở trên.
Để đưa nhóm đối xứng gián đoạn D4 vào mô hình B - L, chúng ta cần
thực hiện các bước sau:
- Bước 1. Đưa thêm nhóm đối xứng phụ U (1)B−L vào MHC SU (3)C × SU (2)L×U (1)Y thành mô hình mới SU (3)C ×SU (2)L×U (1)Y ×U (1)B−L là nhóm ứng với phép biến đổi liên tục.
19
- Bước 2. Đưa nhóm gián đoạn D4 vào mô hình SU (3)C × SU (2)L × U (1)Y ×U (1)B−L thành mô hình SU (3)C×SU (2)L×U (1)Y ×U (1)B−L×D4
theo nguyên tắc:
+ Thứ nhất: Số hạng Lagragian phải bất biến đối với tất cả các nhóm,
nghĩa là, các số hạng Lagragian tương tác phải có dạng (1, 1, 0, 0, 1++, 1, +). + Thứ hai: Sự bất biến của các nhóm con phải tuân theo quy tác nhân
nhóm con của chúng, chẳng hạn như với nhóm SU (2)L ta có 2⊗2 = 1⊕3, và với nhóm D4 ta có: (cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33)
2 × 2 = 1++(x1y2 + x2y1) + 1+−(x1y2 + x2y2) x1 x2 y1 y2
+1−+(x1y2 + x2y2) + 1−−(x1y2 + x2y1).
Trong đề án này, nhóm gián đoạn D4 được đưa vào mô hình B - L để thiết lập hàm Lagragian sinh khối lượng và pha trộn cho lepton mang
20
điện và neutrino phù hợp với thực nghiệm gần đây nhất.
Đối tượng nghiên cứu của đề án là:
- Mô hình chuẩn, mô hình B - L và tồn tại của chúng mà đề tài tập
trung giải quyết đó là khối lượng và trộn lepton.
- Khối lượng và trộn lepton trong mô hình B - L hai lưỡng tuyến với
nhóm D4 × Z4 × Z2.
Có nhiều phiên bản của mô hình B - L khác nhau và có nhiều nhóm
gián đoạn khác nhau nhưng đề tài chỉ giới hạn xây dựng mô hình B - L
đề xuất bởi S. Khalil và cộng sự [3,4] nhằm giải thích khối lượng và trộn
lepton trong mô hình B-L hai lưỡng tuyến với nhóm D4 × Z4 × Z2.
Xây dựng mô hình lý thuyết dựa trên nhóm gián đoạn D4 × Z4 × Z2 mở rộng mô hình B - L hai lưỡng tuyến để giải thích kết quả thực nghiệm
về khối lượng và pha trộn lepton.
Phương pháp nghiên cứu được sử dụng là phương pháp nghiên cứu
lý thuyết. Chúng tôi trình bày tóm tắt nội dung cơ bản của MHC và
mô hình B - L bao gồm sự sắp xếp hạt trong mô hình, khối lượng và
trộn lepton, những thành công và hạn chế của mô hình, và trình bày
các đặc trưng cơ bản của nhóm D4. Từ đó, kết hợp nhóm gián đoạn D4 và mô hình B - L để xây dựng biểu thức giải tích về khối lượng và trộn
lepton. Đồng thời, so sánh kết quả thu được từ mô hình với kết quả thực
21
nghiệm.
D4 × Z4 × Z2
MHC vẫn còn bộc lộ một số hạn chế khi không giải thích được các kết
quả thực nghiệm quan sát, sự phân bậc khối lượng lepton, khối lượng
và trộn neutrino, pha vi phạm CP... Do đó, cần mở rộng MHC, các mô
hình mở rộng MHC được đưa ra thường có một số các đặc điểm như
sau:
(1) Thêm các nhóm đối xứng vào MHC.
(2) Thêm các hạt hoăc các trường vô hướng vào MHC.
(3) Thêm đồng thời các nhóm đối xứng và các trường vô hướng vào
MHC.
Trong đề án này, chúng tôi đồng thời thêm vào MHC các nhóm đối
xứng và các trường vô hướng. Về nhóm đối xứng, ngoài nhóm D4 thì còn có nhóm Z4 và nhóm Z2 được thêm vào. Như vậy, nhóm đối xứng của mô hình được nghiên cứu trong đề này là SU (3)C × SU (2)L × U (1)Y × U (1)B−L × D4 × Z4 × Z2 về cơ bản khác biệt với những các tài liệu tham khảo [44, 42]. Về các hạt của mô hình, có 3 vô hướng H ′, χ và ϕ được
thêm vào để sinh khối lượng và trộn lepton.
Trong đề án này, các trường của các lepton sẽ thực hiện các biểu diễn
tối giãn của nhóm D4 như sau:
- Thế hệ thứ nhất của lepton phân cực trái, lepton phân cực phải và
neutrino phân cực phải thực hiện biểu diên tối giản 1−+.
- Các thế hệ thứ 2 và thứ 3 của lepton phân cực trái, lepton phân cực
phải và neutrino phân cực phải đều thực hiện biểu diễn tối giản 2.
22
Để giải thích sự phân bậc khối lượng lepton, chúng tôi giới thiệu thêm một lưỡng tuyến SU (2)L ký hiệu là H ′ với tích B − L = 0 thực hiện biểu diễn 1−+ của nhóm đối xứng D4 cùng với ba đơn tuyến của nhóm SU (2) là ρ, φ và ϕ với B − L = 0 lần lượt thực hiện biểu diễn 2 và
Bảng 3.1: Nội dung hạt và các vô hướng của mô hình
H 1 2 1 0
φ 1 1 0 0
H ′ 1 2 1 0
χ 1 1 0 2
Các trường ψ1L ψαL 1 2 −1 −1 2 i +
1 2 −1 −1 1−+ 1 +
ν1R lαR l1R 1 1 1 1 1 1 −2 −2 0 −1 −1 −1 1−+ 2 1−+ i −i −1 − + +
ναR 1 1 0 −1 2 i −
ρ 1 1 0 0 2 −1 −i −1 − − +
ϕ 1 1 0 0 1−− 1+− 1+− −1 1 + +
1+− 1−+ −1 +
SU(3)C SU(2)L U(1)Y U(1)B−L D4 Z4 Z2
1−+ của nhóm đối xứng D4, lúc này mô hình được xây dựng chứa hai cặp SU (2)L. Nội dung hạt và các vô hướng của mô hình được thể hiện ở bảng (3.1) như sau:
Từ nội dung bảng (3.1) ta lần lượt tiến hành xây dựng các số hạng
Lagrange bất biến của mô hình như sau:
* Khối lượng Dirac
- Kết cặp ¯ψ1Ll1R biến đổi dưới dạng (1, 2, −1, 0, 1++, −1, +) khi đó kết cặp ¯ψ1Ll1R sẽ cần số hạng Hϕ có dạng (1, 2, 1, 0, 1++, −1, +) để tạo bất biến.
- Kết cặp ¯ψ1LlαR biến đổi dạng (1, 2, −1, 0, 2, −i, +), kết cặp ¯ψαLl1R biến đổi dưới dạng (1, 2, −1, 0, 2, −i, +) sẽ lần lượt kết hợp với các số
hạng (1, 2, 1, 0, 2, i, +), để tạo bất biến. Số hạng được thêm vào này
không thuộc bảng (3.1).
- Kết cặp ¯ψαLlαR biến đổi dưới dạng (1, 2, −1, 0, X, 1, +), trong đó X có thể là 1++; 1+−; 1−+; và 1−− nếu: X = 1++ thì ¯ψαLlαR sẽ kết hợp với số hạng Hϕ , X = 1+− thì ¯ψαLlαR sẽ kết hợp với số hạng H, X = 1−+ thì ¯ψαLlαR sẽ kết hợp với số hạng H ′, X = 1−− thì ¯ψαLlαR sẽ kết hợp với số hạng H ′ϕ để tạo bất biến.
Như vậy số hạng ¯ψ1Ll1R sẽ kết hợp với Hϕ, số hạng ¯ψαLlαR sẽ kết hợp với Hϕ, H, H ′ và Hϕ để sinh khối lượng cho các lepton mang điện có
23
dạng:
−Lelep = h1 Λ
(3.1) ( ¯ψαLlαR)1++(Hϕ)1++ + h3( ¯ψαLlαR)1−+H ′ + ( ¯ψ1Ll1R)1++(Hϕ)1++ + h2( ¯ψαLlαR)1+−H h4 Λ
+ ( ¯ψαLlαR)1−−(H ′ϕ)1−− + Hc. h5 Λ
* Khối lượng Dirac
- Kết cặp ¯ψ1Lν1R, ¯ψαLν1R biến đổi dưới dạng (1, 2, 1, 0, 1++, i, −) và (1, 2, 1, 0, 2, −1, −)sẽ lần lượt cần các số hạng (1, 2, −1, 0, 1++, −i, −), (1, 2, −1, 0, 2, −1, −) để tạo bất biến và các số hạng được thêm
vào để tạo bất biến không thuộc bảng (3.1).
- Kết cặp ¯ψ1LναR, biến đổi dưới dạng (1, 2, 1, 0, 2, i, −)sẽ cần số hạng (cid:101)Hρ∗, (cid:102)H ′ρ∗ cùng biến đổi dạng (1, 2, −1, 0, 2, −i, −) để tạo bất biến. - Kết cặp ¯ψαLναR, biến đổi dưới dạng (1, 2, 1, 0, X, −1, −), với Y
lần lượt là các biểu diễn 1++; 1+−; 1−+; và 1−− nếu:
+ Y = 1++ hoặc X = 1−− thì ¯ψαLναR sẽ kết hợp với lần lượt các số hạng (1, 2, −1, 0, 1++, 1, −) và (1, 2, −1, 0, 1−−, 1, −) để tạo bất biến hai số hạng này không tồn tại trong bảng (3.1).
+ Y = 1+− thì ¯ψαLναR sẽ kết hợp với số hạng (cid:102)H ′φ có biến đổi dưới dạng (1, 2, −1, 0, 1+−, 1, −), Y = 1−+ thì ¯ψαLναR sẽ kết hợp với số hạng (cid:101)Hφ có biến đổi dươi dạng (1, 2, −1, 0, 1+−, 1, −) để tạo bất biến. Các số hạng ¯ψ1LναR sẽ lần lượt kết hợp với (cid:101)Hρ∗ và (cid:102)H ′ρ∗, số hạng ¯ψαLναR sẽ kết hợp với H ′φ và Hφ để sinh khối lượng Dirac cho mô hình có dạng:
−LD = ( ¯ψ1LναR)2((cid:102)H ′ρ∗)2
+ (3.2)
24
+ x2 ( ¯ψ1LναR)2( (cid:101)Hρ∗)2 + Λ ( ¯ψαLναR)1−+( (cid:101)Hρ∗)1−+ ( ¯ψαLναR)1+−((cid:102)H ′ρ∗)1+− + Hc. x1 Λ x3 Λ x4 Λ
* Khối lượng Majorana
1Rν1R có dạng (1, 1, 1, −2, 1++, −1, +) sẽ kết hợp với số
- Kết cặp ¯νc
hạng ϕχ có dạng (1, 1, 0, 2, 1++, −1, +) để tạo bất biến.
1RναR và ¯νc
αRν1R có dạng (1, 1, 0, −2, 2, −1, +) sẽ cùng kết hợp với số hạng (1, 1, 0, 2, 2, −1, +) để tạo bất biến và số hạng này
- Kết cặp ¯νc
không tồn tại trong bảng (3.1).
αRναR có dạng (1, 1, 0, −2, Z, −1, +), trong đó Z lần lượt
- Kết cặp ¯νc
là các biểu diễn 1++, 1+−, 1−+ và 1−− nếu:
αRναR sẽ kết hợp với số hạng ϕχ có dạng (1, 1, αRναR sẽ kết hợp với χ có dạng (1,
+ Z = 1++ kết cặp ¯νc
0, 2, 1++, −1, +), Z = 1+− kết cặp ¯νc 1, 0, 2, 1+−, −1, +) để tạo bất biến.
αRναR sẽ kết hợp với số hạng (1, 1, 0, 2, 1−+, αRναR sẽ kết cặp với (1, 1, 0, 2, 1−−, −1, +) để
+ Z = 1−+ kết cặp ¯νc
−1, +), Z = 1−− thì ¯νc tạo bất biến các số hạng này không tồn tại trong bảng (3.1).
1Rν1R sẽ kết hợp cùng ϕχ, số hạng ¯νc
αRναR kết hơp
Như vậy số hạng ¯νc
vơi ϕχ và χ để sinh khối lượng Majorana có dạng:
−LR =
+ (3.3) ( ¯ψ1Lν1R)1++(ϕχ)1++ + y2( ¯ψαLναR)1+−χ ( ¯ψαLναR)1++(ϕχ)1++ + Hc. y1 2Λ y3 2Λ
Trong đó h1, h2, h3 là các hàng số tương tác Yukawwa của lepton mang điện, x1, x2, x3 và y1, y2, y3 là các hằng số tương tác Yukawwa của neutrino sinh khối lượng Darac, Majorana, Λ là bậc quy mô của mô
hình.
Các nhóm đối xứng D4, Z4, Z2 được thêm vào có vai trò quan trọng trong việc cấm các số hạng tương tác không mong muốn (được liệt kê ở
phục lục A) để thu được ma trận khối lượng lepton.
Từ các biểu thức (3.1),(3.2) và (3.3), chúng ta thu được tương tác
25
Yukava bất biến với nhóm đối xứng của mô hình SU (3)C × SU (2)L ×
U (1)Y × U (1)B−L × D4 × Z4 × Z2 có dạng:
−LY = ( ¯ψ1Ll1R)1++(Hϕ)1++ + h2( ¯ψαLlαR)1+−H + h3( ¯ψαLlαR)1−+H ′
+ ( ¯ψαLlαR)1−−(H ′ϕ)1−−
+ h5 Λ ( ¯ψ1LναR)2((cid:102)H ′ρ∗)2
+ ( ¯ψαLναR)1+−((cid:102)H ′ρ∗)1+− x4 Λ
+
(3.4) + ( ¯ψαLlαR)1++(Hϕ)1++ + x2 ( ¯ψ1LναR)2( (cid:101)Hρ∗)2 + Λ ( ¯ψαLναR)1−+( (cid:101)Hρ∗)1−+ + ( ¯ψ1Lν1R)1++(ϕχ)1++ + y2( ¯ψαLναR)1+−χ ( ¯ψαLναR)1++(ϕχ)1++ + Hc. h1 Λ h4 Λ x1 Λ x3 Λ y1 2Λ y3 2Λ
Lần lượt lấy trung bình chân không của các vô hướng ta được:
⟨H⟩ = (0 v)T , ⟨H ′⟩ = (0 v′)T , ⟨φ⟩ = vφ,
(3.5) ⟨ϕ⟩ = vϕ, ⟨ρ⟩ = (⟨ρ1⟩, ⟨ρ1⟩) ≡ (vρ, vρ, ⟨χ⟩ = vχ).
Trong thực tế, thang phá vỡ đối xứng điện yếu vào khoảng một trăm GeV, với v2+v′2 = (174GeV )2. Hơn nữa, trong 2HDM, giới hạn của tham
được đưa ra [33] có giá trị thuộc [1.0.10.0] hoặc[13] [1.0.3.0]. số tβ = v′ v Nhằm mục đích xác định bậc của các hằng số tương tác Yukawa, trong
đề án này chúng tôi xem xét trường hợp tβ = 1.424, tức là:
(3.6) v = 100GeV, v′ = 142.40GeV, vρ = 5 x 1011GeV, vϕ = 1011GeV, Λ ≃ 1013GeV.
Sử dụng hệ số Clebsch-Gordan và quy tắc lấy liên hợp phức của nhóm
26
đối xứng D4, sau khi các vô hướng nhận trung bình chân không chúng ta tìm ra các ma trận khối lượng của leptons mang điện (Ml) và ma trận
khối lượng Dirac (MD) và Majorana (MR) như sau:
0 0 0
, aR 0 0 Ml = , MR = 0 a1 0 a2 + a3 a4 + a5 0 a4 − a5 a2 − a3 bR cR cR bR
, (3.7) 0 −aD + bD aD + bD 0 0 MD = cD + dD 0 0 −aD + bD
trong đó:
(cid:17) a1 =
(cid:17) (cid:17) (3.8) a4 = v′h5. vh4, a5 =
(cid:17) (cid:17) (cid:17) aD = x1v, bD = x2v′, cD = x3v, (cid:16)vφ Λ (cid:17) (3.9) x4v′, aR = vχvϕ, bR = y2χ, cR = vχvϕ. dD = (cid:16)vϕ Λ (cid:16)vϕ Λ (cid:16)vρ Λ (cid:16)vφ Λ vh1, a2 = h2v, a3 = h3v′, (cid:16)vϕ Λ (cid:16)vρ Λ y1 Λ y3 Λ
l ) có dạng m2
l = MlM +
- Về phần lepton mang điện: Để đơn giản, chúng ta xét các trường
hợp agr h3 = agr (h2 + π) và agr h5 = agr h4 lúc này a3=agr (a2 + π) và agr a5 = agr a4. Các hằng số tương tác Yukawa hi(i = 1, ...5) thông thường sẽ là các số phức, do đó ma trận lepton mang điện (Ml) là ma trận phức và các trị riêng của nó cũng là các số phức. Trước tiên chúng ta đưa ra một ma trận Hermitian (m2 l được xác
định có dạng như sau:
0
l = MlM + l
27
m2 , (3.10) B0 A0 0 0 D0.e−iθ 0 D0.e−iθ C0
trong đó:
A0 = |a1|2, B0 = (|a2| − |a3|)2 + (|a4| + |a5|)2,
0 + G2 0,
(cid:113) D2 C0 = (|a2| + |a3|)2 + (|a4| − |a5|)2, D0 =
(3.11) G0 = −2(|a3||a4| + |a2||a5|)sα, D0 = 2(|a2||a4| + |a3||a5|)cα.
(cid:19) θ = arccos (3.12) , α = arga2 − arga4. (cid:18)D0 D0
l trong phương trình (3.10) chúng ta đưa µ, m2 τ )
e, m2
l VlR = diag(m2
lLm2
Để chéo hóa được ma trận m2
thêm hai ma trận trộn VlLR thỏa mãn V + trong đó:
e = A0, m2
0 ),
µτ =
(cid:113) (3.13) m2 (B0 + C0)2 + 4H 2 (B0 + C0 ∓ 1 2 1 0
, (3.14) VlL = VlR = 0 cψ −sψ.e−iθ 0 0 sψ.eiθ cψ
và
0
1 . (3.15) sψ = √ (cid:115) 2 1 − B0 − C0 B0 − C0 + (cid:112)(B0 − C0)2 + 4H 2
Các biểu thức (3.11),(3.13) và (3.15) có mối liên hệ như sau:
, |a1| = me, |a2| = |a4|D0sα + |a5|cαG0 (|a4|2 − |a5|2)s2α
28
. (3.16) , |a4| = |a3| = , |a5| = a + b 2 a − b 2 |a4|cαG0 + |a5| + D0sα (|a4|2 − |a5|2)s2α
Trong đó:
a = ,
. b = (3.17) (cid:115)(cid:112)(B0C0 − x0 + y0)2 − 4B0C0y − 0 + B0C0 − x0 + y0 2C0 (cid:115)(cid:112)(B0C0 − x0 + y0)2 − 4B0C0y − 0 + B0C0 + x0 − y0 2B0
ψ + m2
ψ + m2 µ,
. (3.18) x0 = , y0 =
µ − m2 µ − m2
τ )2s2 τ )2sθsψcψ.
(3.19) B0 = (m2 D0 = (m2 (cαG0 + D0sα)2 s2 2α µ − m2 µ − m2 (cαG0 − D0sα)2 den τ , C0 = (m2 τ )2s2 τ )2cθsψcψ, G0 = (m2
Các biểu thức (3.8),(3.16) và (3.19) cho ta thấy rắng h1 phụ thuộc vào me, Λ, vϕ và v; h2 phụ thuộc vào v, mµ, mτ , ψ, θ và α; h3 phụ thuộc vào v′, mµ, mτ , ψ, θ và α; h4 và h5 lần lượt phụ thuộc vào v, Λ, vϕ, mµ, mτ , ψ, θ và α. Với các lepton mang điện quan sát được me, mµ, mτ [31] và các giá trị của các trường trong phương trình (3.6) thì tồn tại các khoảng giá trị
thỏa mãn của các tham số trong mô hình sao cho các hằng số Yukawa
trong vùng giá trị của lepton mang điện hi(i = 1, ...5), khác biệt khoảng hai bậc độ lớn, tức là thứ bậc khối lượng lepton mang điện được thỏa
mãn.
- Về phần neutrino: Ma trận khối lượng neutrino hiệu dụng sinh ra từ R M T D được lấy từ phương trình (3.7)
cơ chế seesaw loại I, Mν = −MDM −1 như sau:
29
, (3.20) Mν = A −B1 −B2 C3 C2 −B1 C1 −B2 C3
trong đó:
, A = + , B1 = 2a2 D bR − cR
, B2 = , C1 = (cD + dD)[aD(bR + cR) − bD(bR − cR)] R − c2 b2 R bR(cD + dD)2 R − c2 b2 R
. (3.21) C2 = , C3 = 2b2 D bR + cR (cD − dD)[aD(bR + cR) + bD(bR − cR)] R − c2 b2 R D − d2 bR(c2 D) R − c2 b2 R bR(cD − dD)2 R − c2 b2 R
Ma trận khối lượng neutrino trong phương trình (3.20) có ba giá trị
riêng là λ1, λ2, λ3 và một ma trận trộn (R) tương ứng như sau:
2 + 1
, λ1 = 0, λ2 =
2 + 1
. (3.22) λ3 = C2 − 2B2n1 + An2 1 + n2(2C3 − 2B1n1 + C1n2) 1 + n2 n2 C2 − 2B2t1 + At2 1 + t2(2C3 − 2B1t1 + C1t2) 1 + t2 t2
2 + 1
2 + 1
(cid:112)n2 (cid:112)t2
2 + 1
2 + 1
R = . (3.23) (cid:112)n2 (cid:112)t2
2 + 1
2 + 1
(cid:112)n2 (cid:112)t2 k1 (cid:112)1 + k2 1(1 + k2 2) k1k2 (cid:112)1 + k2 1(1 + k2 2) 1 (cid:112)1 + k2 1(1 + k2 2) n1 1 + n2 n2 1 + n2 1 1 + n2 t1 1 + t2 t2 1 + t2 1 1 + t2
Các hằng số k1, k2, n1, n2, t1, t2 có các biểu thức rõ ràng trong và được
thể hiện trong phụ lục B, có mối liên hệ với nhau như sau:
k1(n1 + k2n2) + 1 = 0, k1(t1 + k2t2) + 1 = 0,
(3.24) n1t1 + n2t2 + 1 = 0,
C2 − B2(k1 + n1) + C3(k1k2 + n2)
(3.25) + k1[An1 + C1k2n2 − B1(k2n1 + n2)] = 0,
C2 − B2(k1 + t1) + C3(k1k2 + t2)
(3.26) + k1[At1 + C1k2t2 − B1(k2t1 + t2)] = 0,
C2 + C3n2 + An1t1 − B1n2t1
30
(3.27) − B2(n1 + t1) + (C3 − B1n1 + C1n2)t2 = 0,
2)].
(3.28) C2 + k1[2C3k2 − 2B2 + k1(A − 2B2k2 + C1k2
31, mà phổ khối lượng neutrino có thể theo phân bậc chuẩn hoặc phân bậc nghịch đảo. Trong mô hình đề án này
Tùy thuộc vào dấu của △m2
chúng tôi xét trường hợp 0 = m1 ≡ λ1 < m2 ≡ λ2 < m3 ≡ λ3 cho phân bậc chuẩn (NH) và 0 = m3 ≡ λ1 < m1 ≡ λ2 < m3 ≡ λ3 cho phân bậc nghịch đảo (IH). Vì khối lượng neutrino nhỏ nhất là bằng không, các
khối lượng neutrino còn lại và tổng của chúng được xác định qua biểu
21, m3 = (cid:112)△m2
31 cho NH,
thức: (cid:40)
21 − △m2
31, m3 = 0 cho IH.
(3.29)
31, m2 = (cid:112)△m2 21 + (cid:112)△m2 21 − △m2
31 cho NH, 31 + (cid:112)− △ m2
31 cho NH.
(cid:88) (3.30) mν = m1 = 0, m2 = (cid:112)△m2 m1 = (cid:112)− △ m2 (cid:40) (cid:112)△m2 (cid:112)△m2
Ma trận khối lượng neutrino Mν trong biểu thức (3.20) được chéo hóa
như sau:
- Phân bậc chuẩn (NH):
0 0 0
ν MνUν =
2 + 1
2 + 1
, U T 0 0 m3 (3.31) (cid:112)n2 (cid:112)t2
2 + 1
2 + 1
. Uν = (cid:112)n2 (cid:112)t2
2 + 1
2 + 1
31
(cid:112)n2 (cid:112)t2 0 m2 0 k1 (cid:112)1 + k2 1(1 + k2 2) k1k2 (cid:112)1 + k2 1(1 + k2 2) 1 (cid:112)1 + k2 1(1 + k2 2) n1 1 + n2 n2 1 + n2 1 1 + n2 t1 1 + t2 t2 1 + t2 1 1 + t2
- Phân bậc nghịch đảo:
0 0
ν MνUν =
U T ,
2 + 1
2 + 1
(3.32) (cid:112)n2 (cid:112)t2
2 + 1
2 + 1
. Uν = (cid:112)n2 (cid:112)t2
2 + 1
2 + 1
(cid:112)n2 (cid:112)t2 m1 0 m2 0 0 0 0 n1 1 + n2 n2 1 + n2 1 1 + n2 t1 1 + t2 t2 1 + t2 1 1 + t2 k1 (cid:112)1 + k2 1(1 + k2 2) k1k2 (cid:112)1 + k2 1(1 + k2 2) 1 (cid:112)1 + k2 1(1 + k2 2)
Trong đó λ2, λ3, k1,2, n1,2, t1,2 đã được tính toán và có biểu thức tường minh ở phụ lục B. Kết hợp các biểu thức (3.22),(3.24) và (3.28) ta được:
2 + 1 1 + n2 2)
cho NH. (3.33) k1 = , k2 = , t2 = −n1t1 + 1 n2
, n2 = , t1 = n2(t1n1) n1t1n2 2 + 1 k1(n1k1k2 2) − 1 k1[k1(1 + k2 2)n1 − 1]
(3.34) cho IH. t2 = n1t1 + n2 t1(n2 1 − k1n1 k1k2 k2(k1 + n1) −1 + k1(1 + k2
A = −
2)n1 C2 − B2(k1 + n1) + C1k1k2n2 k1n1 C3(k1k2 + n2) − B1k1(k2n1 + n2) k1n1
+ IH và NH, (3.35)
B1 = C3 + C1k1k2 k1
+ IH và NH, (3.36) (C2 − B2k1 + C3k1k2)(n1 − t1) (n1t2 − n2t1)k1
(3.37) B2 = + C3k2 IH và NH,
C1 =
32
C2 k1 C3(k1 − n1) k1(k2n1 − n2) (C2−B2n1+C3n2)(k1−t1) t2−k2t1 + (C2−B2k1+c3k1k2)(n1−t1)n1 n2t1−n1t2 + IH và NH, (3.38) k1(k2n1 − n2)
√
√
△m2
cho NH,
√
(cid:19)
31)
+
cho IH,
(1+k2 2) 1+k2
△m2 + 21 1+n2 1+n2 √ 2 (cid:18) k2 −△m2 2( 31− 1+2k1n1+k2
31n2 2 2(1+t2 (1+n1t1)2+n2 1) √ 21−△m2 △m2 2(1+n2 1+k2 1)]
1[n2
21−△m2 △m2 31 1(1+k2 2)
k2 1 √
√
△m2
−
(3.39) C2 =
1+n2
√
(cid:19)
△m2
21n2 1+n2 √ 2 (cid:18) (
+
cho IH.
k1k2
△m2 1+k2
△m2 31(1+n1t1) 2(1+t2 (1+n1t1)2+n2 √ 21−△m2 31− 1+2k1n1+k2
−△m2 1+k2
1[n2
1) cho NH, 31)(k1n1+1) 1)]
2(1+n2
21−△m2 31 1(1+k2 2)
(3.40) C3 =
Va ma trận trộn lepton tương ứng với từng phân bậc là:
- Phân bậc chuẩn
k1√ (k2
2+1
2+1
√ √ . (3.41) U = U †Uν =
(k2
2+1)k2 1+1 cψk1k2+e−iθsψ √ (k2+1)k2 1+1 cψ−e−iθk1k2sψ √ 2+1)k2 1+1
n1√ 1+n2 n2 e−iθ(cψeiθn2+sψ) 1+n2 n2 2+1 cψ−eiθn2sψ √ 1+n2 n2 2+1
t1√ 1+t2 t2 e−iθ(sψ−eiθcψt2) 1+t2 t2 2+1 cψ−eiθsψt2 √ 1+t2 t2 2+1
- Phân bậc nghịch đảo:
k1√ (k2
2+1
2+1
√ √ . (3.42) U = U †Uν =
(k2
n1√ 1+n2 n2 e−iθ(cψeiθn2+sψ) 1+n2 n2 2+1 cψ−eiθn2sψ √ 1+n2 n2 2+1
t1√ 1+t2 t2 e−iθ(sψ−eiθcψt2) 1+t2 t2 2+1 cψ−eiθsψt2 √ 1+t2 t2 2+1
2+1)k2 1+1 cψk1k2+e−iθsψ √ (k2+1)k2 1+1 cψ−e−iθk1k2sψ √ 2+1)k2 1+1
Ma trận trộn lepton UP M N S có dạng tham số pha sau khi chuẩn hóa
là:
0
, (3.43) 0 1 0 eiη1 UM P N S = P 0 0 0 eiη2
dạng tường minh của ma trận P là:
, (3.44) P = s12s13 c13c12 −c23s12 − eiδc12s13s23 c12c23 − eiδs12s13s23 s12s23 − eiδc12c23s13 −c12s23 − eiδc23s12s13 s13e−iδ c12s23 c13c23
33
trong đó sij = sinθij và cij = cosθij và θ1, θ2 và θ3 lần lượt là các góc
pha trộn phản ứng, δCP là pha vi phạm CP Dirac và η1, η2 là hai pha vi phạm CP Majorana. So sánh các phần tử "12" và "13" của hai ma trận
pha trộn trong biểu thức (3.41),(3.42) và (3.43) ta được:
(3.45) η1 = 0, η2 = δ (cho hai phân bậc NH và IH).
Từ các phương trình (3.41)-(3.42) và (3.43), chúng ta có được các góc
pha trộn lepton lần lượt là:
cho NH,
13 = |Ue3|2 s2
(3.46)
2 + 1)
cho IH,
1 + n2 1(1 + k2 2)(1 + t2
2 + 1) 2)]t2 1 1 + t2 2)
cho NH, (t2 = (3.47) s2 12 = |Ue2|2 1 − |U 2 e3| cho IH, t2 1 1 + t2 t2 2 + 1 k2 1 1(1 + k2 2) 1 + t2 1(t2 n2 2 + 1)(n2 [1 + k2 1k2
(1 + k2 ψt2 c2 cho NH,
1k2
2 + s2ψcθt2 + s2 ψ t2 2 + 1 2 + s2
ψ + k1k2s2ψcθ
ψk2 c2
1k2 2
= (3.48) s2 23 = |Uµ3|2 1 − |U 2 e3| cho IH. 1 + k2 1 + k2
Từ phương trình (3.41),(3.42), (3.43) ta xác định được biến số Jarlskog
có dạng [31, 9]:
1 + t2 2)
13c23s12s13s23sδ chúng ta có được:
(NH và IH). (3.49) J (l) CP = (n2 n1t1(t2 − n2)sψcψsθ 2 + 1)(1 + t2 1 + n2
So sánh phương trình (3.49) với phương trình tham số hóa chuẩn J (l) CP = c12c2
2)c12c2
2 + 1)(1 + t2
1 + n2
13c23s12s13s23sδ
(NH và IH). (3.50) sδ = (n2 n1t1(t2 − n2)sψcψsθ 1 + t2
34
Các khối lượng neutrino hiệu dụng [25], được xác định từ các đẳng thức
△m2
△m2
(3.29), (3.31)-(3.32) và (3.41)-(3.42), có các dạng như sau: √ √
1+n2
1+t2
21n2 1 1+n2 2
31t2 1 1+t2 2
3 (cid:88)
+ cho NH,
eimi
i=1
△m2
31n2 1
31t2 1
−△m2 1+n2
1+t2
1+n2 2
21−△m2 1+t2 2
= U 2 (3.51) ⟨mee⟩ = √ √ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) + cho IH,
21n2 1 1+n2 2
31t2 1 1+t2 2
3 (cid:88)
, cho NH, (cid:113) △m2 1+n2 + △m2 1+t2
ei|mi =
i=1
(3.52) |U 2 (cid:118) (cid:117) (cid:117) (cid:116) mβ =
31)t2 21−△m2 1 1+t2 1+t2 2
31n2 1 1+n2 2
(cid:113) (△m2 , cho IH. − △m2 1+n2
Từ các phương trình (3.46) và (3.48), chúng ta có thể biểu diễn các
13 như sau:
21, △m2
12, s2
23, s2
31, s2 - Đối với phân bậc chuẩn (NH):
đại lượng n1, n2, t1 và sδ theo hai tham số ràng buộc cθ, sψ và năm tham 12, s2 số quan sát được △m2
13t2
1 − s2
12c4 s2 13)s2 12c2
13t2 1 12c4 13t2
1 − s2
12s2
13c2
13t1
, (3.53) n1 = , n2 = (cid:112)(c2 (1 + n1t1)s13 (cid:112)c2 13t2 1 − s2 13
23 − c2
23c2
23 − s2
ψ(s2 s2
ψ) + c2
ψ(c2
θc2 c2
ψs2
ψ(s2
ψc2
ψs2 θ)
(cid:113)
23 + c2θs2 (c2
ψ) + 2 ψ − s2 23)2
(cid:118) (cid:117) (cid:117) (cid:116) , t1 = t13
(3.54)
- Đối với phân bậc nghịch đảo (IH):
23 − c2
23c2
23 − s2
ψ(s2 s2
ψ) + c2
ψ(c2
θc2 c2
ψs2
ψ(s2
ψc2
ψs2 θ)
(cid:113)
23 + c2θs2 (c2
ψ) + 2 ψ − s2 23)2
(cid:118) (cid:117) (cid:117) (cid:116) , t1 = −t13
(3.55)
1c2 13 − s2 13 k1s13 s12c12c2 13
12s2
13c2 13
(cid:112)k2 k2 =
13) − k1c2 13 − k2 1)
35
. (3.56) n1 = , (cid:112)k1(k2 13 − s2 1c2 13(s2 12c2 13 + s2 s4
23, s2
12, s2
Các biểu thức (3.33)-(3.34), (3.40) và (3.50)-(3.56) cho thấy rằng các
21, △m2
23, s2
31, s2
12, s2
13.
tham số sδ, k1,2, n1,2, t1,2 của mô hình phụ thuộc vào hai tham số cθ, sψ và ba tham số s2 13. Trong khi đó,A, B1,2, C1,2,3, ⟨mee⟩ và mβ phụ thuộc vào hai tham số cθ, sψ và bốn tham số △m2
* Đối với miền lepton mang điện, sử dụng các giá trị của Λ, cùng với
các kết quả khối lượng lepton mang điện đã thu được bằng thực nghiệm
[31], me = 0.51099M eV, mµ = 105.65837M eV, mτ = 1776.86M eV và các giá trị trung bình chân không của các trường vô hướng theo biểu
Hình 3.1: 103|h2| (hình bên trái) và 103|h3| (hình bên phải) phụ thuộc vào cθ và sψ với cθ ∈ (0.29, 0.31) và sψ ∈ (0.25, 0.65).
36
thức (3.6) kết hợp với các biểu thức (3.8) và (3.16), (3.19) chúng ta có thể suy ra |h1| ≃ 10−2 và các hằng số h2, h3, h4, h5 vẫn phụ thuộc vào ba tham số α, θ, và ψ. Trong trường hợp sα = −0.95(α = 288.20),các hằng số Yukawa tương tự như h2, h3, h4, h5 chỉ phụ thuộc vào hai tham số θ, và ψ và được minh họa trong hình 3.1 và 3.2.
Hình 3.2: |h4| (hình bên trái) và |h5| (hình bên phải) phụ thuộc vào cθ và sψ với cθ ∈ (0.29, 0.31) và sψ ∈ (0.25, 0.65).
Hình 3.1 và 3.2 ta thấy:
(3.57) |h2| ≃ |h3| ∼ 10−2, |h4| ≃ |h5| ∼ 10−1.
Các hằng số tương tác Yukawa trong miền lepton mang điện khác
nhau một bậc về độ lớn, điều này giải thích một cách tự nhiên cho bậc
khối lượng của lepton mang điện.
31 và △m2
21. Trong trường △m2 21 ∈ (69.40; 81.40)meV 2 và △m2
* Về phần neutrino: Phương trình (3.29) cho thấy rằng khối lượng neu-
trino (m2,3 cho phân bậc NH và m1,2 cho phân bậc IH)phụ thuộc vào hai 31 và △m2 tham số thực nghiệm △m2 21 hợp nằm trong khoảng 3σ[29], tức là △m2 31 ∈ (2.47; 3.63)103meV 2, chúng ta thu được các vùng giá trị cho phép của
m1,2,3, m1 = 0, m2 ∈ (8.33; 9.02)meV, m3 = (49.70; 51.30)meV cho phân bậc NH, và m1 ∈ (48.70; 50.30)meV, m2 = (49.70; 51.30)meV, m3 = 0 cho phân bậc IH. Tổng khối lượng neutrino được dự đoán là:
(cid:40) (58.25, 60.25) cho NH, (cid:88) (3.58) mν (meV) ∈ (98.50, 101.0) cho IH.
37
Các kết quả này thống nhất với các giới hạn [35](cid:80) mν < 0.15 eV (NH) và (cid:80) mν < 0.17 eV (IH), (cid:80) mν < 0.14 eV [19], (cid:80) mν < 0.152 eV [36](mô
31, △m2
hình ΛCDM + (cid:80) mν), (cid:80) mν < 0.118 eV (high-l polarization), (cid:80) mν < 0.101 eV (mô hình NPDDE), (cid:80) mν < 0.093 eV (mô hình NPDDE+r) và giới hạn nghiêm ngặt nhất là (cid:80) mν < 0.078eV (NPDDE+r với R16 ) [36, 37], (cid:80) mν < 0.183 eV cho phân bậc IH [15], (cid:80) mν < 0.13 eV (các dữ liệu cơ sở)và (cid:80) mν < 0.11 eV (pol dataset) [38], (cid:80) mν < 0.19 eV [14].
Để xác định các khoảng giá trị khả thi của các tham số k1,2, n1,2, t1,2và đưa ra các giá trị dự đoán cho pha vi phạm CP Dirac δ, chúng tôi sử 21, sin2θ12, sin2θ23 và sin2θ13 với các giá dụng các đại lượng △m2 trị thực nghiệm được cung cấp trong Bảng 3.2, như là các tham số đầu
Bảng 3.2: Khối lượng và góc trộn neutrino [29]
Điểm phù hợp (3σ, NH) Điểm phù hợp (3σ, IH)
75.0 (69.4 → 81.4)
75.0 (69.4 → 81.4)
2.55 (2.47 → 2.63) 0.318 (0.271 → 0.369) 0.574 (0.434 → 0.610) 2.200 (2.00 → 2.405) 1.08 (0.71 → 1.99)
2.45 (2.37 → 2.53) 0.318 (0.271 → 0.369) 0.578 (0.433 → 0.608) 2.225 (2.018 → 2.424) 1.58 (1.11 → 1.96)
(cid:2)meV2(cid:3) ∆m2 21 31| [meV2] |∆m2 103 sin2 θ12 sin2 θ23 sin2 θ13 10−2 δCP /π
vào.
Tại các giá trị nhỏ nhất của các góc trộn lepton [29], sin2 θ12 = 0.318 và sin2 θ13 = 2.200 × 10−2 cho phân bậc NH trong khi sin2 θ12 = 0.318 và sin2 θ13 = 2.225 × 10−2 phân bậc IH, sδ, k1,2, n1,2 và t1,2 phụ thuộc vào hai tham số cθ, sψ. Pha vi phạm CP Dirac δ (đúng hơn là sδ) như một hàm của hai tham số cθ và sψ, với cθ ∈ (0.29, 0.31) và sψ ∈ (0.25, 0.65) cho cả hai phân bậc IH và NH, được thể hiện trong hình. 3.3,điều này
có nghĩa là:
38
(3.59) sδ ∈ (−0.95, −0.50), i.e., δ◦ ∈ (288.20, 330.00) (NH và IH).
Hình 3.3: sδ phụ thuộc cθ và sψ với cθ ∈ (0.29, 0.31) và sψ ∈ (0.25, 0.65) cho phân bậc NH và IH.
Hình 3.4: k1 phụ thuộc cθ và sψ với cθ ∈ (0.29, 0.31) and sψ ∈ (0.25, 0.65) cho phân bậc NH (hình bên trái) và IH (hình bên phải).
39
Sự phụ thuộc của k1,2, n1,2 và t1,2 vào hai tham số cθ and sψ, với cθ ∈ (0.29, 0.31) và sψ ∈ (0.25, 0.65) cho hai phân bậc IH và NH, được trình bày lần lượt trong hình. 3.4,3.5, 3.3,3.7, 3.8 và 3.9.
Hình 3.5: k2 phụ thuộc cθ và sψ với cθ ∈ (0.29, 0.31) và sψ ∈ (0.25, 0.65) cho phân bậc NH (hình bên trái) và IH (hình bên phải).
Hình 3.6: n1 phụ thuộc cθ và sψ với cθ ∈ (0.29, 0.31) và sψ ∈ (0.25, 0.65) cho phân bậc NH (hình bên trái) và IH (hình bên phải).
40
Hình 3.7: n2 phụ thuộc cθ và sψ với cθ ∈ (0.29, 0.31) và sψ ∈ (0.25, 0.65) cho phân bậc NH (hình bên trái) và IH (hình bên phải).
Các số liệu trên cho ta thấy:
(−1.54, −1.42)
(−0.25, 0.10)
(−0.215, −0.170) cho IH,
(−4.60, −3.20) cho IH,
(cid:40) (cid:40) cho NH, cho NH, (3.60) k1 ∈ k2 ∈
(0.70, 0.875)
(0.20, 0.80)
(−4.50, −2.75) cho IH,
(−3.00, −1.60) cho IH,
(cid:40) (cid:40) cho NH, cho NH, (3.61) n1 ∈ n2 ∈
(0.30, 1.00) cho NH,
(−5.00, −1.50) cho NH,
(cid:40) (cid:40)
(0.90, 1.20) cho IH,
(−1.50, −0.90) cho IH.
41
(3.62) t1 ∈ t2 ∈
Hình 3.8: t1 phụ thuộc cθ và sψ với cθ ∈ (0.29, 0.31) và sψ ∈ (0.25, 0.65) cho phân bậc NH (hình bên trái) và IH (hình bên phải).
Hình 3.9: t2 phụ thuộc cθ và sψ với cθ ∈ (0.29, 0.31) và sψ ∈ (0.25, 0.65) cho phân bậc NH (hình bên trái) và IH (hình bên phải).
21 và ∆m2
31 có các giá trị khoảng 3 σ trong [29], ∆m2 31 ∈ (2.47, 2.63)103 meV2 (NH) trong khi ∆m2
21 và ∆m2
Tương tự, để xác định các khoảng có thể có của các tham số A, B1,2, C1,2,3,
42
⟨mee⟩ và mβ chúng tôi đã xét sin2 θ12, sin2 θ23 và sin2 θ13 tại các giá trị [29] và cθ = 0.30 (θ = 72.54◦), sψ = 0.40 (ψ = 23.58◦) cho hai phân bậc IH và NH, ∆m2 21 ∈ (69.4, 81.4) meV2, ∆m2 31 ∈ (−2.53, −2.37)103 meV2 (IH). Sự phụ thuộc của A, B1,2, C1,2,3, ⟨mee⟩ và mβ vào hai tham số ∆m2 31 đã được trình bày trong các hình 3.10, 3.11,3.12, 3.13,3.14, 3.15, 3.16 và 3.17, như sau.
31 với ∆m2
21 và ∆m2
21 ∈ (69.4, 81.4) meV2 31 ∈ (2.47, 2.63)103 meV2 cho phân bậc NH (hình bên trái) và
Hình 3.10: A (meV) phụ thuộc ∆m2 và ∆m2 ∆m2
31 ∈ (−2.53, −2.37)103 meV2 cho phân bậc IH (hình bên phải).
31 với ∆m2
21 và ∆m2
21 ∈ (69.4, 81.4) meV2 31 ∈ (2.47, 2.63)103 meV2 cho phân bậc NH (hình bên trái) và
Hình 3.11: B1 (meV) phụ thuộc ∆m2 và ∆m2 ∆m2
31 ∈ (−2.53, −2.37)103 meV2 cho phân bậc IH (hình bên phải).
43
31 với ∆m2
21 và ∆m2
21 ∈ (69.4, 81.4) meV2 31 ∈ (2.47, 2.63)103 meV2 cho phân bậc NH (hình bên trái) và
Hình 3.12: B2 (meV) phụ thuộc ∆m2 và ∆m2 ∆m2
31 ∈ (−2.53, −2.37)103 meV2 cho phân bậc IH (hình bên phải).
31 với ∆m2
21 và ∆m2
21 ∈ (69.4, 81.4) meV2 31 ∈ (2.47, 2.63)103 meV2 cho phân bậc NH (hình bên trái) và
Hình 3.13: C1 (meV) phụ thuộc ∆m2 và ∆m2 ∆m2
31 ∈ (−2.53, −2.37)103 meV2 cho phân bậc IH (hình bên phải).
Hình 3.10 và 3.15 cho thấy:
(cid:40) (3.700, 3.925) meV cho NH, A ∈ (48.00, 49.40) meV cho IH,
44
(cid:40) (3.90, 4.25) meV cho NH, (3.63) B1 ∈ (−4.775, −4.60) meV cho IH.
(cid:40) (−7.15, −6.80) meV cho NH, B2 ∈ (−5.75, −5.575) meV cho IH,
(cid:40) (38.40, 39.60) meV cho NH, (3.64) C1 ∈ (27.40, 28.20) meV cho IH.
(cid:40) (16.00, 16.60) meV cho NH, C2 ∈ (23.00, 23.70) meV cho IH,
31 với ∆m2
21 và ∆m2
21 ∈ (69.4, 81.4) meV2 31 ∈ (2.47, 2.63)103 meV2 cho phân bậc NH (hình bên trái) và
Hình 3.14: C2 (meV) phụ thuộc ∆m2 và ∆m2 ∆m2
31 ∈ (−2.53, −2.37)103 meV2 cho phân bậc IH (hình bên phải).
45
(cid:40) (−19.00, −18.20) meV cho NH, (3.65) C3 ∈ (−24.70, −24.00) meV cho IH.
31 với ∆m2
21 và ∆m2
21 ∈ (69.4, 81.4) meV2 31 ∈ (2.47, 2.63)103 meV2 cho phân bậc NH (hình bên trái) và
Hình 3.15: C3 (meV) phụ thuộc ∆m2 và ∆m2 ∆m2
31 ∈ (−2.53, −2.37)103 meV2 cho phân bậc IH (hình bên phải).
Hình 3.16 và 3.17 trình bày các vùng dự đoán của khối lượng neutrino
hiệu dụng:
(3.700, 3.925) meV(NH),
(8.75, 9.10) meV(NH),
(cid:40) (cid:40)
(48.00, 49.40) meV(IH),
(48.40, 49.80) meV(IH),
(3.66) ⟨mee⟩ ∈ mβ ∈
46
các giá trị này nằm dưới giới hạn trên cho ⟨mee⟩ từ KamLAND-Zen [7] ⟨mee⟩ < 61 ÷ 165 meV, GERDA [26] ⟨mee⟩ < 104 ÷ 228 meV và CUORE [10] ⟨mee⟩ < 75 ÷ 350 meV, cũng như các ràng buộc cho mβ với 8.5 meV < mβ < 1.1 eV cho phân bậc NH và 48 meV < mβ < 1.1 eV cho phân bậc IH [31], mβ ∈ (8.90 ÷ 12.60) eV [21], và mβ < 0.8 eV [27].
31 với ∆m2
21 và ∆m2
21 ∈ (69.4, 81.4) meV2 31 ∈ (2.47, 2.63)103 meV2 cho phân bậc NH (hình bên trái) và
Hình 3.16: ⟨mee⟩ (meV) phụ thộc ∆m2 và ∆m2 ∆m2
31 ∈ (−2.53, −2.37)103 meV2 cho phân bậc IH (hình bên phải).
21 và ∆m2
31 với ∆m2
21 ∈ (69.4, 81.4) meV2 31 ∈ (2.47, 2.63)103 meV2 cho phân bậc NH (hình bên trái) và
Hình 3.17: mβ (meV) phụ thuộc ∆m2 và ∆m2 ∆m2
31 ∈ (−2.53, −2.37)103 meV2 cho phân bậc IH (hình bên phải).
47
Đề tài "Mô hình B - L hai lưỡng tuyến với nhóm D4 × Z4 × Z2 sinh
khối lượng và trộn lepton" thu được những kết quả như sau:
- Xây dựng một MHC mở rộng mô hình B - L với nhóm đối xứng
D4 × Z4 × Z2, có thể giải thích sự phân bậc khối lượng lepton cũng như các mô hình pha trộn của chúng với các pha CP thực tế thông qua cơ
chế seesaw loại I.
- Khối lượng neutrino phân bậc chuẩn và phân bậc nghịch đảo đều
phù hợp với dữ liệu thực nghiệm. Dự đoán tổng khối lượng neutrino là
48
58, 25meV ≤ Σmν ≤ 60, 25meV đối với phân bậc chuẩn và 98, 50meV ≤ Σmν ≤ 101, 00meV đối với phân bậc nghịch đảo, các khối lượng neu- trino hiệu dụng được dự đoán là 3, 700meV ≤ ⟨mee⟩ ≤ 3, 925meV , 8, 75meV ≤ ⟨mβ⟩ ≤ 9, 10meV cho phân bậc chuẩn và 48, 00meV ≤ ⟨mee⟩ ≤ 49, 40meV và 48, 40meV ≤ ⟨mβ⟩ ≤ 49, 80meV cho phân bậc nghịch đảo, tất cả hoàn toàn tương thích với các giới hạn gần đây.
[1] A. Davidson, B − L as the fourth color within an
SU (2)L × U (1)R × U (1) model, Phys. Rev. D 20, 776 (1979). https://doi.org/10.1103/PhysRevD.20.776.
[2] A. E. Cárcamo Hernández et. al., Fermion masses and mixings and
g −2 muon anomaly in a 3-3-1 model with D4 family symmetry, Eur. Phys. J. C 82, 769 (2022). https://doi.org/10.1140/epjc/s10052-022-
10639-9.
[3] A. Adulpravitchai, A. Blum, C. Hagedorn, A Supersymmet-
for mu-tau Symmetry, JHEP 03 (2009) 046.
ric D4 Model https://doi.org/10.1088/1126-6708/2009/03/046.
[4] A. E. Cárcamo Hernández, C. O. Dib, U. J. Salda˜na-Salazar, When
tan β meets all the mixing angles, Phys. Lett. B 809 (2020) 135750.
https://doi.org/10.1016/j.physletb.2020.135750.
[5] A. Srivastava, M. Levy, and D. Das, Diluting quark flavor hier-
archies using dihedral symmetry, Eur. Phys. J. C 82, 205 (2022).
https://doi.org/10.1140/epjc/s10052-022-10125-2.
[6] A. Mondrag´on, M. Mondrag´on, and E. Peinado, Lepton
masses, mixings and FCNC in a minimal S3-invariant exten- the Standard Model, Phys.Rev.D 76 (2007) 076003. sion of
https://doi.org/10.1103/PhysRevD.76.076003.
[7] A. Gando et al. (KamLAND-Zen Collaboration), Search for
Majorana Neutrinos Near the Inverted Mass Hierarchy Re-
gion with KamLAND-Zen, Phys.Rev.Lett. 117 (2016) 082503.
49
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.117.082503.
[8] C. Hagedorn and R. Ziegler, µ − τ Symmetry and Charged Lepton
Mass Hierarchy in a Supersymmetric D4 Model, Phys. Rev. D 82 (2010) 053011. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.82.053011.
[9] C. Jarlskog, Commutator of the Quark Mass Matrices in
the Standard Electroweak Model and a Measure of Maxi-
mal CP Nonconservation, Phys. Rev. Lett. 55 1039 (1985).
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.55.1039.
[10] D. Adams et al. (CUORE collaboration),
Limit on Neutrinoless Double-Beta Decay Improved 130T e in
with CUORE, Phys.Rev.Lett. 124 (2020) 122501.
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.124.122501.
[11] D. Meloni, S. Morisi, and E. Peinado, Stability of dark matter
from the D4 × Z2 flavor group, Phys. Lett. B 703 (2011) 281. https://doi.org/10.1016/j.physletb.2011.07.084.
[12] D. Das, Relating the Cabibbo angle to tan β in a two
Higgs-doublet model, Phys. Rev. D 100 (2019) 075004.
https://doi.org/10.1103/PhysRevD.100.075004.
[13] Duarte Azevedo, Thomas Biek¨otter, P.M. Ferreira, 2HDM interpre-
tations of the CMS diphoton excess at 95 GeV, arXiv:2305.19716
[hep-ph].
[14] Elena Giusarma et al., Scale-dependent galaxy bias, CMB lensing-
galaxy cross-correlation, and neutrino masses, Phys. Rev. D 98
(2018) 123526. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.98.123526.
[15] Elena Giusarma et al., On the improvement of cosmologi-
cal neutrino mass bounds, Phys. Rev. D 94 (2016) 083522.
50
https://doi.org/10.1103/PhysRevD.94.083522.
[16] F. F. Deppisch, W. Liu and M. Mitra, Long-lived heavy neutri-
nos from Higgs decays, J. High Energ. Phys. 2018, 181 (2018).
https://doi.org/10.1007/JHEP08(2018)181.
[17] G. C. Branco et al., Theory and phenomenology of
two-Higgs-doublet models, Phys. Rep. 516 (2012) 1–102.
https://doi.org/10.1016/j.physrep.2012.02.002.
[18] H. Ishimori et. al., Non-Abelian Discrete Symmetries in
Particle Physics, Prog. Theor. Phys. Suppl. 183 (2010) 1.
https://doi.org/10.1143/PTPS.183.1.
[19] I. Tanseri et al., Updated neutrino mass constraints from galaxy
clustering and CMB lensing-galaxy cross-correlation measurements,
JHEAp 36 (2022) 1. https://doi.org/10.1016/j.jheap.2022.07.002.
[20] I. Dorsner et al. New physics models facing lepton flavor violating
Higgs decays at the percent level. J. High Energ. Phys. 2015 (2015)
108. https://doi.org/10.1007/JHEP06(2015)108.
[21] Jun Cao et al, Towards the meV limit of the effective neutrino
mass in neutrinoless double-beta decays, Chinese Phys. C 44 (2020)
031001. https://doi.org/10.1088/1674-1137/44/3/031001.
[22] Jin-Lei Yang, Tai-Fu Feng, Hai-Bin Zhang, Electron and muon (g −
2) in the B −LSSM, J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 47 (2020) 055004.
https://doi.org/10.1088/1361-6471/ab7986.
[23] J. Kubo, Super Flavorsymmetry with Multi-
ple Higgs Doublets, Fortsch.Phys. 61 (2013) 597.
https://doi.org/10.1002/prop.201200119.
[24] Lei Wang, Jin Min Yang, and Yang Zhang, Two-Higgs-doublet mod-
els in light of current experiments: a brief review, Commun. Theor.
51
Phys. 74 (2022), 097202. https://doi.org/10.1088/1572-9494/ac7fe9.
[25] M. Mitra, G. Senjanovic and F. Vissani, Neutrinoless double beta
decay and heavy sterile neutrinos, Nucl. Phys. B 856 (2012) 26.
https://doi.org/10.1016/j.nuclphysb.2011.10.035.
[26] M. Agostini et al. (GERDA Collaboration), Probing Majorana
neutrinos with double-β decay, Science 365 (2019) 1445. DOI:
10.1126/science.aav8613.
[27] M. Aker et al. (The KATRIN Collaboration), Direct neutrino-mass
measurement with sub-electronvolt sensitivity, Nat. Phys. 18 (2022)
160. https://doi.org/10.1038/s41567-021-01463-1.
[28] N. Sahu and U. A. Yajnik, Dark matter and leptogenesis in gauged
B − L symmetric models embedding νMSM, Phys. Lett. B 635, 11
(2006). https://doi.org/10.1016/j.physletb.2006.02.040.
[29] P. F. de Salas et al., 2020 Global reassessment of the neu-
trino oscillation picture, J. High Energ. Phys. 2021, 71 (2021).
https://doi.org/10.1007/JHEP02(2021)071.
[30] P. S. B. Dev, R. N. Mohapatra, Y. Zhang, Leptogene-
sis constraints on B-L breaking Higgs boson in TeV scale
seesaw models, J. High Energ. Phys. 2018, 122 (2018).
https://doi.org/10.1007/JHEP03(2018)122.
[31] R.L. Workman et al. (Particle Data Group), The Review
of Particle Physics, Prog.Theor.Exp.Phys.2022, 083C01 (2022).
https://doi.org/10.1093/ptep/ptac097.
[32] S. Davidson and G. Grenier, Lepton flavor violating Higgs
bosons and τ → µγ, Phys. Rev. D 81 (2010) 095016.
https://doi.org/10.1103/PhysRevD.81.095016.
[33] S. Heinemeyer, C. Li, F. Lika, G. Moortgat-Pick, and S.
52
Paasch, Phenomenology of a 96 GeV Higgs boson in the 2HDM
with an additional singlet, Phys. Rev. D 106 (2022) 075003.
https://doi.org/10.1103/PhysRevD.106.075003.
[34] S. Davidson, µ → eγ in the 2HDM: an exercise in EFT, Eur. Phys.
J. C 76 (2016) 258. https://doi.org/10.1140/epjc/s10052-016-4076-
y.
[35] S. R. Choudhury, Shouvik and Hannestad, Steen, Updated results on
neutrino mass and mass hierarchy from cosmology with Planck 2018
likelihoods, JCAP 2007 (2020) 037. https://doi.org/10.1088/1475-
7516/2020/07/037.
[36] S. R. Choudhury and S. Choubey, JCAP 1809 (2018) no.09, 017,
arXiv: 1806.10832 [astro-ph.CO].
[37] S. Vagnozzi et al., Unveiling ν secrets with cosmological data: neu-
trino masses and mass hierarchy, Phys. Rev. D 96 (2017) 123503.
https://doi.org/10.1103/PhysRevD.96.123503.
[38] S. Vagnozzi et al., Constraints on the sum of the neutrino masses
in dynamical dark energy models with w(z) ≥ −1 are tighter
than those obtained in ΛCDM, Phys. Rev. D 98 (2018) 083501.
https://doi.org/10.1103/PhysRevD.98.083501.
[39] S. Khalil, Low scale B-L extension of the Standard Model at the
LHC, J.Phys.G 35 (2008) 055001. https://doi.org/10.1088/0954-
3899/35/5/055001.
[40] T. Hasegawa, N. Okada and O. Seto, Gravitational waves from the
minimal gauged U (1)B−L model, Phys. Rev. D 99 (2019) 095039. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.99.095039.
[41] V. V. Vien, B − L extension of the standard model
symmetry, Nucl. Phys. B 956 (2020) 115015.
53
with Q6 https://doi.org/10.1016/j.nuclphysb.2020.115015.
[42] V. V. Vien, H. N. Long, D. P. Khoi, Type-I seesaw mecha-
nism for neutrino mass and mixing in gauged B-L model with
D4 × Z4 flavor symmetry, Mod. Phys. Lett. A 36 (2021) 2150184. https://doi.org/10.1142/S0217732321501844.
[43] V. V. Vien, Neutrino mass and mixing in the 3-3-1 model with neu-
tral leptons based on D4 flavor symmetry, Mod. Phys. Lett. A 29 (2014) 1450122. https://doi.org/10.1142/S0217732314501223.
[44] V. V. Vien, Fermion mass and mixing in the U (1)B−L extension of the standard model with D4 symmetry, J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 47 (2020) 055007. https://doi.org/10.1088/1361-6471/ab7ec0.
[45] V. V. Vien and H. N. Long, The D4 flavor symmery in 3-3-1 model with neutral leptons, Int. J. Mod. Phys. A 28 (2013) 1350159.
https://doi.org/10.1142/S0217751X13501595.
[46] V. V. Vien and H. N. Long, Quark mass and mixing in the 3-3-1
model with neutral leptons based on D4 flavor symmetry, J. Korean Phys. Soc. 66 (2015) 1809. https://doi.org/10.3938/jkps.66.1809.
[47] V. V. Vien and H. N. Long, Multiscalar B-L extension based on S4 flavor symmetry for neutrino mass and mixing, Chinese Phys. C 45
(2021) 043112. https://doi.org/10.1088/1674-1137/abe1c7.
[48] W. Grimus and L. Lavoura, A discrete symmetry group for max-
imal atmospheric neutrino mixing, Phys. Lett. B 572 (2003) 189.
https://doi.org/10.1016/j.physletb.2003.08.032.
[49] W. Grimus, A.S. Joshipura, S. Kaneko, L. Lavoura, M. Tanimoto,
54
Lepton mixing angle θ13 = 0 with a horizontal symmetry D4, JHEP 07 (2004) 078. https://doi.org/10.1088/1126-6708/2004/07/078.
Bị giới hạn bởi
U (1)Y
Tương tác Yukawa (ψαLlαR)1+− (cid:101)H, (ψαLlαR)1−+ (cid:102)H ′; (ψ1LναR)2(Hρ∗)2, (ψ1LναR)2(H ′ρ∗)2; (ψαLναR)1−+( (cid:101)Hφ)1−+ , (ψαLναR)1+− ((cid:102)H ′φ)1+−
U (1)B−L
(νC 1Rν1R)1++ (ϕχ∗)1++ , (νC αRναR)1++(ϕχ∗)1++ , (νC (νC
(νC
αRναR)1+− χ∗; (ψ1LψC
1Rν1R)1++ (ρ2)1++ , (νC αRναR)1++(ρ2)1++, (νC 1L)1++ (cid:102)H 2, (ψ1LψC
1Rν1R)1++(ρ∗2)1++ ; αRναR)1++ (ρ∗2)1++ ; 1L)1++ (cid:103)H ′2.
D4
(νC
1Rν1R)1++χ; (νC
1RναR)2(ϕχ)1++
Z4
Z2
(ψ1Ll1R)1++ H, (ψ1Ll1R)1++H ′, (ψ1Ll1R)1++ (H ′ϕ)1−− ; (ψ1Lν1R)1+−(Hρ∗)2, (ψ1Lν1R)1+−(H ′ρ∗)2; (ψαLν1R)2( (cid:101)Hφ)1−+, (ψαLν1R)2((cid:102)H ′φ)1+− ; 1RναR)2χ, (νC (ψ1LναR)2( (cid:101)Hρ)2, (ψ1LναR)2((cid:102)H ′ρ)2, (ψαLν1R)2( (cid:101)Hρ)2, (ψαLν1R)2( (cid:101)Hρ∗)2, (ψαLν1R)2((cid:102)H ′ρ)2, (ψαLν1R)2((cid:102)H ′ρ∗)2 (ψ1LlαR)2(Hρ)2, (ψ1LlαR)2(H ′ρ)2, (ψαLl1R)2(Hρ∗)2, (ψαLl1R)2(H ′ρ∗)2
55
, k1 = , k2 = aD − bD cD + dD
D + 2cDdD) + (c2
(cid:3) n1 = (cid:2)(cR − bR)(b2
D(bR − cR) + 2cDdD(bR + cR) + (c2
D)cR
D + d2
cD − dD aD + bD (cid:110) a2 D(bD − aD)(bR + cR) − bD (cid:2)b2
/ ∆ (cid:9)(cid:111) , (cid:3)cR
D − b2
D)cRbR
− aD (cid:110) (cD − dD)(cid:8)b2 D(cR − bR) + a2 (cid:110) (cD + dD)(cid:8)(cid:2)(aD + bD)2 + (cD − dD)2(cid:3)c2 n2 =
R − bR
DbR(cR − bR)
D + d2 D)cR √ (cid:111) (cid:3) + (aD − bD) D(bR + cR) + (cid:2)(cD + dD)2 − 2aDbD R + (a2 (cid:110) (cD − dD)(cid:2)b2 √ ∆(cid:3)(cid:111) ,
D + d2
√ ∆(cid:9)(cid:111) / + 2(cDdD − aDbD)b2
D) − cR (cid:2)(b2
D + 2cDdD)(bR − cR) − (c2
+ a2 DbR(bR + cR) + bRcR(c2 (cid:110) (cid:3) t1 =
D + d2 D)cR √ (cid:111) (cid:3) + (bD − aD)
DcR + 2cDdD(bR + cR) + cRd2 D
D(bR − cR) + c2
a2 D(bD − aD)(bR + cR) + bD (cid:2)b2
D(cR − bR) − 2aDbDcR + a2
/
D − b2
D)cRbR
− aD (cid:110) (cD − dD)(cid:2)b2 (cid:110) (cD + dD)(cid:8)(cid:2)(aD + bD)2 + (cD − dD)2(cid:3)c2 t2 =
DbR(cR − bR)
R + bR
√ ∆(cid:3)(cid:9)(cid:111) / + 2(cDdD − aDbD)b2
DbR(bR + cR) + bRcR(c2
D + d2
D) + cR
√ ∆ D(bR + cR) + cR(cD + dD)2(cid:3)(cid:111) , R + (a2 (cid:110) (cD − dD)(cid:2)b2 ∆(cid:3)(cid:111) , + a2
Trong đó:
DbR − (b2
R − b2 R)
∆ = a4
D)cR D − c2
D
D(bR + cR)2 + (cid:2)b2 D + c2 D + 2(cid:2)2b2 D − b2 Rd4 DbRcR + (b2 Rc2 D(bR + cR)(cid:2)b2 D(bR − cR) + cR(c2 + 2a2
+ c2
56
(cid:3)2 + 8aDbDcDdD(c2 (cid:3)d2 D)c2 R D)(cid:3) D + d2
