A. LÍ THUYẾT
I. ĐẠI SỐ
1. Hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥 (𝑎 ≠ 0)
2. Phương trình bậc hai một ẩn
3. Định lí Viète và ứng dụng
4. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
II. HÌNH HỌC
1. Góc nội tiếp
2. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác
3. Tứ giác nội tiếp
4. Đa giác đều
B. BÀI TẬP
Dạng 1. Hàm số và đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥 (𝑎 ≠ 0)
Bài 1. Cho hàm số
2
y ax
có đồ thị hàm số (P).
a) Xác định
a
biết (P) đi qua điểm A(1; -2) b) Vẽ đồ thị (P) với
a
vừa tìm được.
c) Tìm điểm thuộc (P) có hoành độ bằng 2.
Bài 2. Cho hàm số
2
y ax a 0
.
a) Tìm
, biết đồ thị của hàm số đi qua điểm
A 2;8
.
b) Vẽ đồ thị của hàm số với a vừa tìm được.
c) Tìm các điểm thuộc đồ thị trên có tung độ
y 2
.
Bài 3. Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
, điểm
P 4; 4
thuộc đồ thị của hàm số
2
y ax
.
a) Tìm hệ số
a
.
b) Vẽ đồ thị của hàm số với a vừa tìm được.
c) Điểm
E 2; 1 ,F 2;1
có thuộc đồ thị của hàm số hay không?
Bài 4. Một vật rơi tự do từ độ cao
461 m
so với mặt đất. Quãng đường chuyển động
s m
của vật
phụ thuộc vào thời gian
t
(giây) được cho bởi công thức
2
4,9t
s.
a) Sau 5 giây, vật này cách mặt đất bao nhiêu mét? Tương tự, sau 8 giây vật cách mặt đất bao nhiêu
mét?
b) Sau bao lâu thì vật này tiếp đất?
Dạng 2. Giải phương trình bậc hai
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) 2
5 7 0
x x
c) 2
3 7 0
x x
e)
2
1 4
x
g) 2
7 6 0
x x
i) 2
9 12 4 0
x x
l) 2
2 6 3 0
x x
k) 2
6 8 0
x x
b) 2
3 9 0
x
d) 2
3 7
0
5 2
x
f)
2
5 11 0
x
h) 2
3 2 0
x x
m) 2
3 3 0
x x
TRƯỜNG THCS MỸ ĐÌNH 2
NĂM HỌC 2024 – 2025
PHIẾU ÔN TẬP GIỮA HỌC KÌ II
MÔN: TOÁN 9
Bài 6. Giải các phương trình sau
a) 2
8 2
x x
c) 2
2 2 11 7 0
x x
e)
2
3 1 3 1 0
x x
g) 2 2
3 4 2 2
x x x
b) 2
2 2 2 0
x x
d) 2
3 2 3 1 0
x x
f) 2
3 4 6 4 0
x x
h) 2
2 2 2
x x
Dạng 3. Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai
Bài 7. Cho phương trình 2
0
x x m
. Tìm
m
để phương trình:
a) Vô nghiệm; b) Có nghiệm kép; c) Có hai nghiệm phân biệt.
Bài 8. Cho phương trình: với là tham số. Khi nào:
a) Phương trình (1) có nghiệm. b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Bài 9. Cho phương trình
2
2 1 3 0
mx m x
với
m
là tham số. Tìm
m
để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
c) Vô nghiệm d) Có đúng một nghiệm
Bài 10. Cho phương trình
2
2 3 2 2 1 0
m x m x
với
m
là tham số.
a) Giải phương trình với
2
m
b) Chứng minh rằng với mọi
m
, phương trình luôn có nghiệm.
c) Với giá trị nào của
m
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Dạng 4. Định lý Viet và ứng dụng
Bài 11. Cho phương trình 2
3 5 2 0.
x x
Với
1 2
,
x x
là nghiệm của phương trình, không giải
phương trình, hãy tính:
a)
2 2
1 2
;
A x x
b)
3 3
1 2
;
B x x
c)
1 2
1 2
1 1
;
M x x
x x
d)
1 2
1 1
;
3 3
Nx x
e) 1 2
2 2
1 2
3 3
;
x x
Px x
f) 1 2
2 1
.
2 2
x x
Qx x
Bài 12. Cho phương trình 2
3 0
x mx m
với
m
là tham số.
a) Giải phương trình với
2
m
.
b) Tìm
m
để phương trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn: 2 2
1 2
9
x x
.
c) Tìm
m
để phương trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn: 1 2
2 3 5
x x
.
d) Tìm
m
để phương trình có nghiệm 1
3
x
. Tính nghiệm còn lại.
e) Tìm
m
để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
f) Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của
m
.
Bài 13. Cho phương trình:
2
2 1 4 0
x m x m
với
m
là tham số.
a) Xác định
m
để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
b) Xác định
m
để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
c) Với điều kiện nào của
m
thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)
d) Với điều kiện nào của
m
thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm).
e) Định
m
để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
2
2 5 2 0 1
mx m x m m
f) Định
m
để phương trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
thoả mãn 1 2
2 2
x x
.
g) Định
m
để phương trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
sao cho 2 2
1 2 1 2
2 2
A x x x x
nhận giá trị nhỏ nhất.
Dạng 5. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bài 14. Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.
Bài 15. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích
2
720 m
. Nếu tăng chiều dài thêm
10 m
và giảm
chiều rộng
6 m
thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng mảnh vườn.
Bài 16. Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy
định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế
hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản
phẩm?
Bài 17. Một người dự định sản xuất 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do tăng năng suất
4 sản phẩm mỗi giờ, nên đã hoàn thành sớm hơn dự định 1 giờ. Hãy tính năng suất dự kiến của
người đó.
Bài 18. Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày
đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và
chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?
Bài 19. Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong 18 ngày thì xong
công việc. Nếu đội thứ nhất làm 6 ngày, sau đó đội thứ hai làm tiếp 8 ngày thì được
2
5
công việc.
Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì mất bao nhiêu ngày?
Bài 20. Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ
A
để đi đến
B
với vận tốc mỗi xe không đổi
trên toàn bộ quãng đường
AB
dài
120 km
. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là
10 km / h
nên ô tô đến sớm hơn xe máy 36 phút. Tính vận tốc mỗi xe.
Bài 21. Quãng đường từ
A
đến
B
dài
90 km
. Một người đi xe máy từ
A
đến
B
. Khi đến
B
, người
đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về
A
với vận tốc lớn hơn lúc đi là
9 km / h
. Thời gian kể từ lúc bắt đầu
đi từ
A
đến lúc trở về
A
là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ
A
đến
B
.
Bài 22. Một ca nô xuôi từ
A
đến
B
với vận tốc xuôi dòng là
30 km / h
, sau đó lại ngược từ
B
về
A
. Thời gian xuôi ít hơn thời gian ngược là 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến
A
và
B
biết vận tốc dòng nước là
5 km / h
và vận tốc riêng của ca nô khi xuôi và ngược dòng là không đổi.
Bài 23. Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài
120 km
, cả đi và về mất 6 giờ 45 phút. Tính vận tốc
của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Dạng 6. Hình học
Bài 24. Cho đường tròn
O
bán kính
R
và dây cung BC cố định. Một điểm A di động trên cung
lớn BC sao cho tam giác ABC luôn nhọn. Các đường cao AD, BE của tam giác ABC cắt nhau tại H.
BE cắt đường tròn
O
tại F (F khác B).
a) Chứng minh rằng tứ giác DHEC nội tiếp.
b) Kẻ đường kính AM của đường tròn
O
và OI vuông góc với BC tại I. Chứng minh rằng I là
trung điểm của HM và tính AF biết
3
BC R.
c) Khi BC cố định, xác định vị trí của A trên đường tròn
O
để DH.DA lớn nhất.
Bài 25. Cho đường tròn tâm
O
có hai đường kính
AB
và
MN
vuông góc với nhau. Trên tia đối
của tia
MA
lấy điểm
C
khác điểm
M
. Kẻ
MH
vuông góc với
BC
(
H
thuộc
BC
).
a) Chứng minh
BOMH
là tứ giác nội tiếp.
b)
MB
cắt
OH
tại
E
. Chứng minh
. .
ME MH BE HC
c) Gọi giao điểm của đường tròn
( )
O
với đường tròn ngoại tiếp
MHC
là
K
. Chứng minh ba điểm
, ,
C K E
thẳng hàng.
Bài 26. Cho tam giác
ABC
nhọn nội tiếp đường tròn
.
O
Các đường cao
BD
và
CE
cắt nhau tại
.
H
Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của
BC
và
AH
.
a) Chứng minh tứ giác
BCDE
nội tiếp. b) Chứng minh
.
NDM NEM
c) Gọi
,
K L
lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng
OM
và
CE
,
MN
và
BD
. Chứng minh
MLB MKB
Bài 27. Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm 𝑀 trên
cung nhỏ AC (M khác A và C). Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của AB với MC và MD.
a) Chứng minh rằng tứ giác OMPD nội tiếp.
b) Gọi I, J lần lượt là giao điểm của MB với CA và CD. Chứng minh rằng
2
. 2
BJ BM R
c) Biết QI//CO, xác định vị trí điểm M để tam giác MQJ có diện tích lớn nhất.
Bài 28. Cho đường tròn
O
và dây cung
BC
. Điểm
A
di chuyển trên cung lớn
BC
sao cho tam giác
ABC
nhọn. Đường cao
BE
,
CF
của tam giác
ABC
cắt nhau tại
H
và cắt đường tròn
O
theo thứ
tự tại
M
,
N
.
a) Chứng minh tứ giác
BCEF
nội tiếp. b) Chứng minh //
EF MN
và
EF OA
.
c) Giả sử đường tròn
O
và dây
BC
cố định, xác định vị trí điểm
A
trên cung lớn
BC
để diện tích
tam giác
AEH
đạt giá trị lớn nhất.
Dạng 7. Nâng cao
Bài 29. Giải phương trình:
a)
2 3 3 6
x x x
b) 2 2
2 3 3 1
x x x
Bài 30. Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thỏa mãn
2
x y z xyz
, chứng minh rằng:
1 1 1 3
2
4 4 4x y z
Bài 31. Cho các số
, ,
x y z
dương thỏa mãn
1
x y z
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
xy yz zx
P
z xy x yz y zx
Bài 32. Một người nông dân muốn rào một khu đất hình chữ nhật có chu vi là 600 m để xây dựng
một vườn hoa. Với chiều rộng x của khu vườn, tìm x để diện tích vườn hoa xây được là lớn nhất.
Bài 33. Nhân dịp Tết Trung Thu, câu lạc bộ sinh viên muốn kinh doanh đèn ông sao. Chi phí để
hoàn thiện mỗi chiếc đèn ông sao là 7 nghìn đông. Với giá bán 25 nghìn đồng cho mỗi chiếc đèn
ông sao, câu lạc bộ bán được 200 chiếc đèn. Để bán được được nhiều đèn ông sao, câu lạc bộ sinh
viên dự định giảm giá bán và ước tính rằng theo tỉ lệ cứ giảm giá 1 nghìn đồng mỗi chiếc đèn thì số
lượng bán ra tăng thêm 20 chiếc. Vậy câu lạc bộ nên bán mỗi chiếc đèn với giá bao nhiêu để sau khi
giảm giá thu được lợi nhuận cao nhất?