TRƯỜNG THPT HOÀNG VĂN THỤ
TỔ TOÁN
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KỲ II
MÔN TOÁN – KHỐI 12
NĂM HỌC 2024 – 2025
1. MỤC TIÊU
1.1. Kiến thức: Học sinh ôn tập các kiến thức về:
- Nguyên hàm: khái niệm nguyên hàm của một hàm số, một số tính chất của nguyên hàm, nguyên hàm
của một số hàm số thường gặp
- Tích phân: định nghĩa, tính chất của tích phân, tính tích phân trong những trường hợp đơn giản, vận
dụng tích phân giải quyết một số bài toán liên quan đến thực tiễn
- Ứng dụng hình học của tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích của một số vật thể
- Phương trình mặt phẳng: Véc tơ pháp tuyến, cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng, viết phương trình
mặt phẳng, điều kiện hai mặt phẳng vuông góc, hai mặt phẳng song song, tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng, vận dụng giải quyết một số bài toán liên quan đến thực tiễn.
1.2. Kĩ năng: Học sinh rèn được các kĩ năng
- Trình bày bài, kĩ năng tư duy, tính toán và lập luận toán học,
- Năng lực mô hình hoá toán học và năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua một số bài toán liên
quan đến thực tiễn.
2. NỘI DUNG
2.1. MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II
MÔN: TOÁN, LỚP 12 – THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 phút
STT
NỘI DUNG
HÌNH THỨC
TN
4 lựa
chọn
(mức
độ 1,
2)
TN
Đúng –
Sai
(mức độ
1, 2, 3)
TL ngắn
(mức độ
2,3)
Tự luận
(mức độ
2,3)
1
Nguyên hàm
3
1
1
1
2
Tích phân
3
1
2
3
Ứng dụng hình học của tích phân
2
1
1
4
Phương trình mặt phẳng
4
1
1
2
12
2
4
6
3
2
2
3
30
20
20
30
2.2. Câu hỏi và bài tập minh họa
NGUYÊN HÀM
PHẦN I. Trắc nghiệm với nhiều phương án lựa chọn
Câu 1. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A.
( ) ( ) ( ) ( )
d d df x g x x f x x g x x

− = −

. B.
( ) ( ) ( ) ( )
d d df x g x x f x x g x x

+ = +

.
C.
( ) ( )
df x x f x C = +
. D.
( ) ( )
ddkf x x k f x x=

,
k
.
Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
1d lnx x C
x=+
. B.
1
cos 2 d sin 2
2
x x x C=+
.
C.
1
d1
x
xe
e x C
x
+
=+
+
. D.
1
d1
e
ex
x x C
e
+
=+
+
.
Câu 3. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
=+
dsin cos .x x x C
B.
= − +
dcos sin .x x x C
C.
d
2
1cot .
sin x x C
x=+
D.
d
2
1tan .
cos x x C
x=+
Câu 4. Khẳng định nào dưới đây sai?
A.
d
1
, 1.
1
n
nx
x x C n
n
+
= + −
+
B.
=+
d.
xx
e x e C
C.
d
1
7
7.
1
x
xxC
x
+
=+
+
D.
=+
dcos sin .x x x C
Câu 5. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số
( )
2
3?f x x=
A.
3.yx=
B.
31.yx=+
C.
31.yx=−
D.
6.yx=
Câu 6. Hàm số
=sin 2yx
là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
A.
=cos 2 .yx
B.
cos 2 .
2
x
y=−
C.
cos 2 .
2
x
y=
D.
=2 cos 2 .yx
Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
22f x x=+
là
A.
( )
2.F x x=
B.
( )
32.F x x x C= + +
C.
( )
3
2.
3
x
F x x C= + +
D.
( )
3
2.
3
x
F x C= + +
Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2
42f x x x=+
là
A.
( )
23
42.
23
xx
F x x C

= + +


B.
( )
42
2.F x x x C= + +
C.
( )
42
4.F x x x C= + +
D.
( )
42 .F x x x C= + +
Câu 9. Cho hàm số
( )
2sin 3
x
f x e x=+
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( )
21
d cos3
3
x
f x x e x C= − +
. B.
( )
2
d cos3
x
f x x e x C= − +
.
C.
( )
2sin 3
d23
x
ex
f x x C= + +
. D.
( )
2cos3
d23
x
ex
f x x C= − +
.
Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
5x
fx=
là
A.
( )
d
1
5.
1
x
f x x C
x
+
=+
+
B.
( )
=+
d5.
x
f x x C
C.
( )
d5.
ln 5
x
f x x C=+
D.
( )
=+
d5 ln 5 .
x
f x x C
Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2
23
xx
f x e e=−
là
A.
( )
d
3
23.
3
x
x
e
f x x e C= − +
B.
( )
d
3
23.
3
x
x
e
f x x e C= + +
C.
( )
( )
d23.
xx
f x x e e C= − +
D.
( )
d
3
3.
3
x
x
e
f x x e C= + +
Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
4sinf x x=
là
A.
( )
d
3
4sin .
3
x
f x x C=+
B.
( )
d2 sin 2 .f x x x x C= − +
C.
( )
dcos 2 .
2
x
f x x C=+
D.
( )
d2 2sin 2 .f x x x x C= − +
Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
22
cos sinf x x x=−
là
A.
( )
dsin 2 .
2
x
f x x C=+
B.
( )
dsin 2 .
2
x
f x x C= − +
C.
( )
dcos 2 .
2
x
f x x C=+
D.
( )
dcos 2 .
2
x
f x x C= − +
Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
4sin cos3f x x x=
là
A.
( )
dcos 4 cos 2 .
2
x
f x x x C= − + +
B.
( )
dcos 4 cos 2 .
2
x
f x x x C= − − +
C.
( )
dcos 4 cos 2 .
2
x
f x x x C= − +
D.
( )
dcos 4 cos 2 .
2
x
f x x x C= + +
Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
32
3 2 5 ,0
xx
f x x
x
++
=
là
A.
( )
32
2 5ln .F x x x x C= + + +
B.
( )
32
5ln .F x x x x C= + + +
C.
( )
32
5ln .F x x x x C= + + +
D.
32
2 5ln .x x x C+ + +
Câu 16. Họ các nguyên hàm
( )
2
1d
21
x
x−
là
A.
1
42
C
x
−+
−
. B.
1
21
C
x+
−
. C.
1
21
C
x
−+
−
. D.
1
42
C
x+
−
.
Câu 17. Biết
2
1d
32
+
− + −
xx
xx
.ln 1 .ln 2a x b x C= − + − +
. Tính
ab+
.
A.
1ab+=
. B.
5ab+=
. C.
5ab+ = −
. D.
1ab+ = −
.
Câu 18. Biết
( ) ( )
= + +
21, ;F x ax bx a b
là nguyên hàm của hàm số
( )
2 1.f x x=+
Tổng
ab+
bằng
A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
0.
Câu 19. Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2x
f x e=
và
( )
00F=
. Giá trị của
( )
ln 3F
bằng
A.
2.
B.
6
. C.
8
. D.
4
.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai (điền dấu
X vào ô chọn)
Câu 1: Cho là hàm số liên tục trên
Khẳng định
Đúng
Sai
a)
b)
c)
d)
Câu 2: Cho hàm số .
Khẳng định
Đúng
Sai
( )
fx
.
( ) ( )
d'.f x x f x C=+
( ) ( )
d'.f x x f x C=+
( ) ( )
d'.f x x f x=
( ) ( )
d'' ' .f x x f x C=+
( )
43f x x= − +
a)
Nếu là một nguyên hàm của thì .
b)
là một nguyên hàm của .
c)
Nếu là một nguyên hàm của và thì
.
d)
Nếu là một nguyên hàm của thì là một
nguyên hàm của .
Câu 3: Cho hàm số và .
Khẳng định
Đúng
Sai
a)
b)
c)
d)
(biết thoả mãn ).
Câu 4: Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn
bằng hàm số , trong đó t tính bằng giờ ( ) , tính bằng khách/giờ
. Nguồn: R.Larson and B. Eawads, Calculus 10e, Cengage). Sau 2 giờ đã có 500 người có mặt.
Khẳng định
Đúng
Sai
a)
Lượng khách tham quan được biểu diễn bởi hàm số
.
b)
Sau 5 giờ lượng khách tham quan là 1325 người.
c)
Lượng khách tham quan lớn nhất là 1296 người.
d)
Tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất tại thời
điểm .
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 1: Cho với . Tính giá trị
Câu 2: Cho hàm số có . Tính .
Câu 3: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Biết hàm số đồng biến trên
khoảng giá trị nhỏ nhất của bằng bao nhiêu?
Câu 4: Cho hàm số . Giả sử là nguyên hàm của trên thỏa mãn .
Tính giá trị của
PHẦN IV. Tự luận
Câu 1. Tìm họ nguyên hàm của hàm số , biết:
a) b) c)
d)
( )
1 2 1
2 .5
xx
fx −+
=
e)
( )
2
cos
1 sin
x
fx x
=−
g)
( )
2
1 3sin 2
x
fx=+
( )
Fx
( )
fx
( )
' 2 5F=−
( )
2
23F x x x= − +
( )
fx
( )
Gx
( )
fx
( )
12G=
( )
21G=−
( )
Fx
( )
fx
( )
Fx−
( )
fx−
( )
2cosf x x=
( )
2
2sin 2
x
gx=
( )
d2sin .f x x x C=+
( )
dcos .g x x x C= − +
( ) ( )
dsin .f x g x x x x C

+ = + +

( )
( )
d2
1
fx x x C
gx =+
−
x
( )
1gx
( )
32
4 72 288Q t t t t
= − +
0 13t
( )
Qt
( )
4 3 2
24 144Q t t t t= − +
6t=
21
d
2
+
−
xx
x
=
ln 2ax b x C+ − +
,ab
.+ab
( )
y f x=
( )
dsinf x x x x C=+
2
f



( )
Fx
( )
( )
312 4 2
4
−
=−
xx
f x e x x
( )
Fx
( )
;,a+
a
( )
2
2 5 khi 1
3 4 khi 1
+
=+
xx
fx xx
F
f
( )
02F=
( ) ( )
1 2 2 .−+FF
( )
fx
( )
232f x x x
x
= + −
( )
( )
3
2 1 3f x x x=+
( ) ( )
2
32f x x=−
Câu 2. Biết là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn . Tìm .
Câu 3. Biết Tính giá trị
23ab+
.
Câu 4. Một quần thể vi sinh vật có tốc độ tăng số lượng cá thể được ước lượng bởi
( )
' 150P t t=
( cá thể/ngày)
với
0 10t
. Trong đó
( )
Pt
là số lượng cá thể vi sinh vật tại thời điểm
t
ngày kể từ thời điểm ban đầu. Biết
rằng ban đầu quần thể có
1000
cá thể.
a) Xác định hàm số
( )
Pt
.
b) Ước lượng số cá thể của quần thể sau
5
ngày kể từ thời điểm ban đầu (kết quả làm tròn đến hàng
trăm)
TÍCH PHÂN
PHẦN I. Trắc nghiệm với nhiều phương án lựa chọn
Câu 1: Xét là một hàm số tùy ý, là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
A. B.
C. D.
Câu 1: Biết và Khi đó, bằng
A. B. C. D.
Câu 2: Cho hàm số có đạo hàm trên đoạn , và Giá trị bằng
A. B. C. D.
Câu 3: Cho hàm số liên tục trên . Gọi là một nguyên hàm của hàm số trên thỏa mãn
. Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 4: Biết là một nguyên hàm của hàm số trên . Giá trị của bằng
A. 20. B. 22. C. 26. D. 28.
Câu 5: Cho và , khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 6: Cho hàm số liên tục trên . Nếu thì bằng
A. B. 3. C. . D. .
Câu 7: Cho hàm số liên tục trên và có một nguyên hàm là . Biết , giá trị được
tính bằng công thức nào dưới đây?
A. . B. .
( )
Fx
( )
2
12x
fx x
+
=
( )
13F−=
( )
Fx
( )
d3sin 2 2 cos 3 cos 2 sin 3 ; ; ; .x x x a x b x C a b C+ = + +
( )
fx
( )
Fx
( )
fx
;.ab


( ) ( ) ( )
d.
b
a
f x x F b F a=−
( ) ( ) ( )
d.
b
a
f x x F a F b=−
( ) ( ) ( )
d.
b
a
f x x F a F b=+
( ) ( ) ( )
d.
b
a
f x x F a F b= − −
( )
d
2
1
2f x x =
( )
d
2
1
6.g x x =
( ) ( )
d
2
1
f x g x x

−

4.−
8.
4.
8.−
( )
fx
1; 2


( )
11f=
( )
d
2
1
5.f x x
=
( )
2f
6.
4.
3.
7.
( )
fx
( )
Fx
( )
fx
( ) ( )
2 0 10FF−=
( )
2
0
3 df x x
6
9
5
30
3
()F x x=
()fx
3
1
(1 ( ) d)x xf+
2
0
( )d 5f x x =
5
0
( )d 3f x x =−
5
2
( )df x x
8
15
8−
15−
( )
fx
0;3
3
0
( )d 2f x x =
3
0
3 ( ) dx f x x−
3.−
3
2
3
2
−
( )
fx
( )
Fx
( )
18F=
( )
9F
( ) ( )
99Ff
=
( ) ( )
9 8 1Ff
=+