ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HÈ
MÔN TOÁN LỚP 6 LÊN LỚP 7
Tài liệu sưu tầm, ngày 31 tháng 3 năm 2021
1 Website:tailieumontoan.com
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HÈ LỚP 6
ÔN TẬP KIẾN THỨC HỌC KÌ I
A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC : 1) Số học.
a) Toàn bộ chương I.
- Tập hợp: Các bài toán về tập hợp.
- Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lũy thừa trong chương gồm:
+ Bài toán tính (tính hợp lý).
+ Bài toán tìm x.
+ Bài toán cấu tạo số.
+ Bài toán lũy thừa.
+ So sánh hai lũy thừa.
- Tính chất chia hết, dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9.
- Số nguyên tố, hợp số.
- Phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
- Các bài toán về ƯC, ƯCLN và BC, BCNN.
b) Chương II: Số nguyên học hết bài 9: Quy tắc chuyển vế.
- Các phép toán cộng, trừ trong số nguyên.
- Quy tắc chuyển vế.
- Quy tắc dấu ngoặc.
2) Hình học: Điểm, đường thẳng, tia, đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng
A =
B. BÀI TẬP THAM KHẢO:
B
3
x
x
{ } 3; 4;5
{ = ∈ ≤ − < ≤
} 4
Bài 1 Cho tập hợp và .
nó.
1) Hãy viết tập hợp B bằng cách liệt kê các phần tử và tính tổng các phần tử của
hai phần tử của A .
2) Cho biết tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con và viết tất cả các tập hợp con có
3) Tìm A B∩ . M = Cho tập hợp . Bài 2
{ } 1;3;5;7;...;99
của nó.
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
1) Hãy viết tập hợp M bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
2 Website:tailieumontoan.com
2) Tìm số phàn tử của tập hợp M .
−
+
1) 29.73 29.28 29 + + 2)
+
+ −
213
28
28
213
3)
26 .37 12.38.3 18.25.2 ( + − + − −
)
16
−
+ −
−
316
115
29
4)
( − −
)
( − 115 316
)
+ −
+
31
99
5)
( + −
)
11
−
+
−
+
180 :
33
2 4 .5
6)
18 ( 9 14 3 : 3
)
}
−
+
160
2020 1
7)
( − 12 4
)2
− + 31 18 { − 120
2
−
+
−
−
514 4. 40 8. 6 3
12
8)
(
)
{
}
3
−
−
− −
+
4
18.3
: 6
24
324
9)
(
)3
1600 − + −
+ + +
+
10) 1 5 9 13 ... 393 397 − 11) 121.33 65.33 186.67
−
+
+
+ −
126
64
82
126
64
( + −
)
12) (
)
(
)
−
+
−
− −
− −
164
135
298
164
135
)
13) (
(
)
2
−
−
+
8
240
49 .3 135 :18
14)
(
)
−
− 2020 5 364
15)
( − 19 9
)2
2
2
Bài 3: Thực hiện phép tính ( Tính hợp lý nếu có thể)
16)
(
)
− − − + 658 4 6 72
{
}
6
99
+
+
−
1024 : 2
53
100 9
: 9
17)
( 3 160 : 3
)
−
173
+ 1324 827
− 18)
( − −
)
( + 139 324
)
− + − + − −
+
19) 2 4 6 8 ... 238 240
5. 128
=
−
Bài 4: Tìm x Z∈ , biết
x −
45 48 68
−
= −
+ −
+ 2) 35 5.(6
x
)
( 12)
| 112 |
−
3) 126 3.
− 9x
[
]
−
= −
x− 4) 157 (
124)
483
2
−
= −
+
x− 5) 46 (3
2)
( 38) 20
+ = − −
6) 13 |
x−
7 10
6 |
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
1)
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
3
2
2
=
−
7) (2
x −
5)
15
4.5
−
8) | 16
x−
− = | 4 18 | 12 |
−
=
9) (
x
− 2).(15 3 ) x
0
+
=
x− 10) 117 (
5)
+ − 26 ( 9)
−
−
+
11) (
x
5)
(2
x
7)
= − 8
+
+
12) (
x
+ + 1)
(
x
2)
+ + ...
(
x
= 50) 1475
− −
=
x + −
( 36 ) 33 | 103|
=
8
x −
6 12 : 4 .3
9 3
)
13. 14. (
4
+
−
=
+
220
x
5
2 8 .5
2
15.
)
−
=
213
6
1236:12
16.
( x−
( )
2
−
=
x −
2020 1
17. ( 3 2
)3 1
18 |
x+ +
18.
( = − −
5.4 ) 11
− + =
x
x
19.
7 | 9 ( + −
−
x
+ + 5
7
= − + 3
22
x
) 11 (
)
)
+
−
x
20. 2 21. (
)
−
−
=
3
x
x
2 3
x (
2 | (
−
−
=
x
x
2
20
150
)
5 3 ( ) ( + 4 . 1 | ) (
3. )
= 0 ) + + 1 2 (
) − + 1
−
+
−
−
=
x
98
x
96
+ + ...
2
x
2205
x (
22. 2. 23. ( 24. (
+ + ... )
)
(
)
4n − . 1n + . 3n + . 3n + .
2n + chia hết cho 5n + chia hết cho 4n + chia hết cho 2 9n + chia hết cho 4 2
4
n+ + chia hết cho
1n + .
−
8
4
x
+
−
=
15
2
3
2
x
y
.
3 Website:tailieumontoan.com
Bài 5. Tìm n ∈ biết: 2n − . 1) 7 chia hết cho 2) 3) 2 4) 5) 2 6) n Bài 6. Tìm số tự nhiên x , y biết: ) 1) ( + = . 1 ) 2) (
)( y )(
+
x
2
12
x y .
+ = y
− − x
x y .
y
. = . 4
;a b biết
3) 4) 3 Bài 7. Tìm các chữ số
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
a) 25 3a b chia hết cho 4 và 9 b) 25 4a b chia hết cho 2 , cho 5 , cho 9 . a b biết Bài 8. Tìm các chữ số * ; Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
4 Website:tailieumontoan.com
; )a b 19 ; )a b 120
a b+ = a b = . a b = .
; )a b 2 và BCNN(
; )a b 1260
và ƯCLN( và BCNN(
7n +
6n + và 5n + và 3
5n + và 4 n + và 3 12
8n + 7n +
7n + Chứng minh rằng
và ƯCLN( a b =
95 1) 2400 2) 96 3) 4) ƯCLN ( , ) 15 Bài 9. Chứng minh rằng các cặp sau đây là nguyên tố cùng nhau, với mọi số tự nhiên n : 3) 2 1) 4) 5 2) 2 Bài 10.
+
+
+ +
M =
9 21
8 21
7 21
1)
+ chia hết cho 2 và 5 .
2
... 21 1 2020
+
+ +
N = +
... 6
2)
6 6 2
23
chia hết cho 7 , nhưng không chia hết cho 9 . 24
+
+ +
+
P = +
4 4
... 4
4
chia hết cho 20 và 21.
3)
2
99
chia hết cho 43.
3 6 3 4 3 6
26
p +
4p + và
đều là các số nguyên tố.
Số học sinh của một trường tổ chức để thăm quan khi xếp hàng 18, 24, 30 đều
+ + + 6 6 ... 6 Q = +
4) Bài 11. a) Tổng hai số nguyên tố bằng 103. Hỏi tích hai số nguyên tố đó bằng bao nhiêu? b) Tìm số nguyên tố p sao cho Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho: Bài 12. a) n chia cho 3, 5, 6 có số dư theo thứ tự là 1; 3; 4 b) n chia cho 3, 5, 7 có số dư theo thứ tự là 2; 3; 4 c) n chia cho 8 dư 6, chia cho 12 dư 10, chia cho 15 dư 13 và chia hết cho 23. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài180m, chiều rộng là 150 m Người Bài 13. ta muốn trồng cây xung quanh vườn sao cho mỗi góc vườn có một cây và khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau. Tính khoảng cách lớn nhất giữa 2 cây liên tiếp, khi đó tổng số cây trồng được là bao nhiêu? (khoảng cách giữa hai cây là số tự nhiên và đơn vị tính bằng m). Bài 14. Học sinh khối 6 có 195 nam và 117 nữ tham gia lao động. Thầy phụ trách muốn chia ra thành các tổ sao cho số nam và nữ ở mỗi tổ đều bằng nhau. Hỏi có thể chia nhiều nhất mấy tổ? Mỗi tổcó bao nhiêu nam, bao nhiêu nữ ? Bài 15. Người ta muốn chia 136 quyển vở, 170 thước kẻ và 255 nhãn vở thành một số phần thưởng như nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng, mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, thước kẻ, nhãn vở ? Bài 16. Đội sao đỏ của một lớp 6 có ba bạn Nam, Bình, Dũng. Ngày đầu tháng cả đội trực cùng một ngày. Cứ sau 7 ngày Nam lại trực một lần, sau 4 ngày Bình lại trực một lần và sau 6 ngày Dũng lại trực một lần. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì cả đội lại cùng trực nhật vào một ngày ở lần tiếp theo? Khi đó mỗi bạn đã trực nhật bao nhiêu lần? Bài 17.
thừa 6 học sinh. Tính số học sinh của trường đó, biết số học sinh nằm trong khoảng từ 1000
đến 1200 học sinh.
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng 20, 25 hoặc 30 đều dư 15 người. Nhưng xếp
5 Website:tailieumontoan.com
Bài 18. Một trường tổ chức cho khoảng 700 đền 1200 học sinh đi thăm quan. Nếu xếp 30 hay 45 học sinh lên một xe thì đều thiếu 5 em, còn xếp 43 học sinh lên xe thì vừa đủ. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh đi thăm quan. Bài 19. Số học sinh khối 6 của một trường trong khoảng từ 350 đến 700 học sinh. Nếu xếp mỗi hàng 8 em, 10 em, 12 em thì thừa 2 học sinh, còn xếp mỗi hàng có 14 em thì vừa đủ. Hỏi số học sinh khối 6 của trường đó có bao nhiêu em ? Bài 20. hàng 41 thì vừa đủ. Tính số bộ đội của đơn vị đó, biết số người chưa đến 1000 . Tính số học sinh khối 6 của một trường biết nếu xếp hàng 3, 4,5 thì đều thiếu 1 Bài 21. học sinh. Nếu xếp hàng 7 thì vừa đủ. Tính số học sinh của khối 6 biết số học sinh ít hơn 350 .
=
=
AB
6 cm;
AC
3cm
,B C sao cho
.
Phần 2: Hình học: Câu 1. Trên tia Ax lấy hai điểm
CD =
6 cm
. Chứng tỏ A là trung
=
=
=
a) Tính độ dài đoạn thẳng BC b) Hỏi C có là trung điểm của đoạn thẳng AB không? Vì sao? c) Trên tia đối của tia Cx lấy điểm D sao cho điểm của đoạn thẳng CD . ,
5cm;
3cm;
OA
OB
OC
8cm
,A B C sao cho
.
Câu 2. Trên tia Ox lấy ba điểm
,
AB AC BC . ,
OD =
2 cm
. Chứng tỏ A là trung
a) Tính b) Lấy điểm D trên tia đối của tia Ox sao cho điểm của đoạn thẳng CD .
=
=
=
,
OA
6
cm OB ,
cm OC 3 ,
9
cm
,A B C sao cho
.
Câu 3. Trên tia Ox lấy các điểm
a) So sánh AB và AC . b) Chứng tỏ B là trung điểm của OA . c) Chứng tỏ A là trung điểm của BC . CD
cm= 8
. Biết E là trung điểm của đoạn thẳng CD .
Câu 4. Cho đoạn thẳng
a) Tính CE . b) Lấy điểm M trên đoạn thẳng CE , điểm N trên đoạn thẳng DE sao cho
=
2
cm
. Hỏi điểm E có phải là trung điểm của đoạn thẳng MN không?
= CM DN Vì sao?
2 cm
OA =
OB =
6 cm
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB . b) Gọi M là trung điểm của AB . Chứng tỏ A là trung điểm của OM . c) Trên tia đối của tia Ox lấy điểm C sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng AC .
So sánh CM và OB .
, . Bài 5 .Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho
Bài 6. Trên đường thẳng xy lấy điểm O . Trên tia Ox lấy điểm M và trên tia Oy lấy điểm
ON =
4 cm
OM =
và
. Gọi A và B lần lượt là trung điểm của các
N sao cho 6 cm đoạn thẳng OM , ON .
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
NC =
1cm
. Điểm O có là trung điểm
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB . b) Trên tia đối của tia Ny lấy điểm C sao cho của đoạn thẳng AC không? Vì sao? c) Tính độ dài đoạn thẳng CM .
cm= . 8
BC
cm= 5 .
Lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho
Trên tia
6 Website:tailieumontoan.com
Bài 7. Vẽ đoạn thẳng
AD
cm= 2
.
AB đối của tia AB lấy điểm D sao cho
cm= 1 .
Chứng tỏ C là trung điểm của EF .
cm= 4 .
AC
AB
a)Chứng tỏ C là trung điểm của BD b) Lấy điểm E là trung điểm của AD , trên đoạn thẳng BC lấy điểm F sao cho BF Bài 8. Cho đoạn thẳng
Trên tia AB lấy điểm C sao cho .BC
cm= 3 .
BD
Tính độ dài đoạn thẳng
cm= 7 . a) Tính độ dài đoạn thẳng b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho .CD c) Điểm B có là trung điểm của đoan thẳng CD không? Vì sao?
Bài 9.Cho n điểm phân biệt.Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng.
n =
10
a)Nếu và không có 3 điểm nào thẳng hàng thì có tất cả bao nhiêu đường thẳng?
n =
20
b) Nếu và trong đó có 5 điểm thẳng hàng thì có tất cả bao nhiêu đường thẳng?
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
c) Nếu không có 3 điểm nào thẳng hàng và có tất cả 120 đường thẳng thì n bằng bao nhiêu?
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
7 Website:tailieumontoan.com
ÔN TẬP KIẾN THỨC HỌC KÌ II
I. LÝ THUYẾT 1. Số nguyên * Các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia. * Giá trị tuyệt đối. Bội và ước của số nguyên. * Quy tắc chuyển vế, quy tắc dấu ngoặc.
2. Phân số * So sánh phân số. Hai phân số bằng nhau. Rút gọn phân số. * Cộng, trừ, nhân phân số. Tính chất cơ bản của phép cộng phân số.
=
3. Hình học
+ xOy yOz
. * Nửa mặt phẳng: Góc, số đo góc. Khi nào: xOz
− là
* Tia phân giác của góc. * Các loại góc: nhọn, tù, bẹt, vuông. Hai góc kề nhau, kề bù, bù nhau, phụ nhau.
Câu 1. Số đối của
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM 1 1 3 8
− 24 5
24 5
5 24
− 5 24
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Số 1,75 được viết dưới dạng phần trăm là
=
−
1
1, 25
− 3, 6 2
A
là
A. 1, 75% . B. 17,5% . C. 175% . D. 1750% .
Câu 3. Giá trị của
1 2
2 5
− 10 3
3 10
10 3
4 5
A. . B. . C. . D. .
A. B. . . C. . D. .
Câu 4. Số nghịch đảo của 75% là − 3 4
− 4 3
3 4
4 3
−
(
)
(
⋅
B
A
:
và
. So sánh A và B ta được
Câu 5. Cho
5 3
2 1 5 2
1 = − 3
)3 − 5
9 12
2
= +
3
A.
B. =A B . C. >A B . D. ≥A B .
Câu 6. Lớp 6A có 24 học sinh nam. Số học sinh này chiếm 60% số học sinh cả lớp. Hỏi
số học sinh của cả lớp bằng bao nhiêu?
A. 40 .
B. 60 . C. 45 . D. 30 .
Câu 7. Tìm khoảng cách từ thủ đô Hà Nội đến thành phố Hồ Chí Minh biết khoảng cách
trên bản đồ giữa hai địa điểm này là 34,5 cm và tỉ lệ xích trên bản đồ là 1: 5000000
.
A. 345 km.
B. 172,5 km.
C. 1725 km.
D. 3450 km
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
=
−
+
B
1
.0, 75
là
8 Website:tailieumontoan.com
Câu 8. Giá trị của biểu thức
11
20
2
5
13
15
25% :
−
3
5
3
− .
5
27
25
27
25
= + +
+
+
+
+
+
+
S
C. A. . D. . B. .
Câu 9. Tính tổng:
1
2
1
1
6 12
1
30
1
42
1
56
1
72
1
90
1
9
9
10
1
20
10
9
A. . B. . D. . C. 1.
Câu 10. Tia Oz là tia phân giác của xOy khi
zOy .
=
=
=
A. Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy . B. =
xOz
zOy
xOz
xOy .
xOy
2
; 4cmO
. Khi đó
)
D.
zOy
xOz . C. +
Câu 11. Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (
.
4cm=OM
4cm
A. B. .
4cm≤OM
4cm>OM
D. . C. .
Câu 12. Chọn khẳng định sai với hình vẽ sau
M
A. MP là cạnh chung của ∆MNP và ∆MQP .
B. Có 3 tam giác.
C. Có 6 đoạn thẳng.
Q
N
P
D. Có 6 góc.
Câu 13. Điền số thích hợp vào (…) trong bảng dưới đây.
−
0, 25
+
=
…
1
2
−
−
×
−
1
0,25
=
…
×
1
4
=
=
…
=
…
…
+
Câu 14. Cho tam giác ABC . Đường thẳng a không đi qua các đỉnh của tam giác và cắt hai
,
.
AB AC Điền vào chỗ trống (…) cho đúng:
cạnh
a) Điểm B và điểm........... nằm cùng phía đối với đường thẳng a .
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
b) Điểm B và điểm..…..... nằm khác phía đối với đường thẳng a .
9 Website:tailieumontoan.com
Câu 15. Cho hình vẽ bên, điền vào chỗ trống (…) cho đúng:
F
C
a) Các điểm nằm bên trên đường tròn (
)O là…………..
E
)O là ……
B
A
)O là………
O
D
)O là……………
)O là……..
)O là…….
b) Các điểm nằm bên trong đường tròn (
c) Các điểm nằm bên ngoài của đường tròn (
d) Các dây cung của đường tròn (
e) Các bán kính của đường tròn (
g) Đường kính của đường tròn (
=
°
=
90 ;
yOz
°
35
. Góc tOz có số đo
Câu 16. Cho hình bên, biết
xOt
t
là:
z
O
x
y
B. 55° . A. 35° .
=
+
+
A
+ +
...
là
D. 145° . C. 90° .
Câu 17. Giá trị của
5
2.4
5
4.6
5
48.50
5
6.8
5
6
12
15
6
5
. B. C. . D. . A. 3 .
Câu 18. Bạn Minh dự định đọc một quyển sách dày 105 trang trong 3 tuần. Minh đã đọc
tổng số trang sách trong tuần đầu. Số trang sách mà Minh còn phải đọc
được
3
7
trong hai tuần sau là: ..... trang.
= + +
A
+ +
...
với các số 98 và 99
Câu 19. So sánh giá trị biểu thức
3
4
<
<
A
<
98 99
99
99=A
8 15
9 16
< A.
A. . . D. . B. 98 99<
9999
10000
C. 98
số thứ nhất bằng
số thứ hai và bằng
số thứ
Câu 20. Ba số có tổng bằng 210, biết
9
11
2
3
6
7
ba. Số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba lần lượt là:
A. 63; 64; 83.
B. 61; 65; 84. C. 62; 67; 81. D. 63; 66; 81.
II. PHẦN TỰ LUẬN
+
−
−
b)
c)
a)
−
1
1
1
10 12 15
−
2
3
1
1
+ − +
2
6
3
4
Dạng 1. Thực hiện phép tính
Bài 1. Thực hiện phép tính
3
8
1
2
−
−
+
+
+
.
.
d)
e)
f)
1
16
+
21 2
1 7
.
9 9
+
.
.
.
:
g)
h)
i)
(
)
−
3
8
9
7 5
:
8 4
1 2
.
9 9
−
10
7
3
−
4
−
5
4
23
21
− − −
8
5
9
8
27
23
1
3
.
2 4
17 24 10
18 25 51
1
6
6
5
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
−
+
+
+
+
−
2
+
0, 2 1, 75
0, 7
18
1
3,5
8
c)
b)
a)
2
3
5
− +
6
2
17
15
23
3
15
+
17 19
8
23
10 Website:tailieumontoan.com
Bài 2. Thực hiện phép tính
2
3
−
+
−
.2,8
1, 75
0, 6
d)
e)
f)
2
19
−
21 3
3
11
2
3
3
4
4
5
. 2
0,5 .
−
+
−
g)
h)
3, 2.
: 3
i)
1
3 .12
9
5
7
5
9 .3
7
1
9
2
3 .6
5
1
4
2
3 .3
5
3
4
15
64
2
3
2
3
4
+
5
Dạng 2. Tìm số chưa biết
Bài 3.
−
=
− =x
x
b)
a)
4
15
−
16 5
.
25 64
Tìm x , biết:
−
15 4
17
.
16 27
36
2
−
x
x
− =
2
d)
c)
− −
9
4
.
12 3
23
25
−
4
=
5
Bài 4.
−
=
+
=
8
50 : 0, 4 51
x
x
b)
)
1,5 : 3
a) (
Tìm x , biết:
1
5
−
5
8
4
5
+
−
=
=
x
.2
1
35%
x
− −
1
25%
d)
c)
12
16
5
6
2
5
1
4
Hiệu của hai số là 16 . Tìm hai số ấy biết rằng
số thứ nhất bằng
số thứ hai.
Bài 5.
5
32
3
16
Dạng 3. Toán đố
Bài 6. Có 2 đội sản xuất cùng một khối lượng công việc như nhau, đội I hoàn thành trong
2 tuần, đội II hoàn thành trong 17 ngày. Biết đội II bắt đầu công việc trước đội I là
3 ngày. Hỏi sau 5 ngày kể từ khi đội I làm, đội nào làm được nhiều công việc hơn?
Bài 7. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2 giờ đầy bể. Riêng vòi
thứ nhất chảy một mình đầy bể phải mất 3 giờ. Hỏi riêng vòi thứ 2 chảy một mình
đầy bể phải mất bao lâu?
Bài 8. Trên quãng đường AB, hai xe cùng khởi hành lúc 7giờ. Xe thứ nhất đi từ A đến B,
xe thứ hai đi từ B đến A. Để đi cả quãng đường, xe thứ nhất cần 3 giờ, xe thứ 2
cần 6 giờ. Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ?
Bài 9. Một lớp có 48 học sinh, 50% số học của lớp đạt loại khá, số học sinh giỏi bằng
5
6
số học sinh khá, còn lại là học sinh trung bình. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh
trung bình ?
2
5
Bài 10. Bạn An đọc một cuốn sách, ngày đầu An đọc được số trang sách, ngày thứ hai An đọc
2
3
số trang sách còn lại, ngày thứ 3 An đọc 10 trang sách cuối cùng. Hỏi quyển được
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
sách có bao nhiêu trang?
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
11 Website:tailieumontoan.com
1
2
1
8
Bài 11. Cuối học kì 1 lớp 6A có số học sinh đạt học sinh giỏi, số học sinh đạt học sinh khá.
Còn lại là học sinh trung bình. Biết số học sinh khá nhiều hơn số học sinh trung bình là 5
em.
a. Tính số học sinh lớp 6A.
b. Tính số học sinh mỗi loại.
°
.
Dạng 4: Hình học
xOy
Bài 12. Cho hai góc kề bù xOy và yOz , với 80=
=
°
yOt
a) Tính góc yOz .
. Tia Ox có
b) Trên nửa mặt phẳng bờ Oy có chứa tia Ox vẽ tia Ot sao cho 160
là tia phân giác của yOt không? Vì sao?
c) Tia Om là tia phân giác của góc yOz . Tính góc mOx .
°
xOy
và 30=
xOz
. Gọi
′Oy là tia đối
°
Bài 13. Cho hai góc kề nhau xOy và xOz , biết 80=
′
xOy .
′Oy .
′
zOy .
của tia Oy .
a) Tính số đo góc
b) Giải thích vì sao tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và
c) Tính số đo góc
°
xOy
,
Bài 14. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , vẽ 2 tia Oy và Oz sao cho 35=
.
125
°
=
xOz
a) Trong 3 tia Ox , Oy , Oz tia nào nằm giữa 2 tia còn lại. Vì sao?
b) Tính số đo góc yOz .
c) Vẽ Ot là tia phân giác của yOz . Tính số đo zOt .
d) Tính số đo xOt .
Bài 15. Cho 2 tia Oy , Oz cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox . Biết
, 120
60=
°
=
°
xOy
a) Tính số đo yOz .
b) Chứng tỏ Oy là tia phân giác của xOz .
c) Vẽ tia Om là tia đối của tia Ox , On là phân giác của góc mOz . Chứng tỏ nOz
và yOz phụ nhau.
xOz
Dạng 5: Bài tập nâng cao
Bài 16. Tìm A biết rằng:
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
−
13
10
.
3
5
của A là
.
a)
25
7
−
31 11, 25 : 5
3
14
)
(
5
2
5
6
−
+
1,95 :
20%.
5
4
7 1
.
4 5
.
b) 35% của A là
−
1 : 0,8
.1,8
5
21
1
2
1
7
=
<
S
+ +
...
. Chứng minh
12 Website:tailieumontoan.com
Bài 17. Cho tổng
3
5
4
5
1
60
+
=
≥
+ +
...
,
x
2
.
(
)
∈
x
Bài 18. Tìm x , biết
1
1
+
31 32
1
1
4.6
2.4
3
16
x
2
x
−
=
A
. Tìm n nguyên để:
Bài 19. Cho biểu thức
(
−
+
1 3
2
n
n
5
+
−
−
n
n
3
3
1
)
−
2 .2
−
4
n
5
−
n
3
a) A nhận giá trị nguyên.
b) A là phân số tối giản.
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
13 Website:tailieumontoan.com
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KÌ I
A =
3
B
x
x
{
}
3; 4;5
{
= ∈ ≤ − < ≤
}
4
Bài 1 Cho tập hợp và .
nó.
1) Hãy viết tập hợp B bằng cách liệt kê các phần tử và tính tổng các phần tử của
hai phần tử của A .
2) Cho biết tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con và viết tất cả các tập hợp con có
3) Tìm A B∩ .
Lời giải
B
3
x
x
}
2; 1;0;1; 2;3; 4
{
= ∈ ≤ − < ≤
} {
= − −
4
1) .
∅ , A , { } { } { } {
}
3 , 4 , 5 , 3; 4 , 4;5 , 3;5
} {
} {
2) Các tập con của A là
}
3; 4 , 4;5 , 3;5
} {
} {
A B∩ =
Các tập con có hai phần tử của A là {
}3; 4
{
M =
3) .
{
}
1;3;5;7;...;99
. Bài 2 Cho tập hợp
của nó.
1) Hãy viết tập hợp M bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử
2) Tìm số phần tử của tập hợp M .
=
=
≤
Lời giải
M
B
*
x
{
}
1;3;5;7;...;99
{
= ∈
x
}
99
+ =
1) .
1 99
−
99 1
1
. 2) Số phần tử của tập hợp M là:
−
+
1) 29.73 29.28 29
+
+
2)
+
+ −
213
28
28
213
3)
26 .37 12.38.3 18.25.2
(
+ −
+ −
−
)
16
−
+ −
−
316
115
29
4)
(
− −
)
(
−
115 316
)
+ −
+
31
99
5)
(
+ −
)
11
−
+
−
+
180 :
33
2
4 .5
6)
18
(
9
14 3 : 3
)
}
−
+
160
2020
1
7)
(
−
12 4
)2
− +
31 18
{
−
120
2
−
−
+
−
514 4. 40 8. 6 3
12
8)
(
)
Bài 3: Thực hiện phép tính ( Tính hợp lý nếu có thể)
{
}
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
3
−
−
− −
+
4
18.3
: 6
24
324
9)
(
)3
1600
− + −
+ +
+
+
10) 1 5 9 13 ... 393 397
−
20) 121.33 65.33 186.67
−
+
+
+ −
126
64
82
126
64
)
21) (
(
+ −
)
(
)
−
+
−
− −
− −
164
135
298
164
135
22) (
)
(
)
2
−
−
+
8
240
49 .3 135 :18
23)
(
)
−
−
2020 5 364
24)
)2
(
−
19 9
2
2
14 Website:tailieumontoan.com
25)
(
)
− − − + 658 4 6 72
{
}
6
99
+
+
−
1024 : 2
53
100
9
: 9
26)
(
3
160 : 3
)
−
173
+
1324 827
−
27)
(
− −
)
(
+
139 324
)
− + − + − −
+
28) 2 4 6 8 ... 238 240
5. 128
1) 29.73 29.28 29
−
+
)
−
+
=
29. 73 28 1
(
+
=
=
2)
=
+
+
+
29.100
2900
26 .37 12.38.3 18.25.2
36.37 36.38 36.25
=
+
+
36. 37 38 25
)
(
=
−
+
+ −
+ −
28
213
28
213
3)
)
=
36.100 3600
(
+ −
16
= −
+
+
28 16
213
+
28 213
(
+ −
)
+
+
+
28 28
213
213
16
(
= −
)
)
(
+ −
=
= + +
0 0 16 16
−
+ −
−
316
29
4)
)
115
(
− −
(
−
115 316
)
+
−
+
+
316 316
29
= −
(
= −
+
)
=
= + +
29
0 0 29
− +
+ −
+
316 115 29 115 316
(
)
+
−
+
115 115
31
31 18
18
99
5)
= − +
−
+
(
+ −
+
31 18 31 18 99
)
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Lời giải
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
= − +
+
+
99
)
31 31
(
(
−
18 18
)
= + +
=
0 0 99 99
11
−
−
+
2
4 .5
33
6)
)
}
=
−
+
(
9
+
14 3 : 3
}2
)
=
+
16.5
[
(
+
14 3
}
]
−
80 23
=
+
{
180 :
{
180 : 33
{
180 : 33
{
}
180 : 33 57
=
=
2
−
−
+
160
2020
1
7)
(
−
12 4
)2
180 : 90
120
2
=
−
−
+
160
1
=
−
160
+
1
120 8
[
−
120 64
]
=
+
=
−
160 56 1
105
2
+
−
−
−
514 4. 40 8. 6 3
12
8)
(
)
}
=
−
+
−
=
−
−
+
}
514 4. 40 8.9 12
}
514 4. 40 72 12
{
{
{
=
=
3
+
−
−
− −
324
4
18.3
: 6
24
9)
)3
−
514 4.100
=
−
514 400 114
(
1600
=
+
−
−
324
−
64 54
24
(
)3
=
+
−
324
24
1600
[
−
1600 1000
]
−
=
−
4
4
=
=
10) 1 5 9 13 ... 393 397
+ +
)
(
= − + − + + − ( Có 50 số -4 )
4
...
+
324 600 24
−
924 24 900
− + −
)
(
4.50
+
= −
= −
200
+
11) 121.33 65.33 186.67
=
+
+
33.(121 65) 186.67
=
=
+
33.186 186.67
+
186.(33 67)
−
+
+ −
126
64
82
126
64
=
=
12) (
186.100
18600
)
+
(
+ −
)
(
)
+
+
+
126
−
126 64 64 82
)
(
= −
82=
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
15 Website:tailieumontoan.com
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
−
+
−
− −
− −
164
135
298
164
135
13) (
)
(
16 Website:tailieumontoan.com
+
−
−
164
+
135 298 164 135
+
+
−
164
−
164 135 135 298
)
)
(
= −
(
= −
= −
2
−
−
+
240
8
49 .3 135 :18
14)
)
298
(
=
−
−
240
)
(
=
−
+
240
+
64 49 .3 135 :18
]
=
−
+
240
45 135 :18
[
15.3 135 :18
(
)
=
=
=
−
240 180 :18
−
240 10
230
−
−
2020 5 364
15)
(
−
19 9
)2
2
=
−
−
=
−
−
2020 5 364 10
[
2020 5 364 100
]
=
=
=
−
2020 5.264
−
2020 1330
690
2
2
)
16)
(
)
− + − − 72 658 4 6
}
{
2
−
+
=
−
72
658
+
=
−
658
[
}
}
]
=
−
658
=
=
−
6
99
+
+
−
1024 : 2
53
100
9
: 9
17)
658 500 158
(
3
160 : 3
)
=
+
+
1024 : 64 160 : 27 53
−
9
)
=
=
=
−
173
+
1324 827
−
18)
(
−
+
16 160 : 80 9
+ −
16 2 9
− =
18 9 9
(
− −
)
(
+
139 324
)
−
= −
=
+
−
−
+ −
−
−
−
173 1324 827 139 324
1324 324 ( 173 827) 139
−
+ −
=
1000 ( 1000) 139
139
= −
− + − + − −
+
19) 2 4 6 8 ... 238 240
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5. 128
{
5. 128 10
{
−
5. 128 100 72
{
}
5.100
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
+ + +
+
= −
+ + +
4 8 ... 240
2 6 ... 238
(
)
)
−
+
236 : 4 1
+
59 1
+
240.60 : 2
14400 : 2
7200
−
+
+
244.60 : 2
14640 : 2
7320
2 4 6 8 ... 238 240
(
= -A + B
Số số hạng của A là
+
(238 2) : 4 1
=
=
60=
Tổng của A là
)
(
238 2 .60 : 2
=
=
=
Số số hạng của B là
)
(
+
240 4 : 4 1
+
=
236 : 4 1
=
+
59 1
60=
Tổng của B là
)
(
240 4 .60 : 2
=
=
=
− + − + − −
+
= −
7200 7320
=
17 Website:tailieumontoan.com
120
Bài 4: Tìm x Z∈ , biết
=
−
x −
45 48 68
−
= −
+ −
+
2. 35 5.(6
x
)
( 12)
| 112 |
−
126 3.
−
9x
[
]
1.
−
= −
3.
x−
157 (
124)
483
2
−
= −
+
4.
x−
46 (3
2)
( 38) 20
+ = − −
5.
13 |
x−
7 10
6 |
3
2
2
=
−
6.
(2
x −
5)
15
4.5
−
7.
x−
− =
| 4 18 |12 |
−
=
8. |16
x
−
2).(15 3 ) 0
x
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
9. (
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
+
=
x−
10. 117 (
5)
+ −
26 ( 9)
−
−
+
18 Website:tailieumontoan.com
x
5)
(2
x
7)
= −
8
+
+
11. (
(
x
+ +
1)
(
x
2)
+ +
...
(
x
=
50) 1475
12.
=
−
Lời giải
x −
45 48 68
= −
x −
45
20
x = −
+
20 45
x =
25
−
= −
+ −
+
2) 35 5.(6
x
)
( 12)
| 112 |
−
= −
+
35 5.(6
x
)
+
( 12) 112
−
=
+
35 5.(6
x
) 100
−
=
5.(6
x−
) 100 35
5.(6
x−
=
) 65
6
x− =
65 : 5
6
x− =
13
x = −
6 13
x = −
7
−
− −
=
3)126 3.
x
( 4)
24
[
]
=
x − −
( 4)
−
126 24
3.
]
[
=
3.
x − −
( 4)
102
]
[
x − − =
( 4) 102 : 3
x − − =
( 4) 34
x =
+ −
34 ( 4)
x =
30
−
= −
124)
483
x−
4) 157 (
− −
=
124 157 ( 483)
x −
x −
=
124 640
x =
+
640 124
x =
764
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
1)
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
2
−
= −
+
x−
5) 46 (3
2)
( 38) 20
2
−
= −
x−
46 (3
2)
18
2
=
x −
(3
2)
− −
46 ( 18)
2
=
(3
x −
2)
64
19 Website:tailieumontoan.com
x − = hoặc 3
2 8
x − = −
8
2
⇒ 3
x = + hoặc 3
8 2
x = − +
8 2
⇒ 3
x =
10
hoặc 3
x = −
6
⇒ 3
⇒ ( 6) : 3
x = −
x = −
2
+ = − −
6) 13 |
x−
6 |
7 10
13 |
x−
+ = −
6 |
17
− −
x + =
6 | 13 ( 17)
|
|
x + =
6 | 30
hoặc
x + = −
6
30
x⇒ + =
6 30
− hoặc
x⇒ =
30 6
x = −
−
( 30) 6
hoặc
x⇒ =
24
x = −
36
3
2
2
=
−
7) (2
x −
5)
15
4.5
3
=
(2
x −
5)
−
225 100
3
=
(2
x −
5)
125
2
x − =
5 5
2
x = +
5 5
2
x =
10
10 : 2
x =
5x = .
−
8) | 16
x−
− =
| 4 18 | 12 |
−
|16
x−
− =
| 4 18 12
|16
− =
| 4 6
x−
|16
x− = +
| 6 4
|16
| 10
x− =
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
⇒
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
⇒ − =
16
x
10
hoặc 16
x− = −
10
hoặc
x⇒ =
−
16 10
x =
− −
16 ( 10)
.
x⇒ = hoặc
6
x =
26
−
=
9) (
x
−
2).(15 3 )
x
0
x−
x⇒ − = hoặc 15 3
2 0
=
0
x⇒ = hoặc 3
2
x =
15
x⇒ = hoặc
2
5x = .
+
=
x−
10) 117 (
5)
+ −
26 ( 9)
+
x−
117 (
=
5) 17
−
x − =
5 117 17
x − =
5 100
x =
+
100 5
.
x =
105
−
−
+
11) (
x
(2
x
7)
= −
8
5)
− −
x
5 2
x
− = −
8
7
−
( 12)
− = −
8
x
x = −
( 12)
− −
( 8)
x = −
4
+
+
12) (
x
+ +
1)
(
x
2)
+ +
...
(
x
=
50) 1475
=
50
x + + + +
(1 2 ... 50) 1475
50
x =
−
1475 1275
50
x =
200
x =
200 : 50
x =
4
− −
=
( 36 ) 33 | 103|
13.
=
( 36) 33 103
=
( 36) 70
− −
70 ( 36)
−
=
8
106
x −
6
12 : 4 .3
9
3
)
x + −
x + −
x + −
x =
x =
14. (
=
8
x −
9
6
3 : 3
(
)
12 : 4
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
20 Website:tailieumontoan.com
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
=
8
3
3
x −
(
)
12 : 4
=
27
8
x −
(
x −
8
x −
8
x =
8
x =
8
x =
x =
4
+
+
−
=
2
x
220
5
2
8 .5
15.
(
)
)
12 : 4
=
27.4
12
=
12 108
+
108 12
120
120 : 8
15
4
+
+
−
=
220
2
x
5
320
)
(
+
−
=
42
x
5
−
320 220
)
(
+
−
=
42
x
5
100
(
)
4
−
=
−
1236:12
6
x − =
x − =
x =
x =
213
16.
−
=
103
6
213
2
=
−
5.4
x −
2020
1
− =
1 80
x −
(
3 2
=
x −
+
80 1
(
3 2
=
x −
81
(
3 2
=
81: 3
x −
2
(
=
x −
27
2
(
=
x −
3
3
2
(
5 100 2
5 84
+
84 5
89
)
(
x−
)
(
x−
−
x − =
213 103
6
x − =
6 110
x =
+
110 6
x =
116
)3
17. (
1
3 2
)3
1
)3
1
)3
1
)3
1
)3
1
)3
1
x − =
1 3
2
x = +
3 1
2
x =
2
4
x =
2
x+
18 |
7 | 9
18.
(
+ = − −
)
11
+ =
18 |
x+
7 | 20
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
21 Website:tailieumontoan.com
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
−
7 | 20 18
|
|
22 Website:tailieumontoan.com
19.
(
+ −
−
− −
x
3
x
5
x + =
x + =
7 | 2
+ =
x
7
2
⇒ + = −
x
7
2
= −
x
5
⇒ = −
x
9
− + =
x
x
5 3
(
= −
)
11
)
11
= −
16
−
16 : ( 4)
−
x−
4
x = −
x =
4
+ +
x
5
2
= − +
3
22
x
7
20.
)
(
−
=
19
2
x
x
7
+ +
5
)
(
)
(
+ + − =
7 19
5
x
− +
x+ =
19 5 7
21
−
x
2 |
=
0
21. (
)
x
2
x
2
x =
3
x =
7
) (
+
+
4 . 1 |
x
+ =
4 0
− =
x
2 | 0
4
=
x
3
3.
2
3
22.
(
)
+ +
2
1
−
+
−
= +
2.
3.
3
x
x
2
2 3
+
−
−
=
3.
2.
3
x
x
11
(
(
(
x
)
(
1
)
(
1
− =
3 11
x
+ +
11 6 3
−
−
=
2
x
+ +
...
x
20
150
x
⇒ +
1 |
= −
x
⇒ − = −
x
1(
x⇒ = −
4
)
−
−
2.
)
)
− −
2
x
6 3
=
x−
x
2
3
x− =
20
x = −
20
)
(
− +
x
1
)
23. (
(
)
x
20
+
+
150
20
− + − +
+ −
=
20 150
2 ....
1
x
x
+ + + +
x =
150 1 2 ... 20
)
x =
20 1 20 : 2
(
x =
20
x =
2
x =
18
+
150 210
360
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
) 2 | VL |
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
+
−
=
−
−
98
96
x
x
2205
x
2
+ +
...
24. (
(
)
)
)
− +
x
− +
x
x
.... 2
2205
−
+
−
=
+ +
+
2205
x
2 ... 96 98
98
(
(
+ − =
(
)
−
+
x =
49
2205
96
)
98 2 : 2 1
(
)
98 2 .49 : 2
245
−
2205 2450
2n − .
4n − .
1n + .
3n + .
3n + .
2n + chia hết cho
5n + chia hết cho
4n + chia hết cho 2
9n + chia hết cho 4
2
4
n+ + chia hết cho
1n + .
23 Website:tailieumontoan.com
x =
49
x = −
49
x = −
5
Bài 5. Tìm n ∈ biết:
1) 7 chia hết cho
2)
3) 2
4)
5) 2
6)
n
Lời giải
2n − là ước của 7.
.
2n − .
1) 7 chia hết cho
2n − nên
Vì 7 chia hết cho
}
¦
Ta có:
1;7
n − = .
2 7
( ) {
=
7
n − = hoặc
2 1
n − = thì
3n = .
2 1
9n = .
n − = thì
2 7
9n = .
3n = hoặc
4n − .
n
n
+ = − + và
4n − luôn chia hết cho
4n − .
4n − hay
4n − là ước của 6.
¦
.
n =
10
7
5n = .
n = .
6
n = .
7
n =
.
10
6n = hoặc
n = hoặc
.
2
2.
n
n
Suy ra:
Với
Với
Vậy
2)
Ta có:
Để
Lại có:
Suy ra: (
Với
Với
Với
Với
Vậy
3) 2
Ta có:
1n + luôn chia hết cho
1n + .
(
(
)
1n + thì 3 chia hết cho
1n + hay
1n + là ước của 3.
¦
.
2n + chia hết cho
4 6
2
2n + chia hết cho
4n − thì 6 chia hết cho
( ) {
}
=
.
1; 2;3;6
6
) {
}
n − ∈
1; 2;3;6
4
n − = thì
4 1
n − = thì
2
4
n − = thì
4 3
n − = thì
4 6
5n = hoặc
5n + chia hết cho
1n + .
)
+ + và
+ =
3
1
5 2.
5n + chia hết cho
( ) {
=
3
) {
n + ∈
1
n + = thì
1 1
}
.
1;3
}
1;3
n = .
0
Để 2
Lại có:
Suy ra: (
Với
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
n + = thì
1 3
0n = hoặc
n = .
2
n = .
2
4n + chia hết cho 2
3n + .
2.
4n +
Với
Vậy
4)
Ta có:
4n + chia hết cho 2
3n + nên
chia hết cho 2
3n + .
(
)
8n + chia hết cho 2
3n + .
+
Suy ra: 2
Mà 2
Nên 2
3n + .
chia hết cho 2
3n + .
3n + chia hết cho 2
(
3n−
8n +
2
¦
3n + là ước của 5.
3n + hay 2
) {
nên (
n + ∈
.
3
2
}
1;5
)
Nên 5 chia hết cho 2
}
Lại có:
1;5
1n = .
9n + chia hết cho 4
3n + .
9n +
( ) {
=
5
n + ≥ nên
Mà 2
3 3
n + =
3 5
2
n =
2
2
1n =
Vậy
5) 2
Ta có: 2
9n + chia hết cho 4
3n + nên
chia hết cho 4
3n + .
(
2. 2
)
n +
18
3n + .
chia hết cho 4
3n + .
+
18
Suy ra: 4
Mà 4
Nên 4
chia hết cho 4
3n + .
3n + chia hết cho 4
(
n +
3n−
4
¦
) {
=
3n + hay 4
nên (
4
3n + là ước của 15.
) {
n + ∈
.
3
}
1;3;5;15
}
1;3;5;15
)
Nên 15 chia hết cho 4
(
Lại có:
15
n + ≥ nên
3 3
n + = thì 4
3 3
n = nên
0
Mà 4
Với 4
Với 4
n + = thì 4
3 5
n = nên
2
n = (không thỏa mãn).
12
3 15
n = .
0
1
2
3n = .
nên
thì 4
n =
3n = .
2
n
n
Với 4
Vậy
2
6)
n
Ta có:
n n + luôn chia hết cho
.
1n + .
1n + .
+ + và
4
(
)
1
n + =
0n = hoặc
n+ + chia hết cho
4
)
+ + =
1
4
(
n n
.
2
1n + thì 4 chia hết cho
1n + hay
1n + là ước của 4.
n+ + chia hết cho
¦
.
Để
n
Lại có:
Suy ra: (
Với
Với
Với
Vậy
4
( ) {
=
4
) {
n + ∈
1
n + = thì
1 1
n + = thì
1 2
n + = thì
1 4
0n = hoặc
3n = .
−
4
8
x
y
24 Website:tailieumontoan.com
}
.
1; 2; 4
}
1; 2; 4
n = .
0
1n = .
3n = .
1n = hoặc
Bài 6. Tìm số tự nhiên x , y biết:
)(
)
+ = .
1
1) (
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
+
−
=
2
x
3
2
y
15
.
)
+
x y
.
2
)(
+ =
y
x
12
2) (
3)
x y
.
− −
x
3
y
.
= .
4
4)
25 Website:tailieumontoan.com
−
x
4
8
y
)(
4x − và
1y + là các số nguyên,
y + ≥ và
1 0
)
1) (
+ = .
1
Do x , y là các số tự nhiên nên
nên xảy ra các trường hợp sau:
y + =
1 8
y + =
1 1
=
8 1.8 2.4
TH1:
5x = và
TH2:
x =
12
4
2
y + =
1 4
4
4
y + =
1 2
+
−
=
15
2
2
3
x
y
.
=
x − = và
4 1
y =
7
x − = và
4 8
y =
và
0
x − = và
y =
3
x − = và
1y =
)(
3x + và
2y − là các số nguyên, 2
x + ≥ và
3 3
TH3:
x = và
6
TH4:
8x = và
)
2) (
Do x , y là các số tự nhiên nên 2
=
nên xảy ra các trường hợp sau:
y − =
2 5
=
15 1.15 3.5
TH1: 2
2
x + = và
3 3
y =
7
y − =
2 3
TH2: 2
2
x = và
0
x = và
y =
0
7
x + = và
3 5
y =
5
x = và
2
1x = và
+
x
2
12
+ =
y
y =
5
.
12
+ =
y
+
+ + =
y
+
2 12 2
+
x
y
2
14
)
+ =
1
1x + và
2y + là các số tự nhiên,
x + ≥ ,
1 1
y + ≥
2 2
nên xảy ra các trường hợp sau:
y + =
2 7
y + =
2
2
y + =
2 14
3)
.
x y
Ta có:
+
x
x y
2
.
)2
(
x y
)(
(
Do x , y là các số tự nhiên nên
=
=
và 14 1.14 2.7
x + = và
TH1:
1 2
1x = và
y =
5
x + = và
TH2:
1 7
x = và
y =
6
0
x + = và
TH3:
1 1
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Lời giải
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
y =
12
− −
x
3
y
= .
4
3
y
y
3
3
=
4
+ = +
3 4 3
)
(
− =
7
1
−
3
x
y
x = và
0
4)
.
x y
Ta có:
− −
x
x y
.
− −
x
)
− −
1
)(
y
)
− =
7
1
3
3
3x − và
1y − là các số nguyên,
x − ≥ − ,
=
7 1.7
1
1
y − ≥ − và
− nên xảy ra các trường hợp sau:
7
.
x y
(
x y
(
Do x , y là các số tự nhiên nên
)
(
= −
) (
1 .
y − =
1 7
y − =
1 1
10
;a b biết
26 Website:tailieumontoan.com
x − = và
TH1:
3 1
x = và
8y =
4
x − = và
TH2:
3 7
x =
y =
và
2
Bài 7. Tìm các chữ số
a) 25 3a b chia hết cho 4 và 9
b) 25 4a b chia hết cho 2 , cho 5 , cho 9 . Lời giải
a) 25 3a b chia hết cho 4 và 9
;
b 2 6
2
5
a
a
. Để 25 32 9
3 2 9
thì
Để 25 3a b chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng sẽ chia hết cho 4 nên
a
9
+ Khi b 2 thì số có dạng 25 32a
12
2
5
a
3 6 9
a
. Để 25 36 9
thì
Nên a 6
a
9
+ Khi b 6 thì số có dạng 25 36a
16
Nên a 2
Vậy số cần tìm là 25632; 25236
b) 25 4a b chia hết cho 2 , cho 5 , cho 9 .
2
5
4
11
a
a
9
0 9
Vì 25 4a b chia hết cho 2 , cho 5 nên b 0
chia hết cho 9 thì Khi b 0 số có dạng 25 40a
Nên a 7
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Vậy số cần tìm là 25740
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
a b biết
;
*
27 Website:tailieumontoan.com
Bài 8. Tìm các chữ số
; )a b 19
; )a b 120
a b+ =
a b =
.
a b =
.
; )a b 2
và BCNN(
; )a b 1260
95
1)
2400
2)
96
3)
4) ƯCLN ( , ) 15
và ƯCLN(
và BCNN(
và ƯCLN(
a b =
Lời giải
a b+ =
95
19
1) và ƯCLN(
n
⇒
; )a b 19
+
95
19
19 và
;m n 1
;
m b
= ⇔ + =
m n
n
5
a
m
; )a b 19 nên
a b+ =
19
95
2
3
1
4
4
1
3
2
38
57
;
;(
57 38
;
);
;
76
19
;
38 57
;
76 19
ƯCLN(
a b =
.
2400
Ta có:
Do đó:
m
n
Suy ra
19
a
76
b
Vậy các cặp số cần tìm là
và BCNN(
2)
; )a b 120 nên
57
38
a b 19 76
;
; )a b 120
120
:
a
b
120
120
2400
6
x Do BCNN( 120 y :
:
x
:
y
xy
a b =
.
2400
.
120 120
.
2400
Mặt khác có: nên
2
3
1
6
3
2
6
1
60
40
;
60 40
;
;(
40 60
;
);
;
20
120
;
40
60
a b 120 20
;
20 120
x
y
Suy ra
120
a
20
b
Vậy các cặp số cần tìm là
3)
a b =
.
ƯCLN(
⇒
96
và ƯCLN(
; )a b 2 nên
a b =
.
96
; )a b 2
2
a
= ⇔ =
m n
2 .2
m b
;
96
;m n 1
2 và
n
m n
.
24
3
8
4
6
8
3
1
24
2
12
6
4
12
2
24
1
2
48
6
16
12
8
16
6
Do đó:
4
24
8
12
24
4
48
2
; )a b 1260
a b =
15 1260
18900
Ta có:
Do đó:
m
n
Suy ra
a
b
a b
.
15
.
a b nên
nên
a
m b
;
n
15 và
;m n 1
4) ƯCLN ( , ) 15
ƯCLN ( , )a b . BCNN(
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
và BCNN(
a b
; )
.
a b = Do ) ƯCLN ( , ) 15
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
18900
18900
28 Website:tailieumontoan.com
84
a b
.
15 15
.
m n
.
m n
12
7
1
84
3
28
28
3
2
42
4
21
6
14
7
12
42
2
21
4
84
1
15
1260
30
630
45
420
90
210
105
180
180
105
420
45
630
30
315 1260
60
15
Mặt khác
60
315
Do đó:
m
n
Suy ra
a
b
8n +
12
6n + và
5n + và 3
7n +
7n +
3) 2
5n + và 4
n +
4) 5
và 3
7n +
1)
2) 2
Bài 9. Chứng minh rằng các cặp sau đây là nguyên tố cùng nhau, với mọi số tự nhiên n :
Lời giải
7n +
6n + và
.
7n + là hai số nguyên tố cùng nhau.
7n +
6n + và
5n + và 3
5n + và 3
7n +
d +
7n
)
+
d
6
d
d
−
+
⇒
n
5
d
d+
5n
+
.
7n
(
)
+
2 3
7n
)
+
7
và
(
n
2 3
−
14
7n + là hai số nguyên tố cùng nhau.
5n + và 3
5n + và 4
8n +
5n + và 4
8n +
d n
d
⇒
+
−
n
d
5
4
n
8n
8n + là hai số nguyên tố cùng nhau.
7n +
n +
12
và 3
7n +
1) Gọi d là ước chung của
d+
⇒ 6n
và
(
)
(
−
⇒ +
n
n
7
1 d⇒
1d⇒ = .
Vậy
2) 2
Gọi d là ước chung của 2
⇒ 2
và 3
5n
)
(
+
⇒
d
3 2
(
)
3 2
−
⇒ +
15 6
6
n
1 d⇒
1d⇒ = .
Vậy 2
3) 2
Gọi d là ước chung của 2
d+
⇒ 2
và 4
5n
(
+ và (
)
⇒
2 2
d
5n
(
(
)
2 2
−
−
⇒ +
10 4
4
8
n
2 d⇒
d = .
1d⇒ = hoặc
2
/+ ⇒ =
Vì 2
5 2
d
1
n
5n + và 4
Vậy 2
n +
và 3
4) 5
12
Gọi d là ước chung của 5
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
d n d+
.
)
+
8n
4
)
+
8
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
d
29 Website:tailieumontoan.com
−
+
⇒⇒
12
n
và 3
d
)
d
)
và
(
n
5 3
.
d
)
+
7n
)
+
7
d d
+
7n
(
5 3
12
và 3
7n + là hai số nguyên tố cùng nhau.
− −
36 15 n 35 d
+
⇒ 5
12
n
(
+
⇒
n
12
3 5
(
3 5
⇒ +
15
n
1 d⇒
1d⇒ = .
n +
Vậy 5
Bài 10. Chứng minh rằng
+
+
+ +
M =
9
21
8
21
7
21
1)
+ chia hết cho 2 và 5 .
2
... 21 1
2020
+ +
+
... 6
N = +
2)
23
chia hết cho 7 , nhưng không chia hết cho 9 .
24
6 6
2
+ +
+
+
... 4
4
P = +
4 4
chia hết cho 20 và 21.
3)
2
99
3
6
3
4
3
6
chia hết cho 43.
4)
+ + + Q = + 6 6 ... 6
+
+
9
21
8
21
7
21
M =
... 21 1
+ có 10 số hạng đều có chữ số tận cùng là 1 nên M
+ +
1)
có chữ số tậng cùng là 0 M⇒ chia hết cho 2 và 5 .
2020
2
+ +
+
N = +
... 6
2)
chia hết cho 7 , nhưng không chia hết cho 9 .
2020
6 6
2
+
6 6
+
2019
2020
2
4
+
+
+
+ +
...
6
6
+
6 6
N =
3
6
6
N = +
(
3
6
3
6
(
(
)
3
2019
+
+
+ +
N =
... 6
+ +
... 6
)
)
)
)
(
+
6 1 6
(
6 1 6
(
+
1 6
)
2019
=
+
+ +
N
7
⇒
N
3
6.7 6 .7 ... 6
2
.7
2020
+
+ +
3
6
... 6
+
2
2019
Lời giải
N = +
6 6
(
)
+ + + + N = 6. 1 6 6 ... 6
2
2019
+ +
... 6
2019
2
2019
K
3
6
Vì
K = + +
1 6 6
2
6 3;6 3; ...6
2
2019
+
3
/
3
6
K
⇒ + + + + 3 6 6 ... 6
3
K
K
+ +
... 6
⇒ = + +
/
Vì
1 6 6
⇒ =
N
3
2
24
23
+
+ +
+
P = +
... 4
chia hết cho 20 và 21.
3)
4 4
2
23
4
24
= +
+
+ +
9 /
P
4 4
... 4
4
4
+
( )
1
2
4
23
24
+
+
+
P =
+
4 4
3
4
4
+ +
...
4
4
(
(
+ ⇒
P
(
)
3
23
+
+
+ +
P =
... 4
(
+
4 1 4
(
4 1 4
(
+
1 4
)
)
)
)
)
23
3
=
+ +
+
P
4.5 4 .5 ... 4 .5
5
( )
2
⇒
P
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
6.
3
4
3
4
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
2
4
22
23
24
+
+
+
+
+
+
+
3
4
+
4 4
4
5
4
6
4 ...
4
4
4
+
30 Website:tailieumontoan.com
)
(
)
2
4
22
2
2
+
+ +
+ +
+ +
4 1 4 4
P =
4 1 4 4
... 4
+ +
1 4 4
)
.
(
(
)
)
(
Từ ( )1 và ( )2
(
P =
(
4
22
=
+
+ +
P
21
⇒
P
2
20P
)
4)
2
4
6
+
+
+
+
+
+
Q =
+
6 6
5
6
3
6
6
+ +
...
97
6
6
98
6
99
6
4.21 4 .21 ... 4 .21
3
99
6
)
+ 6 6 ... 6
chia hết cho 43.
(
)
)
97
2
4
2
2
+
+ +
+ +
Q =
+ +
6 1 6 6
6 1 6 6
... 6
+ +
1 6 6
)
(
)
)
(
(
4
97
Q = +
( + +
(
43Q⇒
+ + + 6.43 6 .43 ... 6 .43 Q =
Bài 11.
p +
26
đều là các số nguyên tố.
4p + và
a) Tổng hai số nguyên tố bằng 103. Hỏi tích hai số nguyên tố đó bằng bao nhiêu?
b) Tìm số nguyên tố p sao cho
a) Vì tổng hai số nguyên tố bằng 103 nên phải có một số nguyên tố chẵn là 2. Số
nguyên tố còn lại là 101.
Vậy tích hai số nguyên tố đó là: 2.101 202
4
2 4 6
2
=
4 3 4 7
= +
26 3 26
p +
29
=
p + = + = không là số nguyên tố (loại)
p + = + = là số nguyên tố;
p = ta có
p = ta có
là số
2k +
p > , p là số nguyên tố nên p có dạng 3
+
+ +
=
+
p
1
k=
3
1k + hoặc 3
p⇒ +
26
p
=
26 3
k
là hợp số
+ =
+ + =
p
2
k=
3
k
4 3
k
2 4 3
6 3
b) Với
Với
3
nguyên tố
Với
3
+) Nếu
+) Nếu
27 3
4p⇒ + là hợp số
k
1 26 3
+
p +
26
p = thì
3
đều là các số nguyên tố.
Lời giải
+ thì
+ thì
p
4p + và
Vậy với
Câu 12. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho:
a) n chia cho 3, 5, 6 có số dư theo thứ tự là 1; 3; 4
b) n chia cho 3, 5, 7 có số dư theo thứ tự là 2; 3; 4
c) n chia cho 8 dư 6, chia cho 12 dư 10, chia cho 15 dư 13 và chia hết cho 23.
n −
1 3 3
a) Vì n chia cho 3 dư 1 nên
nên
n − +
1 3
n +
2 3
4 6
3 5
hay
;
n −
+
+
n
n
Mà 3 3
Tương tự:
Suy ra
n −
2 5;
2 6
=
n
+ =
2
BCNN
3,5, 6
30
Vì n là số tự nhiên nhỏ nhất nên
(
)
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Lời giải
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
n =
28
Khi đó
2
2 3
hay 2
b) Vì n chia cho 3 dư 2 nên
(
)
n⇒ −
2 3
n −
n −
4 3
nên 2
n −
1 3
3 5
4 7
n − +
;
hay 2
−
n −
−
n
n
Mà 3 3
Tương tự:
Suy ra 2
4 3 3
n −
1 7
1 5; 2
=
2
n
− =
1
BCNN
3,5, 7
105
Vì n là số tự nhiên nhỏ nhất nên
(
)
= ⇒ =
n
n
53
106
Do đó 2
n −
6 8 8
hay
c) Vì n chia cho 8 dư 6 nên
nên
n −
n −
n − +
;
6 8
n +
2 8
10 12
13 15
+
n
Mà 8 8
Tương tự:
Suy ra
2 12;
2 15
n
+ ∈
2
BC
8,12,15
Do đó
)
+
n
(
3
12
; 15 3.5=
Ta có
⇒
2
2 .3
=
BCNN
=
)
8 2=
(
=
⇒ + ∈
n
8,12,15
BC
B
;
8,12,15
(
(
120
) {
=
}
0;120; 240;360;...
n⇒ ∈
120
)
2
{
}
118; 238;358;...
n ∈
Vì n chia hết cho 23 nên
598
n =
{
}
598;621;...
.
Vì n là số tự nhiên nhỏ nhất nên
31 Website:tailieumontoan.com
Câu 13. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài180m, chiều rộng là 150 m Người ta
muốn trồng cây xung quanh vườn sao cho mỗi góc vườn có một cây và khoảng
cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau. Tính khoảng cách lớn nhất giữa 2 cây liên
tiếp, khi đó tổng số cây trồng được là bao nhiêu? (khoảng cách giữa hai cây là số
tự nhiên và đơn vị tính bằng m).
Lời giải
*
x ∈ Ν
x
và x lớn nhất
2
2
2
=
2.3.5
=
=
2.3.5 30
,
180,150
Gọi khoảng cách giữa hai cây liên tiếp là x (m),
Theo bài ra ta có: 180 ,150
x
Suy ra x là ƯCLN (180,50)
=
150
180 2 .3 .5
)
ƯCLN (
30
+
=
180 150 .2 : 30
(cây).
x⇒ =
Vậy khoảng cách lớn nhất giữa 2 cây liên tiếp là 30 (m)
Khi đó tổng số cây trồng được là : (
22
)
Câu 14. Học sinh khối 6 có 195 nam và 117 nữ tham gia lao động. Thầy phụ trách muốn
chia ra thành các tổ sao cho số nam và nữ ở mỗi tổ đều bằng nhau. Hỏi có thể chia
nhiều nhất mấy tổ? Mỗi tổcó bao nhiêu nam, bao nhiêu nữ ?
Lời giải
*
x ∈ Ν
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Gọi số tổ có thể chia được là: x (tổ),
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
32 Website:tailieumontoan.com
x
x
và x lớn nhất Theo bài ra ta có: 195 ; 117
)
195,117
2
=
195 3.5.13;
=
117 3 .13
=
195,117
=
3.13 39
39
x⇒ =
Suy ra x là ƯCLN (
)
ƯCLN(
Vậy có thể chia được nhiều nhất 39 tổ.
Mỗi tổ có số bạn nam là: 195 : 39 5= (bạn)
Mỗi tổ có số bạn nữ là: 117 : 39 3= (bạn)
Câu 15. Người ta muốn chia 136 quyển vở, 170 thước kẻ và 255 nhãn vở thành một số
phần thưởng như nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng,
mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, thước kẻ, nhãn vở ?
Lời giải
*
x ∈ Ν
Gọi số phần thưởng có thể chia được là: x (phần thưởng),
x
x
x
và x lớn nhất Theo bài ra ta có: 136 ; 170 ; 255
)
136,170, 255
=
=
136
3
2 .17;
170
2.5.17;
=
255 3.5.17
136,170, 255
17=
Suy ra x là ƯCLN (
)
x⇒ =
17
ƯCLN(
Vậy có thể chia được nhiều nhất 17 phần thưởng.
Mỗi phần thưởng có số quyển vở là: 136 :17 8= (quyển vở)
(thước kẻ) Mỗi phần thưởng có số thước kẻ là: 170 :17 10=
(nhãn vở) Mỗi phần thưởng có số nhãn vở là: 255 :17 15=
Câu 16. Đội sao đỏ của một lớp 6 có ba bạn Nam, Bình, Dũng. Ngày đầu tháng cả đội trực
cùng một ngày. Cứ sau 7 ngày Nam lại trực một lần, sau 4 ngày Bình lại trực một
lần và sau 6 ngày Dũng lại trực một lần. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì cả đội lại cùng
trực nhật vào một ngày ở lần tiếp theo? Khi đó mỗi bạn đã trực nhật bao nhiêu
lần?
Lời giải
*
=
Gọi số ngày để cả ba bạn lại trực nhật vào cùng một ngày ở lần tiếp theo là x (ngày),
x ∈ Ν .
x BCNN
(7, 4, 6)
2
Theo bài ra ta có: , , và x là số ngày ít nhất nên 7x 4x 6x
2.3=
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Ta có: , 6 4 2=
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
2
=
=
BCNN
7, 4, 6
2 .3.7 84
33 Website:tailieumontoan.com
(
)
⇒ =
=
Suy ra
x BCNN
(7, 4, 6) 84
.
Vậy sau 84 ngày thì cả đội lại cùng trực nhật vào một ngày ở lần tiếp theo. Khi đó:
lần. Nam trực được 84 : 7 12=
21=
lần. Bình trực được 84 : 4
lần. Dũng trực được 84 : 6 14=
Câu 17. Số học sinh của một trường tổ chức để thăm quan khi xếp hàng 18, 24, 30 đều
thừa 6 học sinh. Tính số học sinh của trường đó, biết số học sinh nằm trong
khoảng từ 1000 đến 1200 học sinh.
Lời giải
x≤ ≤
1200
*
x ∈ Ν , 1000
. Gọi số học sinh của trường đó là x (học sinh),
6x − chia hết cho 18, 24 và 30.
Vì khi xếp hàng 18, 24, 30 đều thừa 6 học sinh nên
x
− ∈
6
BC
(18, 24,30)
=
=
Suy ra .
2.3.5
2
18 2.3=
24
3
2 .3
2
⇒
=
=
BCNN
(18, 24,30)
3
2 .3 .5 360
⇒
=
BC
(18, 24,30)
B
360
(
) {
=
}
0;360;720;1080;1440;...
Ta có: ; ; 30
x≤ − ≤
6 1194
x⇒ − =
6 1080
. Vì số học sinh nằm trong khoảng từ 1000 đến 1200 học sinh nên 994
x⇒ =
+ =
1080 6 1086
.
Vậy trường đó có 1086 học sinh.
Câu 18. Một trường tổ chức cho khoảng 700 đến 1200 học sinh đi thăm quan. Nếu xếp 30
hay 45 học sinh lên một xe thì đều thiếu 5 em, còn xếp 43 học sinh lên xe thì vừa
đủ. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh đi thăm quan.
Lời giải
x≤ ≤
1200
*
x ∈ Ν , 700
5x + chia hết cho 30 và
. Gọi số học sinh đi thăm quan của trường đó là x (học sinh),
Vì khi xếp 30 hay 45 học sinh lên một xe thì đều thiếu 5 em nên
45.
x
+ ∈
5
BC
(30, 45)
2
=
Suy ra .
2.3.5
=
45 3 .5
2
⇒
=
=
BCNN
(30, 45)
2.3 .5 90
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
; Ta có: 30
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
⇒
=
(30, 45)
90
BC
B
(
) {
=
}
0;90;180; 270;360; 450;540;630;720;810;900;990;1080;1170;1260;...
34 Website:tailieumontoan.com
x≤ ≤
1200
⇒ ≤ + ≤
705
5 1205
x
x⇒ + ∈
5
{
}
720;810;900;990;1080;1170
x⇒ ∈
Vì số học sinh nằm trong khoảng từ 700 đến 1200 học sinh nên 700
{
}
715;805;895;985;1075;1165
.
x =
1075
Mà xếp 43 học sinh lên xe thì vừa đủ nên suy ra .
Vậy số học sinh đi tham quan của trường đó là 1075 học sinh.
Bài 20. Số học sinh khối 6 của một trường trong khoảng từ 350 đến 700 học sinh. Nếu
xếp mỗi hàng 8 em, 10 em, 12 em thì thừa 2 học sinh, còn xếp mỗi hàng có 14 em
thì vừa đủ. Hỏi số học sinh khối 6 của trường đó có bao nhiêu em ?
a≤ ≤
700
.
Lời giải
*
a ∈ Ν , 350
2a − là bội
8,10,12
− ∈
2
BC
a
Gọi số học sinh cần tìm là a (học sinh),
Vì khi xếp mỗi hàng 8 em, 10 em, 12 em thì thừa 2 học sinh nên
chung của 8;10;12 . Do đó
(
)
=
=
2
2 .3
Ta có:
;
⇒
=
BCNN
=
8,10,12
B
a
− ∈
2
}
0;120; 240;360; 480;600;720;...
3
=
8 2 ;10
(
8,10,12
(
2.5;12
)
)
3
=
2 .3.5 120
) {
=
(
120
a⇒ ∈
}
2;122; 242;362; 482;602;722;...
BC
{
a ∈
a< <
500
Mà 350
nên
{
}
362; 482;602
602
a =
Mặt khác khi xếp hàng 14 em thì vừa đủ nên
Ta tìm được
Vậy học sinh khối 6 của trường đó có 602 học sinh
14a
Bài 21. Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng 20, 25 hoặc 30 đều dư 15 người. Nhưng xếp hàng
41 thì vừa đủ. Tính số bộ đội của đơn vị đó, biết số người chưa đến 1000 .
Lời giải
*
a ∈ Ν ,
1000
a −
15
.
là bội chung của
Gọi số bộ đội của đơn vị đó là a (người),
a ≤
Vì khi xếp mỗi hàng 20, 25,30 thì thừa 15 người nên
a
− ∈
15
BC
20, 25,30
20, 25,30 . Do đó
(
)
2
2
=
20
2.3.5
;
Ta có:
2
⇒
=
=
BCNN
=
(
=
2 .5; 25 5 ;30
)
=
a
− ∈
15
20, 25,30
BC
B
20, 25,30
(
2
2 .3.5
(
)
}
0;300;600;900;1200;...
a⇒ ∈
300
) {
=
300
{
}
15;315;615;915;1215;...
a ∈
a <
1000
Mà
nên
{
}
15;315;615;915
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
35 Website:tailieumontoan.com
615
a =
Mặt khác khi xếp hàng 41 em thì vừa đủ nên
Ta tìm được
Vậy bộ đội của đơn vị đó có 615 người.
41a
Bài 22. Tính số học sinh khối 6 của một trường biết nếu xếp hàng 3, 4,5 thì đều thiếu 1 học
sinh. Nếu xếp hàng 7 thì vừa đủ. Tính số học sinh của khối 6 biết số học sinh ít
hơn 350 .
Lời giải
*
a ∈ Ν ,
.
350
1a + là bội chung của 3, 4,5 .
Gọi số học sinh cần tìm là a (học sinh),
a ≤
Vì khi xếp mỗi hàng 3, 4,5 thì thiếu1 học sinh nên
a
+ ∈
1
BC
3, 4,5
Do đó
(
)
2
=
Ta có:
= ;
2
⇒
=
=
BCNN
=
B
a
+ ∈
1
60
3, 4,5
=
3 3; 4
(
3, 4,5
(
2 ;5 5
)
)
2 .3.5 60
) {
=
(
}
0;60;120;180; 240;300;360;...
a⇒ ∈
a ∈
a <
350
Mà
nên
BC
{
}
59;119;179; 239; 299;359;...
{
}
59;119;179; 239
119
a =
Mặt khác khi xếp hàng 7 em thì vừa đủ nên
Ta tìm được
Vậy học sinh khối 6 của trường đó có119 học sinh
=
=
AB
6 cm;
AC
3cm
,B C sao cho
.
7a
II. HÌNH HỌC
Câu 1. Trên tia Ax lấy hai điểm
CD =
6 cm
. Chứng tỏ A là trung
a) Tính độ dài đoạn thẳng BC
b) Hỏi C có là trung điểm của đoạn thẳng AB không? Vì sao?
c) Trên tia đối của tia Cx lấy điểm D sao cho
điểm của đoạn thẳng CD .
Lời giải
x
D
A
C
B
>
=
=
AB
AC
3cm
6 cm
,A B .
nên điểm C nằm giữa hai điểm
=
=
= − =
−
BC AB AC
6 3 3cm
nên
=
3cm
AC CB=
,A B và
nên C là trung điểm của
=
>
=
a) Trên tia Ax
Vậy AC CA BC
+
b) Ta có C nằm giữa hai điểm
đoạn thẳng AB .
c) Ta có D nằm trên tia đối của tia Cx . Trên tia đối của tia Cx có
CD
6 cm
3cm
AC
=
nên A nằm giữa hai điểm
−
= − =
=
AD DC AC
6 3 3cm
;C D .
nên
Vậy DA AC DC
+
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
=
AC AD=
3cm
nên A là trung điểm của đoạn thẳng
A nằm giữa hai điểm CD và
CD .
=
=
=
,
OA
3cm;
OB
5cm;
OC
8cm
,A B C sao cho
.
36 Website:tailieumontoan.com
Câu 2. Trên tia Ox lấy ba điểm
,
AB AC BC .
,
OD =
2 cm
. Chứng tỏ A là trung
a) Tính
b) Lấy điểm D trên tia đối của tia Ox sao cho
điểm của đoạn thẳng CD .
=
>
=
OB
5cm
OA
3cm
a) Trên tia Ox ta có
,O B .
=
nên điểm A nằm giữa hai điểm
= − =
−
=
5 3 2 cm
AB OB OA
−
(tính chất cộng đoạn thẳng) nên
= − =
=
= − =
−
=
8 3 5cm
AC OC OA
BC OC OB
8 5 3cm
;
,A D .
= + =
+
=
AD AO OD
3 2 5cm
,O C nên A nằm
AC AD=
5cm
,C D và
nên A là trung điểm của đoạn thẳng CD .
Lời giải
Vậy OA AB OB
+
Tương tự ta có
b) D nằm trên tia đối của tia Ox nên O nằm giữa hai điểm
Ta có
D nằm trên tia đối của tia Ox , trên tia Ox có A nằm giữa hai điểm
=
giữa hai điểm
=
=
=
,
OA
6
cm OB
,
cm OC
3
,
9
cm
,A B C sao cho
.
Câu 3. Trên tia Ox lấy các điểm
a) So sánh AB và AC .
b) Chứng tỏ B là trung điểm của OA .
c) Chứng tỏ A là trung điểm của BC .
a)
<
<
OB OA cm
3
cm
6
Trên tia Ox ta có
nên điểm B nằm giữa hai điểm O và A do
(
)
(tính chất cộng đoạn thẳng)
đó
OB BA OA
3
+
BA+
=
=
6
= − =
6 3 3
BA
)
=
=
AB AC
cm
3
Vậy
(
cm
(
)
<
OA OC cm
cm
9
6
b) Vì B nằm giữa hai điểm O và A mà AB AC=
<
c) Trên tia Ox ta có
nên B là trung điểm của OA .
nên điểm A nằm giữa hai điểm O và
(
)
C
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Lời giải
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
=
AC+
nên OA AC OC
+
=
9
6
= − =
9 6 3
AC
cm
.
)
(
<
<
OB OC cm
3
cm
9
Trên tia Ox ta có
nên điểm B nằm giữa hai điểm O và C
(
)
=
BC+
nên OB BC OC
+
=
9
3
= − =
9 3 6
BC
cm
.
(
=
AC AB=
Ta có
do đó A là trung điểm của BC .
)
BC
2
cm=
8
CD
37 Website:tailieumontoan.com
. Biết E là trung điểm của đoạn thẳng CD . Câu 4. Cho đoạn thẳng
b) Lấy điểm M trên đoạn thẳng CE , điểm N trên đoạn thẳng DE sao cho
=
2
cm
. Hỏi điểm E có phải là trung điểm của đoạn thẳng MN không?
=
CM DN
Vì sao?
a) Tính CE .
a)
Vì E là trung điểm của đoạn thẳng CD nên
=
=
=
=
CE ED
cm
4
.
)
(
CD
2
8
2
=
+
b) Ta có M thuộc đoạn thẳng CE nên điểm M nằm giữa C và E
CM ME CE
+
= ⇒ = − =
ME
4 2
4
2
ME
cm
2
.
(
+
=
)
Ta có N thuộc đoạn thẳng DE nên N nằm giữa E và D suy ra
EN ND ED
+ = ⇒ = − =
EN
2 4
4 2 2
EN
cm
.
(
)
=
=
EN ME
cm
2
Ta có EC và ED là hai tia đối nhau mà M nằm giữa C và E , N nằm giữa E
và D do đó EM và EN là hai tia đối nhau suy ra E nằm giữa M và N .
Mặt khác
.
(
)
Vậy E là trung điểm của đoạn thẳng MN .
OA =
2 cm
OB =
6 cm
,
.
Lời giải
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB .
b) Gọi M là trung điểm của AB . Chứng tỏ A là trung điểm của OM .
c) Trên tia đối của tia Ox lấy điểm C sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng
AC . So sánh CM và OB .
Câu 5. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Lời giải
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
x
38 Website:tailieumontoan.com
M
B
O
C
A
=
=
<
OB
OA
2 cm
6 cm
.
(tính chất cộng đoạn thẳng)
2
a) Trên tia Ox , ta có:
Nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B .
⇒ +
=
OA AB OB
=
AB+
6
AB⇒ = − =
6
2
)m
(
4 c
b) Vì M là trung điểm của AB
=
=
=
AM MB=
2
Nên
(
)m
c
⇒ =
=
OA AM
AB
2
2 cm
(
)
4
2
( )1
=
=
2
.2
AM=
2.
OM
m
Vì M là trung điểm của AB
Nên M và B nằm cùng phía với A
Mà O và B nằm khác phía với A (vì A nằm giữa hai điểm O và B )
Suy ra: M và O nằm cùng phía với A
⇒ A nằm giữa hai điểm O và M ( )2
Từ ( )1 và ( )2 ⇒ A là trung điểm của OM
c) Vì A là trung điểm của OM
)
Nên
(
4 c
=
CO OA=
(
2 cm
Vì O là trung điểm của đoạn thẳng AC
)
Nên
Vì tia OC và tia OM là hai tia đối nhau
Nên điểm O nằm giữa hai điểm C và M
⇒
= + =
=
+
CM CO OM
2 4 6 cm
(
)
⇒ =
=
OB CM
6 cm
.
(
)
OM =
6 cm
4 cm
điểm N sao cho
và
của các đoạn thẳng OM , ON .
NC =
1cm
. Điểm O có là trung
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB .
b) Trên tia đối của tia Ny lấy điểm C sao cho
điểm của đoạn thẳng AC không? Vì sao?
c) Tính độ dài đoạn thẳng CM .
Câu 6. Trên đường thẳng xy lấy điểm O . Trên tia Ox lấy điểm M và trên tia Oy lấy
ON =
. Gọi A và B lần lượt là trung điểm
y
x
Lời giải
M
A
O
B
C
N
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
a) Vì A là trung điểm của OM
=
=
=
OA AM=
3
Nên
(
)m
c
OM
2
6
2
Vì B là trung điểm của ON
=
=
=
OB BN=
2
Nên
(
)m
c
ON
2
4
2
Vì hai tia Ox và Oy đối nhau
Nên điểm O nằm giữa hai điểm A và B
= + =
⇒ =
+
AB OA OB
3 2 5 cm
(
)
=
<
=
NC
NO
1cm
4 cm
.
NC CO NO
1
4
=
⇒ =
OA OC
( )1
b) Trên tia NO , ta có:
Nên điểm C nằm giữa hai điểm N và O .
⇒ +
=
=
CO+
4
(
)m
CO⇒ = − =
1 3 c
)cm3
(
Vì hai tia OA và OC đối nhau
Nên điểm O nằm giữa hai điểm A và C ( )2
Từ ( )1 và ( )2 ⇒ O là trung điểm của AC
c) Vì hai tia OM và OC đối nhau
Nên điểm O nằm giữa hai điểm M và C
⇒
= + =
+
=
MC OM OC
6 3 9 cm
)
(
cm=
8
.
BC
cm=
5
.
Trên tia
d) Vẽ đoạn thẳng
cm=
2
AD
Lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho
.
AB
đối của tia AB lấy điểm D sao cho
a)Chứng tỏ C là trung điểm của BD
b) Lấy điểm E là trung điểm của AD , trên đoạn thẳng BC lấy điểm F sao cho
BF
cm=
1
.
39 Website:tailieumontoan.com
Chứng tỏ C là trung điểm của EF .
Lờigiải
5cm
1cm
F
B
A
2cm
E
D
C
8cm
a) Vì điểm C thuộc đoạn thẳng AB nên
=
+
AC CB AB
AC + =
5
8
AC = −
8 5
cm=
AC
3
Vì AC và AD là hai tia đổi nhau
⇒ A nằm giữa hai điểm C và D
⇒ +
DC
=
AD AC DC
= + =
cm
5
2 3
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
=
Vì AB và AD là hai tia đổi nhau
⇒ A nằm giữa hai điểm B và D
⇒ +
BD
AD AB BD
= + =
cm
2 8 10
=
=
DC CB
cm
=
( 5
)
Ta có
DB
2
Vậy C là trung điểm của đoạn thẳng BD .
b) Vì E làtrungđiểmcủa AD
=
=
=
⇒ =
DE EA
cm
1
2
2
F⇒ cũng thuộc đoan thẳng AB
=
=
EC CF
=
( 4
cm
)
Ta có
DA
2
Vì AD và AB là hai tia đối nhau
Mà E AD∈
, C AB∈
⇒ AE và AC là hai tia đối nhau
A⇒ nằm giữa hai điểm E và C
⇒ +
=
EA AC EC
⇒ = + =
cm
EC
4
1 3
Vì F thuộc đoan thẳng BC
=
⇒ +
BF FC BC
=
⇒ +
CF
5
1
= − =
CF
cm
5 1 4
Vìđiểm F thuộc đoạn thẳng BC
=
⇒ +
AF FB AB
AF⇒ + =
1 8
= − =
AF
cm
8 1 7
Vì AD và AB làhai tia đối nhau
Mà E AD∈
, F AB∈
⇒ AE và AF là hai tia đối nhau
A⇒ nằm giữa hai điểm E và F
⇒ +
=
EA AF EF
⇒ = + =
cm
EF
8
1 7
EF
2
C⇒ là trung điểm của EF .
AB
AC
cm=
.
4
Trên tia AB lấy điểm C sao cho
40 Website:tailieumontoan.com
Bài 8. Cho đoạn thẳng
cm=
3
.
BD
Tính độ dài đoạn thẳng
cm=
7
.
.BC
a) Tính độ dài đoạn thẳng
b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho
.CD
c) Điểm B có là trung điểm của đoan thẳng CD không? Vì sao?
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Lờigiải
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
41 Website:tailieumontoan.com
3cm
7cm
A
C
B
D
4cm
a) Vì điểm C thuộc đoạn thẳng AB nên
=
+
AC CB AB
BC + =
4
7
BC = −
7 4
cm=
BC
3
=
=
( 3
)
=
BC BD
cm
c) Ta có
b) Vì BC và BD là hai tia đối nhau
B⇒ nằm giữa hai điểm C và D
=
⇒ +
BC BD CD
⇒ = + =
cm
6
CD
3 3
CD
2
B⇒ là trung điểm của
.CD
Bài 9. Cho n điểm phân biệt. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng.
n =
10
a) Nếu và không có 3 điểm nào thẳng hàng thì có tất cả bao nhiêu đường thẳng?
n =
20
và trong đó có 5 điểm thẳng hàng thì có tất cả bao nhiêu đường thẳng? b) Nếu
c) Nếu không có 3 điểm nào thẳng hàng và có tất cả 120 đường thẳng thì n bằng bao
nhiêu?
Lời giải
a) Cho 10 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm
phân biệt ta vẽ được một đường thẳng. Chon một điểm bất kì trong 10 điểm đã cho nối
với 9 điểm còn lại ta được 9 đường thẳng. Cứ làm như thế với 10 điểm số đường thẳng
được tạo thành là :9.10=90( đường thẳng).
Nhưng nếu làm như thế thì mỗi đường thẳng sẽ được tính làm 2 lần.
Do đó với 10 điểm phân biệt trong có không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường
thẳng được tạo thành thực chất chỉ có:90:2=45( đường thẳng).
b) Giả sử cho 20 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường
thẳng được tạo thành sẽ là:19.20:2=190( đường thẳng).
+Giả sử qua 5 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường
thẳng được tạo thành sẽ là:4.5:2=10( đường thẳng).
Nhưng qua 5 điểm thẳng hàng ta chỉ kẻ được 1 đường thẳng.
Như vậy số đường thẳng sẽ bị giảm đi là:10-1=9(đường thẳng)
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Do đó cho 20 điểm phân biệt trong đó có 5 điểm thẳng hàng thì số đường thẳng được tạo
thành sẽ là:190-9=181( đường thẳng).
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
42 Website:tailieumontoan.com
)
1
c) Cho n điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng
(
n n −
.
2
được tạo thành sẽ là: ( đường thẳng)
)
1
Mà theo bài rat a có tất cả 120 đường thẳng được tạo thành.
(
n n −
.
2
240
(
n n⇒
.
)
− =
1
− < . Mà 240=15.16
⇒ = 120
1n
n
1n − và n là hai số tự nhiên lien tiếp và
n⇒ =
16.
Vì
n =
16
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Vậy là giá trị cần tìm.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
43 Website:tailieumontoan.com
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KÌ II
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C A C A A C C A D
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C D B C C D
− là
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Số đối của
1 1
3 8
−
5
24
24
5
−
24
5
5
24
B. . C. . D. . A. .
Lời giải
− =
−
=
.
1 1
3 8
8
24
3
24
5
24
Chọn B
5
24
−
5
24
Số đối của là .
Câu 2. Số 1,75 được viết dưới dạng phần trăm là
A. 1, 75% . B. 17,5% . C. 175% . D. 1750% .
Lời giải
=
=
Chọn C
1, 75
175%
175
100
=
−
A
1
1, 25
−
3, 6 2
là
.
Câu 3. Giá trị của
1
2
2
5
10
3
3
10
−
10
3
4
5
B. . A. . C. . D. .
Lời giải
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Chọn A
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
=
−
A
1, 25
−
3, 6 2
1
2
5
1
2
−
=
A
5
4
18 12
−
5
5
=
=
=
A
3
2
1 6
.
4 5
6
20
3
10
44 Website:tailieumontoan.com
A. B. . . C. . D. .
Câu 4. Số nghịch đảo của 75% là
−
3
4
−
4
3
4
3
3
4
Lời giải
=
75%
75
100
3
= .
4
Chọn C
3
4
4
3
(
)
(
⋅
B
:
A
và
. So sánh A và B ta được
là . Số nghịch đảo của
Câu 5. Cho
1
= −
3
)3
−
5
9
12
−
5
3
2
1
5
2
2
= +
3
A.
B. =A B . C. >A B . D. ≥A B .
Lời giải
−
(
= − =
.
A
2
3
4
5
−
2
15
2
= +
3
)
5 12
⋅
25
3
−
(
)
= + =
.
:
B
3
5
1
3 12
= +
.
3 5 9
1
3
4
5
17
15
1
= −
3
9
12
<
Chọn A
−
2
15
17
15
A. B. .
4cm≤OM
4cm>OM
D. . C. .
Câu 12. Chọn khẳng định sai với hình vẽ sau
M
A. MP là cạnh chung của ∆MNP và ∆MQP .
B. Có 3 tam giác.
C. Có 6 đoạn thẳng.
Q
N
P
D. Có 6 góc.
Câu 13. Điền số thích hợp vào (…) trong bảng dưới đây.
−
0, 25
+
=
…
1 2
−
−
×
− 1
0,25
=
…
×
1 4
=
=
…
=
…
…
+
Câu 14. Cho tam giác ABC . Đường thẳng a không đi qua các đỉnh của tam giác và cắt hai
,
.
AB AC Điền vào chỗ trống (…) cho đúng:
cạnh a) Điểm B và điểm........... nằm cùng phía đối với đường thẳng a .
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
b) Điểm B và điểm..…..... nằm khác phía đối với đường thẳng a .
9 Website:tailieumontoan.com
Câu 15. Cho hình vẽ bên, điền vào chỗ trống (…) cho đúng:
F
C
a) Các điểm nằm bên trên đường tròn (
)O là…………..
E
)O là ……
B
A
)O là………
O
D
)O là…………… )O là……..
)O là…….
b) Các điểm nằm bên trong đường tròn ( c) Các điểm nằm bên ngoài của đường tròn ( d) Các dây cung của đường tròn ( e) Các bán kính của đường tròn ( g) Đường kính của đường tròn (
=
°
=
90 ; yOz
° 35
. Góc tOz có số đo
Câu 16. Cho hình bên, biết xOt
t
là:
z
O
x
y
B. 55° . A. 35° .
=
+
+
A
+ + ...
là
D. 145° . C. 90° .
Câu 17. Giá trị của
5 2.4
5 4.6
5 48.50
5 6.8 5 6
12 15
6 5
. B. C. . D. . A. 3 .
Câu 18. Bạn Minh dự định đọc một quyển sách dày 105 trang trong 3 tuần. Minh đã đọc
tổng số trang sách trong tuần đầu. Số trang sách mà Minh còn phải đọc
được
3 7
trong hai tuần sau là: ..... trang.
= + +
A
+ + ...
với các số 98 và 99
Câu 19. So sánh giá trị biểu thức
3 4
<
<
A
< 98 99
99
99=A
8 15 9 16 < A.
A. . . D. . B. 98 99<
9999 10000 C. 98
số thứ nhất bằng số thứ hai và bằng số thứ 9
11 2
3 6
7 B. 61; 65; 84. C. 62; 67; 81. D. 63; 66; 81. II. PHẦN TỰ LUẬN + − − b) c) a) −
1
1
1
10 12 15 −
2
3 1
1
+ − +
2
6 3
4 Dạng 1. Thực hiện phép tính 1
2 − − + + + . . d) e) f) 1
16
+
21 2 1 7
.
9 9 + . . . : g) h) i) ( )
−
3 8
9
7 5
:
8 4 1 2
.
9 9
−
10
7
3
−
4
−
5
4
23
21
− − −
8
5
9
8 27
23
1
3
.
2 4 17 24 10
18 25 51
1
6
6
5 TÀI LIỆU TOÁN HỌC − + + + + −
2 +
0, 2 1, 75 0, 7 18 1 3,5 8 c) b) a) 2
3 5
− +
6 2
17 15
23 3
15
+
17 19 8
23 10 Website:tailieumontoan.com − + − .2,8 1, 75 0, 6 d) e) f) 2
19
−
21 3 3
11 2
3 3
4 4
5
. 2
0,5 .
− + − g) h) 3, 2. : 3 i) 1
3 .12
9 5
7 5
9 .3
7 1
9 2
3 .6
5 1
4 2
3 .3
5 3
4 15
64 2
3 2
3
4
+
5
− = − =x x b) a) 4
15 −
16 5
.
25 64 2 − x x − =
2 d) c) − −
9
4
.
12 3 23
25 −
4
=
5
− = + = 8 50 : 0, 4 51 x x b) )
1,5 : 3 a) ( −
5
8 4
5
+ − = = x .2 1 35% x − −
1 25% d) c) 12
16 5
6 2
5 1
4
số thứ nhất bằng số thứ hai. 5
32 3
16 Dạng 3. Toán đố 5
6
số học sinh khá, còn lại là học sinh trung bình. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh
trung bình ? 2
5 Bài 10. Bạn An đọc một cuốn sách, ngày đầu An đọc được số trang sách, ngày thứ hai An đọc 2
3 số trang sách còn lại, ngày thứ 3 An đọc 10 trang sách cuối cùng. Hỏi quyển được TÀI LIỆU TOÁN HỌC sách có bao nhiêu trang? 11 Website:tailieumontoan.com 1
2 1
8 Bài 11. Cuối học kì 1 lớp 6A có số học sinh đạt học sinh giỏi, số học sinh đạt học sinh khá. Còn lại là học sinh trung bình. Biết số học sinh khá nhiều hơn số học sinh trung bình là 5
em. a. Tính số học sinh lớp 6A. b. Tính số học sinh mỗi loại. ° . Dạng 4: Hình học xOy Bài 12. Cho hai góc kề bù xOy và yOz , với 80= = ° yOt a) Tính góc yOz . . Tia Ox có b) Trên nửa mặt phẳng bờ Oy có chứa tia Ox vẽ tia Ot sao cho 160
là tia phân giác của yOt không? Vì sao? c) Tia Om là tia phân giác của góc yOz . Tính góc mOx . ° xOy và 30=
xOz . Gọi ′Oy là tia đối ° ′
xOy . ′Oy . ′
zOy . của tia Oy .
a) Tính số đo góc
b) Giải thích vì sao tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và
c) Tính số đo góc ° xOy , . 125
°
=
xOz
a) Trong 3 tia Ox , Oy , Oz tia nào nằm giữa 2 tia còn lại. Vì sao?
b) Tính số đo góc yOz .
c) Vẽ Ot là tia phân giác của yOz . Tính số đo zOt .
d) Tính số đo xOt . , 120
60=
°
=
°
xOy
a) Tính số đo yOz .
b) Chứng tỏ Oy là tia phân giác của xOz .
c) Vẽ tia Om là tia đối của tia Ox , On là phân giác của góc mOz . Chứng tỏ nOz
và yOz phụ nhau. xOz Dạng 5: Bài tập nâng cao TÀI LIỆU TOÁN HỌC − 13 10 . 3
5
của A là . a) 25
7 − 31 11, 25 : 5 3
14
)
( 5
2
5
6 − + 1,95 : 20%. 5
4 7 1
.
4 5 . b) 35% của A là − 1 : 0,8 .1,8 5
21 1
2
1
7 = < S + +
... . Chứng minh 12 Website:tailieumontoan.com 3
5 4
5 1
60 + = ≥ + +
... , x 2 . ( ) ∈
x 1
1
+
31 32
1
1
4.6
2.4 3
16 x 2 x − = A . Tìm n nguyên để: (
−
+
1 3
2
n
n
5
+
−
−
n
n
3
3 1
)
−
2 .2
−
4
n
5
−
n
3 a) A nhận giá trị nguyên.
b) A là phân số tối giản. TÀI LIỆU TOÁN HỌC 13 Website:tailieumontoan.com A = 3 B x x {
}
3; 4;5 {
= ∈ ≤ − < ≤ }
4 Bài 1 Cho tập hợp và . nó. 1) Hãy viết tập hợp B bằng cách liệt kê các phần tử và tính tổng các phần tử của hai phần tử của A . 2) Cho biết tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con và viết tất cả các tập hợp con có 3) Tìm A B∩ . Lời giải B 3 x x }
2; 1;0;1; 2;3; 4 {
= ∈ ≤ − < ≤ } {
= − −
4 1) . ∅ , A , { } { } { } { }
3 , 4 , 5 , 3; 4 , 4;5 , 3;5 } { } { 2) Các tập con của A là }
3; 4 , 4;5 , 3;5 } { } { A B∩ = Các tập con có hai phần tử của A là { }3; 4
{ M = 3) . {
}
1;3;5;7;...;99 . Bài 2 Cho tập hợp của nó. 1) Hãy viết tập hợp M bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử 2) Tìm số phần tử của tập hợp M . = = ≤ Lời giải M B * x {
}
1;3;5;7;...;99 {
= ∈
x }
99 + = 1) . 1 99 −
99 1
1 . 2) Số phần tử của tập hợp M là: − + 1) 29.73 29.28 29
+
+
2) + + − 213 28 28 213 3) 26 .37 12.38.3 18.25.2
(
+ −
+ −
− )
16
− + − − 316 115 29 4) (
− − ) (
−
115 316 ) + − + 31 99 5) (
+ − ) 11 − + − + 180 : 33 2
4 .5 6) 18
(
9
14 3 : 3 )
}
− + 160 2020
1 7) (
−
12 4 )2 − +
31 18
{
−
120
2 − − + − 514 4. 40 8. 6 3 12 8) ( ) Bài 3: Thực hiện phép tính ( Tính hợp lý nếu có thể)
TÀI LIỆU TOÁN HỌC 3 − − − − + 4 18.3 : 6 24 324 9) ( )3
1600
− + − + +
+ + 10) 1 5 9 13 ... 393 397
−
20) 121.33 65.33 186.67 − + + + − 126 64 82 126 64 ) 21) ( (
+ − ) ( ) − + − − − − − 164 135 298 164 135 22) ( ) ( ) 2 − − + 8 240 49 .3 135 :18 23) ( )
− −
2020 5 364 24) )2 (
−
19 9
2 2 14 Website:tailieumontoan.com 25) ( ) − − − + 658 4 6 72 6 99 + + − 1024 : 2 53 100
9 : 9 26) (
3
160 : 3 ) − 173 +
1324 827 −
27) (
− − ) (
+
139 324 ) − + − + − − + 28) 2 4 6 8 ... 238 240
5. 128
1) 29.73 29.28 29
−
+
)
−
+
=
29. 73 28 1 ( + =
=
2)
= +
+ + 29.100
2900
26 .37 12.38.3 18.25.2
36.37 36.38 36.25 = + +
36. 37 38 25 ) ( = − + + − + − 28 213 28 213 3) ) =
36.100 3600
(
+ −
16
= − + +
28 16 213 +
28 213 (
+ − ) + + +
28 28 213 213 16 (
= − ) ) (
+ −
= = + + 0 0 16 16
− + − − 316 29 4) )
115 (
− − (
−
115 316 ) + − + +
316 316 29 = −
(
= − +
) = = + + 29 0 0 29
− + + − + 316 115 29 115 316
(
)
+
−
+
115 115
31 31 18 18 99 5) = − + − + (
+ −
+ 31 18 31 18 99 ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Lời giải = − + + + 99 )
31 31 ( (
−
18 18 ) = + + = 0 0 99 99 11 − − + 2
4 .5 33 6) ) }
= − + (
9
+
14 3 : 3
}2
)
= +
16.5
[ (
+
14 3
}
]
−
80 23 = + {
180 :
{
180 : 33
{
180 : 33
{
}
180 : 33 57 = =
2 − − + 160 2020
1 7) (
−
12 4 )2 180 : 90
120
2 = − − + 160 1 = − 160 +
1
120 8
[
−
120 64
] = + = −
160 56 1 105 2 + − − − 514 4. 40 8. 6 3 12 8) ( ) }
= − + − = − − + }
514 4. 40 8.9 12
}
514 4. 40 72 12 {
{
{ =
= 3 + − − − − 324 4 18.3 : 6 24 9) )3 −
514 4.100
=
−
514 400 114
(
1600
= + − − 324 −
64 54 24 ( )3
= + − 324 24
1600
[
−
1600 1000 ] −
= − 4 4 =
=
10) 1 5 9 13 ... 393 397
+ +
)
(
= − + − + + − ( Có 50 số -4 )
4
... +
324 600 24
−
924 24 900
− + −
)
( 4.50 + = −
= −
200
+
11) 121.33 65.33 186.67 = + + 33.(121 65) 186.67 =
= +
33.186 186.67
+
186.(33 67) − + + − 126 64 82 126 64 =
=
12) ( 186.100
18600
)
+ (
+ − ) ( ) + + + 126 −
126 64 64 82 ) (
= −
82= TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com − + − − − − − 164 135 298 164 135 13) ( ) ( 16 Website:tailieumontoan.com + − − 164 +
135 298 164 135 + + − 164 −
164 135 135 298 )
) (
= −
(
= −
= − 2 − − + 240 8 49 .3 135 :18 14) ) 298
(
= − − 240 ) (
= − + 240 +
64 49 .3 135 :18
] = − + 240 45 135 :18
[
15.3 135 :18
( ) =
=
= −
240 180 :18
−
240 10
230 − −
2020 5 364 15) (
−
19 9 )2
2 = − − = − −
2020 5 364 10
[
2020 5 364 100
] =
=
= −
2020 5.264
−
2020 1330
690 2 2 ) 16) ( ) − + − − 72 658 4 6 2 − + = − 72 658 + = − 658
[ }
}
] = − 658
= = − 6 99 + + − 1024 : 2 53 100
9 : 9 17) 658 500 158
(
3
160 : 3 ) = + + 1024 : 64 160 : 27 53 −
9 ) =
=
= − 173 +
1324 827 −
18) (
−
+
16 160 : 80 9
+ −
16 2 9
− =
18 9 9
(
− − ) (
+
139 324 ) − = −
= +
− −
+ − −
− − 173 1324 827 139 324
1324 324 ( 173 827) 139
− + − = 1000 ( 1000) 139 139 = −
− + − + − − + 19) 2 4 6 8 ... 238 240 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5. 128
{
5. 128 10
{
−
5. 128 100 72
{
}
5.100 + + + + = − + + + 4 8 ... 240 2 6 ... 238 ( ) ) − +
236 : 4 1
+
59 1 + 240.60 : 2
14400 : 2
7200 − + + 244.60 : 2
14640 : 2
7320
2 4 6 8 ... 238 240 (
= -A + B
Số số hạng của A là
+
(238 2) : 4 1
=
=
60=
Tổng của A là
)
(
238 2 .60 : 2
=
=
=
Số số hạng của B là
)
(
+
240 4 : 4 1
+
=
236 : 4 1
=
+
59 1
60=
Tổng của B là
)
(
240 4 .60 : 2
=
=
=
− + − + − −
+
= −
7200 7320
= 17 Website:tailieumontoan.com = − x − 45 48 68 − = − + − +
2. 35 5.(6 x ) ( 12) | 112 | −
126 3. −
9x [ ] 1. − = − 3. x−
157 ( 124) 483 2 − = − + 4. x−
46 (3 2) ( 38) 20 + = − − 5. 13 | x− 7 10 6 | 3 2 2 = − 6. (2 x − 5) 15 4.5 − 7. x− − =
| 4 18 |12 | − = 8. |16 x −
2).(15 3 ) 0 x TÀI LIỆU TOÁN HỌC 9. ( + = x−
10. 117 ( 5) + −
26 ( 9) − − + 18 Website:tailieumontoan.com x 5) (2 x 7) = −
8 + + 11. ( ( x + +
1) ( x 2) + +
... ( x =
50) 1475 12. = − Lời giải x − 45 48 68 = − x − 45 20 x = − +
20 45 x = 25 − = − + − +
2) 35 5.(6 x ) ( 12) | 112 | − = − +
35 5.(6 x ) +
( 12) 112 − = +
35 5.(6 x ) 100 − = 5.(6 x− ) 100 35 5.(6 x− =
) 65 6 x− = 65 : 5 6 x− = 13 x = − 6 13 x = −
7 − − − = 3)126 3. x ( 4) 24 [ ] = x − − ( 4) −
126 24 3. ] [ = 3. x − − ( 4) 102 ] [ x − − = ( 4) 102 : 3 x − − = ( 4) 34 x = + −
34 ( 4) x = 30 − = − 124) 483 x−
4) 157 ( − − = 124 157 ( 483) x − x − =
124 640 x = +
640 124 x = 764 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 1) 2 − = − + x−
5) 46 (3 2) ( 38) 20 2 − = − x−
46 (3 2) 18 2 = x − (3 2) − −
46 ( 18) 2 = (3 x − 2) 64 19 Website:tailieumontoan.com x − = hoặc 3 2 8 x − = −
8
2 ⇒ 3 x = + hoặc 3 8 2 x = − +
8 2 ⇒ 3 x = 10 hoặc 3 x = −
6 ⇒ 3 ⇒ ( 6) : 3
x = − x = −
2 + = − − 6) 13 | x− 6 | 7 10 13 | x− + = −
6 | 17 − − x + = 6 | 13 ( 17) | | x + = 6 | 30 hoặc x + = −
6 30 x⇒ + = 6 30 − hoặc x⇒ = 30 6 x = − −
( 30) 6 hoặc x⇒ = 24 x = − 36 3 2 2 = − 7) (2 x − 5) 15 4.5 3 = (2 x − 5) −
225 100 3 = (2 x − 5) 125 2 x − =
5 5 2 x = +
5 5 2 x = 10 10 : 2 x = 5x = . − 8) | 16 x− − =
| 4 18 | 12 | − |16 x− − =
| 4 18 12 |16 − =
| 4 6 x− |16 x− = +
| 6 4 |16 | 10 x− = TÀI LIỆU TOÁN HỌC ⇒ ⇒ − = 16 x 10 hoặc 16 x− = − 10 hoặc x⇒ = −
16 10 x = − −
16 ( 10) . x⇒ = hoặc
6 x = 26 − = 9) ( x −
2).(15 3 )
x 0 x−
x⇒ − = hoặc 15 3 2 0 =
0 x⇒ = hoặc 3
2 x = 15 x⇒ = hoặc
2 5x = . + = x−
10) 117 ( 5) + −
26 ( 9) + x−
117 ( =
5) 17 − x − = 5 117 17 x − = 5 100 x = +
100 5 . x = 105 − − + 11) ( x (2 x 7) = −
8 5) − − x 5 2 x − = −
8 7 −
( 12) − = −
8 x x = − ( 12) − −
( 8) x = −
4 + + 12) ( x + +
1) ( x 2) + +
... ( x =
50) 1475 = 50 x + + + + (1 2 ... 50) 1475 50 x = −
1475 1275 50 x = 200 x = 200 : 50 x =
4 − − = ( 36 ) 33 | 103| 13. =
( 36) 33 103 = ( 36) 70
− −
70 ( 36) − = 8 106
x − 6
12 : 4 .3 9
3 ) x + −
x + −
x + −
x =
x =
14. (
= 8 x − 9
6
3 : 3 ( )
12 : 4
TÀI LIỆU TOÁN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com = 8 3
3 x − ( )
12 : 4
= 27 8 x −
( x −
8
x −
8
x =
8
x =
8
x =
x = 4 + + − = 2 x 220 5 2
8 .5 15. ( ) )
12 : 4
=
27.4
12
=
12 108
+
108 12
120
120 : 8
15
4 + + − = 220 2 x 5 320
) (
+ − = 42 x 5 −
320 220 )
(
+ − = 42 x 5 100 ( )
4 − = − 1236:12 6 x − =
x − =
x =
x =
213 16. − = 103 6 213 2 = − 5.4 x − 2020
1 − = 1 80 x − (
3 2 = x − +
80 1 (
3 2 = x − 81 (
3 2 = 81: 3 x − 2 ( = x − 27 2 ( = x − 3
3 2 ( 5 100 2
5 84
+
84 5
89
)
(
x−
)
(
x−
−
x − =
213 103
6
x − =
6 110
x =
+
110 6
x =
116
)3
17. (
1
3 2
)3
1
)3
1
)3
1
)3
1
)3
1
)3
1
x − =
1 3
2
x = +
3 1
2
x =
2
4
x =
2
x+
18 | 7 | 9 18. (
+ = − − )
11 + = 18 | x+ 7 | 20 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 21 Website:tailieumontoan.com − 7 | 20 18 | | 22 Website:tailieumontoan.com 19. (
+ − − − −
x 3 x 5 x + =
x + =
7 | 2
+ =
x
7
2
⇒ + = −
x
7
2
= −
x
5
⇒ = −
x
9
− + =
x
x
5 3
(
= − )
11
)
11 = −
16
−
16 : ( 4) − x−
4
x = −
x =
4
+ +
x
5
2 = − +
3 22 x 7 20. ) ( − = 19 2 x x 7 + +
5 )
(
)
(
+ + − =
7 19
5
x
− +
x+ =
19 5 7
21 − x 2 | =
0 21. ( ) x
2
x
2
x =
3
x =
7
) (
+
+
4 . 1 |
x
+ = 4 0 − = x 2 | 0 4 = x 3 3. 2
3 22. ( )
+ +
2
1 − + − = + 2. 3. 3 x x 2
2 3 + − − = 3. 2. 3 x x 11 (
(
( x
)
(
1
)
(
1
− =
3 11
x
+ +
11 6 3 − − = 2 x + +
... x 20 150
x
⇒ +
1 |
= −
x
⇒ − = −
x
1(
x⇒ = −
4
)
−
−
2.
)
)
− −
2
x
6 3
=
x−
x
2
3
x− =
20
x = −
20
)
(
− +
x
1 ) 23. ( ( ) x
20 + + 150 20 − + − +
+ −
=
20 150
2 ....
1
x
x
+ + + +
x =
150 1 2 ... 20
)
x =
20 1 20 : 2 (
x =
20
x =
2
x = 18 +
150 210
360 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ) 2 | VL |
+ − = − − 98 96 x x 2205 x 2 + +
... 24. ( ( ) ) )
− +
x − +
x x .... 2 2205 − + − = + + + 2205 x 2 ... 96 98 98
( (
+ − =
( )
− + x = 49 2205 96
)
98 2 : 2 1
( )
98 2 .49 : 2
245 −
2205 2450 2n − . 4n − .
1n + .
3n + .
3n + . 2n + chia hết cho
5n + chia hết cho
4n + chia hết cho 2
9n + chia hết cho 4
2 4 n+ + chia hết cho 1n + . 23 Website:tailieumontoan.com 2n − là ước của 7. . 2n − .
1) 7 chia hết cho
2n − nên
Vì 7 chia hết cho
}
¦
Ta có:
1;7 n − = .
2 7 ( ) {
=
7
n − = hoặc
2 1
n − = thì
3n = .
2 1
9n = .
n − = thì
2 7
9n = .
3n = hoặc 4n − . n n + = − + và 4n − luôn chia hết cho 4n − .
4n − hay 4n − là ước của 6. ¦ . n = 10 7 5n = .
n = .
6
n = .
7
n =
.
10
6n = hoặc n = hoặc . 2 2. n n Suy ra:
Với
Với
Vậy
2)
Ta có:
Để
Lại có:
Suy ra: (
Với
Với
Với
Với
Vậy
3) 2
Ta có: 1n + luôn chia hết cho 1n + . ( ( ) 1n + thì 3 chia hết cho 1n + hay 1n + là ước của 3. ¦ . 2n + chia hết cho
4 6
2
2n + chia hết cho
4n − thì 6 chia hết cho
( ) {
}
=
.
1; 2;3;6
6
) {
}
n − ∈
1; 2;3;6
4
n − = thì
4 1
n − = thì
2
4
n − = thì
4 3
n − = thì
4 6
5n = hoặc
5n + chia hết cho
1n + .
)
+ + và
+ =
3
1
5 2.
5n + chia hết cho
( ) {
=
3
) {
n + ∈
1
n + = thì
1 1 }
.
1;3
}
1;3
n = .
0 Để 2
Lại có:
Suy ra: (
Với TÀI LIỆU TOÁN HỌC n + = thì
1 3
0n = hoặc n = .
2
n = .
2
4n + chia hết cho 2 3n + . 2. 4n + Với
Vậy
4)
Ta có: 4n + chia hết cho 2 3n + nên chia hết cho 2 3n + . ( ) 8n + chia hết cho 2 3n + . + Suy ra: 2
Mà 2
Nên 2 3n + .
chia hết cho 2 3n + . 3n + chia hết cho 2
(
3n−
8n +
2 ¦ 3n + là ước của 5.
3n + hay 2
) {
nên (
n + ∈
.
3
2 }
1;5 )
Nên 5 chia hết cho 2
}
Lại có:
1;5 1n = .
9n + chia hết cho 4 3n + . 9n + ( ) {
=
5
n + ≥ nên
Mà 2
3 3
n + =
3 5
2
n =
2
2
1n =
Vậy
5) 2
Ta có: 2 9n + chia hết cho 4 3n + nên chia hết cho 4 3n + . (
2. 2 ) n + 18 3n + . chia hết cho 4
3n + . + 18 Suy ra: 4
Mà 4
Nên 4 chia hết cho 4 3n + . 3n + chia hết cho 4
(
n +
3n−
4 ¦ ) {
= 3n + hay 4
nên (
4 3n + là ước của 15.
) {
n + ∈
.
3 }
1;3;5;15 }
1;3;5;15 )
Nên 15 chia hết cho 4
(
Lại có:
15
n + ≥ nên
3 3
n + = thì 4
3 3 n = nên
0 Mà 4
Với 4 Với 4 n + = thì 4
3 5 n = nên
2 n = (không thỏa mãn). 12 3 15 n = .
0
1
2
3n = . nên thì 4 n =
3n = . 2 n n Với 4
Vậy
2
6)
n
Ta có: n n + luôn chia hết cho
. 1n + . 1n + .
+ + và
4 ( )
1 n + =
0n = hoặc
n+ + chia hết cho
4
)
+ + =
1
4 (
n n
. 2 1n + thì 4 chia hết cho 1n + hay 1n + là ước của 4. n+ + chia hết cho ¦ . Để
n
Lại có:
Suy ra: (
Với
Với
Với
Vậy 4
( ) {
=
4
) {
n + ∈
1
n + = thì
1 1
n + = thì
1 2
n + = thì
1 4
0n = hoặc 3n = . − 4 8 x y 24 Website:tailieumontoan.com )
+ = .
1 1) ( TÀI LIỆU TOÁN HỌC + − = 2 x 3 2 y 15 . ) + x y
. 2 )(
+ =
y x 12 2) (
3) x y
. − −
x 3 y .
= .
4 4) 25 Website:tailieumontoan.com − x 4 8 y )( 4x − và 1y + là các số nguyên, y + ≥ và
1 0 )
1) (
+ = .
1
Do x , y là các số tự nhiên nên nên xảy ra các trường hợp sau: y + =
1 8 y + =
1 1 =
8 1.8 2.4
TH1:
5x = và
TH2:
x = 12 4 2 y + =
1 4 4 4 y + =
1 2 + − = 15 2 2 3 x y . =
x − = và
4 1
y =
7
x − = và
4 8
y =
và
0
x − = và
y =
3
x − = và
1y =
)( 3x + và 2y − là các số nguyên, 2 x + ≥ và
3 3 TH3:
x = và
6
TH4:
8x = và
)
2) (
Do x , y là các số tự nhiên nên 2 = nên xảy ra các trường hợp sau: y − =
2 5 =
15 1.15 3.5
TH1: 2 2 x + = và
3 3
y =
7 y − =
2 3 TH2: 2 2 x = và
0
x = và
y =
0
7
x + = và
3 5
y =
5 x = và
2
1x = và + x 2 12 + =
y y =
5
. 12 + =
y + + + = y +
2 12 2 + x y 2 14 )
+ =
1 1x + và 2y + là các số tự nhiên, x + ≥ ,
1 1 y + ≥
2 2 nên xảy ra các trường hợp sau:
y + =
2 7
y + =
2
2 y + = 2 14 3)
.
x y
Ta có:
+
x
x y
2
.
)2
(
x y
)(
(
Do x , y là các số tự nhiên nên
=
=
và 14 1.14 2.7
x + = và
TH1:
1 2
1x = và
y =
5
x + = và
TH2:
1 7
x = và
y =
6
0
x + = và
TH3:
1 1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Lời giải y = 12 − −
x 3 y = .
4 3 y y 3 3 =
4
+ = +
3 4 3
)
(
− =
7
1 − 3 x y x = và
0
4)
.
x y
Ta có:
− −
x
x y
.
− −
x
)
− −
1
)( y
)
− =
7
1 3 3 3x − và 1y − là các số nguyên, x − ≥ − , =
7 1.7 1 1 y − ≥ − và − nên xảy ra các trường hợp sau:
7 .
x y
(
x y
(
Do x , y là các số tự nhiên nên
) (
= − ) (
1 . y − =
1 7
y − =
1 1 10 ;a b biết 26 Website:tailieumontoan.com a) 25 3a b chia hết cho 4 và 9
b) 25 4a b chia hết cho 2 , cho 5 , cho 9 . Lời giải a) 25 3a b chia hết cho 4 và 9 ;
b 2 6 2 5
a a
. Để 25 32 9 3 2 9 thì Để 25 3a b chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng sẽ chia hết cho 4 nên a 9 + Khi b 2 thì số có dạng 25 32a
12 2 5
a 3 6 9 a
. Để 25 36 9 thì Nên a 6 a 9 + Khi b 6 thì số có dạng 25 36a
16 Nên a 2 Vậy số cần tìm là 25632; 25236 b) 25 4a b chia hết cho 2 , cho 5 , cho 9 . 2 5 4 11 a
a 9 0 9 Vì 25 4a b chia hết cho 2 , cho 5 nên b 0 chia hết cho 9 thì Khi b 0 số có dạng 25 40a Nên a 7 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Vậy số cần tìm là 25740 a b biết
;
* 27 Website:tailieumontoan.com ; )a b 19
; )a b 120 a b+ =
a b =
.
a b =
. ; )a b 2
và BCNN( ; )a b 1260 95
1)
2400
2)
96
3)
4) ƯCLN ( , ) 15 và ƯCLN(
và BCNN( và ƯCLN(
a b = Lời giải a b+ = 95 19 1) và ƯCLN( n ⇒ ; )a b 19
+
95 19 19 và
;m n 1
;
m b
= ⇔ + =
m n
n
5 a
m ; )a b 19 nên
a b+ =
19
95 2
3 1
4 4
1 3
2 38
57 ; ;( 57 38
; ); ; 76
19
;
38 57
;
76 19 ƯCLN( a b =
. 2400 Ta có:
Do đó:
m
n
Suy ra
19
a
76
b
Vậy các cặp số cần tìm là
và BCNN(
2) ; )a b 120 nên 57
38
a b 19 76
;
; )a b 120
120
:
a
b 120 120 2400 6 x Do BCNN( 120 y : : x : y
xy a b =
. 2400
. 120 120
.
2400 Mặt khác có: nên 2
3 1
6 3
2 6
1 60
40 ; 60 40
; ;( 40 60
; ); ; 20
120
; 40
60
a b 120 20
;
20 120 x
y
Suy ra
120
a
20
b
Vậy các cặp số cần tìm là
3) a b =
.
ƯCLN( ⇒ 96
và ƯCLN(
; )a b 2 nên
a b =
. 96 ; )a b 2
2
a
= ⇔ =
m n
2 .2 m b
;
96 ;m n 1
2 và
n
m n
.
24 3
8 4
6 8
3 1
24 2
12 6
4 12
2 24
1 2
48 6
16 12
8 16
6 Do đó: 4
24 8
12 24
4 48
2 ; )a b 1260 a b = 15 1260 18900 Ta có:
Do đó:
m
n
Suy ra
a
b a b
.
15 .
a b nên
nên a m b
; n
15 và ;m n 1 4) ƯCLN ( , ) 15
ƯCLN ( , )a b . BCNN( TÀI LIỆU TOÁN HỌC và BCNN(
a b
; )
.
a b = Do ) ƯCLN ( , ) 15 18900 18900 28 Website:tailieumontoan.com 84 a b
. 15 15
.
m n
.
m n 12
7 1
84 3
28 28
3 2
42 4
21 6
14 7
12 42
2 21
4 84
1 15
1260 30
630 45
420 90
210 105
180 180
105 420
45 630
30 315 1260
60 15 Mặt khác 60
315 Do đó:
m
n
Suy ra
a
b 8n +
12 6n + và
5n + và 3 7n +
7n + 3) 2 5n + và 4
n +
4) 5 và 3 7n + 1)
2) 2 Bài 9. Chứng minh rằng các cặp sau đây là nguyên tố cùng nhau, với mọi số tự nhiên n : 6n + và . 7n + là hai số nguyên tố cùng nhau.
7n + 6n + và
5n + và 3 5n + và 3 7n + d +
7n
)
+
d
6 d d − + ⇒ n 5 d d+
5n +
.
7n
(
)
+
2 3
7n
)
+
7 và
(
n
2 3
−
14 7n + là hai số nguyên tố cùng nhau. 5n + và 3 5n + và 4 8n + 5n + và 4 8n + d n d ⇒ + − n d 5 4 n 8n 8n + là hai số nguyên tố cùng nhau. 7n + n + 12 và 3 7n + 1) Gọi d là ước chung của
d+
⇒ 6n
và
(
)
(
−
⇒ +
n
n
7
1 d⇒
1d⇒ = .
Vậy
2) 2
Gọi d là ước chung của 2
⇒ 2
và 3
5n
)
(
+
⇒
d
3 2
(
)
3 2
−
⇒ +
15 6
6
n
1 d⇒
1d⇒ = .
Vậy 2
3) 2
Gọi d là ước chung của 2
d+
⇒ 2
và 4
5n
(
+ và (
)
⇒
2 2
d
5n
(
(
)
2 2
−
−
⇒ +
10 4
4
8
n
2 d⇒
d = .
1d⇒ = hoặc
2
/+ ⇒ =
Vì 2
5 2
d
1
n
5n + và 4
Vậy 2
n +
và 3
4) 5
12
Gọi d là ước chung của 5 TÀI LIỆU TOÁN HỌC d n d+
.
)
+
8n
4
)
+
8 d 29 Website:tailieumontoan.com − + ⇒⇒ 12 n và 3
d
)
d
) và
(
n
5 3 .
d
)
+
7n
)
+
7 d d
+
7n
(
5 3 12 và 3 7n + là hai số nguyên tố cùng nhau. − −
36 15 n 35 d +
⇒ 5
12
n
(
+
⇒
n
12
3 5
(
3 5
⇒ +
15
n
1 d⇒
1d⇒ = .
n +
Vậy 5 + + + + M = 9
21 8
21 7
21 1) + chia hết cho 2 và 5 . 2 ... 21 1
2020 + + + ... 6 N = + 2) 23 chia hết cho 7 , nhưng không chia hết cho 9 .
24 6 6
2 + + + + ... 4 4 P = + 4 4 chia hết cho 20 và 21. 3) 2 99 3
6
3
4
3
6 chia hết cho 43. 4) + + + Q = + 6 6 ... 6 + + 9
21 8
21 7
21 M = ... 21 1 + có 10 số hạng đều có chữ số tận cùng là 1 nên M + +
1)
có chữ số tậng cùng là 0 M⇒ chia hết cho 2 và 5 .
2020 2 + + + N = + ... 6 2) chia hết cho 7 , nhưng không chia hết cho 9 . 2020 6 6
2 + 6 6 + 2019 2020 2 4 + + + + +
... 6 6 +
6 6 N = 3
6 6 N = +
( 3
6
3
6
( ( ) 3 2019 + + + + N = ... 6 + +
... 6
)
) )
) (
+
6 1 6 (
6 1 6 (
+
1 6 ) 2019 = + + + N 7 ⇒
N 3
6.7 6 .7 ... 6
2 .7
2020 + + + 3
6 ... 6 + 2 2019 Lời giải N = +
6 6
( ) + + + + N = 6. 1 6 6 ... 6 2 2019 + + ... 6
2019 2 2019
K 3
6 Vì K = + +
1 6 6
2
6 3;6 3; ...6
2 2019 + 3 /
3
6
K ⇒ + + + + 3 6 6 ... 6
3 K
K + +
... 6 ⇒ = + +
/
Vì
1 6 6
⇒ =
N
3
2 24 23 + + + + P = + ... 4 chia hết cho 20 và 21. 3) 4 4
2 23 4
24 = + + + + 9 /
P 4 4 ... 4 4 4 + ( )
1 2 4 23 24 + + + P = +
4 4 3
4 4 + +
... 4 4 ( ( + ⇒
P
( ) 3 23 + + + + P = ... 4 (
+
4 1 4 (
4 1 4 (
+
1 4 ) )
) )
) 23 3 = + + + P 4.5 4 .5 ... 4 .5 5 ( )
2 ⇒
P TÀI LIỆU TOÁN HỌC 6.
3
4
3
4 2 4 22 23 24 + + + + + + + 3
4 +
4 4 4 5
4 6
4 ... 4 4 4 + 30 Website:tailieumontoan.com ) ( ) 2 4 22 2 2 + + + + + + +
4 1 4 4 P = 4 1 4 4 ... 4 + +
1 4 4 ) .
(
( ) ) ( Từ ( )1 và ( )2
(
P =
( 4 22 = + + + P 21 ⇒
P 2 20P
) 4) 2 4 6 + + + + + + Q = +
6 6 5
6 3
6 6 + +
... 97
6 6 98
6 99
6 4.21 4 .21 ... 4 .21
3
99
6
) + 6 6 ... 6 chia hết cho 43.
( ) ) 97 2 4 2 2 + + + + + Q = + +
6 1 6 6 6 1 6 6 ... 6 + +
1 6 6 ) ( ) ) ( ( 4 97 Q = +
( + +
( 43Q⇒ + + + 6.43 6 .43 ... 6 .43 Q = p + 26 đều là các số nguyên tố. 4p + và a) Tổng hai số nguyên tố bằng 103. Hỏi tích hai số nguyên tố đó bằng bao nhiêu?
b) Tìm số nguyên tố p sao cho a) Vì tổng hai số nguyên tố bằng 103 nên phải có một số nguyên tố chẵn là 2. Số nguyên tố còn lại là 101.
Vậy tích hai số nguyên tố đó là: 2.101 202
4 2 4 6 2 = 4 3 4 7 = +
26 3 26 p + 29 =
p + = + = không là số nguyên tố (loại)
p + = + = là số nguyên tố; p = ta có
p = ta có là số 2k + p > , p là số nguyên tố nên p có dạng 3
+ + + = + p 1 k=
3 1k + hoặc 3
p⇒ + 26 p =
26 3
k là hợp số + = + + = p 2 k=
3 k
4 3 k
2 4 3 6 3 b) Với
Với
3
nguyên tố
Với
3
+) Nếu
+) Nếu 27 3
4p⇒ + là hợp số k
1 26 3
+ p + 26 p = thì
3 đều là các số nguyên tố. Lời giải n − 1 3 3 a) Vì n chia cho 3 dư 1 nên
nên n − + 1 3
n +
2 3 4 6 3 5 hay ; n − + + n n Mà 3 3
Tương tự:
Suy ra n − 2 5;
2 6
= n + =
2 BCNN 3,5, 6 30 Vì n là số tự nhiên nhỏ nhất nên ( ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Lời giải n = 28 Khi đó 2 2 3 hay 2 b) Vì n chia cho 3 dư 2 nên (
)
n⇒ −
2 3 n − n −
4 3 nên 2 n −
1 3 3 5 4 7 n − +
; hay 2 − n −
− n n Mà 3 3
Tương tự:
Suy ra 2 4 3 3
n − 1 7
1 5; 2
= 2 n − =
1 BCNN 3,5, 7 105 Vì n là số tự nhiên nhỏ nhất nên ( ) = ⇒ = n n 53 106 Do đó 2 n − 6 8 8 hay c) Vì n chia cho 8 dư 6 nên
nên
n − n − n − +
; 6 8
n +
2 8 10 12
13 15
+ n Mà 8 8
Tương tự:
Suy ra 2 12;
2 15
n + ∈
2 BC 8,12,15 Do đó ) +
n
( 3 12 ; 15 3.5= Ta có
⇒ 2
2 .3
= BCNN =
) 8 2=
( = ⇒ + ∈
n 8,12,15 BC B ;
8,12,15
( (
120 ) {
= }
0;120; 240;360;... n⇒ ∈ 120
)
2
{
}
118; 238;358;... n ∈ Vì n chia hết cho 23 nên 598 n = {
}
598;621;...
. Vì n là số tự nhiên nhỏ nhất nên 31 Website:tailieumontoan.com Câu 13. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài180m, chiều rộng là 150 m Người ta
muốn trồng cây xung quanh vườn sao cho mỗi góc vườn có một cây và khoảng
cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau. Tính khoảng cách lớn nhất giữa 2 cây liên
tiếp, khi đó tổng số cây trồng được là bao nhiêu? (khoảng cách giữa hai cây là số
tự nhiên và đơn vị tính bằng m). *
x ∈ Ν x và x lớn nhất 2 2 2 = 2.3.5 = =
2.3.5 30 ,
180,150 Gọi khoảng cách giữa hai cây liên tiếp là x (m),
Theo bài ra ta có: 180 ,150
x
Suy ra x là ƯCLN (180,50)
=
150
180 2 .3 .5
)
ƯCLN ( 30 + = 180 150 .2 : 30 (cây). x⇒ =
Vậy khoảng cách lớn nhất giữa 2 cây liên tiếp là 30 (m)
Khi đó tổng số cây trồng được là : (
22 ) Câu 14. Học sinh khối 6 có 195 nam và 117 nữ tham gia lao động. Thầy phụ trách muốn
chia ra thành các tổ sao cho số nam và nữ ở mỗi tổ đều bằng nhau. Hỏi có thể chia
nhiều nhất mấy tổ? Mỗi tổcó bao nhiêu nam, bao nhiêu nữ ? *
x ∈ Ν TÀI LIỆU TOÁN HỌC Gọi số tổ có thể chia được là: x (tổ), 32 Website:tailieumontoan.com x x và x lớn nhất Theo bài ra ta có: 195 ; 117 )
195,117 2 = 195 3.5.13; =
117 3 .13 = 195,117 =
3.13 39 39 x⇒ = Suy ra x là ƯCLN ( ) ƯCLN( Vậy có thể chia được nhiều nhất 39 tổ. Mỗi tổ có số bạn nam là: 195 : 39 5= (bạn) Mỗi tổ có số bạn nữ là: 117 : 39 3= (bạn) Câu 15. Người ta muốn chia 136 quyển vở, 170 thước kẻ và 255 nhãn vở thành một số
phần thưởng như nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng,
mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, thước kẻ, nhãn vở ? *
x ∈ Ν Gọi số phần thưởng có thể chia được là: x (phần thưởng), x x x và x lớn nhất Theo bài ra ta có: 136 ; 170 ; 255 )
136,170, 255 = = 136 3
2 .17; 170 2.5.17; =
255 3.5.17 136,170, 255 17= Suy ra x là ƯCLN ( ) x⇒ = 17 ƯCLN( Vậy có thể chia được nhiều nhất 17 phần thưởng. Mỗi phần thưởng có số quyển vở là: 136 :17 8= (quyển vở) (thước kẻ) Mỗi phần thưởng có số thước kẻ là: 170 :17 10= (nhãn vở) Mỗi phần thưởng có số nhãn vở là: 255 :17 15= * = Gọi số ngày để cả ba bạn lại trực nhật vào cùng một ngày ở lần tiếp theo là x (ngày),
x ∈ Ν . x BCNN (7, 4, 6) 2 Theo bài ra ta có: , , và x là số ngày ít nhất nên 7x 4x 6x 2.3= TÀI LIỆU TOÁN HỌC Ta có: , 6 4 2= 2 = = BCNN 7, 4, 6 2 .3.7 84 33 Website:tailieumontoan.com ( ) ⇒ = = Suy ra x BCNN (7, 4, 6) 84 . Vậy sau 84 ngày thì cả đội lại cùng trực nhật vào một ngày ở lần tiếp theo. Khi đó: lần. Nam trực được 84 : 7 12= 21= lần. Bình trực được 84 : 4 lần. Dũng trực được 84 : 6 14= thừa 6 học sinh. Tính số học sinh của trường đó, biết số học sinh nằm trong khoảng từ 1000 đến 1200 học sinh. x≤ ≤ 1200 *
x ∈ Ν , 1000 . Gọi số học sinh của trường đó là x (học sinh), 6x − chia hết cho 18, 24 và 30. Vì khi xếp hàng 18, 24, 30 đều thừa 6 học sinh nên x − ∈
6 BC (18, 24,30) = = Suy ra . 2.3.5 2
18 2.3= 24 3
2 .3 2 ⇒ = = BCNN (18, 24,30) 3
2 .3 .5 360 ⇒ = BC (18, 24,30) B 360 ( ) {
= }
0;360;720;1080;1440;... Ta có: ; ; 30 x≤ − ≤ 6 1194 x⇒ − = 6 1080 . Vì số học sinh nằm trong khoảng từ 1000 đến 1200 học sinh nên 994 x⇒ = + =
1080 6 1086 . Vậy trường đó có 1086 học sinh. x≤ ≤ 1200 *
x ∈ Ν , 700 5x + chia hết cho 30 và . Gọi số học sinh đi thăm quan của trường đó là x (học sinh), Vì khi xếp 30 hay 45 học sinh lên một xe thì đều thiếu 5 em nên
45. x + ∈
5 BC (30, 45) 2 = Suy ra . 2.3.5 =
45 3 .5 2 ⇒ = = BCNN (30, 45) 2.3 .5 90 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ; Ta có: 30 ⇒ = (30, 45) 90 BC B ( ) {
= }
0;90;180; 270;360; 450;540;630;720;810;900;990;1080;1170;1260;... 34 Website:tailieumontoan.com x≤ ≤ 1200 ⇒ ≤ + ≤ 705 5 1205 x x⇒ + ∈ 5 {
}
720;810;900;990;1080;1170 x⇒ ∈ Vì số học sinh nằm trong khoảng từ 700 đến 1200 học sinh nên 700 {
}
715;805;895;985;1075;1165 . x = 1075 Mà xếp 43 học sinh lên xe thì vừa đủ nên suy ra . Vậy số học sinh đi tham quan của trường đó là 1075 học sinh. a≤ ≤ 700 . 2a − là bội 8,10,12 − ∈
2 BC a Gọi số học sinh cần tìm là a (học sinh),
Vì khi xếp mỗi hàng 8 em, 10 em, 12 em thì thừa 2 học sinh nên
chung của 8;10;12 . Do đó ( ) = = 2
2 .3 Ta có: ; ⇒ = BCNN = 8,10,12 B a − ∈
2 }
0;120; 240;360; 480;600;720;... 3
=
8 2 ;10
(
8,10,12
( 2.5;12
)
) 3
=
2 .3.5 120
) {
= (
120 a⇒ ∈ }
2;122; 242;362; 482;602;722;... BC
{ a ∈ a< < 500 Mà 350 nên {
}
362; 482;602 602 a = Mặt khác khi xếp hàng 14 em thì vừa đủ nên
Ta tìm được
Vậy học sinh khối 6 của trường đó có 602 học sinh 14a * a ∈ Ν , 1000
a − 15 .
là bội chung của Gọi số bộ đội của đơn vị đó là a (người),
a ≤
Vì khi xếp mỗi hàng 20, 25,30 thì thừa 15 người nên a − ∈
15 BC 20, 25,30 20, 25,30 . Do đó ( ) 2 2 = 20 2.3.5 ; Ta có: 2 ⇒ = = BCNN =
( =
2 .5; 25 5 ;30
) = a − ∈
15 20, 25,30 BC B 20, 25,30
( 2
2 .3.5
( ) }
0;300;600;900;1200;... a⇒ ∈ 300
) {
=
300
{
}
15;315;615;915;1215;... a ∈ a < 1000 Mà nên {
}
15;315;615;915 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 35 Website:tailieumontoan.com 615 a = Mặt khác khi xếp hàng 41 em thì vừa đủ nên
Ta tìm được
Vậy bộ đội của đơn vị đó có 615 người. 41a a ∈ Ν , . 350
1a + là bội chung của 3, 4,5 . Gọi số học sinh cần tìm là a (học sinh),
a ≤
Vì khi xếp mỗi hàng 3, 4,5 thì thiếu1 học sinh nên a + ∈
1 BC 3, 4,5 Do đó ( ) 2 = Ta có: = ;
2 ⇒ = = BCNN = B a + ∈
1 60 3, 4,5 =
3 3; 4
(
3, 4,5
( 2 ;5 5
)
) 2 .3.5 60
) {
= ( }
0;60;120;180; 240;300;360;... a⇒ ∈ a ∈ a < 350 Mà nên BC
{
}
59;119;179; 239; 299;359;...
{
}
59;119;179; 239 119 a = Mặt khác khi xếp hàng 7 em thì vừa đủ nên
Ta tìm được
Vậy học sinh khối 6 của trường đó có119 học sinh = = AB 6 cm; AC 3cm ,B C sao cho . 7a CD = 6 cm . Chứng tỏ A là trung a) Tính độ dài đoạn thẳng BC
b) Hỏi C có là trung điểm của đoạn thẳng AB không? Vì sao?
c) Trên tia đối của tia Cx lấy điểm D sao cho
điểm của đoạn thẳng CD . Lời giải > = = AB AC 3cm 6 cm nên điểm C nằm giữa hai điểm = = = − = − BC AB AC 6 3 3cm nên = 3cm AC CB= ,A B và nên C là trung điểm của = > = a) Trên tia Ax
Vậy AC CA BC
+
b) Ta có C nằm giữa hai điểm
đoạn thẳng AB .
c) Ta có D nằm trên tia đối của tia Cx . Trên tia đối của tia Cx có
CD 6 cm 3cm AC = nên A nằm giữa hai điểm
− = − = = AD DC AC 6 3 3cm ;C D . nên Vậy DA AC DC
+ TÀI LIỆU TOÁN HỌC = AC AD= 3cm nên A là trung điểm của đoạn thẳng A nằm giữa hai điểm CD và
CD . = = = , OA 3cm; OB 5cm; OC 8cm ,A B C sao cho . 36 Website:tailieumontoan.com , AB AC BC .
, OD = 2 cm . Chứng tỏ A là trung a) Tính
b) Lấy điểm D trên tia đối của tia Ox sao cho
điểm của đoạn thẳng CD . = > = OB 5cm OA 3cm a) Trên tia Ox ta có ,O B . = nên điểm A nằm giữa hai điểm
= − = − = 5 3 2 cm AB OB OA − (tính chất cộng đoạn thẳng) nên
= − =
= = − = − = 8 3 5cm AC OC OA BC OC OB 8 5 3cm ; ,A D . = + = + = AD AO OD 3 2 5cm ,O C nên A nằm AC AD= 5cm ,C D và nên A là trung điểm của đoạn thẳng CD . Lời giải = = = , OA 6 cm OB
, cm OC
3
, 9 cm ,A B C sao cho . a) So sánh AB và AC .
b) Chứng tỏ B là trung điểm của OA .
c) Chứng tỏ A là trung điểm của BC . a) < < OB OA cm 3 cm
6 Trên tia Ox ta có nên điểm B nằm giữa hai điểm O và A do ( ) (tính chất cộng đoạn thẳng) đó
OB BA OA
3 +
BA+ =
=
6
= − =
6 3 3 BA ) = =
AB AC cm
3 Vậy (
cm
( ) < OA OC cm cm
9 6 b) Vì B nằm giữa hai điểm O và A mà AB AC=
<
c) Trên tia Ox ta có nên B là trung điểm của OA .
nên điểm A nằm giữa hai điểm O và ( ) C TÀI LIỆU TOÁN HỌC Lời giải = AC+ nên OA AC OC
+
=
9
6
= − =
9 6 3 AC cm . ) ( < < OB OC cm 3 cm
9 Trên tia Ox ta có nên điểm B nằm giữa hai điểm O và C ( ) = BC+ nên OB BC OC
+
=
9
3
= − =
9 3 6 BC cm . ( = AC AB= Ta có do đó A là trung điểm của BC . )
BC
2
cm=
8 CD 37 Website:tailieumontoan.com . Biết E là trung điểm của đoạn thẳng CD . Câu 4. Cho đoạn thẳng b) Lấy điểm M trên đoạn thẳng CE , điểm N trên đoạn thẳng DE sao cho = 2 cm . Hỏi điểm E có phải là trung điểm của đoạn thẳng MN không? =
CM DN
Vì sao? a) Tính CE . a) Vì E là trung điểm của đoạn thẳng CD nên = = = =
CE ED cm 4 . ) ( CD
2 8
2 = + b) Ta có M thuộc đoạn thẳng CE nên điểm M nằm giữa C và E
CM ME CE + = ⇒ = − =
ME 4 2 4 2 ME cm 2 . ( + = )
Ta có N thuộc đoạn thẳng DE nên N nằm giữa E và D suy ra
EN ND ED + = ⇒ = − =
EN 2 4 4 2 2 EN cm . ( ) = =
EN ME cm 2 Ta có EC và ED là hai tia đối nhau mà M nằm giữa C và E , N nằm giữa E
và D do đó EM và EN là hai tia đối nhau suy ra E nằm giữa M và N .
Mặt khác . ( ) Vậy E là trung điểm của đoạn thẳng MN . OA = 2 cm OB = 6 cm , . Lời giải a) Tính độ dài đoạn thẳng AB .
b) Gọi M là trung điểm của AB . Chứng tỏ A là trung điểm của OM .
c) Trên tia đối của tia Ox lấy điểm C sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng
AC . So sánh CM và OB . Câu 5. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho TÀI LIỆU TOÁN HỌC Lời giải x 38 Website:tailieumontoan.com = = < OB OA 2 cm 6 cm . (tính chất cộng đoạn thẳng) 2 a) Trên tia Ox , ta có:
Nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B .
⇒ +
=
OA AB OB
=
AB+
6
AB⇒ = − =
6
2 )m (
4 c
b) Vì M là trung điểm của AB = = = AM MB= 2 Nên ( )m
c ⇒ = = OA AM AB
2
2 cm ( ) 4
2
( )1 = = 2
.2 AM=
2. OM m Vì M là trung điểm của AB
Nên M và B nằm cùng phía với A
Mà O và B nằm khác phía với A (vì A nằm giữa hai điểm O và B )
Suy ra: M và O nằm cùng phía với A
⇒ A nằm giữa hai điểm O và M ( )2
Từ ( )1 và ( )2 ⇒ A là trung điểm của OM
c) Vì A là trung điểm của OM
)
Nên (
4 c = CO OA= (
2 cm Vì O là trung điểm của đoạn thẳng AC
)
Nên
Vì tia OC và tia OM là hai tia đối nhau
Nên điểm O nằm giữa hai điểm C và M
⇒ = + = = + CM CO OM 2 4 6 cm ( ) ⇒ = = OB CM 6 cm . ( ) OM = 6 cm 4 cm điểm N sao cho
và
của các đoạn thẳng OM , ON . NC = 1cm . Điểm O có là trung a) Tính độ dài đoạn thẳng AB .
b) Trên tia đối của tia Ny lấy điểm C sao cho
điểm của đoạn thẳng AC không? Vì sao?
c) Tính độ dài đoạn thẳng CM . Câu 6. Trên đường thẳng xy lấy điểm O . Trên tia Ox lấy điểm M và trên tia Oy lấy
ON =
. Gọi A và B lần lượt là trung điểm y x Lời giải TÀI LIỆU TOÁN HỌC a) Vì A là trung điểm của OM = = = OA AM= 3 Nên ( )m
c OM
2 6
2 Vì B là trung điểm của ON = = = OB BN= 2 Nên ( )m
c ON
2 4
2 Vì hai tia Ox và Oy đối nhau
Nên điểm O nằm giữa hai điểm A và B
= + =
⇒ = + AB OA OB 3 2 5 cm ( ) = < = NC NO 1cm 4 cm . NC CO NO
1 4 = ⇒ = OA OC ( )1 b) Trên tia NO , ta có:
Nên điểm C nằm giữa hai điểm N và O .
⇒ +
=
=
CO+
4
(
)m
CO⇒ = − =
1 3 c
)cm3
(
Vì hai tia OA và OC đối nhau
Nên điểm O nằm giữa hai điểm A và C ( )2
Từ ( )1 và ( )2 ⇒ O là trung điểm của AC
c) Vì hai tia OM và OC đối nhau
Nên điểm O nằm giữa hai điểm M và C
⇒ = + = + = MC OM OC 6 3 9 cm ) ( cm=
8
. BC cm=
5
. Trên tia d) Vẽ đoạn thẳng cm=
2 AD Lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho
. AB
đối của tia AB lấy điểm D sao cho a)Chứng tỏ C là trung điểm của BD
b) Lấy điểm E là trung điểm của AD , trên đoạn thẳng BC lấy điểm F sao cho
BF cm=
1
. 39 Website:tailieumontoan.com a) Vì điểm C thuộc đoạn thẳng AB nên =
+
AC CB AB
AC + =
5
8
AC = −
8 5
cm=
AC
3
Vì AC và AD là hai tia đổi nhau
⇒ A nằm giữa hai điểm C và D
⇒ +
DC =
AD AC DC
= + =
cm
5
2 3 TÀI LIỆU TOÁN HỌC = Vì AB và AD là hai tia đổi nhau
⇒ A nằm giữa hai điểm B và D
⇒ +
BD AD AB BD
= + =
cm
2 8 10 = =
DC CB cm =
( 5 ) Ta có DB
2 Vậy C là trung điểm của đoạn thẳng BD . b) Vì E làtrungđiểmcủa AD = = = ⇒ = DE EA cm
1 2
2 F⇒ cũng thuộc đoan thẳng AB = =
EC CF =
( 4 cm ) Ta có DA
2
Vì AD và AB là hai tia đối nhau
Mà E AD∈
, C AB∈
⇒ AE và AC là hai tia đối nhau
A⇒ nằm giữa hai điểm E và C
⇒ +
=
EA AC EC
⇒ = + =
cm
EC
4
1 3
Vì F thuộc đoan thẳng BC
=
⇒ +
BF FC BC
=
⇒ +
CF
5
1
= − =
CF
cm
5 1 4
Vìđiểm F thuộc đoạn thẳng BC
=
⇒ +
AF FB AB
AF⇒ + =
1 8
= − =
AF
cm
8 1 7
Vì AD và AB làhai tia đối nhau
Mà E AD∈
, F AB∈
⇒ AE và AF là hai tia đối nhau
A⇒ nằm giữa hai điểm E và F
⇒ +
=
EA AF EF
⇒ = + =
cm
EF
8
1 7
EF
2 C⇒ là trung điểm của EF . AB AC cm=
.
4 Trên tia AB lấy điểm C sao cho 40 Website:tailieumontoan.com cm=
3
. BD Tính độ dài đoạn thẳng cm=
7
.
.BC
a) Tính độ dài đoạn thẳng
b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho
.CD
c) Điểm B có là trung điểm của đoan thẳng CD không? Vì sao? TÀI LIỆU TOÁN HỌC Lờigiải 41 Website:tailieumontoan.com a) Vì điểm C thuộc đoạn thẳng AB nên =
+
AC CB AB
BC + =
4
7
BC = −
7 4
cm=
BC
3 = =
( 3 ) =
BC BD cm c) Ta có b) Vì BC và BD là hai tia đối nhau
B⇒ nằm giữa hai điểm C và D
=
⇒ +
BC BD CD
⇒ = + =
cm
6
CD
3 3
CD
2 B⇒ là trung điểm của .CD Bài 9. Cho n điểm phân biệt. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. n = 10 a) Nếu và không có 3 điểm nào thẳng hàng thì có tất cả bao nhiêu đường thẳng? n = 20 và trong đó có 5 điểm thẳng hàng thì có tất cả bao nhiêu đường thẳng? b) Nếu c) Nếu không có 3 điểm nào thẳng hàng và có tất cả 120 đường thẳng thì n bằng bao
nhiêu? Lời giải a) Cho 10 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm
phân biệt ta vẽ được một đường thẳng. Chon một điểm bất kì trong 10 điểm đã cho nối
với 9 điểm còn lại ta được 9 đường thẳng. Cứ làm như thế với 10 điểm số đường thẳng
được tạo thành là :9.10=90( đường thẳng). Nhưng nếu làm như thế thì mỗi đường thẳng sẽ được tính làm 2 lần. Do đó với 10 điểm phân biệt trong có không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường
thẳng được tạo thành thực chất chỉ có:90:2=45( đường thẳng). b) Giả sử cho 20 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường
thẳng được tạo thành sẽ là:19.20:2=190( đường thẳng). +Giả sử qua 5 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường
thẳng được tạo thành sẽ là:4.5:2=10( đường thẳng). Nhưng qua 5 điểm thẳng hàng ta chỉ kẻ được 1 đường thẳng. Như vậy số đường thẳng sẽ bị giảm đi là:10-1=9(đường thẳng) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Do đó cho 20 điểm phân biệt trong đó có 5 điểm thẳng hàng thì số đường thẳng được tạo
thành sẽ là:190-9=181( đường thẳng). 42 Website:tailieumontoan.com )
1 c) Cho n điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng (
n n −
.
2 được tạo thành sẽ là: ( đường thẳng) )
1 Mà theo bài rat a có tất cả 120 đường thẳng được tạo thành. (
n n −
.
2 240 (
n n⇒
. )
− =
1 − < . Mà 240=15.16 ⇒ = 120 1n n 1n − và n là hai số tự nhiên lien tiếp và n⇒ = 16. Vì n = 16 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Vậy là giá trị cần tìm. 43 Website:tailieumontoan.com BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C A C A A C C A D 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C D B C C D − là HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1 1
3 8 −
5
24 24
5 −
24
5 5
24 B. . C. . D. . A. . Lời giải − = − = . 1 1
3 8 8
24 3
24 5
24 Chọn B 5
24 −
5
24 Số đối của là . A. 1, 75% . B. 17,5% . C. 175% . D. 1750% . Lời giải = = Chọn C 1, 75 175% 175
100 = − A 1 1, 25 −
3, 6 2 là . 1
2 2
5
10
3 3
10 −
10
3 4
5 B. . A. . C. . D. . Lời giải TÀI LIỆU TOÁN HỌC Chọn A = − A 1, 25 −
3, 6 2 1 2
5 1
2
− = A 5
4 18 12
−
5
5
= = = A
3
2
1 6
.
4 5
6
20 3
10 44 Website:tailieumontoan.com A. B. . . C. . D. . −
4
3 4
3 3
4 Lời giải = 75% 75
100 3
= .
4 Chọn C 3
4 4
3 ( ) ( ⋅ B : A và . So sánh A và B ta được là . Số nghịch đảo của 1
= −
3 )3
−
5 9
12 −
5
3 2
1
5
2 B. =A B . C. >A B . D. ≥A B . Lời giải − ( = − = . A 2
3 4
5 −
2
15 2
= +
3 )
5 12
⋅
25
3 − ( ) = + = . : B 3
5 1
3 12
= +
.
3 5 9 1
3 4
5 17
15 1
= −
3 9
12 < Chọn A −
2
15 17
15Câu 20. Ba số có tổng bằng 210, biết
ba. Số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba lần lượt là:
A. 63; 64; 83.
Bài 1. Thực hiện phép tính
3
8
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Bài 2. Thực hiện phép tính
2
3
Dạng 2. Tìm số chưa biết
Bài 3.
Tìm x , biết:
−
15 4
17
.
16 27
36
Bài 4.
Tìm x , biết:
1
5
Hiệu của hai số là 16 . Tìm hai số ấy biết rằng
Bài 5.
Bài 6. Có 2 đội sản xuất cùng một khối lượng công việc như nhau, đội I hoàn thành trong
2 tuần, đội II hoàn thành trong 17 ngày. Biết đội II bắt đầu công việc trước đội I là
3 ngày. Hỏi sau 5 ngày kể từ khi đội I làm, đội nào làm được nhiều công việc hơn?
Bài 7. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2 giờ đầy bể. Riêng vòi
thứ nhất chảy một mình đầy bể phải mất 3 giờ. Hỏi riêng vòi thứ 2 chảy một mình
đầy bể phải mất bao lâu?
Bài 8. Trên quãng đường AB, hai xe cùng khởi hành lúc 7giờ. Xe thứ nhất đi từ A đến B,
xe thứ hai đi từ B đến A. Để đi cả quãng đường, xe thứ nhất cần 3 giờ, xe thứ 2
cần 6 giờ. Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ?
Bài 9. Một lớp có 48 học sinh, 50% số học của lớp đạt loại khá, số học sinh giỏi bằng
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Bài 13. Cho hai góc kề nhau xOy và xOz , biết 80=
Bài 14. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , vẽ 2 tia Oy và Oz sao cho 35=
Bài 15. Cho 2 tia Oy , Oz cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox . Biết
Bài 16. Tìm A biết rằng:
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Bài 17. Cho tổng
Bài 18. Tìm x , biết
Bài 19. Cho biểu thức
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KÌ I
{
}
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
{
}
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
}
{
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
120
Bài 4: Tìm x Z∈ , biết
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
x =
49
x = −
49
x = −
5
Bài 5. Tìm n ∈ biết:
1) 7 chia hết cho
2)
3) 2
4)
5) 2
6)
n
Lời giải
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
}
.
1; 2; 4
}
1; 2; 4
n = .
0
1n = .
3n = .
1n = hoặc
Bài 6. Tìm số tự nhiên x , y biết:
)(
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
x − = và
TH1:
3 1
x = và
8y =
4
x − = và
TH2:
3 7
x =
y =
và
2
Bài 7. Tìm các chữ số
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Bài 8. Tìm các chữ số
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Lời giải
7n +
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Bài 10. Chứng minh rằng
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Bài 11.
+ thì
+ thì
p
4p + và
Vậy với
Câu 12. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho:
a) n chia cho 3, 5, 6 có số dư theo thứ tự là 1; 3; 4
b) n chia cho 3, 5, 7 có số dư theo thứ tự là 2; 3; 4
c) n chia cho 8 dư 6, chia cho 12 dư 10, chia cho 15 dư 13 và chia hết cho 23.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Lời giải
Lời giải
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Lời giải
Câu 16. Đội sao đỏ của một lớp 6 có ba bạn Nam, Bình, Dũng. Ngày đầu tháng cả đội trực
cùng một ngày. Cứ sau 7 ngày Nam lại trực một lần, sau 4 ngày Bình lại trực một
lần và sau 6 ngày Dũng lại trực một lần. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì cả đội lại cùng
trực nhật vào một ngày ở lần tiếp theo? Khi đó mỗi bạn đã trực nhật bao nhiêu
lần?
Lời giải
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Câu 17. Số học sinh của một trường tổ chức để thăm quan khi xếp hàng 18, 24, 30 đều
Lời giải
Câu 18. Một trường tổ chức cho khoảng 700 đến 1200 học sinh đi thăm quan. Nếu xếp 30
hay 45 học sinh lên một xe thì đều thiếu 5 em, còn xếp 43 học sinh lên xe thì vừa
đủ. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh đi thăm quan.
Lời giải
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Bài 20. Số học sinh khối 6 của một trường trong khoảng từ 350 đến 700 học sinh. Nếu
xếp mỗi hàng 8 em, 10 em, 12 em thì thừa 2 học sinh, còn xếp mỗi hàng có 14 em
thì vừa đủ. Hỏi số học sinh khối 6 của trường đó có bao nhiêu em ?
Lời giải
*
a ∈ Ν , 350
Bài 21. Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng 20, 25 hoặc 30 đều dư 15 người. Nhưng xếp hàng
41 thì vừa đủ. Tính số bộ đội của đơn vị đó, biết số người chưa đến 1000 .
Lời giải
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Bài 22. Tính số học sinh khối 6 của một trường biết nếu xếp hàng 3, 4,5 thì đều thiếu 1 học
sinh. Nếu xếp hàng 7 thì vừa đủ. Tính số học sinh của khối 6 biết số học sinh ít
hơn 350 .
Lời giải
*
II. HÌNH HỌC
Câu 1. Trên tia Ax lấy hai điểm
x
D
A
C
B
,A B .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Câu 2. Trên tia Ox lấy ba điểm
Vậy OA AB OB
+
Tương tự ta có
b) D nằm trên tia đối của tia Ox nên O nằm giữa hai điểm
Ta có
D nằm trên tia đối của tia Ox , trên tia Ox có A nằm giữa hai điểm
=
giữa hai điểm
Câu 3. Trên tia Ox lấy các điểm
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
M
B
O
C
A
M
A
O
B
C
N
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Chứng tỏ C là trung điểm của EF .
Lờigiải
5cm
1cm
F
B
A
2cm
E
D
C
8cm
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Bài 8. Cho đoạn thẳng
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
3cm
7cm
A
C
B
D
4cm
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KÌ II
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Số đối của
Câu 2. Số 1,75 được viết dưới dạng phần trăm là
Câu 3. Giá trị của
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Câu 4. Số nghịch đảo của 75% là
−
3
4
Câu 5. Cho
2
= +
3
A.
