TRƯỜNG THCS NGUYỄN ĐỨC CẢNH
ĐỀ CƯƠNG ÔN TÂP CUỐI HỌC KÌ I – TOÁN 8
NĂM HỌC 2023 - 2024
I. ĐẠI SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
1. Khái niệm phân thức đại số:
a) Định nghĩa:
Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng
P
Q
, trong đó,
,P Q
là những đa thức và
Q
khác đa thức
0
.
P
được gọi là tử thức (hay tử),
Q
được gọi là mẫu thức (hay mẫu).
Chú ý: Mỗi đa thức cũng được coi là một phận thức với mẫu thức bằng
1
. Đặc biệt, mỗi
số thực cũng là một phân thức đại số.
b) Hai phân thức bằng nhau:
Cho hai phân thức
A C
B D
=
.
Hai phân thức
A
B
và
C
D
được gọi là bằng nhau, viết là
A C
B D
=
nếu
. .A D B C
=
.
2. Tính chất cơ bản của phân thức:
a) Tính chất cơ bản:
- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một phân thức khác đa thức
0
thì
được một phân thức bằng phân thức đã cho.
với
M
là một đa thức khác đa thức
0
.
- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được
một phân thức bằng phân thức đã cho.
:
:
P P N
Q Q N
=
với
N
là một nhân tử chung của
P
và
Q
.
b) Ứng dụng:
* Rút gọn phân thức: Muốn rút gọn một phân thức ta có thể làm như sau:
Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần).
Bước 2: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
* Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức:
- Mẫu thức chung (MTC) chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.
1 | P a g e
- Muốn tìm MTC ta có thể làm như sau:
Bước 1:Phân tích mẫu của mỗi phân thức đã cho thành nhân tử.
Bước 2: Chọn MTC: lập tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy lũy
thừa lớn nhất.
- Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, ta có thể làm như sau:
Bước 1: Phân tích mẫu của mỗi phân thức thành nhân tử rồi tìm MTC.
Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (bằng cách chia MTC cho từng
mẫu).
Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương
ứng.
3. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức:
- Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác
0
được gọi là điều kiện để
giá trị của phân thức được xác định.
- Cho phân thức đại số
P
Q
. Giá trị của biểu thức
P
Q
tại những giá trị cho trước của các
biến để giá trị của mẫu thức khác
0
được gọi là giá trị của phân thức
P
Q
tại những giá trị
cho trước của biến đó.
Nhận xét: Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của một phân thức được xác định thì phân
thức đó và phân thức rút gọn của nó có cùng một giá trị.
4. Phép cộng các phân thức đại số:
a) Cộng hai phân thức cùng mẫu thức:
Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu:
A B A B
M M M
+
+ =
Chú ý: Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng. Ta thường viết tổng này
dưới dạng rút gọn.
b) Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau:
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các
phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
c) Tính chất của phép cộng phân thức:
- Phép cộng phân thức có các tính chất sau: giao hoán, kết hợp, cộng với số
0
.
- Nhờ tính chất kết hợp nên trong một dãy phép cộng nhiều phân thức, ta có thể không
cần đặt dấu ngoặc.
5. Phép trừ các phân thức đại số:
a) Quy tắc trừ hai phân thức:
- Muốn trừ hai phân thức cùng mẫu, ta trừ tử của phân thức bị trừ cho tử của phân thức
trừ và giữ nguyên mẫu:
A B A B
M M M
−
− =
2 | P a g e
- Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân
thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Chú ý: Kết quả của phép trừ hai phân thức được gọi là hiệu. Ta thường viết hiệu này dưới
dạng rút gọn.
b) Phân thức đối:
Cũng như phân số, mỗi phân thức đều có phân thức đối sao cho tổng của hai phân thức
bằng
0
.
Nhận xét:
- Phân thức đối của phân thức
A
B
kí hiệu là
A
B
−
. Ta có:
0
A A
B B
+ − =
.
- Ta có:
A A A
B B B
−
− = = −
.
- Phân thức đối của
A
B
−
là
A
B
, tức là
A A
B B
− − =
.
- Muốn trừ phân thức
A
B
cho phân thức
C
D
, ta có thể cộng
A
B
với phân thức đối của phân
thức
C
D
, tức là:
A C A C
B D B D
− = + −
.
6. Phép nhân các phân thức đại số:
a) Quy tắc nhân hai phân thức đại số:
Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử với nhau và các mẫu với nhau:
.
.
A C A C
B D B D
=
.
Chú ý: Kết quả của phép nhân hai phân thức được gọi là tích. Ta thướng viết tích này
dưới dạng rút gọn.
b) Tính chất của phép nhân phân thức
Phép nhân phân thức cũng có những tính chất sau:
- Giao hoán:
A C C A
B D D B
=
;
- Kết hợp:
A C M A C M
B D N B D N
=
;
- Phân phối với phép cộng:
A C M A C A M
B D N B D B N
+ = +
;
- Nhân với số
1
:
1 1
A A A
B B B
= =
.
Nhờ tính chất kết hợp nên trong một dãy phép nhân nhiều phân thức, ta có thể không cần
đặt dấu ngoặc.
7. Phép chia các phân thức đại số:
a) Phân thức nghịch đảo:
3 | P a g e
Mỗi phân thức với tử và mẫu là các đa thức khác đa thức
0
đều có phân thức nghịch đảo
sao cho tích của hai phân thức bằng
1
.
Phân thức
B
A
được gọi là phân thức nghịc đảo của phân thức
A
B
với
,A B
là các đa thức
khác đa thức
0
.
b) Phép chia phân thức đại số:
Muốn chia phân thức
A
B
cho phân thức
C
D
khác
0
, ta nhân
A
B
với phân thức nghịch đảo
của
C
D
.
:
A C A D
B D B C
=
với
C
D
khác
0
.
B. BÀI TẬP
B.1. TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Phân thức đại số có dạng:
A.
( )
0
AA
B
B.
( )
0A A
C.
( )
0
AB
B
D.
( )
2
0A A
Câu 2: Phân thức
( )
, 0
A C A D
B D
=
khi:
A.
. .A B D C
=
B.
. .A D B C
=
C.
.A B C
=
D.
.D B C
=
Câu 3: Đâu là tính chất đúng của phân thức đại số?
A.
( )
., 0
.
A A M B M
B B M
=
B.
( )
., 0
A A M B M
B B
=
C.
( )
, 0
.
A A B M
B B M
=
D.
( )
., 0,
.
A A M B M M N
B B N
=
Câu 4: Tìm điều kiện xác định của phân thức
2
2
x
x y
−
.
A.
2
0x
B.
2
2 0x y
−
C.
2 0y
D.
2
2x y −
Câu 5: Phân thức nào dưới đây bằng với phân thức
3 2
2
5
x y
?
A.
3 4
14
35
x y
xy
( , 0)x y
B.
4 3
14
5
x y
xy
( , 0)x y
C.
4 3
14
35
x y
D.
4 3
14
35
x y
xy
( , 0)x y
Câu 6: Khẳng định nào sau đây đúng
A.
2 2
2 2 2x y
x y x y
+=
− +
B.
5 5
3 3
a a
a a
−
=
− + −
4 | P a g e
C.
2 2 5
7
20 4
15 3
x y y
xy x
− −
=
D.
2
55
10 25
xx
x x
+= +
+ +
Câu 7: Giá trị của phân thức
2
2
3 3
2 1
x x
x x
+
+ +
tại
4x
=
là
A.
1
3
B.
3
C.
12
5
D.
5
12
Câu 8: Phân thức
3 2 2
3 2
24 ( 4 4 )
36( 2 )
x x xy y
x x y
− +
−
có kết quả rút gọn là
A.
3
2 ( 2 )x x y
−
B.
3
2 ( 2 )x x y
+
C.
2 ( 2 )
3
x x y+
D.
2 ( 2 )
3
x x y−
Câu 9: Chọn đa thức thích hợp để điền vào chỗ trống trong đẳng thức
2
...
16 4
x
x x
=
− −
A.
2
4x x
−
B.
2
4x
+
C.
2
4x x
+
D.
2
4x
−
Câu 10: Tìm công thức cộng hai phân thức cùng mẫu.
A.
B A B
AM M
+
+ =
B.
A A B
B
M M
+
+ =
C.
A B A B
M M M
+
+ =
D.
.A B A B
M M M
+ =
Câu 11: Phân thức nghịch đảo của phân thức
A
B
là:
A.
A
B
B.
B
A
C.
A
B
−
D.
B
A
−
Câu 12: Điều kiện xác định của biểu thức
2
2 3 1
1 1 1
x
Ax x x
= − +
+ − −
là:
A.
1 0x
−
B.
2
1 0x
−
C.
1x
D.
0x
Câu 13: Tìm mẫu thức chung của biểu thức
2
1 2 3
2 2 4
x
Cx x x
= + −
− + −
.
A.
4x
−
B.
2
4x
−
C.
2
4x
+
D.
4x
+
Câu 14: Kết quả của phép tính
2 3
1 1x x
+
− −
bằng:
A.
6
1x
−
B.
5
1x
−
C.
5
2 2x
−
D.
( )
2
6
1x
−
Câu 15: Kết quả của phép tính
2
2 3
5
x y
xy x
bằng:
A.
2
6
5
xy
xy
B.
2 2
6
5x y
C.
6
5x
D.
6
5xy
5 | P a g e