ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – TOÁN 11.
Năm học : 2021-2022
I. GỚI HẠN
Bài 1. Tìm giới hạn
1.
nn
nn
23
v4

= − +



2.
nn
nnn
3 4 1
u2.4 2
−+
=+
3.
22
n
n n 1 4n 2
vn3
+ − − −
=+
4.
nn
nn
+
+−
2
2
5
21
lim
5.
( ) ( )
( )
4
22
12
271
lim +
+−
n
nn
6.
nnn
nn
−+
++
43
21
lim
7.
23
...21
lim 34
333
+++
+++
nnn
n
8.
()
1lim 22 +− nnn
Bài 2. Tìm giới hạn
1.
3
2
3
27
lim 43
x
x
xx
→
−
−+
2.
3.
2
1
2
21
lim 2 3 1
x
x
xx
→
−
−+
4.
3
1
2
18
lim 12
x
x
x
→−
+
+
Bài 3. Tìm giới hạn
1.
42
34
2 2 3
lim 1 4 5
x
x x x
x x x
→+
− + −
+ + +
2.
32
23
2 3 4
lim 1 2 3 4
x
x x x
x x x
→−
− + −
− + −
3.
32
2
23
lim 2 4 3
x
x x x
xx
→−
− + −
−+
Bài 4. Tìm giới hạn
1.
3 3 2
lim 2 2 1
xx x x
→+ − + +
2.
3 3 2
lim 2 2 1
xx x x
→− − + +
3.
2
lim 1
xxx
→+ +−
4.
33
lim 1 2 3
xxx
→− −+
Bài 5. Tìm giới hạn
a.
2
2
53
lim 2
x
x
x
→−
+−
+
b.
()
2
lim 1
xx x x
→+ + − −
c.
()
2
lim 1
xx x x
→− + − −
d.
2
41
lim 12
x
x x x
x
→−
+ − +
−
Bài 6. Tìm giới hạn
1)
2
228
lim
2+
−+
+
−→ x
x
x
2)
xx
xx
x23
32
lim
0−
−
+
→
3)
34
1
lim 2
4
3++
+
+
−→ xx
x
x
Bài 9: Cho haøm soá
221
() 1
31
xx vôùi x
fx x
vôùi x
−− −
=+
− = −
.
Xét tính lien tục của hàm số x0 = -1
Bµi 10 Cho hàm số
2
2 1 1
2 1 2
() 1
42
xxvôùi x
x
fx
a vôùi x
−− −
+
=
=−
.
Xet tính liên tục cña hàm số tại x0= -1/2
Bµi 11 Cho hàm số
3
2 2 1 1
() 4 1 1
x x vôùi x
fx b vôùi x
+ +
=−
.
Xét tính lin tục trên R .
Bµi12: CMR:
5 4 3 2
5 4 6 2 5 4 0x x x x x+ + − + + =
Cã nghiÖm.
Bài 13: Chứng minh rằng phương tr×nh
510xx+ − =
cã nghiệm trªn khoảng (-1;1).
Bài 14 Chứng minh rằng phương tr×nh
53
5 4 1 0x x x− + − =
có 5 nghiệm ph©n biÖt khoảng (-2;2).
Bài 15: Cho m > 0 và a, b, c là ba số thực bất k× thỏa m·n
0
21
a b c
m m m
+ + =
++
Chứng minh rằng phương tr×nh sau lu«n cã nghiệm:
20ax bx c+ + =
II. ĐẠO HÀM
Baøi 1: TÝnh ®¹o hµm
a.
65
1 7 2
38
42
y x x x x
= − + − +
b.
2 3 4
2 4 5 6
7
yx x x x
= − + −
c.
( )( )
22
3 4 1 3 2y x x x x= − + − −
d.
( )
22
2 3 . 3 1y x x x= − + +
e.
( )
3
.1y x x x= − +
f.
2
2
x n x m
yn x m x
= + + +
,
,mn
Bài 2: TÝnh ®¹o hµm
a.
32
14
x
yx
+
=−
b.
231
43
xx
yx
+−
=+
c.
2
2
1
13
x
yx
+
=−
d.
2
31
1
xx
yx
+−
=+
Bài 4. Tính đạo hàm:
a.
( )
20
2
23yx=−
b.
331y x x= + −
c.
y x x x= + +
Bài 5. Tính đạo hàm
a.
sin cos
x
yxx
=+
b.
3
1
cos cos
3
y x x=−
c.
3
cos ( )
4
yx
=−
d.
2
cot 1yx=+
Baì 6: Cho
53
( ) 2 3f x x x x= + − −
. CMR:
'(1) '( 1) 4 (0)f f f+ − = −
Bài 7: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
1.
23
4
x
yx
−
=+
2.
2
53
2
xx
yx
−−
=−
3.
32
21y x x= − + +
4.
( )
20
1yx=−
5.
1
1
x
yx
+
=−
6.
( )
3
3 sinxy=−
7.
2
2
1
sin 3 os
yx
cx
=+
8.
sin cos
cos sin
x x x
yx x x
−
=+
9.
tan cot
22
xx
y=−
Bài 8: Cho hàm số
32
( ) 2 3f x x x mx= − + −
Tìm m để:
a)
'( ) 0f x x R
b)
( )
'( ) 0 0; 2f x x
Bài 9: Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số
32
52y x x= − +
Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) sao cho tiếp tuyến đó:
a) Tại điểm M(1;-2);
b) Song song với đường thẳng y = -3x + 1;
c) Vuông góc với đường thẳng
14
7
yx=−
;
d) Đi qua điểm A(0;2);
Bài 10: Cho hàm số
2
3
0
() 0
x khi x
fx
x bx c khi x
=− + +
a) Tìm điều kiện của b và c để f(x) liên tục tại xo=0.
b) Xác định b và c để f(x) có đạo hàm tại xo=0 và tính f’(xo).
Bài 11: Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau
a)
1
2
x
yx
+
=−
b)
2siny x x=
c)
cos 2y x x=
III-Hình
Bài 1. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O; SA ⊥ (ABCD). gäi H, I, K lÇn
l- ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn SB, SC, SD.
a. Chøng minh r»ng: BC ⊥ (SAB); CD ⊥ (SAD); BD ⊥ (SAC).
b. Chøng minh r»ng: AH ⊥ SC; AK ⊥ SC. Tõ ®ã suy ra AH, AI, AK ®ång ph¼ng.
c. Chøng minh r»ng: HK ⊥ (SAC); HK ⊥ AI
Bài 2. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi t©m O. BiÕt SA = SC;
SB = SD.
a) CM: SO ⊥ (ABCD).
b) Gäi I, J lÇn l- ît lµ trung ®iÓm cña AB, BC. CMR: IJ ⊥ (SBD).
Bài 3. Cho tø diÖn ABCD cã ABC vµ DBC lµ hai tam gi¸c ®Òu. Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC.
a) CM: BC ⊥ (AID).
b) H¹ AH ⊥ ID (H ID). CM: AH ⊥ (BCD)
Bài 4. Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng, SA ⊥ (ABCD).
a) CM: (SAD) ⊥ (SCD)
b) Gäi BE, DF lµ hai ®- êng cao cña SBD
CMR: (ACF) ⊥ (SBC); (ACE) ⊥ (SDC); (AEF) ⊥ (SAC)
Bài 5. Cho h×nh chãp S.ABC, ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i B; AB = a; SA ⊥ (ABC) vµ SA =
a
3
. Gäi E, F lÇn l- ît lµ trung ®iÓm cña SC vµ SB. M lµ mét ®iÓm trªn AB, §Æt AM = x. () lµ mÆt
ph¼ng chøa EM vµ vu«ng gãc (SAB).
a) X¸c ®Þnh râ mÆt ph¼ng (). mÆt ph¼ng () c¾t h×nh chãp S.ABC theo thiÕt diÖn lµ h×nh g×?
b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn theo a vµ x.
Bài 6. Cho hai tam gi¸c c©n kh«ng ®ång ph¼ng ABC vµ ABD cã ®¸y chung AB.
a) CM: AB ⊥ CD.
b) X¸c ®Þnh ®o¹n vu«ng gãc chung cña AB vµ CD.
Bài 7. Cho h×nh chãp S.ABCD cã SA ⊥ (ABC) vµ SA = a
2
. ABC vu«ng t¹i B víi AB = a. M lµ
trung ®iÓm AB. TÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña SM vµ BC
Bài 8. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã chiÒu cao AH = 3a. LÊy O AH sao cho AO = Q. Trªn ®- êng
th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa cña ABC t¹i O lÊy ®iÓm S sao cho: OS = BC.
a) CMR: BC ⊥ AS
b) TÝnh SO; SA; SH theo a.
c) Qua ®iÓm I trªn ®o¹n OH vÏ mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi HO. () c¾t AB; AC; SC; SB lÇn
l- ît t¹i M, N, P, Q.
CMR: MNPQ lµ h×nh thang c©n.
d) TÝnh diÖn tÝch MNPQ theo a vµ x = AI. X¸c ®Þnh x ®Ó diÖn tÝch nµy cã gi¸ trÞ lín nhÊt.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là nửa lục giác đều ABCD đáy lớn AB = 2a,hai cạnh bên
AD và BC cắt nhau tại I. Tam giác SAB cân tại S và SI = 2a. Trên đoạn AI ta lấy một điểm M ,đặt
AM = x (0< x < 2a ). Mặt phẳng qua M song song SI và AB lần lượt cắt BI ,SB ,SA tại N ,P ,Q
a) Tính góc giữa SI và AB
b) MNPQ là hình gì ?
c) Tính diện tích MNPQ theo a và x.Tìm x để diện tích ấy lớn nhất. Khi đó MNPQ là hình gì
d) Gọi K = MP
NQ.Tìm quĩ tích điểm K khi M chạy trên đoạn AI
Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a .SA = SB = SC = 2a 3
2
a)Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)
b)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
c)Tính diện tích tam giác SBC
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
0
BAD 60=
, cạnh
a3
SA SD SB 2
= = =
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABCD).
a) Chứng minh rằng H là trọng tâm của tam giác ABD.
b) Tính độ dài SC. CMR:
SB BC⊥
.
c) CMR:
(SAC) (SBD).⊥
d) Tính góc giữa hai mp (SBD) và (ABCD).
Bài 12. Cho lăng trụ đứng
ABC.A'B'C'
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a.
AA ' a 2=
. Gọi
I, I '
lần
lượt là trung điểm của
AB, A'B'
.
a) CMR:
CI (ABB'A ')⊥
.
b) Tính góc giữa
A'C
và
(ABB'A ')
.
c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của
I'
lên
IC' . CMR : I'H (ABC')⊥
.
d) Tính góc giữa hai mp
(ABC') , (ABC)
.
Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. SA vuông góc với đay và
3=SA a
a) Chứng minh :
( )
⊥BC SAB
,
( )
⊥CD SAD
,
( ) ( )
⊥SAC SBD
b) Tính góc của SC và (ABCD)
c) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
d) Tính khoảng cách giữa SB và CD, BD và SC
e) Gọi I trung điểm SC, M trung điểm AB. Chứng minh
( )
⊥IO ABCD
.Tính khoảng cách từ I đến CM
HẾT