TRƯỜNG THCS LÊ QUANG CƯỜNG ÔN TẬP TOÁN 7 – HKII
1
ĐỀ CƢƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II – TOÁN 7 (2021 – 2022)
A. ĐẠI SỐ
I. THỐNG KÊ
1. Xác định dấu hiệu. Lập bảng tần số
2. Tính số trung bình cộng
1 1 2 2 ... kk
x n x n x n
XN
Trong đó: x
1
; x
2
;…; x
k
là k giá trị khác nhau của dấu hiệu X.
n
1
; n
2
;…; n
k
là k tần số tương ứng.
N là số các giá trị của dấu hiệu.
3. Tìm Mốt của dấu hiệu (M
O
):
là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng tần số.
II. BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
1. Thu gọn biểu thức
a. Nhân hai đơn thức:
Nhân các hệ số với nhau, nhân các phần biến với nhau (áp dụng:
x
m
.x
n
= x
m+n
).
Chú ý:
Tính lũy thừa trước: áp dụng công thức
(x
m
)
n
= x
m.n
.
b. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng:
cộng, trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến.
Chú ý:
Quy tắc bỏ dấu ngoặc: Nếu trước dấu ngoặc là dấu “–” thì khi bỏ dấu ngoặc ta phải đổi dấu các
hạng tử bên trong dấu ngoặc. Nếu trước dấu ngoặc là dấu “+” thì khi bỏ dấu ngoặc ta giữ nguyên các hạng tử bên
trong dấu ngoặc.
2. Tính giá trị của biểu thức đại số:
Thực hiện theo ba bước
Thu gọn biểu thức (nếu có thể).
Thay giá trị của biến vào biểu thức.
Thực hiện phép tính theo thứ tự:
lũy thừa
nhân, chia
cộng, trừ.
3. Tìm bậc:
Thu gọn biểu thức trước khi tìm bậc.
Bậc của đơn thức
: Tổng số mũ của các biến.
4. Cộng, trừ đa thức (bậc ba trở xuống)
Thu gọn đa thức trước khi cộng, trừ.
Áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc
Cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
5. Chứng tỏ a là nghiệm (hay không là nghiệm) của đa thức P(x):
Tính P(a)
Nếu P(a) = 0
x = a là nghiệm của P(x).
Nếu P(a)
0
x = a không phải là nghiệm của P(x).
6. Tìm nghiệm của P(x)
: Cho P(x) = 0
Tìm x
Chú ý:
f(x). g(x) = 0
f(x) = 0 hoặc g(x) = 0
f
2
(x) = m (m
0)
f(x) =
m
7. Chứng minh đa thức P(x) vô nghiệm:
Ta chứng tỏ
P(x) > 0
, với mọi x hoặc
P(x) < 0
, với mọi x
Chú ý:
Lũy thừa bậc chẵn của một số hay một biểu thức luôn luôn không âm (
0).
Giá trị tuyệt đối của một số hay một biểu thức luôn luôn không âm (
0).
B. HÌNH HỌC
Sử dụng các kiến thức dƣới đây để vận dụng giải bài tập
1.
Tổng ba góc của một tam giác, góc ngoài của tam giác.
2.
Các trường hợp bằng nhau của tam giác và tam giác vuông.
3.
Tam giác vuông, tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều.
4.
Định lý Py-ta-go.
5.
Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.
6.
Quan hệ đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu.
7.
Bất đẳng thức tam giác.
8.
Các đường đồng quy trong tam giác: đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao.
C. BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Bài 1. Tính tổng và hiệu của các đa thức sau:
22
2 2 2 2 2 2
a) P 5xyz 2xy 3x 11; Q 15 5x xyz xy
b) M 3x y 2x 5xy 7y ; N 3xy 7y 9x y x 5
Bài 2.
Tính giá trị biểu thức
2
A 2x 4 x 3x 1
tại x = -1.
TRƯỜNG THCS LÊ QUANG CƯỜNG ÔN TẬP TOÁN 7 – HKII
2
Bài 3.
Chứng tỏ các đa thức sau vô nghiệm:
a) 3x
2
+ 5 b) y
4
+ 1 c) x
4
+ 2x
2
+ 7 d) – 5x
2
– 4
Bài 4.
Tìm nghiệm của các đa thức:
a) 2x + 3 b) 2 – 5x c)
3x 0,5
d) (x – 2)(x + 2) e) (x – 1)(x – 3)(2x + 6)
f) x
2
– 16 g)
2
4x
25
h)
(x – 1)(x2 + 1) i) (2x + 5)(x2 – 9) k) x2 – 4x – 5
Bài 5.
Chứng tỏ đa thức: F(x) = x
2
– 2x + 2015 không có nghiệm âm.
Bài 6. Cho f(x) = x2 + x.
Tính
1 1 1 1 1
Mf (1) f (2) f (3) f (2014) f (2015)
.
Bài 7 (2017-2018).
Cho đa thức:
( ) ( , , 0) P x ax b a b a
. Chứng minh:
(2019) (1) 2018PP
.
Bài 8. Cho ΔABC, vẽ AH vuông góc với BC tại H. Biết BH = 9cm, CH = 16cm. AH = 12cm.
a) Tính AB, AC b) Chứng minh: ΔABC là tam giác vuông.
Bài 9. Cho ΔABC, AM là đường trung tuyến của ΔABC. Trên tia đối của tia MA, lấy D sao cho
MD=MA. Chứng minh:
a) ΔAMB = ΔDMC b) AB // CD c) AB + AC > 2AM.
Bài 10
(2010-2011).
Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Trên BC lấy điểm D sao cho BD = AB. Đường vuông
góc với BC tại D cắt AC tại E. Chứng minh rằng:
a) Chứng minh:
BAE =
BDE.
b) Chứng minh BE là đường trung trực của AD.
c) AD là tia phân giác của góc HAC.
Bài 11
(2011-2012).
Cho ∆ABC vuông A, đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC
(H BC)
.Gọi K là giao
điểm của AB và HE. Chứng minh:
a) ∆ABE = ∆HBE b) BE là đường trung trực của AH c) EK = EC.
Bài 12
(2012-2013).
Cho
ABC
có
0
A 60
, AB<AC, đường cao BH.
a) So sánh
ABC
và
ACB
. Tính
ABH
.
b) Vẽ tia phân giác AD
D BC
và vẽ
BI AD
tại I. Chứng minh
AIB BHA
.
c) Tia BI cắt AC ở E. Chứng minh
ABE
đều.
Bài 13
(2013-2014).
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. BN và CM cắt
nhau tại G.
a) Chứng minh ΔABN = ΔACM.
b) Trên tia đối của tia NB lấy điểm K sao cho NK = NG. Chứng minh ΔANG = ΔCNK. Từ đó suy ra AG// CK.
c) Chứng minh BC + AG > 2MN.
Bài 14
(2014-2015).
Cho tam giác ABC cân tại A
0
A 90
. Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tia AH cắt
BC tại I.
a) Chứng minh ΔABD = ΔACE.
b) Chứng minh I là trung điểm của BC.
c) Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, cắt đường thẳng AH tại F. Chứng minh CB là tia phân giác
của
FCH
.
Bài 15
(2015-2016).
Cho AH là đường cao của tam giác ABC vuông tại A, AD là đường phân giác của tam giác
HAC. Vẽ
DK AC
tại K.
a) Chứng minh ΔAHD = ΔAKD.
b) Chứng minh BA=BD và AB>DK.
c) Trên tia DK, lấy điểm N sao cho DN=DB. Lấy M là trung điểm của AD. Chứng minh ba điểm B, M, N
thẳng hàng.
Bài 16
(2016-2017).
Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm M là trung điểm của BC. Vẽ
MH AC H AC
.
Trên tia HM lấy điểm K sao cho MK=MH (M là trung điểm của HK)
a) Chứng minh ΔMHC = ΔAMKB rồi suy ra số đo góc HKB.
b) Chứng minh AH=KB.
c) Chứng minh ΔMAC cân.
d) Gọi G là giao điểm của AM và BH. Chứng minh
GB + GC > 3GA.
Bài 17 (2017-2018). C
ho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9cm, AC = 12cm.
TRƯỜNG THCS LÊ QUANG CƯỜNG ÔN TẬP TOÁN 7 – HKII
3
a) Tính BC.
b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Chứng minh
ADC ABC
.
c) Gọi M là trung điểm của CD. Qua D vẽ đường thẳng song song với BC cắt BM tại E.
Chứng minh
CDE
cân tại D.
d) Gọi I là giao điểm của AC và BE. Chứng minh BC + BD > 6.IM.
D. CÁC ĐỀ TỰ LUYỆN
ĐỀ 1
Bài 1 (2đ). Một giáo viên theo dõi thời gian giải xong một bài tập (tính theo phút) của một số học sinh và
ghi lại như sau:
9 7 8 4 6 8 7 7 8 7
8 9 11 4 7 4 11 8 8 8
7 7 8 11 7 6 8 7 4 8
a) Dấu hiệu ở đây là gì?
b) Lập bảng “tần số”.
c) Tính số trung bình cộng của dấu hiệu.
Bài 2 (2đ). Cho đơn thức
2 15
3 5 2
5 16
M x y x y

a) Thu gọn M rồi xác định phần hệ số, phần biến số của đơn thức.
b) Tính giá trị của M tại x = -1 và y = 2.
Bài 3 (2 đ). Cho hai đa thức:
2
( ) 7 3 5A x x x
và
2
( ) 7 5 5B x x x
a) Tính A(x) + B(x); A(x) – B(x).
b) Tìm nghiệm của đa thức A(x) – B(x).
Bài 4 (3,5đ). Cho ABC vuông tại A (AB < AC), BD là đường phân giác của góc B
()D AC
. Vẽ
DE BC
tại E.
a) Cho biết AB = 9cm, AC = 12cm. Tính BC.
b) Chứng minh
ADE cân.
c) Chứng minh rằng DA < DC.
d) Vẽ
CF BD
tại F. Chứng minh ba đường thẳng AB, DE, CF đồng quy.
Bài 5 (0,5đ).
Rút gọn biểu thức:
21
A 20.5 5 5

n n n
.
ĐỀ 2
Bài 1 (2,0 điểm).
a) Thu gọn rồi tìm phần hệ số, phần biến của đơn thức:
 3
223
A xy 2x y z
;




23
2
2
B xy 3xy z
3
b) Thu gọn rồi tính giá tri của đa thức: B=3x2y3 + 3x3y2 – 3x2y3 – 2 với x= 1, y= -1
Bài 2 (2,0 điểm ) Cho hai đa thức:
f(x) = -2x2 + 3x3 + 7- 2x
g(x)= -3x3 + 2x2 - 2 - 3x
a) Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần cùa biến.
b) Tính : h(x)= f(x) + g(x); k(x)=f(x) – g(x).
c) Tìm nghiệm của đa thức h(x).
Bài 3 (2,0 điểm). Điểm thi học kì II môn toán lớp 7A được ghi lại như sau:
a) Dấu hiệu ở đây là gì? Số các giá trị của dấu hiệu là bao nhiêu?
b) Lập bảng “tần số” và tìm mốt của dấu hiệu. Tính số trung bình cộng.
Bài 4 (3,5 điểm). Cho
ABC
vuông tại A, có AB = 6cm, AC = 8cm.
a) Tính BC và so sánh các góc của
ABC
.
b) Trên tia đối AB lấy điểm D sao cho AB=AD. Chứng minh:
BCD cân
c) Gọi M là trung điểm của BC, DM cắt AC tại điểm K. Tính KC
6
10
8
5
7
8
8
9
6
7
9
8
5
6
4
10
9
8
8
9
TRƯỜNG THCS LÊ QUANG CƯỜNG ÔN TẬP TOÁN 7 – HKII
4
d) Chứng minh: KD + KC< DM + MC.
Bài 5 (0,5 điểm).
Cho đa thức
f (x) x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 ... x 49 x 50
. Tính f(1).
ĐỀ 3
Bài 1 (1,5 điểm). Điểm một bài KT môn toán của lớp 7A một trường THCS được ghi lại trong bảng sau
4
7
8
6
7
5
7
6
7
3
9
6
9
5
7
4
8
9
4
6
6
7
3
8
3
9
8
4
10
5
7
9
8
6
8
3
6
10
7
4
a) Lập bảng tần số và tìm mốt của dấu hiệu.
b) Tính điểm trung bình bài kiểm tra trên của lớp 7A.
Bài 2 (1,5 điểm). Cho đơn thức:
2 2 3
1
2 . 3
4
A x y xy y

a) Thu gọn đơn thức A rồi tìm bậc của đơn thức
b) Tính giá trị của đơn thức A tại
1x
và
1y
Bài 3 (1,5 điểm).
Cho đa thức A(x) = (3x – 7) – 2(4 – x)
a) Hãy thu gọn rồi tính giá trị của A tại x = -5 b) Tìm x để A(x) = 10
Bài 4 (1,5 điểm).
Cho đa thức Q(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, biết a + c = b + d. Chứng minh x = – 1 là nghiệm của
Q(x).
Bài 5 (3,5 điểm). Cho
ABC
vuông tại A có AB = 12cm, AC = 16cm. Kẻ đường cao AH (
H BC
)
a) Tính BC.
b) So sánh:
B
và
C
; HB và HC.
c) Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho: HD = HA.
Chứng minh: BC là tia phân giác của
ABD
.
d) Từ A kẻ
AM CD
M CD
, AM cắt CH tại I. Chứng minh:
ID AC
và AM // BD
Bài 6 (0,5 điểm). Tìm x biết:
x 2 x 3 x 4 x 5 x 349 0
327 326 325 324 5
ĐỀ 4
Bài 1.
Thu gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau: 3x(-5x
2
y) – (2xy + 5 – 15x
3
y) tại x = – 2 và y = 3
Bài 2.
Cho các đa thức:
5 2 4 5 4 2
13
P x 2x 4x 10x x Q x 2x 4x 6 x 10x
2
a) Tính P(x) + Q(x) và P(x) – Q(x). b) Đặt M(x) = P(x) – Q(x). Tính



1
M2
Bài 3.
Tìm nghiệm của đa thức sau: 3(2x – 5) – 5(7x + 8)
Bài 4.
Cho ΔABC vuông tại A có
0
B 60
. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Kẻ CK vuông góc với tia BD ở K.
a) Tính
ABD,ACB
và chứng minh ΔBCD cân.
b) CM: AB = CK c) ΔAKB = ΔKAC d) BC = 2AB.
Bài 5. Tính giá trị
14 13 12 11 2
P x 10x 10x 10x 10x 10x 10
tại x=9
ĐỀ 5
Bài 1.
Cho đơn thức:
5 2 7
32
M xy x y x y
7 5 3
a) Thu gọn M rồi tìm hệ số và phần biến của đơn thức.
b) Tính giá trị của M tại x = – 1 và y = – 3.
Bài 2.
Cho các đa thức: P(x) = 3x
4
+ 2x
2
-10x + 3; Q(x) = - 3x
4
+ x
3
-2x
2
- 10x -1
a) Tính P(x) + Q(x) và P(x) – Q(x). b) Đặt M(x) = P(x) + Q(x). Tính giá trị của M(x) khi x = -2
Bài 3.
a) Cho P(x) = x
2
+ 3x + 2. Chứng tỏ x = – 2 là nghiệm của P(x).
b) Thu gọn và tìm nghiệm của đa thức sau: R = -
2
5
x –x
2
– 7xy
3
+ 0,5 + 7xy
3
+
1
2
+ 3x
2
-
3
5
x – 2x
2
TRƯỜNG THCS LÊ QUANG CƯỜNG ÔN TẬP TOÁN 7 – HKII
5
Bài 4.
Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 9cm, BC = 15cm.
a) Tính AC và so sánh các góc của tam giác ABC.
b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Chứng minh tam giác BCD cân
c) Gọi K là trung điểm của cạnh BC, Đường thẳng DK cắt cạnh AC tại M. Tính MC.
d) Đường trung trực của cạnh AC cắt đường thẳng DC tại Q. Chứng minh B, M, Q thẳng hàng
Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q x 2012 2011 x
Bài 6. Cho f(x) = 2x2 + ax + 4 (a là hằng số)
g(x) = x2 – 5x – b (b là hằng số)
Tìm các hệ số a, b sao cho f(1) = g(2) và f(-1) = g(5).
E. CÁC ĐỀ THAM KHẢO
ĐỀ 6
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2018 – 2019
Bài 1 (1,5đ).
Việt Nam là đội tuyển trẻ nhất tại Asian Cup 2019, tuổi của 23 cầu thủ được ghi lại trong bảng sau:
21
22
25
23
19
23
26
29
22
23
26
22
28
23
23
25
21
21
21
22
21
21
25
a) Lập bảng tần số.
b) Tính độ tuổi trung bình của các tuyển thủ Việt Nam tại Asian Cup 2019 (kết quả làm tròn đến chữ số thập
phân thứ hai).
Bài 2 (2,0đ).
a) Thu gọn đơn thức sau, rồi cho biết bậc và hệ số của đơn thức
5 2 3
32
x y . x y .
89
b) Tính giá trị của biểu thức
23
1
A x y 4xy 5
2
tại
3
x 2; y .
2
Bài 3 (1,5đ).
Cho hai đa thức:
4 3 2 4 3 2
xA x 3x 2x 3x 1; B(x) 4x 3x 7x 3x 5.
Tính A(x) + B(x); A(x) – B(x).
Bài 4 (1,0đ).
Tìm nghiệm của các đa thức:
a) 7x + 14 b)
9
x 5 3x 2




Bài 5 (3,5đ).
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA.
a) Chứng minh
AMB DMC
.
b) Vẽ AH là đường cao của
ABC(H BC)
. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = HA.
Chứng minh
BAE
cân.
c) Chứng minh BE = CD.
d) Chứng minh
0
AED 90
.
Bài 6 (0,5đ).
Cho hai đa thức:
2
( ) 2018 P x x ax
và
2
( ) 2020 Q x x ax
.
Chứng minh:
P(1).Q( 1) 0.
ĐỀ 7
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2019 – 2020
Bài 1 (1,5 điểm) Điểm bài kiểm tra môn toán học kì II của một nhóm học sinh lớp 7A được ghi lại trong
bảng sau:
7
6
5
6
7
10
8
4
5
7
8
9
8
5
8
6
7
10
9
7
a) Lập bảng “tần số”.
b) Tính điểm trung bình bài kiểm tra của nhóm học sinh trên.
Bài 2 (2,0 điểm)
a) Thu gọn rồi xác định bậc của đơn thức
4 3 3 2
1
A x y 6x y
2




.
b) Tính giá trị của biểu thức
3 2 2
B x 3x 0,25xy 4
tại
x 1; y 2
.
Bài 3 (1,5 điểm) Cho hai đa thức:
32
P x 2x 4x 3x 15
;
32
Q x x 5x 3x 8
.
a) Tính
P x Q x
. b) Tính
P x Q x
.