T Toán – Tr ng THPT Vĩnh Thu n Đ C NG ÔN T P KH I 11ổ ườ ậ Ề ƯƠ Ậ Ố
Ph n I: ầĐI S VÀ GI I TÍCHẠ Ố Ả
Ch ng Iươ . HÀM S L NG GIÁC VÀ PH NG TRÌNH L NG GIÁCỐ ƯỢ ƯƠ ƯỢ
I. CÔNG TH C L NG GIÁC Ứ ƯỢ
1. H ng đng th c l ng giác:ằ ẳ ứ ượ
*
cos
sin
tan
*
sin
cos
cot
*sin² + cos² = 1α α
*tan . cot = 1α α *1 + tan² = α
2
1
cosα
( ≠ /2 + k , α π π
k Z
)
* 1 + cot² = α
2
1
sinα
( ≠ k , α π
k Z
)
2. Giá tr l ng giác cung (góc) liên quan:ị ượ
a. Cung đi nhauố
cos (– ) = cos α α sin (– ) = –sin α α tan (– ) = –tan α α cot (– ) = –cot α α
b. Cung bù nhau
sin ( – ) = sin π α α cos ( – ) = –cos π α α tan ( – ) = –tan π α α cot ( – ) = –cot π α α
c. Cung h n kém πơ
sin ( + ) = –sin π α α cos ( + ) = –cos π α α tan ( + ) = tan π α α cot ( + ) = cot π α α
d. Cung ph nhauụ
sin ( /2 – ) = cos π α α cos ( /2 – ) = sin π α α tan ( /2 – ) = cot π α αcot ( /2 – ) = π α
tan α
3. Công th c c ngứ ộ
cos (a – b) = cosa cosb + sina sinb cos (a + b) = cosa cosb – sina sinb
sin (a – b) = sina cosb – sinb cosa sin (a + b) = sina cosb + sinb cosa
tan (a – b) =
tan a tan b
1 tan a tan b
−
+
tan (a + b) =
tan a tan b
1 tan a tan b
+
−
4. Công th c nhân hai và nhân baứ
sin 2a = 2sina cosa cos 2a = cos² a – sin² a = 2cos² a – 1 = 1 – 2sin² a
tan 2a =
2
2 tan a
1 tan a
−
sin 3a = 3sin a – 4sin³ a cos 3a = 4cos³ a – 3cos a
5. Công th c h b cứ ạ ậ
cos² a =
1 cos2a
2
+
sin² a =
1 cos2a
2
−
sina cosa =
sin 2a
2
6. Công th c bi n tích thành t ngứ ế ổ
cosa cosb =
1
2
[cos (a – b) + cos (a + b)]
sina sinb =
1
2
[cos (a – b) – cos (a + b)]
sina cosb =
1
2
[sin (a – b) + sin (a + b)]
7. Công th c bi n đi t ng thành tíchứ ế ổ ổ
cosu + cosv = 2cos
u v
2
+
cos
u v
2
−
cosu – cosv = –2sin
u v
2
+
sin
u v
2
−
sinu + sinv = 2sin
u v
2
+
cos
u v
2
−
sinu – sinv = 2cos
u v
2
+
sin
u v
2
−
tanu+ tanv=
tanu- tanv=
1
T Toán – Tr ng THPT Vĩnh Thu n Đ C NG ÔN T P KH I 11ổ ườ ậ Ề ƯƠ Ậ Ố
II. PH NG TRÌNH L NG GIÁC C B NƯƠ ƯỢ Ơ Ả
A. Ki n th c c n nhế ứ ầ ớ
+ sinu = sinv
2
2
u v k
u v k
π
π π
= +
= − +
+ cosu = cosv
2
2
u v k
u v k
ππ
= +
= − +
+ tanu = tanv
u v k
π
= +�
+ cotu = cotv
u v k
π
= +�
* Chú ý:
+ sin x = 0 <=> x = kπ, v i ớ
k Z
+ sin x = 1 <=> x = π/2 + k2π, v i ớ
k Z
+ sin x = –1 <=> x = –π/2 + k2π, v i ớ
k Z
+ cos x = 0 <=> x = π/2 + kπ, v i ớ
k Z
+ cos x = 1 <=> x = k2π, v i ớ
k Z
+ cos x = –1 <=> x = (2k + 1)π, v i ớ
k Z
B. Bài t pậ
1. Gi i ph ng trình sau.ả ươ
a)
1
sin 3 2
x
π
� �
− =
� �
� �
b)
2
sin3 2
x=
c)
( )
0
1
cos 75 2
x− =
d)
2
cos 2 6 2
x
π
� �
+ = −
� �
� �
e)
3 tan 1 0x− =
f) tan (3x – 30°) = –
3
3
2. Gi i ph ng trình sau.ả ươ
a. sin (2x – 1) = sin(x + 3) b. sin (3x + 30°) = cos 2x c. sin (4x) + cos (5x – /2) = 0π
d. 2sin x +
2
sin 2x = 0 e. sin² 2x + cos² 3x = 1 f. tan 3x = tan (5x + /4)π
IV. PH NG TRÌNH B C HAI ĐI V I M T HÀM S L NG GIÁC.ƯƠ Ậ Ố Ớ Ộ Ố ƯỢ
1. Gi i ph ng trình sau.ả ươ
a)
2
2sin 5cos 1 0x x+ + =
b)
2
2cos cos 1 0x x− − =
c)
2
2sin 3sin 1 0x x− + =
d)
2
6cos 5sin 7 0x x+ − =
2. Gi i ph ng trình sau.ả ươ
a)
cos2 3sin 2x x
+ =
b)
cos2 cos 1 0x x
+ + =
c)
2 2
3
sin 2 2cos 0
4
x x− + =
d)
2
1
cos2 sin sin 4
x x x+ + =
e)
4 2
tan 4tan 3 0x x− + =
f)
2
cot 4cot 3 0x x− + =
3. Gi i ph ng trình sau.ả ươ
a)
2
2cos 5cos 3 0x x− + =
b)
2
1 5sin 2cos 0x x− + =
c)
2
3cot 4cot 3 0x x− + =
d)
2
34tan 2 0
cos x
x− − =
4. Gi i ph ng trình sau.ả ươ
a)
2
cos2 sin 2cos 1 0x x x+ + + =
b)
cos2 5sin 2 0x x
+ + =
c)
2
5 3
sin sin 0
2 2
x x− + =
d)
2 2
2sin 2 2sin 3x x+ =
5. Gi i ph ng trình sau.ả ươ
2
T Toán – Tr ng THPT Vĩnh Thu n Đ C NG ÔN T P KH I 11ổ ườ ậ Ề ƯƠ Ậ Ố
a)
2
2cos 2 3sin 2 1 0x x+ + =
b)
2
32 3 cot 6 0
sin x
x− − =
c)
9 3
sin 2 4tan 2
x x+ =
d)
2
1 2 5
tan 0
2 cos 2
xx
− + =
V. PH NG TRÌNH B C NH T ĐI V I SINX VÀ COSX.ƯƠ Ậ Ấ Ố Ớ
A. Ki n th c c n nhế ứ ầ ớ
Ph ng trình có d ng asin x + bcos x = cươ ạ (1)
Chia hai v ph ng trình (1) cho ế ươ
2 2
a b
+
ta có
2 2 2 2 2 2
a b c
sin x cos x
a b a b a b
+ =
+ + +
(2)
Đt cos ặα =
2 2
a
a b+
; sin α =
2 2
b
a b+
Ph ng trình (2) tr thành: sin x cos ươ ở α + sin α cos x =
2 2
c
a b
+
<=> sin(x + α) =
2 2
c
a b+
là PTLG c b nơ ả
*Chú ý: ph ng trình có nghi m <=> a² + b² ≥ c² ,và có cách gi i khác.ươ ệ ả
B. Bài t pậ
1. Gi i ph ng trình sau.ả ươ
a)
3sin cos 2x x− =
b)
( )
2
sin cos 3 cos 2 2x x x+ + =
c)
sin 3 cos 2x x+ =
d)
3sin cos 2x x− =
2. Gi i ph ng trình sau.ả ươ
a)
sin 3 cos 1x x+ =
b)
5cos2 12sin 2 13x x− =
c)
3sin 4cos 1x x− =
d)
3sin3 cos3 2x x+ =
3. Gi i ph ng trình sau.ả ươ
a)
cos 3sin 3x x+ =
b)
3sin cos 2x x− =
c)
6
sin cos 2
x x+ =
d)
sin 3 cos 2x x+ =
e)
3sin cos 2sin7x x x+ =
f)
2 cos13 sin cosx x x= +
4. Gi i ph ng trình sau.ả ươ
a)
sin 3 3 os3 2sin 2x c x x− =
b)
3sin3 cos3 2 0x x− − =
c)
2sin 2 cos2 3 cos 4 2x x x+ =
d)
3 cos 2 sin 5
2 2
x x
− = −
VI. PH NG TRÌNH THU N NH T B C HAI ĐI V I SINX VÀ COSX.ƯƠ Ầ Ấ Ậ Ố Ớ
A. Ki n th c c n nhế ứ ầ ớ
Ph ng trình a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = dươ
* cos x = 0
kx 4
là nghi m hay không?ệ
* cos x
0
kx 4
chia hai v c a ph ng trình cho cos² x ta đcế ủ ươ ượ
a tan² x + b tan x + c = d(1 + tan² x)
Chú ý:Có cách gi i khác:Dùng công th c h b c và nhân đôi.ả ứ ạ ậ
B. Bài t pậ
3
T Toán – Tr ng THPT Vĩnh Thu n Đ C NG ÔN T P KH I 11ổ ườ ậ Ề ƯƠ Ậ Ố
1. Gi i ph ng trình sau.ả ươ
a)
2 2
sin 2sin cos 2cos 1x x x x+ − =
b)
2 2
6sin sin cos cos 3x x x x− − =
c)
2 2
4sin 3 3sin 2 2cos 4x x x− − =
2. Gi i ph ng trình sau.ả ươ
a)
2 2
2sin 5sin cos 3cos 0x x x x− + =
b)
2 2
2sin 5sin cos cos 2x x x x− − = −
c)
2 2
4sin 3 3 sin 2 2cos 4x x x+ − =
d)
2 2
cos 2sin cos 5sin 2x x x x− + =
e)
2 2
2sin 3cos 5sin cosx x x x+ =
f)
2 2
2cos 3sin 2 sin 1x x x− + =
VII. PH NG TRÌNH L NG GIÁC KHÁC.ƯƠ ƯỢ
1. Gi i ph ng trình sau.ả ươ
a)
2 2
sin sin 3 1x x+ =
b)
11 9
tan cot cos 2
2 2
x x x
π
� �
+ + + =
� �
� �
c)
2 2 2 2
sin sin 3 cos cos 3x x x x+ = +
d)
1
sin sin 2 sin3 sin 4
4
x x x x=
2. Gi i ph ng trình sau.ả ươ
a)
sin cos cos2 1x x x = −
b)
sin 7 sin 3 cos5x x x− =
c)
2 2
cos sin sin3 cos4x x x x− = +
d)
2
3
cos2 cos 2sin 2
x
x x− =
3. Gi i ph ng trình sau.ả ươ
a)
3 3 2 2
sin 3 os sin cos 3sin cosx c x x x x x− = −
b)
2
cos6 sin3 cos3 0
2
x x x− − =
c)
sin8 cos 4 0x x
+ =
d)
2
sin 3 cos6 2 0x x− − =
CÂU H I TR C NGHI M ÔN T P CH NG 1Ỏ Ắ Ệ Ậ ƯƠ
Câu 1: T p ậ
{
/ , }D x R x k k Z
π
=ι�
là t p xác đnh c a hàm s :ậ ị ủ ố
A.
1 cos
sin
x
yx
−
=
B.
1 sin
cos
x
yx
+
=
C.
tany x=
D.
tan 5coty x x= −
Câu 2: t p xác đnh c a hàm s ậ ị ủ ố
tan(2 )
3
y x
π
= +
là :
A.R B.
\{ , )
12 2
R k k Z
π π
+
C.
\{ , )
6
R k k Z
ππ
+
D.
\{ , )
12
R k k Z
ππ
+
Câu 3: Giá tr bé nh t c a hàm s ị ấ ủ ố
3sin( ) 2
6
y x
π
= − + +
A. 1 B. -1 C.2 D.không t n t iồ ạ
Câu 4: Giá tr l n nh t c a hàm s ị ớ ấ ủ ố
4 4
sin cosy x x= +
là :
A. 1 B. -1 C.
1
2
D.
1
2
−
Câu 5:K t lu n nào sau đây sai?ế ậ
A.
sin cos2y x x=
là hàm s lố ẻ B.
sin sin 2y x x=
là hàm s ch nố ẵ
C.
siny x x= +
là hàm s lố ẻ D.
cosy x x= +
là hàm s ch nố ẵ
Câu 6:Các nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ
3 3tan 0x+ =
là :
4
T Toán – Tr ng THPT Vĩnh Thu n Đ C NG ÔN T P KH I 11ổ ườ ậ Ề ƯƠ Ậ Ố
A.
6
x k
ππ
= +
B.
6
x k
ππ
= − +
C.
6
x k
ππ
= +
D.
2
6
x k
ππ
= +
Câu 7:Các nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ
2
2sin 3sin 1 0x x+ + =
trên
3
( ; )
2
π
π
là:
A.
6
x
π
=
B.
5
6
x
π
=
C.
7
6
x
π
=
D.M t k t qu khácộ ế ả
Câu 8: Trong các ph ng trình sau ph ng trình nào vô nghi mươ ươ ệ
A.
sin 2cos 1x x− =
B.
2
2sin 5sin 3 0x x− + =
C.sinx +cosx=2 D.sinx=2cosx
Câu 9 :Các nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ
2sin(4 ) 1 0
3
x
π
− − =
là:
A.
4 3
5
24 2
x k
x k
π π
π π
= +
= +
B.
8 2
7
24 2
x k
x k
π π
π π
= +
= +
C.
8 2
11
24 2
x k
x k
π π
π π
= − +
= +
D.
2
8
72
8
x k
x k
ππ
ππ
= +
= +
Câu 10: Các nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ
2 2
4sin 3 3 sin 2 2cos 4x x x+ − =
trên
[ ]
0;
π
là:
A.
6
x
π
=
B.
5
6 2
x x
π π
= =�
C.
2
x
π
=
D. A,B,C đu saiề
Câu 11: Các nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ
3cos5 sin5 2cos3x x x+ =
là :
A.
12
x k
ππ
= +
B.
48
x k
ππ
= +
C.A,B đu đúng ềD.A,B đu sai ề
Câu 12: Cho ph ng trình ươ
2
sin sin 2 cos 2cosx x x x+ = +
Nghi m d ng nh nh t c a ph ng trình là :ệ ươ ỏ ấ ủ ươ
A.
6
x
π
=
B.
4
x
π
=
C.
3
x
π
=
D.
2
3
x
π
=
Câu 13: Cho ph ng trình ươ
2
1sin 2 cos (0 )
2 2
x x x
π
=
.Nghi m c a ph ng trình là :ệ ủ ươ
A.
3
4
x
π
=
B.
4
x
π
=
C.
3
x
π
=
D.
2
3
x
π
=
Câu 14: Giá tr l n nh t c a hàm s ị ớ ấ ủ ố
sin
2 cos
x
yx
=+
là :
A.
3
3
B.
1
2
C.
3
2
D.2
Câu 15: S nghi m ph ng trình ố ệ ươ
sin cos ( )x x x
π π
= −
là :
A.2 B.4 C.5 D.6
Câu 16: nghi m ph ng trình ệ ươ
2
2sin 3sin 1 0 (0 )
2
x x x
π
− + =
là :
A.
4
x
π
=
B.
0x
=
C.
2
x
π
=
D.
6
x
π
=
Câu 17:Các nghi m ph ng trình ệ ươ
2 2
4sin 3 3 sin 2 2cos 4x x x+ − =
trên
[ ]
0;
π
là :
5