S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THANH HOÁỞ Ụ Ạ
TR NG THPT T NG DUY TÂN.ƯỜ Ố ĐỀ KSCL ÔN THI Đ I H C. NĂM 2012 - 2013 Ạ Ọ
MÔN: TOÁN. KH I A - B - D. Ố
Th i gian làm bài: 180 phútờ.
I. PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH Ầ Ấ Ả (7,0 đi m)ể
Câu 1. (2 đi m) Cho hàm s ể ố
2 1
1
x
yx
−
=+
( )
C
.
a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th ả ự ế ẽ ồ ị
( )
C
c a hàm s .ủ ố
b) Tìm m đ đ ng th ng ể ườ ẳ
y x m
= − +
c t đ th ắ ồ ị
( )
C
t i hai đi m phân bi t ạ ể ệ A, B sao cho tam giác ABM
là tam giác đ u, bi t r ng ề ế ằ M = (2; 5).
Câu 2. (2 đi m) ể
a) Gi i ph ng trình: ả ươ
3cos 4
2 cos (cos sin )
4 cot 1
x
x x x x
π
π
� �
+
� �
� � � �
− + + =
� � −
� �
.
b) Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
2
2
2 4
1 1 3
x y y x xy
x
x xy y
+ + =
+ + =
.
Câu 3. (1 đi m) Tìm ể
2
3 1
sin 2
xdx
x
+
.
Câu 4. (1 đi m) ểCho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh ạa, m t bên ặSAD là tam giác đ uề
và n m trong m t ph ng vuông góc v i m t ph ng (ằ ặ ẳ ớ ặ ẳ ABCD). Tính th tích kh i chóp ể ố S.ABCD và tính
kho ng cách gi a hai đ ng th ng ả ữ ườ ẳ SB và HC theo a, v i ớH là trung đi m c a ể ủ AD.
Câu 5. (1 đi m) ểCho các s không âm ố
, ,x y z
th a mãn: ỏ
Ch ng minh r ng:ứ ằ
7
227
xy yz zx xyz+ + −
.
II. PH N RIÊNGẦ (3,0 đi m) :ể Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n ỉ ượ ộ ầ (ph n ầA ho c ặB).
A. Theo ch ng trình Chu n.ươ ẩ
Câu 6a. (2 đi m) ể
a) Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ Oxy, cho hình thoi ABCD có m t đ ng chéo n m trên đ ng th ng ộ ườ ằ ườ ẳ
∆
có
ph ng trình ươ
3 7 0x y+ − =
và B(0; -3). Tìm các t a đ các đ nh còn l i c a hình thoi, bi t di n tích c aọ ộ ỉ ạ ủ ế ệ ủ
hình thoi b ng 20. ằ
b) Trong không gian v i h t a đ ớ ệ ọ ộ Oxyz, cho hai đi m ểA(1; -2; 2), B(-1; - 4; 3). Hãy xác đ nh t a đ ị ọ ộ
đi m ểM trên tr c ụOz sao cho kho ng cách t ả ừ M đ n đ ng th ng ế ườ ẳ AB là nh nh t.ỏ ấ
Câu 7a. (1 đi m) M t h p đ ng 20 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu tr ng, 9 viên bi màu vàng và 4 ể ộ ộ ừ ắ
viên bi màu đ . L y ng u nhiên t h p ra 5 viên bi. Tính xác su t đ 5 viên bi đ c l y ra có không quáỏ ấ ẫ ừ ộ ấ ể ượ ấ
hai màu.
B. Theo ch ng trình Nâng cao.ươ
Câu 6b. (2 đi m) ể
a) Trong m t ph ng to đ ặ ẳ ạ ộ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(3; 3) và AC = 2BD. Đi m ể
4
2; 3
M� �
� �
� �
thu cộ
đ ng th ng ườ ẳ AB, đi m ể
13
3; 3
N� �
� �
� �
thu c đ ng th ng ộ ườ ẳ CD. Vi t ph ng trình đ ng th ng ch a đ ngế ươ ườ ẳ ứ ườ
chéo BD, bi t đ nh ế ỉ B có hoành đ nh h n 3.ộ ỏ ơ
b) Trong không gian v i h t a đ ớ ệ ọ ộ Oxyz, cho hai đi m ểA(1; -2; 2), B(-1; - 4; 3). Hãy xác đ nh t a đị ọ ộ
đi m ểI trên tr c ụOz, bi t r ng m t c u tâm ế ằ ặ ầ I ti p xúc v i đ ng th ng ế ớ ườ ẳ A B có di n tích nh nh t.ệ ỏ ấ
Câu 7b. (1 đi m) ểGi i ph ng trình: ả ươ
2 2
9 3
3
1 1
log ( 5 6) log log (3 )
2 2
x
x x x
−
− + = + −
.
------------------------H t------------------------ế
S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THANH HOÁỞ Ụ Ạ
TR NG THPT T NG DUY TÂN.ƯỜ Ố Đ KSCL ÔN THI Đ I H C. NĂM 2012 - 2013 Ề Ạ Ọ
MÔN: TOÁN. KH I A - B - D. Ố
Th i gian làm bài: 180 phútờ.
PH N CHUNG Ầ
Câu 1
a
+ T p xác đ nh D = ậ ị
ﾡ
{ }
\ 1−
+ S bi n thiên ự ế
2
3
' 0 1
( 1)
y x
x
= > ∀ −
+
Hàm đ ng bi n trên các kho ng ồ ế ả
( )
; 1− −
và
( )
1;− +
Hàm s không có c c tr .ố ự ị
0,25
+ Gi i h n và ti m c nớ ạ ệ ậ
lim lim 2
x x
y y
− +
= =
nên đ th có T/c ngang y = ồ ị
2
1 1
lim , lim
x x
y y
− +
− −
= + = −
nên đ th có T/c đ ng x = -1ồ ị ứ 0.25
B ng bi n thiên ả ế
x
−
1
2
+
y’ - -
y
+
2
2 -
0,25
Đ th ồ ị 0.25
b
Ph ng trình hoành đ giao đi m: ươ ộ ể
2 1 2 1 ( 1)( )
1
xx m x x x m
x
−= − + − = + − +�
+
(x = - 1 không là nghi m c a PT )ệ ủ
x2 - (m - 3)x - m – 1 = 0 (1)
0,25
(1) là PT b c hai có ậ
∆
= (m – 3)2 + 4(m + 1) = m2 - 2m +13 = (m - 1)2 + 12 > 0
m∀
Nên (1) luôn có hai nghi m phân bi t xệ ệ 1 và x2, hay đ ng th ng luôn c t (C) t iiườ ẳ ắ ạ
hai đi m pb A,B. Theo h th c Vi – et: xể ệ ứ 1 + x2 = m – 3, x1. x2 = - m – 1
0,25
Khi đó A(x1; -x1 +m), B(x2; -x2 + m) suy ra
*)
2 2
1 2 1 2 1 2
2( ) 2[( ) 4 ]AB x x x x x x= − = + −
AM =
2 2 2 2
1 1 1 2
( 2) ( 5) ( 2) ( 2)x x m x x− + − + − = − + −
,
BM =
2 2 2 2
2 2 2 1
( 2) ( 5) ( 2) ( 2)x x m x x− + − + − = − + −
= AM
0,25
Đ tam giác MAB đ u ta ph i có: AB = AM = BM, hay ể ề ả
2 2 2
1 2 1 2
2( ) ( 2) ( 2)x x x x− = − + −
2
1
4 5 0 5
m
m m m
=
+ − =� � = −
K t lu n.ế ậ
0.25
Câu 2
2 đ
a
V i ĐK sinx ≠ 0 và cotx ≠ 1, bi n đ i ph ng trình thành ớ ế ổ ươ
3(cos sin )
12
2 (cos sin )(cos sin ) cos sin
2
sin
x x
x x x x x x
x
−
− − + = −
2 cos 2 3sinx x− =�
2
2sin 3sin 1 0x x− + =�
0,5
Gi i ti p đ c sinx = 1 và sinx = 0,5. Đ u th a mãn ĐK .ả ế ượ ề ỏ 0,25
V i sinx = 1 ớ
2
2
x k
ππ
= +�
V i sinx = 0,5 ớ
5
2 ; 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +
.
V y PT đã cho có 3 h nghi m nói trên.ậ ọ ệ
0.25
b
ĐKXĐ:
0xy
. Bi n đ i h thành ế ổ ệ
2
1 1 1
2 1 4
4
1 1 1 1 1
34
x
xx x y
x y
xx x
x xy y x x y y x
� �
� �
+ + + =
+ + = � �
� �
� �
� � � �
� � � � � �
� �
+ + = + + + =
� � � �
� �
� � � �
1 1 1 4
1 1 1 4
xx x y
xx x y
� �
� �
+ + + =
� �
� �
� �
� � �
� �
� �
+ + =
� �
� �
� �
� �
0,5
12
1 1 2
xx
x y
+ =
+ =
0,25
. V y h đã cho có nghi m (x; y) = (1; 1).ậ ệ ệ 0,25
Câu 3
1đ
Đ t ặ
2
3 1 3
11cot 2
sin 2 2
u x du dx
dv dx v x
x
= + =
� �
� �
== −
� �
0,25
Suy ra
2
3 1 1 1
(3 1). cot 2 cot 2 .3
sin 2 2 2
x
I dx x x x dx
x
+
= = + −
� �
0,25
=
1 3 1
(3 1).cot 2 (sin 2 )
2 4 sin 2
x x d x
x
− + +
0.25
= -
1 3
(3 1).cot 2 ln | sin 2 |
2 4
x x x C+ + +
0.25
Câu 4
1đ S
A B
H
D C
+) Tính th tích kh i chóp:ể ố
G i H là trung đi m c a AD thi do SAD là tam giác đ u c nh AD = a nên SH ọ ể ủ ề ạ
⊥
AD
và SH =
3
2
a
. M t khác theo gt (SAD) ặ
⊥
(ABCD) nên SH
⊥
(ABCD)
0,25
Đáy kh i chóp là hình vuông c nh a ố ạ
3
2
.
1 1 3 3
. . .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
a a
V S SH a= = =�
.0,25
+) G i N = HC ọ
BD; M
SD và MN // SB. Khi đó SB //(MHC) và ta có
2MS MD=
. K MK // SD thì MK ẻ
⊥
(ABCD) và DH =
3
2KH
nên:
0.25
N
M
K