§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

Ứ T  GIÁC:

ố ủ ể ấ ấ ố ể 1. Cho hình vuông ABCD. Trên tia đ i BA l y 1 đi m E, trên tia đ i c a CB l y 1 đi m F sao cho EA =

ằ ườ ủ ể ứ ể ằ ọ FC. a. Ch ng minh r ng tam giác FED vuông cân. b. G i O là giao đi m c a 2 đ ng chéo AC và BD, g i I là Trung đi m FE. Ch ng minh r ng O,C,I ứ ọ ẳ th ng hàng ạ ườ ử ứ ặ ẳ ờ i A. (AC>AB),Đ ng cao AH. Trong n a m t ph ng b  có ch a AH v ẽ 2. Cho tam giác ABC vuông t

0.

ứ Ch ng minh r ng    > 45 ứ ằ ọ ọ ể ọ ỉ ủ ứ   ứ ư ủ  c a Cho hình bình hành APQB, g i I là giao đi m c a BP và AQ. Ch ng hình vuông AHKE. a. ằ ể b. G i P là giao đi m c a AC và KE. Ch ng minh r ng tam giác ABP vuông cân. ủ c. G i Q là đ nh th  t ẳ ằ minh r ng H,I,E th ng hàng. ằ ứ d. Ch ng minh r ng HE//QK

ườ ạ ấ ẳ ớ ạ ắ   i M c t

3. Cho hình vuông ABCD . Trên c nh BC l y 1 đi m tùy ý. Đ ng th ng vuông góc v i AM t

ạ ạ ứ CD t i E và AB t ể i F. Ch ng minh r ng MA = FE

0 .Ch ng minh

ộ ạ ể ế ứ t    = 45 ằ 4. Cho hình vuông ABCD; đi m E thu c c nh CD,đi m F thu c c nh BC. Bi ộ ạ ử ằ r ng chu vi tam giác CFE b ng n a chu vi hình vuông ABCD

ể ằ ể

5. Cho hình vuông ABCD; đi m E thu c c nh CD,đi m F thu c c nh BC sao cho chu vi tam giác CFE

ộ ạ 0 ử ộ ạ ứ ể ằ ằ b ng n a chu vi hình vuông ABCD . Ch ng minh r ng      = 45 ạ ̣ ấ   6. Cho hình thang vuông ABCD có đáy CD = 9 cm,AB = 4 cm,canh xiên BC = 13 cm. Trên c nh BC l y ẳ ể ạ ạ ớ ắ i M c t AD t i N. ằ

2 = BN2 + ND2  + DC2

ứ ứ

ủ ằ ạ

7.

ệ ể ể ủ ứ ủ ằ ườ đi m M sao cho BM = BA. Đ ng th ng vuông góc v i BC t ể ằ a. Ch ng minh r ng : đi m N n m trên tia phân giác góc ABM. b. Ch ng minh r ng : BC ằ c. Tính di n tích hình thang ABCD  ọ    Cho các đi m E và F n m trên các c nh AB và BC c a  hình bình hành ABCD sao cho FA = EC. G i I là giao đi m c a FA và EC. Ch ng minh r ng ID là phân  giác  c a

ầ ượ ẻ ạ ớ ạ t vuông góc v i các c nh AD và CD t i M

8. Cho hình thoi ABCD có góc B tù . K  BM và BN l n l

MN DB

1(cid:0) 2

ế ằ và N. Bi t r ng . Tính các góc hình thoi

ườ ng chéo là AC = 16 9. Cho hình thang ABCD có đ  dài 2 đáy là AB = 5 cm và CD = 15 cm, đ  dài 2 đ ừ ẳ ắ ớ ạ ộ i E. ứ ạ ng th ng song song v i BD c t CD t i A. ệ ộ ẽ ườ cm, BD = 12 cm. T  A v  đ ằ a. Ch ng minh r ng ACE là tam giác vuông t b. Tính di n tích hình thang ABCD. Ở ẽ ứ 10.

FH.

ẽ ườ ẳ nh th ng song song bên ngoài hình bình hành ABCD v  2 hình vuông ABEF và ADGH .Ch ng minh : a. AC = FH; AC (cid:0) b. CEG là tam giác vuông cân.  11.Cho tam giác ABC có BC = a và đ ừ ộ ng cao AH = h.T  m t đi m trên AH v  đ ớ ườ ẽ ạ ể i P và Q.V   và QR vuông góc v i BC. ắ ệ ể ệ ấ ớ ị ớ v i BC c t AB và AC t a.Tính di n tích PQRS theo a, h, x (AM = x). b.Xác đ nh v  trí M trên AH đ  di n tích này l n nh t?

AOB = a2 ;     SCOD = b2

ườ ệ ệ ứ i O.Kí hi u S là di n tích. Cho S ị  giác ABCD có hai đ

ố ạ ủ ABCD?

ẻ ườ   ng

12.Cho t ướ ớ v i a , b là 2 s  cho tr 13.Cho tam giác ABC cân t

i A v i A là góc nh n; CD là đ ắ ườ ườ ứ ẳ ằ ẳ ớ ắ ng chéo c t nhau t c.Hãy tìm GTNN c a S ọ ườ ạ ng phân giác góc ACB, Qua D k  đ ạ i E , Ch ng minh r ng BD =     EC ng th ng CB t ớ ng nay c t đ th ng vuông góc v i CD; đ

1

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

ể ạ

ộ ể ệ ạ ủ ộ ị ạ ạ ổ ị ớ ấ 14. Cho hình vuông ABCD c nh a. đi m M di đ ng trên c nh AB; N di đ ng trên c nh AD sao cho chu vi   ị  ị tam giác AMN không đ i và b ng 2a.Xác đ nh v  trí c a MN đ  di n tích tam giác CMN đ t giá tr ớ l n nh t và tính giá tr  l n  nh t đó ể ạ ấ ạ

ố ứ ể ớ ẻ ẻ ớ ớ ằ ấ 15. Cho tam giác ABC vuông cân t ớ ớ ể ể ọ ọ i A.L y đi m M tùy ý trên c nh AC. K  tia Ax vuông góc v i BM. ủ G i H là giao đi m c a Ax v i BC và K là đi m đ i x ngv i C qua H. K  tia Ky vuông góc v i BM. ủ G i I là giao đi m c a Ky v i AB. Tính

16. Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đ i c a CB và DC, l y các đi m M,N sao cho DN =BM. Các ấ ắ ằ ẳ ẻ ừ ừ ứ ạ ớ ớ ố ủ  M v i AN và t ể i F . Ch ng minh r ng : N v i AM c t nhau t

0

ằ ể ẳ ườ ng th ng song song k  t đ ứ a. T  giác ANFM là hình vuông. b. Đi m F n m trên tia phân giác c a góc MCN và góc FCA = 90 ể c. Ba đi m B,O,D th ng hàng và t ủ ứ  giác BOFC là hình thang ( O là trung đi m FA)

ấ

17.Cho hình vuông ABCD . Trên c nh  CD, l y M b t kì. Các tia phân giác c a các góc BAM và DAM

(cid:0) ứ ạ ằ ầ ượ ắ ạ l n l i F . Ch ng minh r ng MA t c t c nh BC t ể ủ  FE

2  = AB2

ứ ề ằ ấ ạ ắ ạ i E và c t c nh CD t ự ạ 18.Cho tam giác ABC có góc A = 300.D ng bên ngoài tam giác đ u BCD. Ch ng minh r ng AD + AC2

ủ ể ế

19.Cho tam giác ABC cân t

ạ ằ ủ ạ c nh AC và O là trung đi m c a HI. Ch ng minh r ng AO  ầ ượ ấ 20. Cho tam giác ABC cân t ọ ạ i A có H là trung đi m c nh BC.  G i I là hình chi u vuông góc c a H trên (cid:0) BI  ứ ể ể ạ t trên các tia AB và AC sao cho : AE + AK i A, l y các đi m E và K l n l ằ ứ = AB + AC. Ch ng minh r ng EK > BC

ủ ể ườ ng chéo.Tính

21.Cho hình thang cân ABCD   (AB//CD) có AC = 6cm;    = 450. O là giao đi m c a 2 đ

ệ ự ẳ ng chéo BD d ng đ ng th ng song song v i đ 22.  Cho t ủ ườ ẳ ể ạ ứ ứ ẳ ạ ằ i ABCD. Qua trung đi m c a đ ắ ng th ng này c t đo n th ng AD t ườ i E. Ch ng    minh r ng CE chia t ớ ườ   ng    giác  thành 2 ầ ằ ủ ứ ồ ể ớ 23. Các đ i ABCD vuông góc v i nhau. Qua Trung đi m các c nh AB và AD k ứ ứ ự ớ ạ ườ ẳ ạ ằ v i các c nh CD và CB. Ch ng minh r ng 2 đ ẻ    ng th ng vuông ng vuông góc theo th  t ườ ẳ ồ di n tích hình thang ABCD ồ ứ  giác l ườ chéo. AC , đ ệ ph n có di n tích b ng nhau ườ ng chéo c a t  giác l ườ ữ nh ng đ góc này và đ

ng th ng AC đ ng quy 24. Cho tam giác ABC có BC = 15 cm,AC = 20 cm, AB = 25 . ộ ng cao CH c a tam giác ABC . ườ ườ ằ ứ ng phân giác c a tam giác ACH Ch ng minh r ng tam giác BCD cân. a. Tính đ  dài đ ọ b. G i CD là d ằ Ch ng minh r ng BC ủ ủ 2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 +DH2    ằ ọ ầ ượ ể ọ ứ 25. Cho tam giác ABC có 3 góc nh n và M  là đi m n m trên c nh BC. G i E và  F  l n l ể ố ạ ủ ườ ẳ ị ị ế ủ ố t   là hình   ớ   ể ng th ng AM. Xác đ nh v  trí c a đi m M trên BC đ  t ng BE + CF l n chi u c a B và C  xu ng đ nh tấ

ể ể ấ ấ

26.Cho tam giác ABC . Trên AB l y đi m D sao cho BD = 3 DA. Trên CB l y đi m E sao cho BE =

ứ ể ằ 4EC. G i F là giao đi m c a  AE và CD .Ch ng minh r ng FD = FC ổ ọ ấ ả ủ ữ ườ ề ậ ệ t c  các hình ch  nh t có chi u dài đ ớ   ng chéo không đ i d,hãy tìm hình có di n tích l n

27. Trong t nh t?ấ ủ ư ủ ể ắ ạ ấ 28. Trên c nh AB c a hình vuông ABCD ,ng òi ta l y đi m E tùy ý . Tia phân giác c a góc CDE c t BC ứ ạ t ằ i K. Ch ng minh r ng AE + KC = DE (cid:0) ẻ ậ ạ ầ ượ ọ ể AC t i H.G i M và K l n l ứ   t là trung đi m AH và CD. Ch ng

29.Cho hình ch  nh t ABCD,k  BH  ữ  MK

minh BM (cid:0)

Ồ Ị Ạ TAM GIÁC Đ NG D NG ­ Đ NH LÍ TA LÉT

2

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

ứ ằ (cid:0) AB và FC   (cid:0) AD. Ch ng minh r ng : AB.AE +

30.Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). V  CEẽ

AD.AF = AC2 ầ ượ ể ủ   t là Trung đi m c a AB và BC . Các ộ 31. Cho hình vuông ABCD có đ  dài c nh là a. G i M,N l n l ứ ằ ắ ẳ ạ ọ ạ i I . Ch ng minh r ng : ng th ng DN và CM c t nhau t tam giác CIN vuông

ườ đ a. ệ b. Tính di n tích tam giác CIN theo a. c. Tam giác AID cân.

ớ ộ ườ ế ằ ng chéo AC, bi t r ng 2 đáy BC và AD

32.Cho hình thang ABCD   (BC//AD) v i     =    . Tính đ  dài đ

ứ ự ộ theo th  t có đ  dài 12m, 27m. ừ ể ể ạ ạ ẻ ủ 33. Cho   tam   giác   ABC   ,   M   là   Trung   đi m   c a   c nh   BC.   T   1   đi m   E   trên   c nh   BC   ta   k ứ ắ ằ ở ở Ex//AM. Ex  c t tia CA G.Ch ng minh r ng :FE + EG = 2 AM ẳ ắ ườ ấ ạ ng th ng AB t i M,c t đ ắ ườ   ng F và tia BA  ườ 34.  Cho hình bình hành ABCD ,trên Đ ng chéo AC l y I. Tia DI c t đ ẳ ạ th ng BC t i N.

CB CN

(cid:0) (cid:0) ứ ằ a. Ch ng minh r ng :

AM DM AB DN 2= IM.IN   ườ

ứ ằ

2  <

2

ắ ạ ạ ứ ằ ủ ng phân giác trong c a C c t c nh AB t i D. Ch ng minh r ng     CD b.Ch ng minh r ng ID 35.Cho tam giác ABC , đ CA.CB ườ ủ ườ ủ ng cao c a  tam giác ABC . DF và EG là 2 đ ng cao c a tam 36. Cho tam giác ABC , BD và CE là 2 đ ằ ạ ồ ứ giác ADE. Ch ng minh r ng  a. Hai tam giác ADE và  ABC đ ng d ng. b. FG//BC ớ ườ ầ ượ ườ ng chéo AC > BD. G i E và F l n l ng vuông góc 37. Cho  hình bình hành ABCD v i đ ọ ườ ế ẳ ọ ng vuông góc k  t t là chân đ ế ẻ ừ  B đ n AC. ạ ồ

ườ  C đ n các đ ằ ứ ằ ứ ẻ ừ k  t ng th ng AB và AD; g i G là chân d a. Ch ng minh r ng 2 tam giác CBG và ACF đ ng d ng  b. Ch ng minh r ng : AB.AE + AD .AF = AC ườ ắ ạ i H. 38. Cho tam giác ABC (AB < AC). Hai Đ ng cao BD và CE c t nhau t

So sánh    và ạ ẳ ứ

a. b. So sánh 2 đo n th ng BD và CE. ằ c. Ch ng minh r ng 2 tam giác ADE và  tam giác ABC đ ng d ng

ẻ ườ ạ ẳ ớ ồ ng th ng song song v i BC c t đ 39. Cho hình thang ABCD có đáy l n là CD. Qua A k  đ ạ ắ ạ ắ i M và c t CD t ớ ng th ng song song v i AD c t c nh  CD ắ ườ ở  K. Qua K k ng chéo ẻ ẻ ườ ở ẳ ắ ớ ẳ ứ ằ ớ ạ i I. Qua B k  đ ng th ng song song v i BD c t BC BD t ườ đ P. Ch ng  minh r ng MP//DC

ẻ ể ạ ắ , BK c t AC t i N.

40.Trong tam giác ABC K  trung tuy n AM. K là 1 đi m trên AM sao cho: ế

AK AM

1(cid:0) 3

ế t di n tích tam giác ABC là S.

Tính di n tích tam giác AKN, bi ẳ ắ ệ ạ ầ ng   th ng   qua   K   c t   các   c nh   AB   và   AC   l n   l ượ ạ t   t ằ   ứ i   I   và   J.   Ch ng   minh   r ng

6(cid:0)

(cid:0) . a. b. M t   đ ộ AB AI

ệ ườ AC AJ ể ắ ấ ầ ượ ạ t   t i   P,Q,R.

41.L y   1   đi m   O   trong   tam   giác   ABC.   Các   tia   AO,BO,CO   c t   BC,AC,AB   l n   l

2(cid:0)

OA AP

OB BQ

OC CR

(cid:0) (cid:0) ứ ằ Ch ng minh r ng   :

ủ ể ạ ẳ ọ

42.Cho đo n th ng AB , g i O là trung đi m c a AB. V  v  1 phía AB      các tia Ax và By vuông góc

ấ ẽ ề 0   . ạ ồ ớ

ứ ứ ẻ ạ ủ ứ ể ằ ọ ớ v i AB. L y C trên Ax, D trên By sao cho góc COD = 90 ằ a. Ch ng minh r ng tam giác ACO đ ng d ng v i tam giác BDO. ằ b. Ch ng minh r ng CD = AC + BD. c. K  OM vuông góc CD t ớ i M, g i N là giao đi m c a AD v i BC. Ch ng minh  r ng MN//AC

3

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

ớ ọ ọ 43. Cho tam giác ABC v i AB = 5 cm,AC = 6 cm BC = 7 . G i G là tr ng tâm tam giác ABC , O là giao ể ủ ủ ứ ằ

đi m c a 2  tia phân giác trong c a tam giác ABC . Ch ng minh r ng GO//AC ấ ố ủ ể ấ

ạ ủ ể ề ể ằ

44.Cho hình vuông ABCD trên c nh BC l y đi m M sao cho     BM = , trên tia đ i c a tia  CD l y N sao ứ cho CN =  . I là giao đi m c a tia AM và BN. Ch ng minh r ng 5 đi m A,B,I,C,D cùng cách đ u 1 đi m ể

ể ẳ ớ ế 45. Cho tam giác ABC ,trung tuy n CM, Qua đi m Q trên AB v  đ ẽ ườ ế ứ ạ ạ ắ ng th ng d song song v i CM, i P. Ch ng minh n u QA.QB = QP.QR thì tam giác ABC ắ i R và c t AC t ườ Đ ng th ng d c t BC t vuông t

ấ ị ABC côc đ nh l y M,N,P sao cho:  =  =  = k (k>0).

ẳ i C ạ ạ  MNP theo  S(cid:0)

ạ ấ ị  MNP đ t giá tr  nh  nh t?

0; c nh      đáy là a ; c nh bên là b  .

Ch ng minh

ạ ạ ứ ằ  đ nh b ng 20 ủ (cid:0) 46.Trên các c nh AB.BC.CA c a        a.Tính    S(cid:0)  ABC  và theo k ỏ       b. Tính k sao cho S(cid:0) 47.Cho tam giác ABC (AB=AC) có góc  ở ỉ ằ r ng a ể ứ ự ấ ườ ử ẽ ẳ ặ ẳ ờ ng th ng . Trên cùng 1 n a m t ph ng b  AB v  các y trên 1 đ

3 + b3  = 3ab2 48. Cho 4 đi m A,E,F,B theoth  t hình vuông ABCD ; FGHE. ủ a. G i O là giao đi m c a AG và BH. Ch ng minh r ng các tam giác OHE và OBC đ ng d ng . b. Ch ng minh r ng các đ

2 = AB2 + AC2.(Bài 18­gi

ứ ể ạ ằ ồ ọ ứ ườ ằ ẳ ng         th ng CE và FD  cùng đi qua O. ườ ắ ạ ng phân giác trong AD và BE c t nhau t i I. ẳ ộ ủ ứ ọ ọ ộ 49. Cho tam giác ABC có AB = 4,BC = 6,CA = 8. Các đ ạ a. Tính đ  dài các đo n th ng  BD và CD.  b. G i G là tr ng tâm c a tam giác ABC . Ch ng minh r ng IG//BC suy ra đ  dài IG (cid:0) ề ả ự ằ ứ  BCD đ u. Ch ng minh AD i theo

50.Cho (cid:0) ABC có Â = 300. D ng bên ngoài

BM

BC

cách khác)

ấ ố ủ ể ấ . Trên tia đ i c a tia CD l y  đi m N sao

51.Cho hình vuông ABCD , trên BC l y M sao cho :

1(cid:0) 3

CN

BC

1(cid:0) 2

ạ ắ ạ ắ ạ ủ ế ọ cho . C nh AM c t BN t i I và CI c t AB t i K . G i H là hình chi u c a M trên AC.

ứ ằ ẳ Ch ng minh r ng K,M,H th ng hàng. ể ị ị ườ ẳ ng th ng CD ườ ệ ầ ằ 52. Cho  hình thang ABCD có 2 đáy là AB = 2a; CD = a. Hãy xác đ nh v  trí đi m M trên đ sao cho Đ ng th ng AM chia hình thang thành 2 ph n có di n  tích b ng nhau. ẽ ườ ừ ạ ạ ắ i F và c t AB t i K; v ẽ ẳ 53. Cho tam giác ABC (BC

2 = DM.BN.

i G . Ch ng minh r ng DF đi qua trung đi m c a  GE ể ộ ạ ườ ẳ ọ ắ ườ   ng ớ ng vuông góc v i phân giác  BE t ằ 54.Cho hình thoi ABCD có góc     = 600 . G i M là 1 đi m thu c c nh AD. Đ ng th ng CM c t đ ạ ẳ i N.

ạ th ng AB t a. Ch ng minh  AB ứ ắ b. BM c t DN t

i P . Tính  ằ ể ạ

ừ ứ ẻ ằ ạ ớ ứ 0  ).T  B k  BM  vuông góc v i AC. Ch ng minh r ng : i A (     < 90

55.Cho (cid:0) ABC,đi m M n m trên c nh BC,Ch ng minh : MA.BC < MC.AB + MB.AC. 56.Cho tam  giác ABC cân t

2

2

1

AM AC

AB BC

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . (cid:0) (cid:0)

ầ ượ ủ ấ 57. Cho hình bình hành ABCD tâm O. G i M,N l nl t là Trung đi m   c a BO,AO. l y đi m F trên ứ ắ ạ ắ ạ ạ ằ ọ ạ ạ c nh AB sao cho tia FM c t c nh BC t ể i  E và tia FN c t c nh AD t ể i K. Ch ng minh r ng :

4(cid:0)

(cid:0) a.

BA BF BE

BC BE AK

(cid:0) (cid:0)

BC

ố ủ ữ ể ạ ằ b.  ọ 58. Cho tam giác ABC (AB=BC). Trên c nh AC ch n đi m K n m gi a A và C. Trên tia đ i c a tia CA ứ ấ l y E sao cho : CE = AK. Ch ng minh :BK + BE > BA + BC

4

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

ề ể ằ ố ấ ỳ ằ 59. Cho tam giác ABC đ u. G i M là 1 đi m b t k  n m trong tam giác . Ch ng minh r ng t ng các ả ừ ế ị ứ ổ ị ọ ạ kho ng cách t M đ n 3 c nh c a tam giác có giá tr  không đ i khi M thay đ i v  trí trong tam giác

ổ ẻ ườ ể ắ ng AO,BO,CO c t BC,CN,AB ủ 60.Cho tam giác ABC , qua 1 đi m O tùy ý trong tam giác , ta k  các đ

1(cid:0)

OP CP

OM AM ứ

(cid:0) (cid:0) ằ t t ứ i M,N, và P. Ch ng minh r ng :

ON BN ng cao BD   và CE. Ch ng minh

ườ ABC có 2 đ

ườ ứ =     2= AB.AC ­ DB.DC ng phân giác AD.Ch ng minh :  AD ABC có 2 đ

ự ầ ượ ạ l n l 61.Cho (cid:0) 62.Cho (cid:0) 63.Cho tam giác ABC(  < 900 ). Bên ngoài tam giác d ng các hình vuông ABDE, ACFG. D ng  hình bình ự ằ

ứ hành AEIG. Ch ng minh r ng . a.  (cid:0) ABC =  (cid:0) GIA  CI = BF. ẳ ườ ồ ng th ng AI,BF,CD đ ng quy ể ể ạ ấ ọ b. Ba đ 64. Cho tam giác ABC , g i D là Trung đi m AB. Trên c nhAC l y đi m E sao cho AE = 2EC. G i O là ứ ủ ằ ệ ọ ể giao đi m c a CD và BE. Ch ng minh r ng  ệ a. Di n tích tam giác BOC = Di n tích  tam giác AOC. b. BO = 3EO.

ẳ ớ ẳ ạ ắ ườ i E và c t đ ng th ng song song

65.Cho tam giác ABC . M t đ

2= SE.SA

ộ ườ ọ ủ ẻ ừ ở ng th ng song song v i BC c t AC t  F. G i S là giao đi m c a AC và BF. Ch ng minh r ng SC ớ v i AB k  t C

ắ ứ t l y các đi m M và K sao cho AM = CK.

66.Cho hình bình hành ABCD . Trên c nh AB và CD l n l ầ ượ ắ

FEP

ể ấ ạ ạ ứ ằ ể ạ ẳ ầ ượ ấ t c t PB và PC t ằ ể i  E và F . Ch ng minh r ng S

Trên AD l y đi m P tùy ý. Đo n th ng MK l n l = SBME + SCKF  ẳ ạ ấ ấ ạ ộ

(cid:0) AC. Trên tia Bx l n l

ầ ượ ấ   t l y

67.Cho đo n th ng AC = m. L y  đi m B b t kì thu c đo n AC. Tia Bx  ể

(cid:0)

ứ ể ọ ể ứ ọ AE. ủ ằ   t là Trung đi m  c a AE, CD. G i I là Trung đi m c a MN. Ch ng minh r ng ể ể ả ể ạ ế ổ

các đi m D và E sao cho BD = BA và BE = BC. a. Ch ng minh r ng CD = AE và CD  ằ ầ ượ b. G i M, N l n l ừ kho ng cách t ủ ị ệ ạ

c. Tìm v  trí c a đi m B trên đo n AC sao cho t ng di n tích 2 tam giác ABE và BCD có giá tr  l n ị ớ   ổ

ấ ấ ẽ ạ ớ ố

ẽ (cid:0)

ủ   đi m I đ n AC không đ i khi B di chuy n trên đo n AC. ể ị ớ nh t . Tìm giá tr  l n nh t này theo m ấ 68. Cho hình vuông ABCD.Trên c nh AB l y M.V  BH vuông góc v i CM.N i DH. (cid:0) DH. Ch ng minh : ứ V  HN   DHC ∽ (cid:0) a.  NHB b. AM.NB = NC.MB ủ ữ ể ể ằ ọ ọ 69. Cho hình bình hành ABCD . G i M,N là Trung đi m c a BC,AD, G i K là đi m n m gi a C và D. ọ ể ủ là các đi m đ i x ng c a K qua tâm M và N. ổ ứ ẳ ố ị ủ ứ ể ằ ạ

ủ ề ạ ẽ i A. V  phía ngoài c a tam giác ta v  các hình vuông ABDE và ACGH. ứ ự G i P,Q theo th  t ằ ứ a. Ch ng minh r ng Q,P,A,B th ng hàng. ọ ể b. G i G là giao đi m  c a PN và QM. Ch ng minh r ng GK luôn đi qua đi m I c  đ nh khi K thay ổ đ i trên đo n CD 70.Cho tam giác ABC vuông t ằ ằ ồ

ắ ớ ườ ẳ ng th ng AK, DE, GH đ ng quy ạ ng th ng qua B song ẳ i P và đ

71.Cho t

ứ a. Ch ng minh r ng BCHE là hình thang cân. ẻ ườ ứ ườ b. K  đ ng cao AK c a tam giác ABC. Ch ng minh r ng các đ ứ  giác ABCD. Đ ng th ng qua  A song song v i BC, c t BD t ớ ủ ườ ạ ẳ ứ ắ i Q.Ch ng minh PQ//CD song v i AD c t AC t

ầ ượ ấ ầ ượ ể ệ ặ ạ t l y các đi m M,N,P. l n l t  đ t di n tích các tam

a. Ch ng minh:  ứ

72.Cho tam giác ABC . Trên c nh BC,CN l n l giác ANP,MBP,MNC,ABC, là S1,S2,S3,S. S1 (cid:0) S

AN AC

AP AB

. .

5

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

3

1.S2.S3  (cid:0)

S ứ

b. Ch ng minh: S

1 64

ứ ườ ắ ng chéo AC và BD   c t nhau t ạ   i

73.Cho t ứ  giác ABCD có AC = 10 cm, BD = 12 Ch ng minh. Hai đ ế t    = 30 O, bi

0.Tính di n tích t ệ

ạ giác ABCD ườ ắ ườ ạ ng phân giác BD c t đ ng cao AH t i I. 74. Cho tam giác ABC vuông t

(cid:0) ừ ẻ ạ BC t i K. t giác ADKI là hình gì? ứ i A có đ a. Ch ng minh tam giác ADI cân. ứ ứ b. Ch ng minh AD.BD = BI.DC. c. T  D k  DK  ứ

6

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

Híng dÉn gi¶i

E

phÇn tø gi¸c

I

C

F

B

ể ố ủ ấ

ứ 1. Cho hình vuông ABCD. Trên tia đ i BAố ấ l y  1  đi m  E,  trên  tia   đ i   c a  CB  l y  1 ể đi m F sao cho EA = FC. a. Ch ng   minh   r ng   tam   giác   FED ằ

O

A

D

vuông cân. ọ ể ủ ọ ể ứ ẳ

ﾷ (cid:0) DE = DF ; ﾷ ườ   ng b.   G i   O   là   giao   đi m   c a   2   đ chéo   AC   và   BD,   g i   I   là   Trung   đi m   FE.   ằ Ch ng minh r ng O,C,I th ng hàng HD: a/ C/m : (cid:0) ADE = (cid:0) CDF  = ADE CDE

Q

B

b/ C/m : OB =  OD; CB = CD; IB = ID ạ 2. Cho   tam   giác   ABC   vuông   t

H

G2

K

I

ặ ẳ ứ ườ ờ ẽ

C

A

P

H2

E

ằ Ch ng minh r ng ﾷB    > 450. ủ ọ ứ i   A. ử   (AC>AB),Đ ng   cao   AH.   Trong   n a m t   ph ng   b   có   ch a   AH   v   hình   vuông AHKE. a. ứ ể b. G i P là giao đi m c a AC và KE. ằ Ch ng   minh   r ng   tam   giác   ABP vuông cân. ỉ ọ

ứ ư ủ c. G i Q là đ nh th  t ọ ứ c a Cho hình ể   bình hành APQB, g i I là giao đi m ằ   ủ c a   BP   và   AQ.   Ch ng   minh   r ng ẳ H,I,E th ng hàng. ứ ằ d. Ch ng minh r ng HE//QK ̀

́ ́ ̣ HD: b.C/m : (cid:0) AHB = (cid:0) AEP ̀ c.C/m : ABQP la hinh vuông ̀ ́ H; I ;K cach đêu AK d. C/m (cid:0) AQK vuông ( Tinh chât t/tuyên = ½ canh) ́ ạ

A

B

E

M

ể ạ ườ ắ i M c t CD t ằ ứ 3. Cho hình vuông ABCD . Trên c nh BC ẳ ấ l y 1 đi m tùy ý. Đ ng th ng vuông ạ ớ góc v i AM t i E và AB ạ t i F. Ch ng minh r ng MA = FE

̉ HD: Ke EG // BC.C/m : (cid:0) AME= (cid:0) EGF.

C

D

G

F

A

B

ể

E

ể ạ ộ

ằ

ử

4. Cho hình vuông ABCD; đi m E thu c ộ   ế   ạ c nh CD,đi m F thu c c nh BC. Bi t ﾷFAE      = 450 .Ch ng minh r ng chu vi ứ   ằ   tam   giác   CFE   b ng   n a   chu   vi   hình vuông ABCD

I

D

F

C

́ HD GIAI:̉ Lây ID = BE.C/m EF = IF

7

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

A

B

E

ể ộ ể ạ ằ ử ứ

5. Cho hình vuông ABCD; đi m E thu c ộ   ạ   c nh   CD,đi m   F   thu c   c nh   BC   sao   cho chu vi tam giác CFE b ng n a chu vi   hình   vuông   ABCD   .   Ch ng   minh   ằ r ng

ﾷFAE     = 450  .

I

D

F

C

HD : C/m : (cid:0) AID = (cid:0) AEB;(cid:0) AIF = (cid:0) AEF

H

D

C

N

6. ̣ ể ạ ấ ườ ạ ạ ắ i M c t AD t ẳ i N. ể Cho hình thang vuông ABCD có đáy    CD = 9 cm,AB = 4 cm,canh xiên BC =   13 cm. Trên c nh BC l y đi m M sao cho BM = BA. Đ ng th ng vuông góc   ớ v i BC t ằ   ằ ứ a. Ch ng   minh   r ng   :   đi m   N   n m trên tia phân giác góc ABM.

2  =   BN2  +

ứ ằ

b. Ch ng   minh   r ng   :   BC

M

ND2  + DC2 ệ c. Tính di n tích hình thang ABCD

A

B

̀ (cid:0) BNC ﾷDCM      (cid:0)

H

A

E

B

ằ

I

F

ủ ọ ủ ứ ể HD : b.C/m N năm trên tia p/g    vuông ́ c.Tinh BH = 12cm ạ   ể 7. Cho các đi m E và F n m trên các c nh   AB   và   BC   c a   Cho   hình   bình   hành ABCD sao cho FA = EC. G i I là giao   ằ   đi m c a FA và EC. Ch ng minh r ng ủ ID là phân     giác  c a góc AIC

C

D

m(cid:0) DAB = 33,33(cid:0)

K

DH = DK HD: S(cid:0) AFD = S(cid:0) CED = SABCD (cid:0)

B

C

ầ ượ ạ

8. Cho hình thoi ABCD có góc B tù . Kẻ  ớ   t vuông góc v i các ế ằ   t r ng i M và N. Bi

1(cid:0) 2

. Tính các góc hình thoi BM và BN l n l ạ c nh AD và CD t MN DB

N

M

D

A

IMN đ u ề (cid:0) = ﾷMBN  = 300 (cid:0) ﾷDBC    = 750     (cid:0) HD: (cid:0) 1500

8

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

E

ộ

D

ộ

ừ ẳ ẽ ườ ạ ắ

A

i A. 9. Cho hình thang ABCD có đ  dài 2 đáy là AB = 5 cm và CD = 15 cm, đ  dài 2 ườ ng chéo là AC = 16 cm, BD = 12 đ cm. T  A v  đ ng th ng song song ớ i E. v i BD c t CD t ằ ứ a. Ch ng minh r ng ACE là tam giác ạ vuông t ệ b. Tính di n tích hình thang ABCD.

B

C

ị ả

F

HD: ử ụ      a.Tính AE ; CE ,s  d ng đ nh lí PItago đ o      b. 3 tam giác AED; ADB;ACB có cùng di n ệ tích (cid:0)

E

10.

Q

SABCD  =  S(cid:0) CAE ẽ   Ở  bên ngoài hình bình hành ABCD v  2 hình   vuông   ABEF   và   ADGH   .Ch ngứ   minh :

A

H

FH.

a. AC = FH; AC (cid:0) b. CEG là tam giác vuông cân.

B

G

D

C

ự ươ ứ ả ạ HD: a.(cid:0) ACB = (cid:0) FHA (c­g­c)          b.(cid:0) GDC = (cid:0) CBE (c­g­c) .D a vào t/c 2  góc có c nh t ng  ng vuông góc (đ o)

11.Cho tam giác ABC có BC = a và đ

A

x

ể ừ ộ ớ ắ ạ ẽ ngườ   ẽ  ẳ   nh th ng song song v i BC c t AB   i P và Q.V   và QR vuông góc

M

Q

P

ệ

C

B

ể ệ ấ ớ cao AH = h.T  m t đi m trên AH v ườ đ và AC t ớ v i BC. a.Tính di n tích PQRS theo a, h, x (AM = x). ị ị b.Xác đ nh v  trí M trên AH đ  di n tích này l n nh t?

S

H

R

ặ

y =   (cid:0) SPQRS =  x.(h ­ x)

A

x.(h ­ x) l nớ (cid:0) x =

B

ườ giác ABCD có hai đ

K

O

ệ ạ ớ ng chéo ệ i O.Kí hi u S là di n tích.   v i a , b là 2 ướ

H

D

HD:  a.SABC  =  S(cid:0) APQ + SBPQC  (Đ t PQ = y)  (cid:0) b.x + (h ­ x) = h (không đ i)  ổ (cid:0) ấ nh t khi   x = h ­ x  12.Cho t ứ ắ c t nhau t Cho SAOB = a2 ;     SCOD = b2 ố c. s  cho tr        Hãy tìm GTNN c a Sủ ABCD? (cid:0)

2 (cid:0)  4SAOD .SBOC = 2.

C

SAOD .SBOC =a2b2  4xy

AOD = SBOC (cid:0)

(  + )2 . ả HD:  =   =   ụ Áp d ng ( x + y)  (cid:0) SAOD + SBOC (cid:0)  SABCD (cid:0)  (cid:0) ằ ấ D u b ng x y ra khi S AB//CD

9

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

A

ạ

ọ

ẳ ắ ớ

D

ẳ ạ ớ   i A v i A là   ng phân giác góc ng   th ng   vuông   ườ   ng   nay   c t   đ ng ằ ứ   i E , Ch ng minh r ng BD

= HD: ﾷ

13.Cho tam giác ABC cân t ườ góc nh n; CD là đ ẻ ườ ACB,   Qua   D   k   đ ườ góc   v i   CD;   đ th ng CB t =     EC    ﾷ = DBG DGB

ﾷ2 GCD

E

G

B

C

M

ạ ể

A

B

ộ ộ ạ

H

N

ằ ổ ị ị

ể ệ ấ ị ớ ị ớ

14. Cho hình vuông ABCD c nh a. đi m M   di đ ng trên c nh AB; N di đ ng trên ạ   c nh AD sao cho chu vi tam giác AMN không   đ i   và   b ng   2a.Xác   đ nh   v   trí   ạ   ủ c a MN đ  di n tích tam giác CMN đ t ấ   giá tr  l n nh t và tính giá tr  l n  nh t đó

C

D

D

HD: SCMN =  (a2 ­ SAMN) (cid:0) a2.

15.Cho tam giác ABC vuông cân t

ể ớ ọ ớ ể

A

M

I

ẻ ớ ủ ể ọ

MI (cid:0) BD

B

H

C

K

A

B

HD: I là tr c tâm   BD(cid:0) CD (cid:0) ấ   ạ i A.L y ẻ ạ đi m M tùy ý trên c nh AC. K  tia Ax   ể   vuông góc v i BM. G i H là giao đi m ố   ủ c a   Ax   v i   BC   và   K   là   đi m   đ i ứ   x ngv i C qua H. K  tia Ky vuông góc ớ   ớ v i BM. G i I là giao đi m c a Ky v i AB. Tính   ﾷAIM . (cid:0) MBD (cid:0) ự    ﾷAIM  = 450.

H

D

C

N

O

ể ườ ẳ ừ ớ ẻ ừ ạ

M

ằ 16. Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đ iố   ấ ủ   c a CB và DC, l y các đi m M,N sao   ng th ng song cho DN =BM. Các  đ ớ  N v i AM  M v i AN và t song k  t   ằ ứ ắ i F . Ch ng minh r ng : c t nhau t ứ d. T  giác ANFM là hình vuông. a. Đi m F n m trên tia phân giác c a ủ   ể góc MCN và góc FCA = 900

ể ẳ

b. Ba   đi m   B,O,D   th ng   hàng   và   t

K

F

ể ứ  giác BOFC là hình thang ( O là trung  đi m FA) . = DC; BA = BC. (cid:0) BC;   FH  (cid:0) CD   ;   CKFH   là   hình HD:  c. OA = OC;  (cid:0) ẻ b.K   FK   vuông

10

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

B

A

E

C

K

M

F

ấ ấ ầ ượ ạ ạ i F . (cid:0) 17. Cho   hình   vuông   ABCD   .   Trên   c nhạ   ủ   CD, l y M b t kì. Các tia phân giác c a ắ   các   góc   BAM   và   DAM   l n   l t   c t ạ ắ ạ i E và c t c nh CD t c nh BC t ứ ằ Ch ng minh r ng MA FE

D

A

B

HD:  DK =  BE; (cid:0) ADE = (cid:0) AIF ( Ilà giao đi m ể AM và EF)

2  = AB2 + AC2

ự ề

(cid:0) ề

18.            Cho  tam   giác   ABC  có  góc   A  =  300.D ng bên ngoài tam giác đ u BCD.   ằ Ch ng minh r ng AD  đ u ADE

D

C

E

+  = 2700 ứ HD:D ng ự (cid:0)

A

ạ

19.Cho tam giác ABC cân t

ạ ể ế

I

K

(cid:0) O là tr cự

M

O

H

B

C

i A có H là ọ trung đi m c nh BC.      G i I là hình ạ ủ chi u vuông góc c a H trên c nh AC và EB = 1,44 cm ể ứ ủ O là  trung đi m c a HI. Ch ng minh (cid:0) BI  ằ r ng AO  ể HD:M là trung đi m CI ;MH // BI  tâm (cid:0) AMH

A

ạ 20. Cho tam giác ABC cân t ể ầ ượ

ứ ấ   i A, l y các đi m E và K l n l   t trên các tia AB và AC  sao cho  :  AE +   AK  =   AB  +  AC.  ằ Ch ng minh r ng EK > BC.

E

C

N

B

M

O

K

D

C

HD: BC = MN ; OE > OM

K

O

Cho   hình   thang   cân   ABCD 21.

(AB//CD) có AC = 6cm;      ủ ể ườ   ng ệ =   450.   .O   là   giao   đi m   c a   2   đ chéo.Tính di n tích hình thang ABCD

B

A

H

HD:   = 450

11

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

B

C

ồ ứ

I

giác   l ườ ng chéo BD d ng đ

O

A

E

ằ ệ ầ

SABCE = SABC + SCAO = SABO

D

B

ạ i   ABCD.   Qua   trung   22.     Cho   t ườ   ự ủ ể ng đi m c a đ ớ ườ ẳ   ng chéo. AC , th ng song song v i đ ẳ ườ ẳ ạ ắ ng th ng này c t đo n th ng AD đ   ứ  ứ ạ i E. Ch ng       minh r ng CE chia t t ằ   giác   thành 2 ph n có di n tích b ng nhau  HD: SCAE = SCAO ;(cid:0) + SBCO =  (SBCD + SABD) = SABCD  (cid:0)     Đo n AD .Không đúng     *E

ồ ườ ủ ứ giác l ng chéo c a t

23.Các đ

M

Q

E

ớ ạ ữ

C

A

H

N

ườ ẳ

P

m CA = 5,00 cm

D

(cid:0) (cid:0) ể ự   H là tr c tâm   m BC = 3,01 cm i ABCD ể   vuông góc v i  nhau. Qua Trung  đi m ườ   ẻ các c nh AB và AD k  nh ng đ ng ạ ứ ự ớ    v i các c nh CD vuông góc theo th  t ườ   ằ ứ và   CB.   Ch ng   minh   r ng   2   đ ng ẳ   th ng vuông góc này và đ ng th ng ồ AC đ ng quy/ HD: E là trung đi m AC   MPE

B

24. Cho tam giác ABC có BC = 15 cm,AC =

H

D

ườ ủ ộ ng cao CH c a tam

ọ ủ 20 cm, AB = 25 . a. Tính đ  dài đ giác ABC . b. G i CD là d ằ

ườ ng phân giác c a tam ứ giác   ACH   Ch ng   minh   r ng   tam giác BCD cân.

2 + CD2 + BD2

A

C

ằ ứ

c. Ch ng minh r ng BC = 3CH2 + 2BH2 +DH2  i C;ạ

ABC vuông t

HD: (cid:0) (  +  ) =  (  + ) = 1V

A

ọ

E

ọ ằ ủ ẳ ị ị

B

Max(BE + CF) = BC khi

25.Cho tam giác ABC có 3 góc nh n và M ạ ể là đi m n m trên c nh BC. G i E và  F ế ầ ượ t       là   hình   chi u   c a   B   và   C l n   l ườ ố ng th ng AM. Xác đ nh v  trí xu ng đ ể ố ể ủ c a đi m M trên BC đ  t ng BE + CF ấ ớ l n nh t. HD: BE + CF (cid:0) E (cid:0)

M

F

C

BC (cid:0)  AM (cid:0) M  (cid:0) BC F(cid:0)

12

m BC = 9,43 cm

CE = 1,87 cm

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

C

EB

E

EC

= -4,05 ọ

K

F

ủ ứ

H

26.        Cho tam giác ABC . Trên AB l yấ   ể   đi m D sao cho BD = 3 DA. Trên CB ể ấ   l y đi m E sao cho BE = 4EC. G i F là ể giao đi m c a  AE và CD .Ch ng minh   ằ r ng FD = FC.

KC = 1,86 cm

A

B

D

HD: SACE = SADE ( =  SABE)

x

ấ ữ ậ 27. Trong   t ề ổ ớ

d

y

ả t   c   các   hình   ch   nh t   có ườ ng chéo không đ i d,hãy chi u dài đ ấ ệ tìm hình có di n tích l n nh t? ậ ụ HD: V n d ng pi ta go và BĐT Cosi

E

A

B

I

ạ

K

D

C

ư ấ ắ i K. ứ ủ 28. Trên c nh AB c a hình vuông ABCD   ủ   ể ,ng òi ta l y đi m E tùy ý . Tia phân giác c a ạ góc CDE c t BC t ằ   Ch ng minh r ng AE + KC = DE

B

C

(cid:0) ậ ữ

N

ẻ ượ ọ AC    t   là   trung (cid:0) ầ ứ

29.Cho hình ch  nh t ABCD,k  BH  ạ i   H.G i   M   và   K   l n   l t ể đi m  AH   và  CD.  Ch ng  minh  BM   MK

K

H

(cid:0) (cid:0) ể ự   N là tr c tâm

M

A

D

HD: N là trung đi m BH   BCM

13

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

E

Ồ Ị Ạ TAM GIÁC Đ NG D NG­ Đ NH LÍ  TA­LÉT

30.Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Vẽ

2

B

C

AD. CE (cid:0) AB và FC  (cid:0) ứ ằ Ch ng minh r ng : AB.AE + AD.AF = AC

H

F

D

A

HD: AB.AE = AC.AH          BC.AF = AC.CH

C

N

B

ộ ạ

I

ọ ể

Q

M

P

31. Cho hình vuông ABCD có đ  dài c nh là   ủ   t là Trung đi m c a   ng th ng DN và CM ạ ằ ầ ượ m(cid:0) ABC = 108,23(cid:0) ườ ẳ m(cid:0) ACD = 108,23(cid:0) ứ i I . Ch ng minh r ng : tam giác CIN vuông

A

D

(cid:0) ạ ằ đ ng d ng b ng t  s ỉ ố

B

C

(cid:0) ạ ng 2 c nh t ể a. G i M,N l n l AB và BC . Các đ ắ c t nhau t a. ệ b. Tính di n tích tam giác CIN theo a. c. Tam giác AID cân. ỉ ố ệ ồ HD: b.T  s  di n tích 2  ươ ứ ươ ng  ng. bình ph  PQ (cid:0)         c.Q là trung đi m CD DN

ộ ườ

32.Cho   hình   thang   ABCD       (BC//AD)   v iớ   ế   t ộ

ng chéo AC, bi ứ ự  có đ

A

D

F

A

=       . Tính đ  dài đ ằ r ng 2 đáy BC và AD theo th  t dài 12m, 27m.  ABC ∽ (cid:0) DCA HD: (cid:0)

ở ứ ằ

33.   Cho tam giác ABC , M là Trung đi mể   ủ ạ ạ ể ừ   c a c nh BC. T  1 đi m E trên c nh BC ắ ẻ    F và tia ta k  Ex//AM. Ex  c t tia CA  ở  G.Ch ng minh r ng : BA                              FE + EG = 2 AM

G

E

M

B

C

B

M

A

HD: = ;  =

N

I

ạ ẳ ng th ng BC t

D

ằ r ng :

C

2= IM.IN

(cid:0) (cid:0) ứ   Ch ng DM DN minh CB CN ằ 34.        Cho Cho hình bình hành ABCD ,trên  ấ ườ ắ ườ   ng Đ ng chéo AC l y I. Tia DI c t đ ạ   ắ ườ ẳ th ng AB t i i M,c t đ N.  a. AM AB b.Ch ng minh r ng : ID

ứ   = ;    = ;

HD: a.  =  (cid:0)        b.  =  ;  =

14

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

C

M

35. Cho   tam   giác   ABC   ,   đ ắ ạ ủ ng   phân   giác   ứ   ạ i D. Ch ng ườ trong c a C c t c nh AB t minh r ng ằ CD2 < CA.CB

B

A

D

A

HD: CD2 = CA.CM.

F

G

E

36. Cho   tam   giác   ABC   ,   BD   và   CE   là   2  ủ   ng cao c a   tam giác ABC . DF và ủ ườ ng cao c a tam giác ADE.   ằ ứ ườ đ EG là 2 đ Ch ng minh r ng  a. Hai   tam   giác   ADE   và     ABC   đ ngồ

D

B

C

d ng.ạ b. FG//BC

E

HD:   a.  =            b. (cid:0) AFG ∽  (cid:0) ABC

B

C

G

ườ ọ ng vuông góc k  t ẳ ẻ ừ ọ ế  B đ n AC. ứ ằ ớ ườ   ng 37. Cho   hình bình hành ABCD v i đ ầ ượ   chéo AC > BD. G i E và F l n l t là ế   chân đ  C đ n các ườ   ng th ng AB và AD; g i G là chân đ ẻ ừ ườ d ng vuông góc k  t a. Ch ng minh r ng 2 tam giác CBG và ạ ồ ACF đ ng d ng

ằ

b. Ch ng minh r ng : AB.AE + AD .AF

F

A

D

ứ = AC2 HD: Xem bài 28

A

38. Cho   tam   giác   ABC   (AB   <   AC).   Hai ạ ắ ườ i H.

D

E

H

So sánh    và ạ ẳ ứ Đ ng cao BD và CE c t nhau t a. b. So sánh 2 đo n th ng BD và CE. ằ c. Ch ng minh r ng 2 tam giác ADE và ồ ạ tam giác ABC đ ng d ng

C

B

F

B

A

HD: c. Xem bài 34

P

M

ẳ ẻ ườ ắ ườ ng chéo BD t ẻ ườ ắ ạ ở

D

C

39.        Cho hình thang ABCD có đáy l n làớ     ng th ng song song ắ   ạ i M và c t ẳ   ng th ng song    K. Qua K ắ   ớ ng th ng song song v i BD c t ằ CD. Qua A k  đ ớ v i BC c t đ ạ i I. Qua B k   đ CD t ớ song v i AD c t c nh   CD  ẳ ẻ ườ k  đ ở BC P. Ch ng  minh r ng MP//DC.

K

I

ứ HD: DI = CK;  = ;  =

15

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

= 3,01

A

AM ẻ AK

H

N

1(cid:0) 3

I

ạ i N. ắ , BK c t AC t

ệ

40.Trong   tam   giác   ABC   K   trung   tuy n ế   ể AM.   K   là   1   đi m   trên   AM   sao   cho: AK AM a.

K

Q

J

ế   t

P

E

ệ b. M t đ ộ ườ Tính di n tích tam giác AKN, bi di n tích tam giác ABC là S. ắ ẳ AB và AC l n l

(cid:0) ạ   ng th ng qua K c t các c nh ứ   i I và J. Ch ng 6(cid:0) minh r ng ằ . ầ ượ ạ AB AI t t AC AJ

C

M

B

HD:  a/ P là trung đi m AC;

D

ể            =  ;  =   ẻ

b/  K  BD //CE//IJ ;  AE + ED = 2AM         =  ;    =  .

A

ấ ể

41. L y 1 đi m O trong tam giác ABC. Các   ầ ượ   ắ tia AO,BO,CO c t BC,AC,AB l n l t ằ ạ i P,Q,R.                 Ch ng minh r ng t

Q

OB BQ

OC CR

R

O

OA AP OBC = S1;  SOAC = S2;

(cid:0) (cid:0) ứ 2(cid:0) :

B

K

P

H

C

D

HD:  Đ t  Sặ                  SOAB = S3; SABC = S =   ;   =  ;    =

ọ ẳ

M

ể ạ ủ ấ ớ

ứ

42.Cho   đo n   th ng   AB   ,   g i   O   là   trung   ẽ ề   đi m c a AB. V  v  1 phía AB      các   tia Ax và By vuông góc v i AB. L y C trên Ax, D trên By sao cho góc COD =  900   . ằ d. Ch ng   minh   r ng   tam   giác   ACO

C

N

ạ

B

A

O

E

ứ ẻ ạ ủ ằ ớ ồ đ ng d ng v i tam giác BDO. ằ e. Ch ng minh r ng CD = AC + BD. ọ i M, g i N f. K  OM vuông góc CD t   ứ   ớ ể là giao đi m c a AD v i BC. Ch ng minh  r ng MN//AC. (cid:0) ẻ ắ ạ i E. DCE cân.

A

D

HD: b. K  CO c t DB t             =

M

G

C

O

ọ ủ ể ủ ằ ớ   43. Cho tam giác ABC v i AB = 5 cm,AC = ọ   6 cm BC = 7 . G i G là tr ng tâm tam giác ABC , O là giao đi m c a 2  tia phân   ứ   giác   trong   c a   tam   giác   ABC   .   Ch ng minh r ng GO//AC

B

HD:  =  =

16

ND

= 2,99

NC

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

MC

= -2,01

MB

A

B

F

ạ

I

M

ấ ể ủ ể ằ

44.Cho hình vuông ABCD trên c nh BC l y ấ   ố   ể đi m M sao cho         BM = , trên tia đ i ủ c a tia          CD l y N sao cho CN =  . I   ứ   là giao đi m c a tia AM và BN. Ch ng   minh r ng 5 đi m A,B,I,C,D cùng cách ề đ u 1 đi m

E

C

N

D

(cid:0) AIC vuông

B

ể HD: NE =  AB; BF = BM = AB (cid:0) i Iạ t

Q

ể ế ẳ

R

M

ườ ạ ứ

= 1,68

BM

A

P

C

BC

= 1,68

= … = … = 45. Cho tam giác ABC ,trung tuy n CM, Qua ẽ ườ đi m Q trên AB v  đ ng th ng d song   ớ ạ   ắ ẳ song v i CM, Đ ng th ng d c t BC t i ế   ắ i   P.   Ch ng   minh   n u R   và   c t   AC   t QA.QB = QP.QR thì tam giác ABC vuông  i C ạ t HD:  QA.QB = QP.QR (cid:0) BA

A

H

CP

K

ạ ủ (cid:0) BN 46.   Trên các c nh AB.BC.CA c a   CA ấ

M

P

MNP theo  S(cid:0)

ABC  và theo k

ABC  ị côc đ nh l y M,N,P sao             cho:  =  =   = 1,68 = k (k>0).

MNP =   , (k + 1)2 (cid:0)

ấ ạ ỏ a.Tính    S(cid:0)  b.Tính k sao cho S(cid:0) ị  MNP đ t giá tr  nh  nh t?

C

B

N

m(cid:0) CAB = 20,26(cid:0)

AX5 = 2,13 cm

A

Y5X5 = 0,75 cm

4k (Co­si) HD:   =   (c/m) a. S(cid:0)

47.Cho  tam   giác   ABC  (AB=AC)  có  góc   ở  0; c nh        đáy là a ; c nh ạ   3  + b3    =  ằ

ằ ỉ ạ đ nh b ng 20 bên là b   .     Ch ng minh r ng a ứ 3ab2

ABC ∽ (cid:0) BCD ; AD = b ­

H

D

B

C

HD:AH2 =   ; (cid:0) Mà AD2 = AH2 + DH2 = b2 ­ ab + a2

17

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

C

D

ể 48. Cho 4 đi m A,E,F,B theoth  t ẳ ứ ự ấ ử ờ ẽ

G

H

O

ủ

A

y trên 1 ặ   ườ ng   th ng   .   Trên   cùng   1   n a   m t đ ẳ ph ng b  AB v  các hình vuông ABCD ;   FGHE. ể ọ a. G i O là giao đi m c a AG và BH. AB = 3,44 cm ằ ứ Ch ng minh r ng các tam giác OHE ạ ồ và OBC đ ng d ng . ằ ườ   ng ứ ẳ b. Ch ng   minh   r ng   các   đ th ng CE và FD  cùng đi qua O.

B

E

F

C

HD: a. = ;  b.  =

C6B = 6,88 cm 49.     Cho   tam   giác   ABC   có   AB   =   4,BC   =  m(cid:0) CAB = 30,08(cid:0) ng phân giác trong AD   i I.

M

ườ ạ ộ ạ 6,CA = 8. Các đ ắ và BE c t nhau t a. Tính   đ ẳ     dài   các   đo n   th ng

E

G

BD và CD.  ọ ọ ủ

D

I

ứ

b. G i G là tr ng tâm c a tam giác ABC   ộ  ằ . Ch ng minh r ng IG//BC suy ra đ dài IG .  IG =

B

A

HD:b. =  (cid:0)

A

ự

50.        Cho  (cid:0) ABC  có   Â   =   300.   D ng  bên   2  =  ề

BC

= 3,02

ả ngoài  (cid:0) AB2 + AC2.(Bài 18­gi ứ   BCD  đ u. Ch ng minh AD i theo cách khác)

BM

E

B

C

D

B

K

A

ề đ u ACE; AD = BE HD:D ng ự (cid:0)

51.Cho hình vuông ABCD , trên BC l y Mấ

M

I

BM BC sao cho : ố ủ   . Trên tia đ i c a 1(cid:0) 3

H

D

N

C

E

ấ CN BC ể tia CD l y  đi m N sao cho . 1(cid:0) 2 ạ ắ ắ ọ i I và CI c t AB t ế ứ ằ (cid:0) ạ   ạ C nh AM c t BN t i K . G i H là hình chi u c a M trên AC.   Ch ng minh r ng K,M,H th ng hàng. ự  M là tr c tâm ủ ẳ  ACK HD: Xem bài 42. (cid:0)

18

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

C

M

K

D

N

ị ườ ẳ

ệ ằ 52.     Cho  hình thang ABCD có 2 đáy là AB  ể ị   = 2a; CD = a. Hãy xác đ nh v  trí đi m M ườ   ng   th ng   CD   sao   cho   Đ ng trên   đ ầ   ẳ th ng AM chia hình thang thành 2 ph n có di n  tích b ng nhau.

ằ M n m ngoài DC.

A

B

H

ị HD: HK = h; HN = x,         SADC < SADCN (cid:0)          =  (cid:0) ủ V  trí c a M trên tia DC.

B

ừ 53. Cho tam giác ABC (BC

K

I

ế ạ ứ ủ

G

F

O

A

E

C

D

B

C

ẽ  ạ   ườ ớ i F d ng vuông góc v i phân giác  BE t ắ   ẽ ắ i K; v  trung tuy n BD c t và c t AB t ằ ạ i G . Ch ng minh r ng DF đi qua   CK t ể trung đi m c a  GE HD: GE // BC  ; DI // AB ;  =  =

ọ ẳ ộ ạ ẳ ạ i N.

ng th ng AB t 2 = DM.BN.

M

A

D

ạ i P . Tính    = BD = a.

54.    Cho hình thoi ABCD có góc     = 600 .  ườ   ể G i M là 1 đi m thu c c nh AD. Đ ng ắ ườ th ng CM c t đ a. Ch ng minh  AB ứ b. ắ  BM c t DN t HD: AB = BC = CD =  (cid:0)         a.  =  ;          b. (cid:0)

P

N

A

NBD  ∽ (cid:0) DBM

D

ằ ể

55.Cho  (cid:0) ABC,đi m   M   n m   trên   c nh ạ   ứ BC,Ch ng   minh   :   MA.BC   <   MC.AB   +   MB.AC. ẻ HD:  K  MD // AC;         MB.AC = MD.BC; MC.AB = AD.BC;         (MD + AD) > MA

B

M

C

E

ạ

56.Cho   tam   giác   ABC   cân   t

2

1

2

A

AB BC

ừ ẻ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ Ch ng minh r ng : . (cid:0) (cid:0) i   A   (       < 900  ).T  B  k  BM   vuông  góc  v i   AC. ớ AM AC

M

CBE vuông. MC =  ;

C

B

HD: (cid:0)            AM =   ;

19

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

E

C

B

M

F

J

ể ủ ạ ạ ằ i K. Ch ng minh r ng :

N

O I

(cid:0) a.

BC BE AK

(cid:0) (cid:0)

BC

KA = 1,88 cm

A

K

D

B

57. Cho hình bình hành ABCD tâm O. G iọ   ầ ượ   t là Trung đi m  c a BO,AO. M,N l nl ể ấ l y đi m F trên c nh AB sao cho tia FM   ắ ạ ắ ạ   c t c nh BC t i   E và tia FN c t c nh ứ ạ AD t BA 4(cid:0) BF BE            b.  ẻ HD: K  AI // EF // CJ            a.  +  =  = 4 ;             b.  +  = 4 ;   (cid:0)  AB(  +  ) + BC(  +  ) = 8. Áp d ng              BĐT:   + (cid:0)    .

ữ ể

E

A

C

K

ụ 58. Cho tam giác ABC (AB=BC). Trên c nhạ   ằ ọ   AC ch n đi m K n m gi a A và C. Trên ố ủ ấ tia đ i c a tia CA l y E sao cho : CE =   ứ AK. Ch ng minh :

BK + BE > BA + BC ớ ọ

F

A

ố ứ HD: Ch n F đ i x ng v i B qua C.         BK + BE = EF + BE > BF.

ọ

R

Q

M

ố ủ ổ ị ể   ề 59. Cho tam giác ABC đ u. G i M là 1 đi m ứ ấ ỳ ằ   b t k  n m trong tam giác . Ch ng minh ế ừ ả ằ    M đ n 3 r ng t ng các kho ng cách t ổ   ị ạ c nh c a tam giác có giá tr  không đ i khi M thay đ i v  trí trong tam giác

B

P

H

C

HD: AB = BC = CA = a ; AH = h         SABC = SBMC + SBMA + SCMA

A

ể

N

P

O

ẻ ắ

1(cid:0)

OP CP

M

O'

A'

B

C

A

(cid:0) (cid:0) .

ườ ng cao BD   và CE.

60.Cho tam giác ABC , qua 1 đi m O tùy ý   ườ   ng trong   tam   giác   ,   ta   k   các   đ ầ ượ   AO,BO,CO c t BC,Câu nào,AB l n l t ằ ứ ạ t   i   M,N,   và   P.   Ch ng   minh   r ng   : OM ON AM BN HD:  =  .   =  .  =  . 61.Cho (cid:0) ứ Ch ng minh

E

D

B

C

ABC có 2 đ   =     .

20

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

A

62.Cho  (cid:0)

ườ   ABC   có   2   đ   ng   phân   giác AD2=   AB.AC   ­  ứ AD.Ch ng   minh   :     DB.DC ự

B

D

C

E

I

HD:D ng E:   =  .    (cid:0) AEB  ∽ (cid:0) ACD ∽(cid:0) BED

E

G

ự ự ứ

63.Cho tam giác ABC(   < 900  ). Bên ngoài    tam   giác   d ng   các   hình   vuông   ABDE,   ACFG.   D ng     hình   bình   hành   AEIG. ằ Ch ng minh r ng . a.  (cid:0) ABC =  (cid:0) GIA  CI = BF. ẳ

A

D

F

K

ồ ng th ng AI,BF,CD đ ng quy b. Ba đ

C

H

B

ể

ự (cid:0)  BF (cid:0)  CI,  ườ CD (cid:0)  BI, (cid:0)  IH ; CD và BF là 3 đ ng

A

ườ HD: a. (cid:0) ABC = (cid:0)  GIA (c­g­c) ;              (cid:0) BCF = (cid:0)  IAC (c­g­c) ;         b. K là giao đi m BF và CI   ươ ng t t cao (cid:0)  BIC.

H

D

K

E

O

C

B

ạ ể ủ ể ọ ứ ệ ệ ể   ọ 64. Cho tam giác ABC , g i D là Trung đi m ấ   AB.  Trên  c nhAC  l y  đi m  E  sao  cho AE = 2EC. G i O là giao đi m c a CD   ằ và BE. Ch ng minh r ng  a. Di n tích tam giác BOC = Di n tích tam giác AOC. b. BO = 3EO

A

HD: a. SAOD = SBOD ; SACD  = SBCD               (cid:0)  SAOC = SBOC. b/ SOEC =  SOAC  (cid:0) SOEC =  SOBC (cid:0) BO = 3EO.

ộ ườ

E

F

ạ ẳ ớ ủ ọ

65.Cho tam giác ABC . M t đ ẳ   ng th ng ớ ắ   ắ i E và c t song song v i BC c t AC t ẻ ừ   ườ đ ng th ng song song v i AB k  t  C ể ở    F. G i S là giao đi m c a AC và BF. 2= SE.SA ứ Ch ng minh r ng SC ị ử ụ

S

B

C

ườ   ng ẳ ằ HD:   S   d ng   đ nh   lí   Ta­let   cho   các   đ th ng song song.

21

MA = 1,81 cm

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

M

A

B

E

P

F

FEP

ầ ượ ấ

D

C

K

Q

ạ ứ i  E và F . Ch ng minh r ng S

66.Cho hình bình hành ABCD . Trên c nhạ   ể   t l y các đi m M và K AB và CD l n l ể ấ   sao cho AM = CK. Trên AD l y đi m P ầ ượ ắ ẳ t c t PB tùy ý. Đo n th ng MK l n l   ằ ạ và PC t = SBME + SCKF  HD: SPBC = SBMKC =  SABCD.

H

ẳ ạ ấ

D

F

ộ

(cid:0)

67.Cho đo n th ng AC = m. L y   đi m B ể   (cid:0) AC.  ạ ấ b t   kì   thu c   đo n   AC.   Tia   Bx   ể ầ ượ ấ Trên tia Bx l n l   t l y các đi m D và E sao cho BD = BA và BE = BC. a. Ch ng minh r ng CD = AE và CD  ằ

E

N

I

M

N'

M'

I'

C

A

B

A

M

B

ầ b. G i   M,   N   l n   l ọ ể ứ ả ế ổ ạ ứ AE. ọ ể   ượ t   là   Trung   đi m ủ   ủ c a AE, CD. G i I là Trung đi m c a ằ   MN. Ch ng minh r ng kho ng cách ừ t     đi m I đ n AC không đ i khi B di chuy n trên đo n AC. ủ ạ ể ể ị ổ ấ ị ớ ể c. Tìm v  trí c a đi m B trên đo n AC ệ sao   cho   t ng   di n   tích   2   tam   giác ị ớ ABE và BCD có giá tr  l n nh t . Tìm ấ giá tr  l n nh t này theo m ủ ị HD: a. (cid:0)  ABE = (cid:0)  DBC          b.II’ =  .         c. SABE + SBCD = AB.BC (cid:0)  V  trí c a B trên AC.

H

ạ ố ấ   68. Cho hình vuông ABCD.Trên c nh AB l y M.V  BH vuông góc v i CM.N i DH.

N

ẽ (cid:0)

ớ ẽ (cid:0) DH. Ch ng minh : ứ V  HN   DHC ∽ (cid:0) a.  NHB b. AM.NB = NC.MB

C

D

HD:   =    =          b. MB = NB (cid:0)  AM = CN

A

B

P

H

Q

ọ

G

M

N

I

ọ ể ủ ữ ổ ứ ẳ ằ

ủ

K

D

C

ằ ạ 69. Cho   hình   bình   hành   ABCD   .   G i   M,N   là ể   Trung   đi m   c a   BC,AD,   G i   K   là   đi m ứ ự   ọ ằ n m gi a C và D. G i P,Q theo th  t  là ể ủ các đi m đ i x ng c a K qua tâm M và N. ứ a. Ch ng minh r ng Q,P,A,B th ng hàng. b. G i   G   là   giao   đi m     c a   PN   và   QM. ọ ể ể ứ Ch ng minh r ng GK luôn đi qua đi m I ổ ố ị c  đ nh khi K thay đ i trên đo n CD.

ọ

ể HD: a. BP//DC ; QA//DC          b. G là tr ng tâm  PQ (cid:0)  I là trung đi m MN (cid:0)  KPQ (cid:0)  Hlà trung đi mể   (cid:0)  I c  đ nh  ố ị

22

§Ò «n tËp H×nh häc 8 (Dµnh cho häc sinh kh¸ giái)

B

D

ạ 70. Cho tam giác ABC vuông t ẽ

K

A

C

E

I

ề i A. V  phía ủ ngoài c a tam giác ta v  các hình vuông ABDE và ACGH. ằ a. Ch ng minh r ng BCHE là hình thang

O

Q

G

H

P

ứ cân. b. K  đ ẻ ườ ứ ằ ng cao AK c a tam giác ABC. ẳ ườ ng th ng AK, ồ ủ Ch ng minh r ng các đ DE, GH đ ng quy. ể

B

C

Q

ể ể   HD: b. P là giao đi m DE vàGH  ; O là giao đi m HE và AK;  EQ (cid:0)  AK; HI (cid:0)  AK.  (cid:0)  EQ = AK = HI (cid:0)  O là trung đi m EH ứ 71. .Cho t

P

A

ứ

D

ượ ẳ ườ  giác ABCD. Đ ng th ng qua ạ ớ ắ i P và A song song v i BC, c t BD t ẳ ớ ườ đ ng th ng qua B song song v i AD ạ ắ i Q.Ch ng minh PQ//CD c t AC t ạ ắ i O.  =  ;    =   HD:  AC c t BD t ỉ ệ ứ ế       Nhân theo v  2 t  l th c trên ta đ c đpcm.

B

P

ạ

72.Cho tam giác ABC . Trên c nh BC,CN   ầ ượ   t   tam   giác

ể t l y các đi m M,N,P. l n l ệ   di n   tích   các

a. Ch ng minh:  ứ

M

AN AC

. .

A

3

H K

S ứ ầ ượ ấ l n l ặ đ t ANP,MBP,MNC,ABC, là S1,S2,S3,S. S1 (cid:0) S 1.S2.S3  (cid:0)

b. Ch ng minh: S

N

C

AP AB 1 64

m AC

AC = 5,05 cm m(cid:0) AOB = 29,96(cid:0)

= 0,83

AC = 5,05 cm

m BD

BD = 6,07 cm

HD: a.  =  ;  =  . ặ

B

b.Đ t  = a;  = b;  = c.   (cid:0)    = a(1­a)b(1­b)c(1­c).Và:    .

ứ

73.Cho t

H

C

O

A

ườ ế giác ABCD có AC = 10 cm, BD ng chéo AC   0.Tính t    = 30 ứ = 12 Ch ng minh. Hai đ ắ và BD   c t nhau t i O, bi ứ di n tích t ạ  giác ABCD.

K

D

B

ệ HD: AH =  OA ; CK =  OC.

H

K

I

ạ 74. Cho   tam   giác   ABC   vuông   t ắ ườ i   A   có ng cao AH ng phân giác BD c t đ

D

A

C

(cid:0) ừ ẻ ạ BC t i K. t giác ADKI

ườ đ i I.ạ t ứ a. Ch ng minh tam giác ADI cân. ứ b. Ch ng minh AD.BD = BI.DC. c. T  D k  DK  ứ là hình gì?

23