II - Đ ÔN THI TUY N SINH L P 10 CHUYÊN TOÁNỀ Ể Ớ
Đ S 1 Ề Ố
Câu 1: Gi i các ph ng trình: ả ươ
a)
b)
Câu 2:
a) Cho 3 s a, b, c khác 0 th a mãn: abc = 1 và ố ỏ
.
Ch ng minh r ng trong 3 s a, b, c luôn t n t i m t s là l p ph ng c a m t trong hai sứ ằ ố ồ ạ ộ ố ậ ươ ủ ộ ố
còn l i.ạ
b) Cho x = . Ch ng minh x có giá tr là m t s nguyên.ứ ị ộ ố
Câu 3: Cho các s d ng x, y, z th a mãn: x + y + z ≤ 3.Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:ố ươ ỏ ị ớ ấ ủ ể ứ
A = .
Câu 4: Cho đng tròn ( O; R ) và đi m A n m ngoài đng tròn sao cho OA = R. T A vườ ể ằ ườ ừ ẽ
các ti p tuy n AB, AC v i đng tròn (B, C là các ti p đi m). L y D thu c AB; E thu c ACế ế ớ ườ ế ể ấ ộ ộ
sao cho chu vi c a tam giác ADE b ng 2R.ủ ằ
a) Ch ng minh t giác ABOC là hình vuông.ứ ứ
b) Ch ng minh DE là ti p tuy n c a đng tròn (O; R).ứ ế ế ủ ườ
c) Tìm giá tr l n nh t c a di n tích ∆ADE.ị ớ ấ ủ ệ
Câu 5: Trên m t ph ng cho 99 đi m phân bi t sao cho t 3 đi m b t kì trong s chúng đu tìmặ ẳ ể ệ ừ ể ấ ố ề
đc 2 đi m có kho ng cách nh h n 1. Ch ng minh r ng t n t i m t hình tròn có bán kínhượ ể ả ỏ ơ ứ ằ ồ ạ ộ
b ng 1 ch a không ít h n 50 đi m.ằ ứ ơ ể
Đ S 2Ề Ố
Câu 1: a) Tìm các s h u t x, y th a mãn đng th c: ố ữ ỉ ỏ ẳ ứ
x (
b) Tìm t t c các s nguyên x ấ ả ố > y > z > 0 tho mãn: ả
xyz + xy + yz + zx + x + y + z = 2011.
Câu 2: a) Gi i ph ng trình: 2(xả ươ 2 + 2) = 5.
b) Cho a, b, c [0; 2] và a + b + c = 3. Ch ng minh aứ2 + b2 + c2 < 5.
Câu 3: Tìm t t c các s h u t x sao cho giá tr c a bi u th c xấ ả ố ữ ỉ ị ủ ể ứ 2 + x + 6 là m t s chínhộ ố
ph ng.ươ
Câu 4: Cho đng tròn (O) ngo i ti p ABC có H là tr c tâm. Trên cung nh BC l y đi mườ ạ ế ự ỏ ấ ể
M.
G i N, I, K l n l t là hình chi u c a M trên BC, CA, AB. Ch ng minh:ọ ầ ượ ế ủ ứ
a) Ba đi m K, N, I th ng hàng.ể ẳ
b) .
c) NK đi qua trung đi m c a HM.ể ủ
Câu 5: Tìm GTLN và GTNN c a bi u th c: P = 2xủ ể ứ 2 - xy - y2 v i x, y tho mãn đi u ki nớ ả ề ệ
sau:
x2 + 2xy + 3y2 = 4.
Đ S 3 Ề Ố
Câu 1: a) Cho a, b, c là 3 s t ng đôi m t khác nhau và tho mãn: ố ừ ộ ả
Ch ng minh r ng: ứ ằ
b) Tính giá tr c a bi u th c:ị ủ ể ứ
A =
Câu 2: a) Cho a, b, c là đ dài 3 c nh tam giác, ch ng minh:ộ ạ ứ
.
b) Cho bi u th c: A = x - 2. Tìm giá tr nh nh t c a A.ể ứ ị ỏ ấ ủ
Câu 3: a) Gi i ph ng trình: .ả ươ
b) Cho hàm s y = f(x) v i f(x) là m t bi u th c đi s xác đnh v i m i s th c xố ớ ộ ể ứ ạ ố ị ớ ọ ố ự
khác
không. Bi t r ng: f(x) + 3f= xế ằ 2 x ≠ 0. Tính giá tr c a f(2).ị ủ
Câu 4: Cho l c giác đu ABCDEF. G i M là trung đi m c a EF, K là trung đi m c aụ ề ọ ể ủ ể ủ
BD. Ch ng minh tam giác AMK là tam giác đu.ứ ề
Câu 5: Cho t giác l i ABCD có di n tích S và đi m O n m trong t giác sao cho:OAứ ồ ệ ể ằ ứ 2 + OB2
+ OC2 + OD2 = 2S. Ch ng minh ABCD là hình vuông có tâm là đi m O.ứ ể
ĐÈ S 4Ố
Câu 1: a) Cho x và y là 2 s th c tho mãn xố ự ả 2 + y2 = 4. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th cị ớ ấ ủ ể ứ :
A = .
b) Cho x, y, z là 3 s th c d ng tho mãn xố ự ươ ả 2 + y2 + z2 = 2. Ch ng minh: ứ
.
Câu 2: a) Gi i ph ng trình: xả ươ 2 + 9x + 20 = 2.
b) Tìm x, y tho mãn: .ả
Câu 3: a) Ch ng minh r ng n u: thì .ứ ằ ế
b) Ch ng minh r ng n u ph ng trình xứ ằ ế ươ 4 + ax3 + bx2 + ax +1 = 0 có nghi m thì 5(aệ2 +
b2) ≥ 4.
Câu 4: Cho n a đng tròn tâm (O) đng kính AB = 2R và bán kính OC vuông góc v i AB.ử ườ ườ ớ
Tìm đi m M trên n a đng tròn sao cho 2MAể ử ườ 2 = 15MK2, trong đó K là chân đng vuôngườ
góc h t M xu ng OC.ạ ừ ố
Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB//CD). G i E và F l n l t là trung đi m c a BD và AC. ọ ầ ượ ể ủ
G i G là giao đi m c a đng th ng đi qua F vuông góc v i AD v i đng th ng đi qua E ọ ể ủ ườ ẳ ớ ớ ườ ẳ
vuông góc v i BC. So sánh GD và GC.ớ
Đ S 5 Ề Ố
Câu 1: 1) Gi i ph ng trình: xả ươ 2 + .
2) Gi i ph ng trình: ả ươ
x2 - 2x + 3(x - 3) = 7.
Câu 2: 1) Tìm giá tr nh nh t bi u th c: A = .ị ỏ ấ ể ứ
2) Cho a, b, c là đ dài 3 c nh c a tam giác. Ch ng minh:ộ ạ ủ ứ
Câu 3: Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
Câu 4: Cho hình thang ABCD có 2 đáy BC và AD (BC AD). G i M, N là 2 đi m l n l t trên 2ọ ể ầ ượ
c nh AB và DC sao cho . Đng th ng MN c t AC và BD t ng ng v i E và F. Ch ngạ ườ ẳ ắ ươ ứ ớ ứ
minh EM = FN.
Câu 5: Cho đng tròn tâm (O) và dây AB, đi m M chuy n đng trên đng tròn. T M kườ ể ể ộ ườ ừ ẻ
MH vuông góc v i AB (H AB). G i E, F l n l t là hình chi u vuông góc c a H trên MA, MB.ớ ọ ầ ượ ế ủ
Qua M k đng th ng vuông góc v i EF c t AB t i Dẻ ườ ẳ ớ ắ ạ .
1) Ch ng minh đng th ng MD luôn đi qua 1 đi m c đnh khi M thay đi trên đngứ ườ ẳ ể ố ị ổ ườ
tròn.
2) Ch ng minh: .ứ
Đ S 6Ề Ố
Câu 1: Tính giá tr bi u th c: A = ị ể ứ
.
Câu 2: a) Cho các s khác không a, b, c. Tính giá tr c a bi u th c: ố ị ủ ể ứ
M = x2011 + y2011 + z2011
Bi t x, y, z tho mãn đi u ki n: ế ả ề ệ
b) Ch ng minh r ng v i a > thì s sau đây là m t s nguyên d ng.ứ ằ ớ ố ộ ố ươ
x =
Câu 3: a) Cho a, b, c > 0 tho mãn: . Tìm giá tr nh nh t c a A = a.b.c.ả ị ỏ ấ ủ
b) Gi s a, b, c, d, A, B, C, D là nh ng s d ng vàả ử ữ ố ươ
. Ch ng minh r ng:ứ ằ
Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nh n. G i M, N, P, Q là b n đnh c a m t hình ch nh t ọ ọ ố ỉ ủ ộ ữ ậ
(M và N n m trên c nh BC, P n m trên c nh AC và Q n m trên c nh AB).ằ ạ ằ ạ ằ ạ
a) Ch ng minh r ng: Di n tích hình ch nh t MNPQ có giá tr l n nh t khi PQ đi qua ứ ằ ệ ữ ậ ị ớ ấ
trung đi m c a đng cao AH.ể ủ ườ
b) Gi s AH = BC. Ch ng minh r ng, m i hình ch nh t MNPQ đu có chu vi b ng ả ử ứ ằ ọ ữ ậ ề ằ
nhau.
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân A, đng trung tuy n BM. G i D là hình chi u c a C ở ườ ế ọ ế ủ
trên tia BM, H là hình chi u c a D trên AC. Ch ng minh r ng AH = 3HD.ế ủ ứ ằ
II - L P 10 THPT CHUYÊN Ớ
Đ S 1 Ề Ố
Câu 1:
a) Đt (1), suy ra ặ
Khi đó ph ng trình đã cho tr thành: tươ ở 2 – 4t – 5 = 0 .
L n l t thay các giá tr c a t vào (1) thì ph ng trình đã cho có 4 nghi m:ầ ượ ị ủ ươ ệ
x1 = 1; x2 = - 2;
b) Đk: x ≥ - 2 (1)
Đt (2)ặ
Ta có: a2 – b2 = 3;
Thay vào ph ng trình đã cho ta đc: ươ ượ
(a – b)(1 + ab) = a2 – b2 (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0
nên
Đi chi u v i (1) suy ra ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t x = - 1.ố ế ớ ươ ệ ấ
Câu 2:
a) Đt , khi đó do abc = 1 nên xyz = 1 (1).ặ
T đ bài suy ra x + y + z = yz + xz + xy (2).ừ ề
T (1) và (2) suy ra: xyz + (x + y + z) – (xy + yz + zx) – 1 = 0 ừ
(x – 1)(y – 1)(z – 1) = 0.
V y t n t i x =1 ch ng h n, suy ra a = bậ ồ ạ ẳ ạ 3, đpcm.
b) Đt x = a + b; aặ3 + b3 = 2; ab = .
Ta có: x3 = (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Suy ra: x3 = 2 – x x3 + x – 2 = 0
x = 1. Vì x2 + x + 2 = . T đó suy ra đi u ph i ch ng minh.ừ ề ả ứ
Câu 3: Áp d ng các BĐT: ụ
; a + b + c
(đc suy ra t b t đng th c Bunhiacôpski)ượ ừ ấ ẳ ứ
Ta có:
L i có: A = ạ
+
(do x + y + z 3). D u “=” x y ra khi và ch khi x = y = z = 1.ấ ả ỉ
V y maxA = ậ
Câu 4:
a) Ta có: (tính ch t ti p tuy n) (1)ấ ế ế
AB = AC = R = OB = OC (2).
T (1) và (2) suy ra ABOC ừlà hình vuông.
b) Theo bài ra ta có: AD + DE + AE = 2R (3).
Suy ra: DE = BD + CE (4).
V OM ẽ DE (MDE) (5)
Trên tia đi c a tia CA l y đi m F sao ố ủ ấ ể cho CF = BD; suy
ra ∆BDO = ∆COF (c-g-c)
OD = OF; l i có DE = FE nên ạ∆ODE = ∆OFE (c-c-c)OM = OC
= R
(hai đng cao t ng ng) (6). T (5) và (6) suy ra DE làườ ươ ứ ừ
ti p tuy n c a đng tròn (O;R).ế ế ủ ườ
c) Đt: AD = x; AE = y (x, y > 0)ặ
Ta có: DE (đnh lí Pitago).ị
Vì AD + DE + AE = 2R = 2R (6)
Áp d ng BĐT – Côsi cho hai s không âm ta có:ụ ố
(7).
D u “=” x y ra khi và ch khi x = y. ấ ả ỉ
T (6) và (7) suy ra: ừ
xy SADE .
V y max SậADE = x = y∆ADE cân t i A.ạ
Câu 5: Xét đi m A và hình tròn (Cể1) có tâm A, bán kính b ng 1.ằ