ĐÊ THAM KHAO 15 Đ THI TUYÊN SINH Đ I H C - NĂM H C 2009 - 2010Ề Ạ Ọ Ọ
Môn: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát đờ ể ờ ề
I. PH N B T BU CẦ Ắ Ộ ( 7 đi m)ể
Câu I: (2 đi m) Cho hàm s ể ố
2 1
1
x
yx
−
=+
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s .ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
2. Ch ng minh r ng đ ng th ng d: y = - x + 1 là truc đ i x ng c a (C).ứ ằ ườ ẳ ố ứ ủ
Câu II: (2 đi m)ể
1. Gi i ph ng trình: ả ươ
4cos3xcosx - 2cos4x - 4cosx + tan t anx + 2
20
2sinx - 3
x
=
2. Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
2 2 2
2
3 2.log 3 2.(5 log 2)
x
x x x x x− +x− + −
Câu III: ( 1 đi m). ể
G i (H) là hình ph ng gi i h n đ thi (C) c a hàm sô y = xọ ẳ ớ ạ ồ ủ 3 – 2x2 + x + 4 và ti p tuy n c a (C) t iế ế ủ ạ
đi m có hoành đ ể ộ x0 = 0. Tính th tích c a v t th tròn xoay đ c t o thành khi quay hình ph ng (H) quanhể ủ ậ ể ượ ạ ẳ
tr c Ox.ụ
Câu IV: (1đi m)ể
Cho hình l ng tr tam giác đ u ABC.A’B’C’ có c nh đáy b ng ặ ụ ề ạ ằ a. Bi t kho ng cách gi a hai đ ngế ả ữ ườ
th ng AB và A’C b ng ẳ ằ
15
5
a
. Tính th tích c a kh i lăng trể ủ ố ụ
Câu V:(1đi m) Tìm m đ h ph ng trình sau có nghi m: ể ể ệ ươ ệ
4
(2 1)[ln(x + 1) - lnx] = (2y + 1)[ln(y + 1) - lny] (1)
y-1 2 ( 1)( 1) 1 0 (2)
x
y x m x
+
+
+
+− + − + + =
−
−
II. PH N T CH N Ầ Ự Ọ (3 đi m): ểThí sinh ch làm m t trong hai ph n (Ph n A ho c ph n B)ỉ ộ ầ ầ ặ ầ
Ph n A: Theo ch ng trình chu nầ ươ ẩ
Câu VI.a: (2 đi m). ể
1. Trong m t ph ng Oxy cho đ ng tròn (C): xặ ẳ ườ 2 + y2 = 1; và ph ng trình: xươ 2 + y2 – 2(m + 1)x + 4my - 5 =
0 (1). Ch ng minh r ng ph ng trình (1) là ph ng trình c a đ ng tròn v i m i m. G i các đ ngứ ằ ươ ươ ủ ườ ớ ọ ọ ườ
tròn t ng ng là (Cươ ứ m). Tìm m đ (Cểm) ti p xúc v i (C).ế ớ
2. Trong không gian Oxyz cho đ ng th ng d: ườ ẳ
1 2
1 1 1
x y z− +
= =
và m t ph ng (P): 2x + y – 2z + 2 = 0.ặ ẳ
L p ph ng trình m t c u (S) có tâm n m trên d, ti p xúc v i m t ph ng (P) và đi qua đi m A(2; -ậ ươ ặ ầ ằ ế ớ ặ ẳ ể
1;0)
Câu VII.b: (1 đi m). ể
Cho x; y là các s th c tho mãn ố ự ả x2 + y2 + xy = 1. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi uị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể
th c ứ
P = 5xy – 3y2
Ph n B: Theo ch ng trình nâng cao:ầ ươ
Câu VI.b: (2 đi m). ể
1. Trong không gian Oxyz cho đi m A(3;2;3) và hai đ ng th ng ể ườ ẳ
1
2 3 3
:1 1 2
x y z
d− − −
= = −
và
. Ch ng minh đ ng th ng ứ ườ ẳ d1; d2 và đi m A cùng n m trong m t m t ph ng.ể ằ ộ ặ ẳ
Xác đ nh to đ các đ nh B và C c a tam giác ABC bi t dị ạ ộ ỉ ủ ế 1 ch a đ ng cao BH và dứ ườ 2 ch a đ ng trungứ ườ
tuy n CM c a tam giác ABC.ế ủ
2. Trong m t ph ng Oxy cho elip (E) có hai tiêu đi m ặ ẳ ể
1 2
( 3;0); ( 3;0)F F−
và đi qua đi m ể
1
3; 2
A� �
� �
� �
.
L p ph ng trình chính t c c a (E) và v i m i đi m M trên elip, hãy tính bi u th c:ậ ươ ắ ủ ớ ọ ể ể ứ
P = F1M2 + F2M2 – 3OM2 – F1M.F2M
Câu VII.b( 1 đi m). Tính giá tr bi u th c:ể ị ể ứ
0 2 2 4 2 1004 2008 1005 2010
2010 2010 2010 2010 2010 2010
3 3 ... ( 1) ... 3 3
k k
S C C C C C C= − + + + − + + −
H ng d n gi iướ ẫ ả
Câu I:
2. Giao đi m hai ti m c n I(- 1;2) . Chuy n h tr c to đ Oxy --> IXY: ể ệ ậ ể ệ ụ ạ ộ
1
2
x X
y Y
= −
=
== +
=
Hàm s đã cho tr thành : Y = ố ở
3
X
−
hàm s đ ng bi n nê (C) đ i x ng qua đ ng th ng Y = - X ố ồ ế ố ứ ườ ẳ
Hay y – 2 = - x – 1 ⇔ y = - x + 1
Câu II: 1. Đi u ki n: ề ệ
3
sinx 2
2
và
os 0
2
x
c c
và cosx ≠ 0
Bi n đ i pt v : 4cosế ổ ề 3x - 4 cos2x – cosx + 1 = 0
osx = 1
1
cosx = 2
c
c
c
ccc
c
2. Đi u ki n 0 < x < 1 ho c x ≥ 2.ề ệ ặ
2 2 2
2
3 2.log 3 2.(5 log 2)
x
x x x x x− +x− + −
2
2 2
2
2log 5log 2 0
log
x x
x
− +
−
Nghi m: 0 < x < 1 ho c 2 ≤ x ≤ 4ệ ặ
Câu III: Ph ng trình ti p tuy n : y = x + 4ươ ế ế
Ph ng trình hoành đ giao đi m: xươ ộ ể 3 – 2x2 = 0
0
2
x
x
=
=
===
=
V =
2 2
2 3 2 2
0 0
( 4) ( 2 4)x dx x x x dx
π π
+ − − + +
� �
Câu IV: G i M; M’ l n l t là trung đi m c a AB và A’B’. H MH ọ ầ ượ ể ủ ạ ⊥ M’C
AB // (A’B’C) ==> d(AB,A’C) = MH
HC =
15
10
a
; M’C =
15
2
a
; MM’ =
3a
V y V = ậ
3
3
4a
Câu V: Đ t ặf(x) = (2x + 1)[ln(x + 1) – lnx] TXĐ: D = [0;+∞)
=
1
(2 1) ln x
xx
+
+
G i xọ1; x2 ∈ [0;+∞) v i xớ1 > x2
Ta có :
1 2
1 2
1 2
1 2
2 1 2 1 0
( ) ( )
1 1
ln ln 0
x x
f x f x
x x
x x
+ > + > +
+>�
+ + �
> > >>
: f(x) là hàm s tăng ố
T ph ng trình (1) ừ ươ ⇒ x = y
(2)
4
1 2 ( 1)( 1) 1 0x x x m x− − − + + + =�
4
1 1
2 0
1 1
x x m
x x
− −
− + =�+ +
Đ t X = ặ
4
1
1
x
x
−
+
==> 0 ≤ X < 1
V y h có nghiêm khi ph ng trình: Xậ ệ ươ 2 – 2X + m = 0 có nghi m 0 ≤ X < 1 ệ
Đ t ặf(X) = X2 – 2X == > f’(X) = 2X – 2
==> h có nghiêm ệ⇔ -1 < m ≤ 0
Câu VI.a
1. (C) có tâm O(0;0) bán kính R = 1, (Cm) có tâm I(m +1; -2m) bán kính
2 2
' ( 1) 4 5R m m= + + +
OI
2 2
( 1) 4m m= + +
, ta có OI < R’
V y (C) và (Cậm) ch ti p xuc trong.==> R’ – R = OI ( vì R’ > R)ỉ ế
Gi i ra m = - 1; m = 3/5ả
2. G i I là tâm c a (S) ==> I(1+t;t – 2;t)ọ ủ
Ta có d(I,(P)) = AI == > t = 1; t = 7/13
(S1): (x – 2)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2 = 1; (S2): (x – 20/13)2 + (y + 19/13)2 + (z – 7/13)2 = 121/139
Câu VII.a
2
2 2
5 3xy y
Px xy y
−
=+ +
V i y = 0 ==> P = 0ớ
V i y ≠ 0 đ t ớ ặ x = ty; ta có:
2
2
5 3 ( 5) 3 0
1
t
P Pt P t P
t t
−
= + − + + =�
+ +
(1)
+ P = 0 thì ph ng trình ( 1) có nghi m t = 3/5ươ ệ
+ P ≠ 0 thì ph ng trình ( 1) có nghi m khi và ch khi ươ ệ ỉ
∆’ = - P2 – 22P + 25
0 ⇔ - 25/3 ≤ P ≤ 1
T đó suy maxP , minPừ
Câu VI.b:
1. d1 qua M0(2;3;3) có vect ch ph ng ơ ỉ ươ
(1;1; 2)a= −
r
d2 qua M1(1;4;3) có vect ch ph ng ơ ỉ ươ
(1; 2;1)b= −
r
Ta có
0 1
, 0 , 0a b va a b M M
� � � �
�=
� � � �
urr r r r uuuuuur
(d1,d2) : x + y + z – 8 = 0 ==> A ∈ (d1,d2)
B(2 + t;3 + t;3 - 2t);
5 5
; ;3
2 2
t t
M t
+ +
� �
−
� �
� �
∈ d2 ==> t = - 1 ==> M(2;2;4)
C( 1+t;4-2t;;3+t) :
AC a⊥
uuur r
==> t = 0 ==> C(1;4;2)
2. (E):
2 2
2 2 2 2
3 1
1 1
4
x y
a b a b
+ = + =�
, a2 = b2 + 3 ==>
2 2
1
4 1
x y
+ =
P = (a + exM)2 + (a – exM)2 – 2(
2 2
M M
x y+
) – (a2 – e2
2
M
x
) = 1
Câu VII.b:
Ta có:
( ) ( )
( )
2010 2010 0 2 2 4 2 1004 2008 1005 2010
2010 2010 2010 2010 2010 2010
1 3 1 3 2 3 3 ... ( 1) 3 ... 3 3
k k k
i i C C C C C C+ + − = − + + + − + + −
Mà
( ) ( )
2010 2010 2010 2010
2010 2010 -2010 -2010
1 3 1 3 2 ( os in ) 2 os in
3 3 3 3
i i c s c s
π π π π
� �
+ + − = + + +
� �
� �
=
( )
2010 2010
2.2 os670 2.2c
π
=
V y S = 2ậ2010
-----------------------------------------------------