ĐÊ THAM KHAO 17 Đ THI TUYÊN SINH Đ I H C - NĂM H C 2009 - 2010Ề Ạ Ọ Ọ
Môn: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát đờ ể ờ ề
PH N T CH N: (7 đi m)Ầ Ự Ọ ể
Câu I. (2 đi m)ể
Cho hàm s ố
4 2
2 1y x mx m= − + −
(1) , v i ớ
m
là tham s th c.ố ự
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi ả ự ế ẽ ồ ị ố
1m=
.
2. Xác đ nh ị
m
đ hàm s (1) có ba đi m c c tr , đ ng th i các đi m c c tr c a đ th t o thành m t tamể ố ể ự ị ồ ờ ể ự ị ủ ồ ị ạ ộ
giác có bán kính đ ng tròn ngo i ti p b ng ườ ạ ế ằ
1
.
Câu II. (2 di m)ể
1.Gi i h ph ng tr nh: ả ệ ươ ỡ
2 2
2 2 2
1 2.
x xy y y x
y x y x
y+ + = +
+
+− + + =
−
−
.
2. Gi i ph ng trình sau: ả ươ
( )
4 4
4cos 2 sin cos 3 sin(2 ) cos(2 )
3 3
x x x x x
π π
+ = + + +
Câu III.(1 đi m)ể .Tính tích phân sau:
2
0
3s inx cos
sinx cos 2
x
I dx
x
π
−
=+ +
+
Câu IV.(1 đi mể)
Cho t di n ABCD có góc ứ ệ
0 0
90 ; 120ABC BAD CAD= = =
.AB = a, AC = 2a, AD = 3a. Tính th tích tể ứ
di n ABCD đóệ
Câu IV. (1 đi m) Cho .ể
. Ch ng minh r ngứ ằ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
3
2 2 2 2 2 4 2 2
2 4 2
2
2
z y z x y z x z x z z x y xy x y
z z x y xy x y
x y
� �
+ − − + + − + + + + +
� �
� �
+ + +
� �
�+ +
+
PH N T CH N (3 đi m). Ầ Ự Ọ ể Thí sinh ch đ c làm môt trong hai ph n (ph n a ho c ph n b)ỉ ượ ầ ầ ặ ầ
Ph n a. Theo ch ng trình chu nầ ươ ẩ
CâuVIa:(2 di m)ể
1. Trong m t ph ng v i h tr c 0xy, cho tam giác ABC có A(1;3), đ ng trung tr c c a c nh AC có ph ngặ ẳ ớ ệ ụ ườ ự ủ ạ ươ
trình (d): x – y = 0, trung đi m K c a c nh BC thu c đ ng th ng (d’): x+ y -2 = 0, kho ng cách t tâm I c aể ủ ạ ộ ườ ẳ ả ừ ủ
đ ng tròn ngo i tiêp tam giác ABC đ n c nh AC b ngườ ạ ế ạ ằ
2
.Tìm to đ đi m B; bi t hoành đ c a đi m I béạ ộ ể ế ộ ủ ể
h n 2.ơ
2. Trong không gian v i h t c to đ 0xy, cho đi m A(1;2;3) và hai đ ng th ng ớ ệ ụ ạ ộ ể ườ ẳ
( )
1 3 1
:
11 1 2
x y z
d
− − −
= =
−
và
( )
: 2 2
22
x
d y z
= − =
. Viêt ph ng trình d ng (d) th ng di qua A ,c tươ ườ ẳ ắ
( )
1
d
và vuông góc v i ớ
( )
2
d
CâuVIIa.(1 đi m)ể
Gi i ph ng trình sau trên t p h p các s ph c: ả ươ ậ ợ ố ứ
3 2
(5 ) 4( 1) 12 12 0z i z i z i
− + + − − + =
Ph n b. Theo ch ng nâng caoầ ươ
CâuVIb. (2 di m)ể
1. Trong m t ph ng v i h to đ 0xy, cho hình thang cân ABCD có A(1;1),B(3;2). Đi m M(0;1) thu c đáyặ ẳ ớ ệ ạ ộ ể ộ
l n CD sao cho di n tích tam giác BMC b ng 3, bi t C có hoành đ d ng .Vi t Ph ng trình c nh AD. ớ ệ ằ ế ộ ươ ế ươ ạ
2. Trong không gian v i h tr c to đ 0xyz , cho tam giác ABC cân đ nh A, v i A(1;3;2) . M t ph ng trungớ ệ ụ ạ ộ ỉ ớ ặ ẳ
tr c c nh AC có ph ong trình ự ạ ư
( )
α
:4x - 2y + 4z -15 = 0, đ nh B thu c (d): ỉ ộ
1
2 2 1
x y z+
= =
. Tìm to đ đ nh B.ạ ộ ỉ
CâuVIIb.(1 đi m)ể Tìm các c p sp61 th c (x ; y) tho mãn ph ng trình: ặ ự ả ươ
1
4 3 2 2 3 2
1 1 4 2 2 2
2
x x y x y x y x xy
e e x x y xy x
− + − − + +
+ = + + − +
-HÕt-
híng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm
2. (1 đi m) ể
( )
' 3 2
2
0
4 4 4 0 x
y x mx x x m x m
=
=
= − = − =x==
=
Hàm s đã cho có ba đi m c c tr ố ể ự ị
ị
pt
'
0y=
có ba nghi m phân bi t và ệ ệ
'
y
đ i d uổ ấ
khi
x
đi qua các nghi m đó ệ
0m>�
•Khi đó ba đi m c c tr c a đ th hàm s là:ể ự ị ủ ồ ị ố
( )
( ) ( )
2 2
0; 1 , ; 1 , ; 1A m B m m m C m m m− − − + − − + −
•
2
1.
2
ABC B A C B
S y y x x m m= − − =
V
;
4
, 2AB AC m m BC m= = + =
•
( )
4
3
2
1
2
. . 1 1 2 1 0 5 1
442
ABC
m
m m m
AB AC BC
R m m
Sm m m
=
=
++
= = = − + =� � � −
−=
=
=
V
CâuII 1
ĐK: x-y+1
00
.
Ta có (1)
2 2 2
2( ) 0 ( )( 2) 0
2 2
x y xy y y x x y x y y
x y x y
− + − + − = − + + − =� �
= = −� �
V i x=y, ớ
(2) 1 2 1 1x x x x x x y− + + = = = =� � �
là 1 nghi m.ệ
V i x=2-2y,ớ
2
0
(2) 2 2 1 2 2 2 3 3 2 8
3 3 4 3
x
y
y y y y y y y yx
=
=
=
==
− − + + − = − =� � � �
��
− = =
==
KL: H có 3 nghi m (1;1); (2;0); (8/3;-1/3).ệ ệ
2.(1 §iÓm )
:PT+
2
1 3 1
(1) 2cos 2 (1 sin 2 ) sin(2 ) cos(2 )
2 2 3 2 3
x x x x
π π
− = + + +�
2
cos 2 (2 sin 2 ) cos sin(2 ) sin cos(2 )
6 3 6 3
x x x x
π π π π
− = + + +�
2
cos 2 (2 sin 2 ) sin(2 )
2
x x x
π
− = +�
2
cos 2 (2 sin 2 ) cos 2x x x− =�
2
cos 2 0 cos 2 0
2 sin 2 1
xx
x
=
==� �
�− =
−
( )
4 2
x k k Z
π π
= +� �
VËy PT cã m ét hä nghiÖm :
( )
4 2
x k k Z
π π
= +k
0.25
0.25
0.25
0.25
2
C©u
III
( )
( )
( )
( )
( )
2
0
2 2 2
0 0 0
2
2
00
sinx cos 2 2 cos s inx 2
sinx cos 2
cos sinx
2 2 s inx cos 2
sinx cos 2
2 ln s inx cos 2 2
22 os( ) 1
4
x x
I dx
x
xdx
dx dx x
x
dx
x
c x
π
π π π
π
π
π
π
+ + − − −
=+ +
−
= − − + +
+ +
= − + + − � �
− +
� �
� �
�
� � �
�
2
2
0
1
2 ln(1 2) ln(1 2)
2 2 os ( )
2 8
dx
x
c
π
ππ
� �
= − + − + −
� � −
−
2
0
tan( ) 2 tan
2 2 8 2 8
x
π
π π π π
= − − = −
0.25
0.25
0.5
C©uIV
(1
§iÓm)
A
A
B
B
M
M
I
I
N
N
D
D
C
+Gäi M;N lµ c¸c ®iÓm thu«c c¹nh AC vµ AD sao cho AM=AN=a
Ta cã :
2 2 2 0
2 . cos120MN AM AN AM AN= + −
2
3 3a MN a= =�
+
2BN a=
;
1
2
BM AC a= =
Suy ra :
2 2 2
MN BM BN= +
,Do ®ã tam gi¸c
BMN vu«ng t¹i B.
2
1 2
.
2 2
BMN
a
S BN BM
∆
= =�
+ GoÞ I lµ trung ®iÓm cña MN, ta cã:
2
2 2 2
4
a
AI AN IN= − =
XÐt tam gi¸c BMN cã BI lµ trung tuyÕn nªn ta cã :
2 2 2 2
2
3
2 4 4
BM BN MN a
BI +
= − =
DÔ thÊy
2 2 2 2
AI BI a AB+ = =
suy ra tam gi¸c AIB vu«ng t¹i I
Nh vËy
; ( )AI BI AI MN AI BMN⊥ ⊥ ⊥�
suy ra AI lµ §êng cao cña tø
diÖn ABMN
+ Khi ®ã
2 3
1 1 2 2
. . .
3 3 2 2 12
ABMN BMN
a a a
V AI S
∆
= = =
+ MÆt kh¸c
1
. . 6
ABMN
ABCD
VAB AM AN
V AB AC AD
= =
6
ABCD ABMN
V V=�
3 3
2 2
6. 12 2
a a
= =
0.25
0.25
0.25
0.25
3
C©u V
(1
§iÓm)
0.25
0.25
0.25
0.25
C©uVI
a
(2
®iÓm)
1.(1®iÓm)
A(1;3)
)
H
H
I
K
K
B
BC
C
d1
1
d2
Gäi H lµ trung ®iÓm cña AC , H thuéc
1
d
nªn suy ra H(a;a)
Ta cã
( 1; 3)AH a a= − −
uuur
;
1
d
cã vtcp
1
(1;1)u
ur
Do
1
AH d⊥
1
. 0 1.( 1) 1.( 3) 2AH u a a a= − + − =� � �
uuuurur
(2; 2) (3;1)H C� �
+PT c¹nhAC: x+y+4=0. Do I thuéc
1
d
nªn I(b;b).
0.25
0.25
4
Cho
: Ch ng minh r ngứ ằ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
3
2 2 2 2 2 4 2 2
2 4 2
2
2
z y z x y z x z x z z x y xy x y
z z x y xy x y
x y
� �
+ − − + + − + + + + +
� �
� �
+ + +
� �
�+ +
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
z y z x x y z x z y x y
z y z x
z y z x x y x y
x y
+ + − + + + + − + +�
+ +
+ + +x+ +
+
(1)
Đ t a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+yặ
T (1)ừ
3
2
2ab
a b c b a c abc c
c
− + − + +� �
( ) ( )
2
2 2a c b c b c a c c ab ab c− + − + +� �
(2)
Ta có:
2 2
(3)
2
b c c b
c b c
ab
a c b c
− +
−+ =
−� �
T ng t : ươ ự
( )
4
2
ab
b c a c−c
( )
2
2 5c ab c abc +
C ng (3); (4); (5) ta đ c: ộ ượ
( ) ( )
2
2 2a c b c b c a c c ab ab c− + − +b+
đpcm
D u b ng x y ra khi: a=b=2cấ ằ ả
a.2z+y=2z+x=4x+2y
b.x=y=
2
5z
0,25
0,25
0,25
0,25
theo gi¶ thiÕt
( ; ) 2d I AC =
2 4 2
2
b−=�
2 4 2 3( )
2 4 2 1
b b loai
b b
− = =
� �
� �
� �
− = − =
� �
Víi
1 (1;1)b I=I
. Gäi K lµ trung ®iÓm cña BC Kthuéc
2
d
suy ra
K(m;2-m)
Ta cã:
( 1;1 ); (3 ; 1)IK m m KC m m= − − = − −
uur uuur
2
1
. 0 3 2 0 2
m
IK BC IK KC m m m
=
=
⊥ = − + =� � � �=
=
uur uuur
+ Víi m=1,K(1;1) suy ra B(-1;1)
+ Víi m=2; K(2;0) suy ra B(1;-1)
0.25
0.25
1. ( 1 ®iÓm)
+
1
d
cã PTTS :
1
3
1 2
x t
y t
z t
= −
=
== +
=
== +
=
;
2
d
cã PT:
1
4 1 2
x y z−
= =
2
dd
cã VTCP lµ:
2
(4;1; 2)u=
uur
A(1;4;3)
)
d
d
d1
1
d2
2
B
B
M
M
d'1
Gäi
1 1
B d d B d=� � �
, B(1-t;3+t;1+2t)
Ta cã :
( ; 1; 2 2)AB t t t= − − −
uuur
+
2 2 2
. 0 5d d AB d AB u t⊥ ⊥ = =� � �
uuur uur
suy ra
( 5; 4;8)AB = −
uuur
VËy ;d cã VTCP
( 5; 4;8)AB = −
uuur
vfa ®i qua A(1;3;4)
PT cña d lµ :
1 4 3
5 4 8
x y z− − −
= =
−
0.25
0.25
0.25
0.25
C©uVI
Ia
(1§iÓ
m)
+BPT
( )
4 4
log 12 1 log 13 12 1 13
x x x x
+ +� � � �
12 1 1
13 13
x x
� � � �
+� �
� � � �
� � � �
(1)
NÕu
1x x
th×
1 1
12 1 1 1
13 13
VT x
� � � �
�= ++�
� � � �
� � � �
lµ nghiÖmcña BPT
NÕu
1x x
Th×
1 1
12 1 1 1
13 13
VP x
� � � �
< + = >�
� � � �
� � � �
kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña
BPT
VËy nghiÖm cña BPT lµ:
1x x
0.25
0.25
0.25
0.25
C©uVI 1.(1®iÓm)
5