Đề thi chọn học sinh giỏi cấp cơ sở môn Toán lớp 12 năm học 2009-2010 – Sở Giáo dục và Đào tạo Điện Biên (Đề chính thức)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp cơ sở môn Toán lớp 12 năm học 2009-2010 – Sở Giáo dục và Đào tạo Điện Biên (Đề chính thức) được biên soạn với 5 bài tập giúp các em học sinh có thêm tư liệu tham khảo phục vụ cho học tập, ôn thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp cơ sở môn Toán lớp 12 năm học 2009-2010 – Sở Giáo dục và Đào tạo Điện Biên (Đề chính thức)

SỞ GD&ĐT ĐIỆN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BIÊN LỚP 12 THPT CẤP CƠ SỞ NĂM HỌC 2009 2010 Môn:Toán Đề thi chính thức Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 07/01/2010 (Đề thi có 01 trang) ĐỀ BÀI Câu 1: (6 điểm) 21 + 2sin x − 3.21 + sin x = m − 4 1. Cho phương trình: (1) (m là tham số). a) Giải phương trình (1) với m = 0. b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. x6 + y 6 = 1 x5 + y 5 = 1 2. Giải hệ phương trình: Câu 2: (5 điểm) y = − x 3 +[ − x 2 +] 72 x − 90 37;7 1. Tìm GTLN của hàm số: trên đoạn . 1 y = x4 − 2x2 + 3 4 2. Cho hàm số có đồ thị là (C). Tính diện tích tam giác có các đỉnh là các điểm cực trị của đồ thị (C). Câu 3: (6 điểm) x cos t + y sin t + sin t − 2cos t − 3 = 0 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Chứng minh rằng với mọi giá trị của t đường thẳng (d) có phương trình: (t là tham số) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. ﾷ 2a⊥= 120 BAC 5 o 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = và . Gọi M là trung điểm của CC1. Chứng minh MB MA1 và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A1BM). Câu 4: (1.5 điểm) f ( x ) = x n + an−1 xfn−(1 2+) an−32nx n− 2 + L + a1 x + 1 Cho đa thức có các hệ số không âm và có n nghiệm thực. Chứng minh . Câu 5: (1.5 điểm)
y = (xxM 3 M 1n− 11n ) x ;=ny13n2−2009 Cho hàm số: có đồ thị là (C). là điểm trên (C) có hoành độ . Tiếp tuyến của (C) tại cắt (C) tại điểm khác , tiếp tuyến của (C) tại cắt (C) tại điểm khác , tiếp tuyến của (C) tại điểm cắt (C) tại điểm khác (n = 4; 5;…), gọi là tọa độ điểm . 2009 xn + yn + 22013 = 0 Tìm n để : Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 12 NĂM HỌC 20092010 Câu 1 NỘI DUNG 6điểm 1 21+ 2sin x − 3.21+s inx = m − 4 0.5 (4điểm ) 2t 2 − 6t = m� −14 � 2s inx = t �� t � ;2 � � 2 � Đặt ta có phương trình: (2) 2t 2 − 6t + 4 = 0 � t = 1 �t = 2 0.5 a.Với m = 0 suy ra: t = 1 � 2s inx = 1 � sinx = 0 � x = kπ 1 π t = 2 � 2s inx = 2 � sinx = 1 � x = + k 2π 2 1 � � 0.5 t � ;2 2 � � � b.ycbt(2) có nghiệm ( 2 ) � 2t 2 − 6t + 4 = m ( P) : y � =12t 2 � ;2 − 6t + 4 0.5 � � � 2 � (2) có nghiệm khi đường thẳng y = m cắt trên …… 0.5 �1 � 3 �3 � 1 y � �= ; y � �= − ; y ( 2 ) = 0 �2 � 2 �2 � 2 1 3 0.5 − m 2 2 Suy ra thì (1) có nghiệm
2 x 6 + y 6 = 1 (1) 0.75 (2điểm x5 + y 5 = 1 (2) ) x, y �[ −1;1] Lập luận từ (1) và (2) suy ra và x, y không cùng d ấu Vai trò của x, y bình đẳng , không làm mất tính tổng quát giả sử 0.75 −1 < x < 0 < y < 1 . Lập luận đưa ra hệ vô nghiệm ( 0;1) ; ( 1;0 ) 0.5 Nhận thấy là các nghiệm của hệ Câu 2 y = − x 3 +[ − x 2 +] 72 x − 90 37;7 4 trên đoạn điểm 1 f ( x ) = − x3[ −+7;7 3 x 2] + 72 x − 90 0.5 (2điểm Xét hàm trên ) y ' = −3x 2 + 6 x + 72 = 0 � x = −4 �x = 6 y ( −4 ) = −266; y ( 6 ) = 234; y ( 7 ) = 218; y ( −7 ) = −104 1.0 max y = y ( −4 ) = 266 0.5 [ −7;7] 2 1 4 1.0 y= x − 2x2 + 3 (2điểm 4 ) A ( −2; −1) ; B ( 0;3) ; C ( 2; −1) Các điểm cực trị: 1 1 1.0 S = BH . AC = 4.4 = 8 ( dvdt ) 2 2 NX: các điểm cực trị tạo thành tam giác cân tại C. Suy ra diện tích được tính: Câu 3 6 điểm 1 x cos t + y sin t + sin t − 2cos t − 3 = 0 � ( y + 1) sin t + ( x − 2 ) cos t = 3 0.5 (2điểm (*) ) �( y( + y 1+)1) + + 2 2 ( x( −x −2 )2 ) =B
uuur uuuur 2 MB ⊥ MA ' (4điểm a. Chứng minh . ) 0.75 uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur � uuur uuur 1 uuuur � ( ) ( BM = BA + AM = − AB + AC + CM = � � ) − AB + AC + AA ' � 2 � uuuuur uuuur uuuuur �uuur 1 uuuur � ( ) A ' M = A ' C ' + C ' M = �AC − AA ' � � 2 � uuuur uuuuur � uuur uuur 1 uuuur � �uuur 1 uuuur � BM . A ' M = �− AB + AC + AA ' � �AC − AA ' � � 2 � � 2 � 0.75 � uuur uuur 1 uuur uuuur 1 uuur uuuur 1 uuuur uuur 1 � =� − AB. AC + AB.AA ' + AC 2 − AC.AA ' + AA '. AC − AA'2 � � 2 2 2 4 � ( 1 ) 2 = a 2 + 4 a 2 − 2 5a = 0 4 uuur uuuur MB ⊥ MA ' Suy ra 0.5 b.Tính khoảnh cách từ A đến mp(A’BM) 0.5 0.5 0.5 0.5
1 1 VA. A ' BM = d ( A, ( A ' BM ) ) .S A ' BM = d ( B, ( AA ' M ) ) .S AA ' M 3 3 1 S A ' BM = MB.MA ' 2 1 MB 2 = BC 2 + CM 2 = AB 2 + AC 2 − 2. AC. AB.cos1200 + AA '2 = 12a 2 4 MA ' = A ' C ' + C ' M = 9a 2 2 2 2 1 � S A ' BM = 3a.a 12 = 3a 2 3 2 1 a 3 SAA ' M = 2a.2 5a = 2a 2 5; d ( B, ( AA ' M ) ) = BH = AB.sin 600 = 2 2 a 3 5 d ( A, ( A ' BM ) ) .3a 2 3 = 2a 2 5. � d ( A, ( A ' BM ) ) = a 2 3 Câu 5 y = x 3 − 2009 x 0.5 2 điểm Mk : y − M yk k=( xyk ';( yxkk )) ( x − xk ) Gọi suy ra tiếp tuyến tại � y = ( 3 xk2 − 2009 ) ( x − xk ) + xk3 − 2009 xk x 3 − 2009 x = ( 3xk2 − 2009 M) k( +x1 − xk ) + xk3 − 2009 xk 0.5 � ( x − xk ) ( x 2 + x.xk − 2 xk2 ) = 0 � x = xk �x = −2 xk � xk +1 = −2 xk Tọa độ điểm được xác định: x1 = 1; x2 = −2; x3 = 4;...; xn = ( −2 ) 0.5 n −1 Ta có : 2009 xn + yn + 22010 = 0 � 2009 xn + xn3 − 2009 xn + 22010 = 0 0.5 � ( −2 ) = −22013 = ( −2 ) 3 n −3 2013 � 3n − 3 = 2013 � n = 672 Câu 4 f ( x ) = x n + an−x1ix,ni−= 1 +1,2,..., an−2 xnn− 2 + L + a1 x + 1 0.5 2 điểm có các hệ số không âm và n nghiệm thực . Suy n nghiệm đó âm giả sử là các nghiệm: n 0.5 f ( x ) = Π ( x − xi ) i =1 Theo cách phân tích đa thức ta được
Đặt với n n 0.5 0α − xi = α i � α i >Π �i =f 1( x ) = Π ( x + α i ) i =1 i =1 n n n 0.5 f ( 2 ) = Π ( 2 + αi ) = Π ( 1 + 1 + αi ) 3n 3 Π α i = 3n i =1 i =1 i =1 Ta có .Suy ra đpcm