Đề thi cuối kì - Khóa 2010 - Môn học: Cơ học lượng tử

ĐỀ THI CUỐI KÌ – KHÓA 2010

Môn học: CƠ HỌC LƯỢNG TỬ – Năm học: 2011 – 2012

Thời gian làm bài: 90 phút

(Sinh viên chỉ làm hoặc đề 1 hoặc đề 2)

ĐỀ 1:

Câu 1: a) Tìm số electron cực đại trong một nguyên tử có cùng những số lượng tử sau:

(a1) n, l, m.

(a2) n, l.

( )

(a3) n; biết rằng: ∑ ( )

b) Tìm trị riêng của tích vô hướng ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ của hai electron khi spin của chúng:

(a1) song song.

(a2) đối song.

Câu 2: Một hạt có các toán tử hình chiếu spin như sau:

̂ ̂ ̂

Trong đó:

( )

√

)

Với: (

) (

Chứng tỏ rằng: [ ̂ ̂ ] ̂ Hạt trên có spin bằng bao nhiêu?

Câu 3:

Toán tử Hamilton của nguyên tử Hydro có dạng: ̂

trong đó:

(

)

Chọn hàm thử ( ) ( ) Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng có dạng:

∫ ( ) ( ) (∫ ( )

( ) )

Xác định hằng số chuẩn hóa A. Cho: ( ) ∫ ( ) ̂ ( )

Xác định để ( ) đạt giá trị cực tiểu. Từ đó, hãy tính năng lượng và hàm sóng ở trạng thái cơ

bản ( ) của nguyên tử hydro. Biết rằng ( )

- - - HẾT - - -

More Documents: http://physics.forumvi.com

ĐỀ 2:

Câu 1: Thí sinh được quyền chọn câu 1a hoặc 1b:

1a: Hệ gồm các hạt đồng nhất.

1b: Giải phương trình Schrodinger bằng lý thuyết nhiễu loạn: trường hợp nhiễu loạn

dừng cho các mức năng lượng không suy biến.

̂

̂ là các toán tử hình chiếu moment động lượng, ̂ là toán tử bình ̂ Hãy chứng minh các hệ ̂

̂

̂ Câu 2: Kí hiệu phương moment động lượng và hai toán tử thức giao hoán sau đây:

̂ [

̂]

̂ [

̂ ̂ ] [

̂

̂ ̂]

Câu 3:

a) Dùng các ma trận Pauli hãy chứng minh hệ thức giao hoán sau cho các toán tử

) là

hình chiếu spin của điện tử: [ ̂ ̂ ] ̂ Hãy xác nhận rằng hàm spin ma trận trận cột (

hàm riêng của toán tử ̂ và hãy cho biết trị riêng tương ứng.

b) Điện tử trong một nguyên tử có các mức năng lượng (từ thấp đến cao) như sau: 3S, 3P, 3D, 4S, 4P, 4D, 4F, 5G. Hỏi khi điện tử chuyển dời giữa các mức năng lượng này thì nguyên tử cho bao nhiêu vạch quang phổ trong hai trường hợp: không tính đến spin của điện tử; tính đến spin của điện tử.

- - - HẾT - - -

More Documents: http://physics.forumvi.com

ĐỀ 2

Câu 1: 1a) ** Nguyên lý về sự không phân biệt được giữa các hạt đồng nhất:

Trong cơ học lượng tử, các hạt đồng nhất là các hạt vi mô ( ). Trạng thái của hệ gồm các hạt đồng nhất trước và sau khi hoán vị 2 hạt bất kỳ hoàn toàn tương đương về phương diện vật lý.

Hoán vị 2 hạt : ( ) (a là chỉ số trạng thái của hạt tương ứng) Hệ gồm N hạt đồng nhất: ( )|

( ) Xác suất: | Trước khi hoán vị: ( ) Sau khi hoán vị:

( )|

| ( )| | ( )| |

( ). ( ) ( ) là hàm đối xứng. ( ) ( ). Hoán vị 2 hạt:

( )

( ) ( ) B = A. Ta có: | ** Hàm sóng đối xứng và phản đối xứng đối với phép hoán vị hai hạt:  Trường hợp hệ gồm 2 hạt đồng nhất (spin nguyên S = 0, 1, 2,…): Bỏ qua tương tác giữa 2 hạt: Theo nguyên lý chồng chất trạng thái: S nguyên ( ) ( ) ( ) ( )

√

( ) ( ) ( ) ( )] . Từ điều kiện chuẩn hóa A = ( ) là hàm đối xứng ( ) ( ) ( ) ( ) [

√

( ) [ ( ) ( ) ( )

, ,…):

( ). ( )]  Trường hợp hệ gồm 2 hạt đồng nhất (spin bán nguyên S = ( ). Hoán vị 2 hạt: ( ) ( ) là hàm phản xứng. ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Bỏ qua tương tác giữa 2 hạt: Theo nguyên lý chồng chất trạng thái: S bán nguyên ( ) ( ) ( )

( )] . Từ điều kiện chuẩn hóa A = ( ) là hàm phản xứng ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) B = –A. √

√

( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )

√

| ( ) Hoặc biểu diễn dưới dạng định thức Slater: ( ) ( ) | ( ) ( ) ** Nguyên lý loại trừ Pauli: Xét hệ gồm N hạt đồng nhất với spin bán nguyên có hàm sóng phản xứng biễu

√

( ) ( ) ( ) diễn dưới dạng định thức Slater như sau: | ( ) | ( )

Khi a1 = a2 2 trạng thái lượng tử khác nhau. Nguyên lý loại trừ Pauli: Ở mỗi trạng thái lượng tử không có quá 1 hạt.

( )( ) ,

1b) Giải phương trình Schrodinger: ̂ ( ) ( ) ( ) ; ̂ ̂ ̂ (| ̂| | ̂ |) (1)

( )( )

( )

( )( ) ∫

( ) ( )

Ta đã có lời giải: ̂

( ) ( ̂ ̂) ( ) ( ) ̂ ( ) ( ) ̂ ( ) ( ̂ ) ( ) ̂ ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ̂

( )( ) ( )( ) ∑ (

( ))

( )( ) ∑ ̂

( )( )

( ) ( ) ta được: ∑ (

( ) ( )

( ) ∑ ( )( )) ∑ ̂ ∑ (

( ))

Nhân 2 vế cho

( )

( )( ) ∑ ( )) ∑ ( ( )

( ) ( ) ̂ ( )) ∑ ( ) ( )

Lấy tích phân 2 vế ta được: ∑ (

( ) ( )

Ta có:

( )

( ) ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ) ( ( ) Đặt ( )

( ) ( ) ( ) ( ). Thế (5), (6) vào (4) ta được: ( )) ∑ ( ( ) ( )( ) ∑

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ∑

( )

(

** Xác định

More Documents: http://physics.forumvi.com

( ) [

( )

( ) ( ) ( )

( ) ) (

( )

( )) ∑ (

( )

( ) ) ( ) ( ) )

( ) ) (

( )

( ) ( )) ∑ (

( )

(

( )

k = n: (

( )

( ) ( ) ∑ ( )

( )

( ) ∑

(9) ( ) ( ) ( ) ∑

( ) Xét phương trình (8) với ( )

( )

( ) ( )

( )

 Bậc 1:  Bậc 2: ** Xác định

( ) (

( )

( )) ∑

( )

( ) ∑

(10)  Bậc 1:

( )

| | ( )

( ) ∑ ( )

̂ ̂ ( )

( )

{ ( ) Thế (10) vào (9) ta được:

( ) ∑

| | ( )

Câu 2: Ta có: ̂ ̂ ̂ ; ̂ ̂ ̂ ; ̂ ̂ ̂ ; ̂ ̂ ̂ ̂

* }

+ + ̂ ̂ ̂( ̂ ̂) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( ̂ ̂) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( [ ̂ ̂] ) + * ̂ ̂ + * ̂ ̂ * [ ̂ ̂ ] * ̂ ̂ ( ̂ ̂) ( ̂ ̂) [ ̂ ̂] ( ̂ ̂ ) ̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂) [ ̂] ̂ [ ̂ ̂] ̂ ̂ ( ̂ ̂) ̂ ▪ * ̂ ̂

▪ * ̂ ̂ + ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂) ̂ ̂( ̂ ̂ ̂ ̂)

[ ̂ ̂] ̂ ̂[ ̂ ̂] ̂ ̂ ̂ ̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂)

▪ * ̂ ̂ + ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂) ̂ ̂( ̂ ̂ ̂ ̂)

[ ̂ ̂] ̂ ̂[ ̂ ̂] ̂ ̂ ̂ ̂ ( ̂ ̂ ̂ ̂)

[ ̂ ̂ ] ( ̂ ̂ ̂ ̂) ( ̂ ̂ ̂ ̂)

* [ ̂ ̂] [ ̂ ̂] [ ̂ ̂] ̂ [ ̂ ̂] ̂ ( ̂) ̂ ̂ ( ̂ ̂) ̂

) ) ) ̂ ̂ Câu 3: a) * ) ) ) } ) ̂ ̂ ( ) ̂ ( ( ( ( ( ( ( ̂ ̂) ( ̂ ̂) [ ̂ ̂] (