PHÒNG GD & ĐT BA ĐÌNH
TRƯỜNG THCS GIẢNG VÕ
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 2
NĂM HỌC 2021-2022
Môn: TOÁN 9
Ngày kiểm tra: 11/3/2022
Thời gian làm bài: 90 phút
Bài I (2,0 điểm). Cho hai biểu thức:
2
23
x
A
x
−
=+
và
3 2 7 6
4
22
xx
Bx
xx
+−
= − − −
+−
với
0; 4.xx
1) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
16.x=
2) Cho biểu thức
Chứng minh:
23
.
2
x
P
x
+
=+
3) Tìm tất cả giá trị của
x
để biểu thức
P
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài II (2,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là
240 .m
Người ta dự định mở rộng khu vườn
bằng cách tăng chiều dài thêm
9,m
tăng chiều rộng thêm
7,m
sao cho khu vườn vẫn là hình
chữ nhật, do vậy diện tích khu vườn sẽ tăng thêm
2
963 .m
Tính chiều dài và chiều rộng của
khu vườn ban đầu.
Bài III (2,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình :
22
6
12
.
51
3
12
xy
xy
+=
+−
−=
+−
2) Cho phương trình:
( )
22
2 1 3 0 (1)x m x m m− − + − =
(
x
là ẩn số).
a) Giải phương trình
( )
1
khi
5.m=
b) Tìm tất cả giá trị của
m
để phương trình
( )
1
có hai nghiệm.
Bài IV (3,0 điểm). Cho đường tròn
( )
O
và điểm
K
nằm bên ngoài đường tròn
( )
.O
Kẻ hai
tiếp tuyến
,KA KB
với đường tròn
( )
,O
A
và
B
là các tiếp điểm. Từ điểm
K
vẽ đường
thẳng
d
cắt đường tròn
( )
O
tại hai điểm
, ( ,C D KC KD
d
không đi qua tâm
).O
1) Chứng minh tứ giác
KAOB
là tứ giác nội tiếp.
2) Gọi giao điểm của đoạn thẳng
AB
với đoạn thẳng
OK
là
.M
Chứng minh
2. . .KA KC KD KM KO==
3) Chứng minh đường thẳng
AB
chứa tia phân giác của
.CMD
Bài V (0,5 điểm)
Cho
,ab
là các số dương thỏa mãn
3.ab+=
Chứng minh rằng:
+ + +
22
1 1 169 .
18
ab
ba
…….……………Hết………………….
2
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài
Ý
Đáp án
Điểm
Bài I
2,0 điểm
1)
Tính giá trị của biểu thức
A
khi
16.x=
0,5
Thay
16x=
(tmđk) vào biểu thức
A
0,25
Tính được
16 2 2
11
2 16 3
A−
==
+
0,25
2)
Cho biểu thức
.
B
PA
=
Chứng minh:
23
.
2
x
P
x
+
=+
1,0
3 2 7 6
4
22
xx
Bx
xx
+−
= − − −
+−
()()
3 2 7 6
22 22
xx
xx xx
+−
= + −
+− +−
()()
()()()
()()()()
3 2 2 2 76
2 2 2 2 2 2
x x x x
x x x x x x
+ − + −
= + −
+ − + − + −
0,25
()()()()
2 3 6 2 4 7 6 4 4
2 2 2 2
x x x x x x x
x x x x
− + − + + − + − +
==
+ − + −
0,25
()
()()
2
22
2
22
xx
x
xx
−−
==
+
+−
0,25
2 2 3
.
22
B x x
PAxx
−+
= = +−
23
2
x
P
x
+
= +
0,25
3)
Tìm tất cả giá trị của
x
để biểu thức
P
đạt giá trị nhỏ nhất.
0,5
2 3 2 4 1 1
2
2 2 2
xx
P
x x x
+ + −
= = = −
+ + +
Với
0x
thì
11
0 2 2 2
2
xx
x
+
+
1 3 3
2.
22
2
P
x
−
+
0,25
Dấu “=” xảy ra khi
0x=
(TMĐK)
3
min 2
P=
khi
0x=
.
Vậy khi
0x=
thì
P
đạt giá trị nhỏ nhất.
0,25
Bài II
2,0 điểm
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là
240 .m
Người ta dự định mở
rộng khu vườn bằng cách tăng chiều dài thêm
9,m
tăng chiều rộng thêm
7,m
do vậy diện tích khu vườn sẽ tăng thêm
2
963 .m
Tính chiều dài và
chiều rộng của khu vườn ban đầu.
2,0
3
+) Gọi chiều dài của mảnh vườn là
( )( )
0;x m x
chiều rộng của
mảnh vườn là
( )
( )
0, .y m y x y
0,25
+) Vì chu vi mảnh vườn là
240m
nên ta có phương trình
( )
2 240 120.x y x y+ = = + =
0,25
+) Chiều dài sau khi mở rộng là
( )
9;xm+
chiều rộng sau khi mở rộng
là
( )
7.ym+
0,25
+) Diện tích mảnh vườn ban đầu là
( )
2;xy m
diện tích mảnh vườn sau
khi mở rộng là
( )( )
( )
2
9 7 .x y m++
0,25
+) Vì diện tích khu vườn sẽ tăng thêm
2
963 ,m
nên ta có phương trình:
( )( )
9 7 963 7 9 900.x y xy x y+ + − = = + =
0,25
+) Ta có hệ phương trình:
120 7 7 840 120
7 9 900 7 9 900 2 60
x y x y x y
x y x y y
+ = + = + =
= =
+ = + = =
0,25
120 90
30 30
x y x
yy

+ = =

= =

==


(TMĐK)
0,25
Vậy chiều dài, chiều rộng của khu vườn ban đầu lần lượt là
90 ;30 .mm
0,25
Bài III
2,5 điểm
1)
Giải hệ phương trình :
( )
22
6
12
51
3
12
xy I
xy
+=
+−
−=
+−
1,0
Điều kiện
1; 2.xy −
0,25
( )
11
3
12
51
3
12
xy
I
xy
+=
+−
−=
+−
+=
+−
=
+
11
3
12
66
1
xy
x
0,25
+=
−
=
+
1
13
2
11
1
y
x
=
−
=
+
12
2
11
1
y
x
−=
+=
1
22
11
y
x
0,25
5
2
0
y
x
=
=
(TMĐK).
Vậy hệ phương trình có nghiệm
( )
5
; 0; .
2
xy 
=

0,25
2)
Cho phương trình:
( )
22
2 1 3 0 (1)x m x m m− − + − =
(
x
là ẩn số).
1,5
4
D
C
O
B
A
K
M
D
C
O
B
A
K
a) Giải phương trình
( )
1
khi
5.m=
b) Tìm tất cả giá trị của
m
để phương trình
( )
1
có hai nghiệm.
a) Thay
5m=
vào phương trình
( )
1
ta nhận được:
( )
2 2 2
2 5 1 5 3.5 0 8 10 0.x x x x− − + − = = − + =
0,25
+) Tính được
' 6 ' 0. = =
0,25
Phương trình
( )
1
có hai nghiệm phân biệt
=+
146x
;
24 6.x=−
0,25
Vậy phương trình có tập nghiệm là
4 6;4 6 .S= + −
0,25
b)
( )
22
' 1 3 1.m m m m = − − + = +
0,25
Phương trình
( )
1
có hai nghiệm
' 0 1 0 1.mm + −
Kết luận phương trình có hai nghiệm khi
1.m−
0,25
Bài IV
3,0 điểm
1)
Chứng minh tứ giác
KAOB
là tứ giác nội tiếp.
1,25
+) Vẽ hình đúng đến câu 1.
0,25
0,25
+) Lập luận được
90 .KAO KBO= =
0,25
+) Tứ giác
KAOB
có:
180 ,KAO KBO+ =
mà hai
góc ở vị trí đối nhau => tứ giác
KAOB
là tứ giác nội tiếp.
0,25
0,25
2)
Chứng minh
2. . .KA KC KD KM KO==
1,25
+) Lập luận được
AB OK⊥
tại
.M
0,25
+) Lập luận được
2..KA KM KO=
0,25
+) Xét
( )
O
có:
KAC ADK=
(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây
cung và góc nội tiếp cùng chắn
.AC
0,25
+) Chỉ ra được
KAC
đồng
dạng với
.KDA
2..KA KC KD= =
0,25
2. . .KA KC KD KM KO= = =
0,25
3)
Chứng minh đường thẳng
AB
chứa tia phân giác của
.CMD
0,5
+) Từ
..KC KD KM KO=
lập
luận được tứ giác
CMOD
là tứ
0,25
5
K
A
B
O
C
D
M
giác nội tiếp
;.DMO OCD CMK ODC= = =
+)
OCD
cân tại
O
,OCD ODC= =
nên suy được
DMO CMK CMA DMA= = =
=> đường thẳng
AB
chứa tia phân
giác của
.CMD
0,25
Bài V
0,5 điểm
Cho
,ab
là các số dương thỏa mãn
3.ab+=
Chứng minh rằng:
+ + +
22
1 1 169 .
18
ab
ba
0,5
+) Chứng minh:
( )
( )
+ + 2
22 1
2
a b a b
;
++
1 1 4
a b a b
+) Ta có:
+ + + + + + + +
+
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 4
. . (1)
22
a b a b a b
b a a b a b
0,25
Thay
3.ab+=
+ + + + =
2 2 2
1 1 1 4 169
.3
2 3 18
ab
ba
+) Dấu
""=
xảy ra khi và chỉ khi
==
3.
2
ab
0,25
C2
+) Chứng minh:
++
1 1 4
a b a b
+) Ta có:
+ + + + + +
22
1 169 13 1 1 169 13 1
2. (1)
36 6 36 3
a a a a
b b b b
+) Tương tự, có:
+ + +
2
1 169 13 1 (2)
36 3
bb
aa
0,25