SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI
( Đề gồm 01 trang)
Câu I (5 điểm): Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
có đồ thị (H)
a) Chứng minh rằng đường thẳng
y x m
luôn cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm
m để khoảng cách AB ngắn nhất.
b) Tìm t để phương trình
sin 2
u
t
u
( ẩn là u) có nghiệm trên
0;
.
Câu II (4 điểm):
a) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
2 2 (2 )(2 )
y x x x x
b) Cho tam giác ABC có các góc A,B,C thỏa mãn 5
cos 2 3 cos 2 3 cos 2 0
2
ABC
. Xác
định các góc A,B,C.
Câu III (3 điểm): Cho hệ phương trình
2 2
1 ( 1) 1
1
x y k x y
xy x y
( k là tham số)
a) Giải hệ phương trình khi k=0
b) Tìm k để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu IV (2 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của các cạnh SA, SD. Mặt phẳng
( )
chứa MN cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại Q, P. Đặt
SQ
x
SB
, tìm x để .
.
3
8
S MNPQ
S ABCD
V
V
.
Câu V (4 điểm): Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác
vuông tại A, AB=a,
3
AC a
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung
điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
AA’ và B’C’.
Câu VI (2 điểm):
Cho dãy số
( )
n
u
xác định như sau:
1
2
1
1
, 1
2010
n
n n
u
u
u u n
. Tính 1 2
2 3 1
lim ... n
nn
u
u u
u u u

.
Hết
Họ và tên thí sinh:.................................................................Số báo danh:..................................
Họ tên, chữ kí của giám thị 1:......................................................................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán
( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
Câu
N
ội dung
Đi
ểm
I
(5 điểm) Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
có đồ thị (H)
a) Chứng minh rằng đường thẳng
y x m
luôn cắt đồ thị (H) tại hai điểm
phân biệt A, B. Tìm m để khoảng cách AB ngắn nhất.
3
* Hoành độ giao điểm của (H) và đường
y x m
nghiệm phương trình
2 1
2
x
x m
x
(1)
Ta có (1)
2
(4 ) 1 2 0
2
x m x m
x
.
1
Vì
2
2
12 0
( 2) (4 )( 2) 1 2 3 0
xm
m m
nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt do đó
đường thẳng
y x m
luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt A,B.
0,5
* Vì A, B là giao điểm của (H) và đường
y x m
nên hoành độ của A và B
nghiệm phương trình 2
(4 ) 1 2 0
x m x m
. Theo Viet ta có
4
. 1 2
A B
A B
x x m
x x m
(2)
0,5
Khoảng cách
2 2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y
2 2 2
( ) (( ) ( ))
B A B A
AB x x x m x m
0,5
(2)
2 2
2( ) 2( 12) 24 2 6
B A
x x m AB .
Do vậy AB ngắn nhất bằng
2 6
khi m=0
0,5
b) Tìm t để phương trình
2sin 1
sin 2
u
t
u
(*) ( ẩn là u) có nghiệm trên
0;
2
Đặt sin
u x
, vì
0;
u
nên
0;1
x
Bài toán đưa về tìm t để phương trình
2 1
2
x
t
x
có nghiệm
0;1
x 0,5
Xét hàm số
2 1
2
x
y
x
trên
0;1
Hàm số y xác định và liên tục với
0;1
x
2
3
' 0, 0;1
( 2)
y x
x
. Suy ra
0;1
1
min (0)
2
xy y
,
0;1
max (1) 1
xy y
1
Do đó phương trình (*) có nghiệm 1
1
2
t
. 0,5
II
a) Tìm giá tr
ị lớn nhất
, giá tr
ị nhỏ nhất của h
àm s
ố
2
(4 điểm)
2 2 (2 )(2 )
y x x x x
* Tập xác định:
2; 2
* Đặt 2 2
t x x
, suy ra
2 2
4
2
2 2
t t
y t t
0,5
Xét hàm số ( ) 2 2
t x x x
trên
2; 2
.
1 1 2 2
'( ) 2 2 2 2 2 2 . 2
x x
t x
x x x x
,
'( ) 0 2 2 0 0
t x x x x
Bảng biến thiên:
x -2 0 2
t’ + 0 -
t
2 2
2 2
Suy ra
2 2 2
t
0,5
Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2
2
t
y t
trên
đoạn
2;2 2
Ta có
' 1
y t
,
' 0 1 2;2 2
y t
,
' 0, 2; 2 2
y x
Bảng biến thiên:
t 2
2 2
y’ -
y
2
2 2 2
Vậy:
Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 khi
2
x
( t=2)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng
2 2 2
khi
0
x
(
2 2
t)
1
b) Cho tam giác ABC có các góc A,B,C thỏa mãn
5
cos 2 3 cos 2 3 cos 2 0
2
A B C
. Xác định các góc A,B,C. 2
Ta có:
5
cos 2 3 cos 2 3 cos 2 0
2
A B C
5
cos 2 3(cos 2 cos 2 ) 0
2
A B C
25
2 cos 1 2 3.cos( ).cos( ) 0
2
A B C B C
23
os 3 osA.cos(B-C)+ 0
4
c A c
1
2
2
3 3
osA- os(B-C) 1 os (B-C) 0
2 4
c c c
2
2
3 3
osA- os(B-C) sin (B-C) 0
2 4
c c
sin( ) 0
3
cos cos( - )
2
B C
A B C
. Vì A, B, C là các góc của tam giác nên ta có
3
osA=
2
B C
c
30
o
B C
A
75
30
o
o
B C
A
. Vậy:
75
30
o
o
B C
A
1
III
(3 điểm) Cho hệ phương trình
2 2
1 ( 1) 1
1
x y k x y
xy x y
( k là tham số)
a)
Gi
ải hệ ph
ương tr
ình khi k=0
2
Điều kiện:
2 2
1 0
0
x y
x y
Với k=0 ta có hệ 2 2 2
2 2
2 ( ) 2 2
1 1
1 1
1
x y x y xy
x y
xy x y xy x y
xy x y
0,5
Đặt
x y S
xy P
, ta được hệ
2 2
0
1
2 2 2 0
1 1
2
1
S
P
S P S S
P S P S S
P
0,5
+ Với
0
1
S
P
suy ra
1
1
x
y
hoặc
1
1
x
y
( thỏa mãn điều kiện)
+ Với
2
1
S
P
suy ra x=y=1 ( thỏa mãn điều kiện)
Vậy: với k=0, hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm (1;-1), (-1;1), (1;1).
1
b)
Tìm k
đ
ể
h
ệ ph
ương tr
ình có nghi
ệm duy nhất.
1
Nhận thấy: nếu
0 0
( ; )
x y
là nghiệm của hệ phương trình thì
0 0
( ; )
y x
cũng là nghiệm
của hệ. Do đó, để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là
0 0
x y
. 0,5
Thay x, y ở hệ phương trình bởi
0
x
ta được:
2
0 0
2
0 0
2 1 ( 2 1) 1
1 2
x k x
x x
, suy ra
0
0
1
k
x
Với k=0, theo ý a hệ phương trình có 3 nghiệm.
Do vậy không có giá trị k nào để hệ có nghiệm duy nhất.
0,5
IV
(2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của SA, SD. Mặt phẳng
( )
chứa MN cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại
Q, P. Đặt SQ
x
SB
, tìm x để .
.
3
8
S MNPQ
S ABCD
V
V
.
2
Đặt .S ABCD
V V
. Ta có . .
2
S ABD S BCD
V
V V
. Vì MN//BC nên
PQ//BC SP SQ
x
SC SB
+.
.
. .
4
S MNQ
S ABD
V
SM SN SQ x
V SA SD SB
. .
4 8
2
S MNQ S MNQ
V V
x x
VV
+ .
2
.
1
. .
2
S NPQ
S BCD
VSN SQ SP
x
V SD SB SC
2
.
4
S NPQ
V
x
V
1
Ta có:
2
. . . 2
.
3 3 3
2 3 0
8 8 8 4 8
S MNPQ S MNQ S NPQ
S ABCD
V V V x x x x
V V
x=1
( 3
0
2
x
loại)
Vậy x=1
1
V
(4 điểm)
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam
giác vuông tại A, AB=a,
3
AC a
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên
mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC và
tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’.
4
*) Gọi I là trung điểm của BC, từ giả
thiết suy ra A’I là đường cao của lăng trụ.
Ta có 2 2
13
2
AI BC a a a
,
2 2 2 2
' ' 4 3
A I AA AI a a a
.
1
Thể tích khối chóp A’.ABC
1 1 1
. ' . . . '
3 3 2
ABC
V S A I AB AC A I
3
1. 3. 3
6 2
a
a a a
(đvtt) 1
*) Góc giữa AA’ và B’C’ bằng góc giữa BB’ và BC 0,5
Tam giác IA’B’ vuông tại A’ nên 2 2 2 2
' ' ' ' 3 2
IB IA A B a a a
. Suy ra tam
giác BB’I cân tại B’ nên góc
'
B BI
nhọn, do đó góc
'
B BI
là góc giữa BB’ và BC.
1
Ta c ó:
1
1
2
'
' 2.2 4
BI a
cosB BI
BB a
.
Vậy: cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ bằng
1
4
0,5
VI
(2 điểm) Cho dãy số
( )
n
u
xác định như sau:
1
2
1
1
, 1
2010
n
n n
u
u
u u n
.
2a
a 3
a
C'
B'
I
A
B
C
A'
P
N
M
B
D
A
C
S
Q