Nhằm giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị bước vào kì thi có thêm tài liệu ôn tập, TaiLieu.VN giới thiệu đến các bạn Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 11 năm 2023-2024 có đáp án - Trường THPT Bình Chiểu, HCM để ôn tập nắm vững kiến thức cũng như giúp các em được làm quen trước với các dạng câu hỏi đề thi giúp các em tự tin hơn khi bước vào kì thi chính thức.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 11 năm 2023-2024 có đáp án - Trường THPT Bình Chiểu, HCM
- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC: 2023 - 2024
TRƯỜNG THPT BÌNH CHIỂU MÔN: TOÁN 11
(Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 19/01/2024 - Thời gian: 120 phút
Câu 1 (5 điểm): Giải các phương trình lượng giác sau:
a. sin 3 x + cos 2 x + sin x + 1 = 0
b. 4sin 2 x + tan x + 2 (1 + tan x ) sin 3x = 1
Câu 2 (2 điểm): Tỉ lệ tăng dân số mỗi năm của một tỉnh X từ năm 2010 đến năm 2019 là 0, 4% . Vì
thực hiện các chính sách về dân số nên tỉnh X dự kiến từ năm 2020 đến năm 2030 tỉ lệ tăng dân số
mỗi năm chỉ còn lại 0,35% . Theo thống kê số dân tỉnh X năm 2021 nhiều hơn năm 2017 là 30400
người. Hỏi số dân tỉnh X năm 2030 khoảng bao nhiêu?
Câu 3 (6 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, AD // BC và AD = 3BC. Gọi M, K
lần lượt là trung điểm của SC, BC.
a) Gọi E, O lần lượt là trung điểm của SB, AC và G, N lần lượt là trọng tâm của SAB , ABC . Chứng
minh rằng: đường thẳng NG song song với mặt phẳng (SBC).
SL
b) Gọi I = AK CD , L = SD ( AMN ) . Tính tỉ số .
SD
Câu 4 (5 điểm) Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian
T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này sẽ bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với
sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã)
(Nguồn: Đại số và giải tích 11, NXB GD Việt Nam, 2021)
Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.
a. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số ( un )
b. Chứng minh rằng ( un ) có giới hạn bằng 0.
c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng phóng xạ đã cho ban đầu
không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu
khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10−6 g .
Câu 5 (2 điểm) Cho hai số tự nhiên n; k thỏa mãn: k + 3 n
Chứng minh tồn tại không quá hai giá trị của k sao cho Cn ; Cn +1 ; Cn + 2 là ba số hạng liên tiếp của một
k k k
cấp số cộng.
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ........................................ Số báo danh:................................................
- ĐÁP ÁN TOAN 11
Câu 1: Giải các phương trình lượng giác sau: 5 điểm
a) sin 3 x + cos 2 x + sin x + 1 = 0
2sin 2 x cos x + 2 cos2 x = 0 0.5x2
2 cos2 x ( 2sin x + 1) = 0
0.5
x = 2 + k 1.5
x = − + k 2 (k )
6
x = 7 + k 2
6
b) 4sin 2 x + tan x + 2 (1 + tan x ) sin3x = 1
0.5
ĐKXĐ: x + k ( k )
2
Phương trình đã cho tương đương với:
( )
4sin 2 x − 2 + ( tan x + 1) + 2 (1 + tan x ) sin 3 x = 0
2 ( sin 2 x − cos 2 x ) + ( tan x + 1) + 2 (1 + tan x ) sin 3 x = 0
sin x + cos x sin x + cos x
2 ( sin x − cos x )( sin x + cos x ) + + 2 sin 3 x = 0
cosx cosx
1 sin 3x
( sin x + cosx ) 2sin x − 2cos x+ + 2 =0
0.5
cosx cosx
sin x + cos x = 0(3)
2sin x − 2os x+ 1 + 2 sin 3 x = 0(4)
cosx cosx
Giải (3) : sin x + cos x = 0 sin x + = 0 x = − + k ; k 0.5
4 4
Giải (4):
sin 2 x − 2cos 2 x + 1 + 2 sin 3 x = 0
k 2
x = 20 + 5
cos 2x - sin 2x = 2 sin 3 x sin − 2 x = sin 3 x ;k 0.25
4 x = 3 + k 2
4
Đối chiếu điều kiện phương trình có họ nghiệm sau:
k 2 3 0.25
x = − + k ; x = + ;x = + k 2 ; k
4 20 5 4
Câu 2: 2 điểm
Gọi số dân tỉnh X năm 2010 là n (người).
- Ta có số dân tỉnh X từ năm 2010 đến năm 2019 là một cấp số nhân với số
hạng đầu u1 = n và công bội q = 1,004 . 0.5
Số dân tỉnh X năm 2017 là u8 = u1.q 7 = n.1, 0047 .
Số dân tỉnh X năm 2019 là u10 = u1.q 9 = n.1, 0049 .
Số dân tỉnh X từ năm 2020 đến năm 2030 là một cấp số nhân với số hạng đầu
v1 = u10 .1,0035 và công bội q = 1,0035 . 0.5
Số dân tỉnh X năm 2021 là v2 = v1.q = u10 .1, 00352 = n.1, 0049.1, 00352 . 0.5
Theo thống kê số dân tỉnh X năm 2021 nhiều hơn năm 2017 là 30400 người
nên n.1,0049.1,00352 − n.1,0047 = n (1,0049.1,00352 − 1,0047 ) = 30400
0.5
Suy ra n 1959782 .
Số dân tỉnh X năm 2030 là:
v11 = v1.q10 = u10 .1, 003511 = n.1, 0049.1, 003511 2111068 (người).
Câu 3: 6 điểm
a)
AG AN 2
= = (G, N lần lượt là trong tâm của tam giác SAB và tam giác ABC) 1
AE AK 3
Mà EK ( SBC ) , NG ( SBC ) 0.5x2
Vậy NG / / ( SBC ) .
0.5x2
b)
Trong mặt phẳng (SCD), L = IM SD . Khi đó L = SD ( AMN ) 0.5
Dựng CH / / SD (H IM) 0.5
IC CH IC DL
Trong tam giác ILD có CH // LD, suy ra = . = 1 (1)
ID DL ID CH 0.5
MS SL MS CH
Tam giác MLS đồng dạng với tam giác MHC, suy ra = . =1
MC CH MC SL 0.5
(2)
IC MS DL 1 DL DL SL 1
Từ (1) và (2), suy ra . . = 1 .1. =1 =6 = .
ID MC SL 6 SL SL SD 7 0.5
Câu 4: 5 điểm
- a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số ( un )
1 1
Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì bán rã thứ 1 là u1 = .1 = 0.5
2 2
1 1 1 0.5
Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì bán rã thứ 2 là u2 = . = 2
2 2 2
1 1 1 0.5
Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì bán rã thứ 3 là u3 = 2 . = 3
2 2 2
1
Khi đó un = 0.5
2n
b) Chứng minh rằng ( un ) có giới hạn bằng 0
1 1
lim un = lim =0
2n
c) Từ kết quả câu b, chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng phóng
xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất
phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé
hơn 10−6 g .
Chất phóng xạ sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 0.5
10−6 g = 10−9 kg
Khi đó:
1 1.5
un 10−9 n 10−9 2n 109 n 30
2
Vậy sau ít nhất 30 chu kì bằng 30.24000=720000 năm thì khối lượng phóng xạ 0.5
đã cho ban đầu không còn độc hại với con người.
Câu 5: 2 điểm
Ta có:
n! n! n!
Cn + Cn + 2 = 2Cn +1
k k k
+ = 2.
k !(n − k )! (k + 2)!(n − k − 2)! (k + 1)!(n − k − 1)!
( k + 1)( k + 2 ) + ( n − k )( n − k − 1) = 2 ( k + 2 )( n − k )
Đây là phương trình bậc 2 ẩn k nên có nhiều nhất 2 nghiệm.
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
