Đề thi chọn đội tuyển lớp 12 TP.HCM 2011-2012
Môn: TOÁN
VÒNG 1
www.vnmath.com
Câu I
Giải hệ phương trình sau:
xy+1 = (y+ 1)x
√−4x2+ 18x−20 + 2x2−9x+6
2x2−9x+8 =√y+ 1.
Câu II
Cho hai đường tròn (O1)và (O2)cắt nhau tại Avà B. Trên tia đối tia AB
lấy điểm M. Cát tuyến qua Bcắt (O1)và (O2)lần lượt tại Cvà D(Bnằm
giữa Cvà D). Đường thẳng MC cắt (O1)tại Pkhác C. Đường thẳng MD
cắt (O2)TẠI Qkhác D. Gọi Olà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD,
Elà giao điểm của P B và AC,Flà giao điểm của QB và AD. Chứng minh
MO vuông góc với EF .
Câu III
Cho a;b;c > 0. Chứng minh:
1
a(b+ 1) +1
b(c+ 1) +1
c(a+ 1) ≥3
1 + abc.
Câu IV
Cho đa thức P(x) = x2012 −mx2010 +m(m6= 0). Giả sử P(x)có 2012 nghiệm
thực. Chứng minh có ít nhất một nghiệm thỏa |x0|≤ √2.
Câu V
Cho các số nguyên x, y thỏa mãn x2−2xy+y2−5x+7yvà x2−3xy+2y2+x−y
đều chia hết cho 17. Chứng minh xy −12x+ 15ychia hết cho 17.
1
www.VNMATH.com
Đề thi chọn đội tuyển lớp 12 TP.HCM 2011-2012
Môn: TOÁN
VÒNG 2
www.vnmath.com
Câu I
Tìm tất cả các hàm f(x) : R→Rthỏa: f(f(x) + y) = f(x2−y)+4yf(x)
với mọi x, y ∈R.
Câu II
Cho a;b;c > 0. Chứng minh:
ab2
a2+ 2b2+c2+bc2
b2+ 2c2+a2+ca2
c2+ 2a2+b2≤a+b+c
4.
Câu III
Cho 4ABC nội tiếp (O). Trên AC và AB lần lượt lấy 2 điểm Pvà Q. Gọi
M, N, J lần lượt là trung điểm BP, CQ, P Q. Cho (MNJ)cắt P Q tại R.
Chứng minh OR ⊥P Q.
Câu IV
Cho dãy (un)được định bởi:
u1=4
5
un+1 =u2
n
u4
n−8u2
n+8 ∀n∈N∗.
Tìm công thức tổng quát của dãy un.
Câu V
Tìm tất cả các số nguyên dương a, b thỏa mãn (ab)2−4(a+b)là một bình
phương của 1 số nguyên.
2
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com