Sở Giáo dục − ðào tạo
Nam ðịnh
ðỀ CHÍNH THỨC
Kì thi học sinh giỏi lớp 12 THPT chuyên
Năm học 2008 − 2009
Môn: Toán − Ngày thứ nhất
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1 (4 ñiểm):
CMR trong 4 số thực dương không nhỏ hơn 1 luôn tồn tại 2 số a;b thỏa mãn
2 2
( 1)( 1) 1
3
2
a b
ab
− − + ≥
Bài 2 (5 ñiểm):
Cho x;y là các số nguyên dương thỏa mãn 2 2
6x y
xy
+ +
∈
Z
Tìm tất cả các cặp số (x;y) ñể 2 2
6
x y
xy
+ +
là lập phương của 1 số tự nhiên.
Bài 3 (2 ñiểm):
Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn ñồng thời 2 ñiều kiện sau với mọi cặp
số thực x;y:
i) f(x) ≥ e
2009x
với
lim 1
x
x
e
x
→∞
= +
ii) f(x+y) ≥ f(x).f(y)
Bài 4 (5 ñiểm):
Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích là S. ðặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.
CMR
2 2 2 2
13 6 2 4 2
a b c d S+ − + ≥
Bài 5 (4 ñiểm):
Cho dãy số {x
n
} xác ñịnh bởi:
0
1
0
( 1)
2008
n
n
n
x
x
x
−
=
= + −
với mọi n = 1;2;3;…
CMR dãy số {x
n2
} có giới hạn hữu hạn và tính
2
lim
n
x
x
→+∞ .
Hết
Sở Giáo dục − ðào tạo
Nam ðịnh
ðỀ CHÍNH THỨC
Kì thi học sinh giỏi lớp 12 THPT chuyên
Năm học 2008 − 2009
Môn: Toán − Ngày thứ hai
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1 (2 ñiểm):
Cho a;b;c các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 1.
CMR:
3
2
ab bc ca
c ab a bc b ca
+ + ≤
+ + +
Bài 2 (5 ñiểm):
Giải hệ phương trình với ẩn x;y;z dương:
2
2 2 2 3 4
4 3 2
2 1
3 3 1
4 4 6
z xyz
x y y x x y
z zy y y y z
+ =
+ = +
+ + = +
Bài 3 (4 ñiểm):
Cho các số thực a;b;c;d;e. CMR nếu phương trình ax
2
+(b+c)x+d+e = 0 có
nghiệm thực thuộc khoảng [1;+∞) thì phương trình ax
4
+bx
3
+cx
2
+dx+e = 0 có
nghiệm thực.
Bài 4 (5 ñiểm):
Tìm tất cả các hàm số
:f
+
→
ℝ ℝ
tăng và thỏa mãn ñiều kiện f(x+1) = f(x) + 2
−x
với mọi số thực dương x.
Bài 5 (4 ñiểm):
Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Trên cạnh BC lấy ñiểm D sao cho BD =
2DC. Giả sử P là ñiểm trên ñoạn AD sao cho
∠
BAC =
∠
BPD.
Chứng minh rằng
∠
BAC = 2
∠
DPC
Hết