A. Phần chung: ( 16,0 điểm)
Bài I ( 5,0 điểm)
Cho phương trình:
2
4 2( 2) 1 0
m x m x m
(1)
1. Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất.
2. Khi (1) có 2 nghiệm
1 2
,
x x
. Tìm m nguyên dương nhỏ nhất sao cho tích hai nghiệm là một số
nguyên .
Bài II (6,0 điểm)
1. Giải phương trình: 2 3
2 6 4 3 8
x x x
. (1)
2. Giải hệ phương trình sau :
2
2
1
1
1
y 1
x y
y
x
x
Bài III(2,0 điểm). Cho các số dương
, , : 3.
a b c ab bc ca
Chứng minh rằng: 222
1 1 1 1
.
1 ( ) 1 ( ) 1 ( )
a b c b c a c a b abc
Bài IV (3,0điểm)
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của G xuống cạnh
BC, AC, AB. Chứng minh rằng: 222
1 1 1
. . . 0
a GA b GB c GC
. (Với a=BC, b=AC, c=AB).
B. Phần riêng: ( 4,0 điểm)
Bài Va. (Dành cho ban khoa học tự niên).
Trong mÆt ph¼ng ví i hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho tam gi¸ c ABC cã diÖn tÝch b»ng
3
2
, A(2; - 3), B(3; - 2).
Träng t©m G của tam gi¸ c ABC thuéc ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh: 3x- y- 8 = 0. TÝnh b¸n kÝnh
®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC.
Bài Vb. (Dành cho ban khoa học cơ bản).
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 và đường thẳng AB có
phương trình x-y=0. Biết rằng điểm I(2;1) là trung điểm của đoạn thẳng BC, tìm toạ độ trung điểm K
của đoạn thẳng AC.
----------Hết---------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM 2011
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề.
Họ và tên thí sinh:…………………………..; Số báo danh:…………………………………
ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2011
MÔN:TOÁN
Bài ý Nội dung Điểm
I(5
,0
đ)
1.(2,0
đ) Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất
TH1:
4
m
:
3
(1) 4 3 0
4
x x
, (Thỏa mãn)
0,5
TH2:
4 :
m
PT (1) có nghiệm duy nhất khi ,
0 0
m
1,0
Vậy với
0, 4
m m
thì phương trình (1) có nghiệm. 0,5
2.(3,0
đ)
Tìm m nguyên dương nhỏ nhất sao cho tích hai nghiệm là một số nguyên
PT (1) có 2 nghiệm
1 2
,
x x
khi
0
m
,
4
m
1,0
Theo viet: P= 1 2
1 3
1 ,
4 4
m
x x
m m
P Z
khi 3
4
Z
m
4 1; 4 1; 4 3; 4 3
m m m m
5; 3; 7; 1
m m m m
Vậy m nguyên dương nhỏ nhất thỏa mã là: m=1
0,5
0,5
0,5
0,5
II(6,0đ
)
1.(3,0đ
) Giải phương trình
ĐK:
2
x
.
2 2
(1) 2 2 4 2 2 3 2 2 4
x x x x x x
2 2
2 2
2 3 2 0
2 4 2 4
x x
x x x x
Đặt 2
2
, 0
2 4
x
t t
x x
.
Phương trình trở thành 2
2, ( )
2 3 2 0 1
2
t loai
t t t
.
Với
1
2
t
: Phương trình đã cho có nghiệm
3 13
x .
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2.(3,0
đ)
Giải hệ phương trình:
Điều kiện:
, 0
x y
Hệ đã cho tương đương với hệ:
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2
y 1 ( - ) -
x y y y x y y y
x x x xy x y y x y x
2 2 1
( - )( 1) 0
x y y y
x y x y xy
0,5
2 2
2 2
1
, ( )
- 0
1
,( )
1 0
[
x y y y
Ia
x y
x y y y
Ib
x y x y
Giải (Ia):
2 2 3 2
1 1 0
( )
x y y y x x x
Ia
x y x y
1
1
{
x
y
Giải (Ib): Từ (1), (2) ta có:
0, y>0
x
Theo BĐT CÔSI:
1
2
1 2 1
1
2
1 2 1
x y x
y
y x y
x
1 0
x y xy
Vậy (Ib) vô nghiệm.
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
III.(2
đ)
IV.(3,
0đ)
Va.
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: 2
3
3 3 ( ) 1
ab bc ca abc abc
.
Suy ra: 2 2
2
1 1
1 ( ) ( ) ( ) 3 (1).
1 ( ) 3
a b c abc a b c a ab bc ca a a b c a
Tương tự ta có: 2 2
1 1 1 1
(2), (3).
1 ( ) 3 1 ( ) 3b c a b c a b c
Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:
222
1 1 1 1 1 1 1 1
( )
1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 3
ab bc ca
a b c b c a c a b c b c abc abc
฀
.
Dấu “=” xảy ẩ khi và chỉ khi
1, 3 1, ( , , 0).
abc ab bc ca a b c a b c
0,5
0,5
0,5
0,5
(3,0đ)
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
. . . 0 ( . . . ) 0
a GA b GB a GC a GA b GB a GC
 
4 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. . . 2 . 2 . 2 . 0
a GA b GB c Gc a b GA GB a c GA GC b c GB GC
 
(2)
Ta có: 1 1 1
, , , 2
3 3 3
a b c
a b c
h h h
GA GB GC ah bh ch S
,
0 2 2 2
1 1 1 1 1 1
0 2 2 2
1 1 1 1 1 1
0
1 1 1 1 1 1
. . . os(180 ) . . os , -2ab.cos
. . . os(180 ) . . osB, -2ac.cos
. . . os(180 ) . . osA, -2cb.cos
GA GB GA GB c C GA GB c C C c a b
GA GC GA GC c B GA GC c B b a c
GC GB GC GB c A GC GB c A
2 2 2
abc
2 2 2 2 2 2
(2)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 . 4 . 4 .
9 9 9
4 .( ) 4 .( ) 4 .( )
0
9 9 9
S a S b S c
VT
S c a b S b a c S a c b
0,5
0,5
4ý
1,0
1,0
(
4
,
0
đ)
Gäi C(a; b)
S =
1
2
CH.AB (1).
Ta cã: AB =
2
0,5
0,5
Ph¬ng tr×nh AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) =
a b 5
2
Do ®ã: (1) <=> a b 5
3 1
. . 2 a b 5 3
2 2 2
.
Chú ý: Các cách giải khác đúng thì vẫn cho điểm.
---------------------------Hết---------------------------
<=>
a b 8
a b 2
0,5
To¹ ®é G(
a 5 b 5
;
3 3
)
Ta cã: G <=> 3(a 5) b 5
8 0
3 3
<=> 3a - b = 4. 0,5
TH1:
a b 8 a 2
3a b 4 b 10
=> C(-2; -10) 0,5
Chu vi tam gi¸ c: 2p = AB + BC + CA =
2 65 89
=> r = 2S 3
2p
2 65 89
. 0,5
TH2:
a b 2 a 1
3a b 4 b 1
=> C(1; -1) 0,5
Chu vi tam gi¸ c: 2p = AB + BC + CA =
2 5 2
=> r = 3
2 5 2
. 0,5
Vb(
4,0đ)
(4,0đ)
Đường thẳng IK qua I và song song với AB có phương trình x-y-1=0.
Chiều cao kẻ từ C của tam giác ABC là: 2 1
2 2
2
h
2
2 2
S
AB
h
Ta có 2
2
AB
IK K
đường tròn tâm I bán kính
2
2
AB
IK
2 2
( ) : 2 1 2
C x y
Toạ độ K là nghiệm của hệ :
2 2
2 1 2
1 0
x y
x y
(1;0)
(3;2)
K
K
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5