Bài I. (2,0 điểm) Cho biểu thức:
2 1 1 4
A :
x 2 x x 2 x 2 x 4 x 4
= + +
− − − − +
với
x 0, x 4>
.
a) Chứng minh
x 2
Ax
−
=
b) Tính giá trị của A khi
x 49
=
.
c) So sánh A với 2.
Bài II. (2,5 điểm) Bài toán liên quan đến ứng dụng toán học vào thực tế
1. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc hệ phương trình:
Lúc 6 giờ 30 phút sáng, một cano xuôi dòng sông từ A đến B dài 48km. Khi đến
B, cano nghỉ 30 phút sau đó lại ngược dòng từ B về đến A lúc 10 giờ 36 phút cùng
ngày. Tìm vận tốc riêng của cano, biết vận tốc dòng nước là 3km/h.
2. Để nhìn thấy đỉnh A của vách đá dựng
đứng, người ta đứng tại B cách chân vách đá
khoảng 45m và nhìn lên một góc 250 so với
phương ngang. Tính chiều cao của vách đá
(làm tròn đến hàng đơn vị)?
Bài II. (2 điểm)
1. Giải hệ phương trình sau :
2
2
3 1 2 7 4
2 1 7 5
x y
x y
+ − − =
+ + − =
2. Cho đường thẳng (d):
( )
y m 2 x m 1= − + −
a) Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d1):
y x 3= +
. Vẽ đường
thẳng (d) với m vừa tìm được và tính diện tích tam giác tạo bởi (d) và hai trục tọa độ.
b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
c) Tìm m để đường thẳng (d) cắt đường thẳng
y 2x 1= −
tại điểm có hoành độ bằng
.
Bài IV. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), đường cao BF và CE của tam
giác cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng bốn điểm B, E, F, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm O
của đường tròn đó.
b) Chứng minh AB.CE = AC.BF.
c) Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng
OI EF⊥
.
d) Chứng minh rằng IF là tiếp tuyến của đường tròn
( )
.O
Bài V. (0,5 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
ab bc ca
c ab a bc b ca
+ +
+ + +
.
……………….Chúc em làm bài tốt…………………..
TRƯỜNG THCS ÁI MỘ
LỚP 9B
NĂM HỌC: 2023 - 2024
ĐỀ LUYỆN KHẢO SÁT THÁNG 12
MÔN: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 90 phút
ĐỀ LUYỆN SỐ 1
250
TRƯỜNG THCS ÁI MỘ ĐỀ LUYỆN KHẢO SÁT THÁNG 1
NĂM HỌC 2023-2024 MÔN TOÁN 9 – Thời gian làm bài 90 phút
Bài Câu Nội dung Điểm
1
2,0đ
a
1
( ) ( )
2
2 1 1 4
A :
x 2 x x 2 x 2 x 4 x 4
2 x x 2 4
:
x x 2 x 2
x 2
x
= + +
− − − − +
+ − +
=−−
−
=
0,5
0,5
b
0,5 Thay x = 49(tmđk), tính được
5
A7
=
(Thiếu tmđk trừ 0,25) 0,5
c
0,5
Xét hiệu
( )
x 2
x 2
A 2 2
x x
− +
−
− = − =
Lập luận được A < 2
0,25
0,25
2
2,0đ
2
2,0
Gọi vận tốc riêng của cano là
( )
3, /x x km h
>
Vận tốc của cano khi xuôi dòng là
( )
3 /x km h
+
Thời gian của cano khi xuôi dòng là
( )
48
3h
x
+
Vận tốc của cano khi ngược dòng là
( )
3 /x km h
−
Thời gian của cano khi ngược dòng là
( )
48
3h
x
−
Vì tổng thời gian cano đi là 4 giờ 6 phút
41
10 h=
, thời gian cano nghỉ là 30 phút
1
2h
=
, nên ta có phương trình:
48 1 48 41
3 2 3 10x x
+ + =
+ −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
48 48 41 1
3 3 10 2
8 3 8 3 3
3 3 5
80 3 27
3 80 27 0
3 1 27 0
1 (ktm)
3
27 (tm)
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
+ = −
+ −
− + +
=
+ −
= −
− − =
+ − =
−
=
=
Vậy vận tốc riêng của cano là
( )
27 /km h
.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
3
2đ
a
1
- Lập luận ra: m – 2 = 1 và m – 1
3
Tính được: m = 3(tmđk)
0,25
0,25
- Vẽ đúng (d)
- Tính đúng diện tích tam giác: 2 đvdt
0,25
0,25
b
0,5
Lập luận để thay x = 2; y =0 vào (d) có:
0 = (m-2).2 + m – 1
Tính đúng: m =
5
3
0,25
0,25
c
0,5
- Xét pt hoành độ giao điểm…,lập luận thay x = - 2 vào pt:
Tính đúng được: m = 8
HS làm cách khác đúng- cho điểm tối đa
0,25
0,25
4a
1,0đ
Vẽ hình đúng đến câu a
Chứng minh được bốn B, E, F, C cùng thuộc một đtròn.
0,25
0,75
4b
0,75đ
Chứng minh ABF ACE (g.g)
suy ra
=
AB BF
AC CE
suy ra AB.CE = AC.BF.
0,5
0,25
0,25
4c
0,75đ
c/m: IE = IF => I thuộc đường trung trực của EF
O thuộc đường trung trực của EF
suy ra OI là đường trung trực của EF OI EF
0,25
0,25
0,25
4d
0,75
Chứng minh được
? ?
OCF OFC=
;
ﾷ
ﾷ
IAF IFA
=
lập luận được
ﾷ
ﾷ
ﾷ
180 ( ) 180 90 90IFO OFC IFA
= − + = − =
suy ra
IF OF
⊥
. Lập luận chỉ ra
IF
là tiếp tuyến của đường tròn
( )
O
0,25
0,25
0,25
5
0,5
5
0,5
Có:
( )
2
1 .a b c c a b c c ac bc c
+ + = = + + = + +
⇒
2
( ) ( )c ab ac bc c ab a c b c b c+ = + + + = + + +
=
( )( )c a c b
+ +
Áp dụng bđt Côsi ⇒
( )( ) 2
a b
ab ab c a c b
c ab c a c b
+
+ +
=
+ + +
Tương tự:
( )( )
( )( )
a bc a b a c
b ca b c b a
+ = + +
+ = + +
( )( ) 2
b c
bc bc a b a c
a bc a b a c
+
+ +
=
+ + +
0,25
O
I
H
F
E
C
B
A
( )( ) 2
c a
ca ca b c b a
b ca b c b a
+
+ +
=
+ + +
⇒
P ≤
2
a b b c c a
c a c b a b a c b c b a
+ + + + +
+ + + + + +
=
2
a c c b b a
a c c b b a
+ + +
+ +
+ + +
=
3
2
Dấu “=” xảy ra khi
1
3
abc
= = =
0,25
HS giải theo cách khác vẫn cho điểm tối đa