Trang 1/8 - Mã đề thi 111
TRƯỜNG THPT ………….
TỔ TOÁN
BÀI:………………….
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn: Toán - Lớp 11 - Chương trình chuẩn
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: ……… phút
Mã đề thi
111
Họ và tên:
………………………………………….
Lớp:
……………...……..………
Câu 1. Cho dãy số
n
u
với 1
1
2
2
n n
u
u u
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :
A.
2n
n
u
. B.
1
2n
n
u
. C.
2
n
u
. D.
1n
n
u n
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
1
2 1
3 2
1
2
2
2
...
2
n n
u
u u
u u
u u
.
Nhân hai vế ta được 1
1 2 3 1 2 1
. . ... 2.2 . . ... 2
n n
n n n
u u u u u u u u
.
Câu 2. (Sở Quảng Bình - 2018 - BTN – 6ID – HDG)Cho dãy
:
3
1
e
u
,
2
1
n n
u u
,
*
k
thỏa mãn
765
1 2
. ... e
k
u u u . Giá trị của
k
là:
A.
7
B.
8
C.
9
D.
6
Lời giải
Chọn B
Ta có
en
v
n
u
, với
1
3.2n
n
v
,
*
n
.
1 2
2 1
... 3. 3 2 1
2 1
kk
k
v v v
.
1 2 ...
1 2
. ... e
k
v v v
k
u u u
.
Suy ra
3 2 1 765 2 1 255
k k
2 256
k
8
k
.
Câu 3. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho dãy số
xác định bởi
1
1
1
2 1, 1
n n
u
u u n n
. Giá trị của
n
để
2017 2018 0
n
u n
là
A.
2018
. B.
2017
. C. Không có
n
. D.
1009
.
Lời giải
Chọn A
Với
1
n
ta có:
2
2 1
3 4 2
u u
.
Với
2
n
ta có:
2
3 2
2.2 1 9 3
u u
.
Với
3
n
ta có:
2
4 3
2.3 1 16 4
u u
.
Từ đó ta có:
2
n
u n
.
Suy ra
2017 2018 0
n
u n
2
2017 2018 0
n n
1
2018
n L
n N
.
Trang 2/8 - Mã đề thi 111
Câu 4. (Cụm Liên Trường - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho dãy số
n
u
được xác định như
sau:
1
1
2
4 4 5 1
n n
u
u u n n
Tính tổng
2018 2017
2
S u u
.
A.
2018
2016 3.4
S B.
2018
2016 3.4
S
C.
2017
2015 3.4
S . D.
2017
2015 3.4
S
Lời giải
Chọn D
Đặt: n n
u v n
suy ra 1 1
1 3
v u
và 1
4 5
n n
v v
Đặt
1
n n
v y
suy ra 1
2
y
và 1
4
n n
y y
1
2 1
1 .2
n
n
n
y
;
12 1
1 1 .2 1
nn
n n
u y n n
Do đó
2017
2018 2017
2 2015 3.4
S u u .
Câu 5. Cho dãy số
n
u
với
1
2
1
1
1n
n n
u
u u
. Số hạng tổng quát
n
u
của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A.
1
n
u n
. B.
2
1 1 n
n
u . C. n
u n
. D.
1
n
u n
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
1 2 3 4
1 1 2; 3; 4;...
n
n n n
u u u u u u
Dễ dàng dự đoán được n
u n
.
Thật vậy, ta chứng minh được n
u n
*
bằng phương pháp quy nạp như sau:
+ Với 1
1 1
n u
. Vậy
*
đúng với
1
n
+ Giả sử
*
đúng với mọi
*
n k k
, ta có: k
u k
. Ta đi chứng minh
*
cũng đúng với
1n k
, tức là: 1
1
k
u k
+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số
n
u
ta có:
2
1
1 1
k
k k
u u k
. Vậy
*
đúng với mọi
*
n
.
Câu 6. Cho dãy số
n
u
với
1
1
2
1
2
n
n
u
u
u
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.
1
n
n
u
n
.. B.
1
n
n
u
n
. C.
1
n
n
u
n
. D.
1
n
n
u
n
.
Lời giải
Chọn B
Ta có: 1 2 3
3 4 5
; ; ;...
2 3 4
u u u Dễ dàng dự đoán được
1
n
n
u
n
.
Câu 7. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
1
cos 0
1
, 1
2
n
n
u
u
u n
. Số hạng thứ 2017 của dãy số đã cho là
A. 2017 2016
cos 2
u
. B. 2017
2016
sin 2
u
.
Trang 3/8 - Mã đề thi 111
C. 2017
2017
sin 2
u
. D. 2017 2017
cos 2
u
.
Lời giải
Chọn A
Do 0
nên
Ta có 2
2
1 cos
cos cos
2 2 2
u
.
2
3
1 cos 2
cos cos
2 4 4
u
Vậy
1
cos 2
nn
u
với mọi
*
n
. Ta sẽ chứng mình bằng quy nạp.
Với
1
n
đúng.
Giả sử với
*
n k
ta có
1
cos 2
kk
u
. Ta chứng minh 1
1
cos 2
kk
u
.
Thật vậy
12
1
1 cos
12cos cos
2 2 2 2
k
k
k
k k
u
u
.
Từ đó ta có 2017 2016
cos 2
u
.
Câu 8. (SGD VĨNH PHÚC - 2018 - BTN) Cho dãy số
n
u
có 1
1
5
u
và 1
1
5
n n
n
u u
n
,
1
n
. Tìm tất
cả giá trị
n
để
2018
2018
1
5 1
4.5
nk
k
u
Sk
.
A.
2020
n
B.
2017
n
C.
2019
n
D.
2018
n
Lời giải
Chọn D
Ta có 1
1
1 1
5 1 5
n n
n n
u u
n
u u
n n n
.
Đặt
n
n
u
v
n
,
1
n
. Suy ra
n
v
là cấp số nhận có công bội
1
5
q
và 1
1
5
v
.
Ta có 1
1 1
1
1
1 1 1 5 1
5
1
1 5 4 5
1
5
n
n n
n n
k
k n
n
k k
uq
S v v T
k q
.
Do
0
n
v
,
1
n
nên
n
T
là dãy tăng. Suy ra
2018
2018
2018
5 1
2018
4.5
n
T T n
.
Câu 9. Cho dãy số
n
u
với 2
1
1
n
u
n
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Bị chặn dưới. B.
12
1
1 1
n
un
.
C.
1n n
u u
. D. Đây là một dãy số tăng.
Lời giải
Chọn C
Trang 4/8 - Mã đề thi 111
Ta có
122
1 1
2 2
1 1
n
un n
n
Dó đó
12 2 2 2
1 1 2 1
0
2 2 1 1 2 2
n
n
n
u u n n n n n n
Nên ta suy ra điều đã có mâu thuẫn.
Câu 10. Cho dãy số
n
u
với 1
1
2
2 1
n n
u
u u n
. Số hạng tổng quát
n
u
của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A.
2
2 1
n
u n
. B.
2
2
n
u n
. C.
2
2 1
n
u n
. D.
2
2 1
n
u n
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
1
2 1
3 2
1
2
1
3
...
2 3
n n
u
u u
u u
u u n
.
Cộng hai vế ta được
2
2 1 3 5 ... 2 3 2 1
n
u n n
.
Câu 11. (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho dãy số
n
U
xác định
bởi: 1
1
3
U
và 1
1.
3
n n
n
U U
n
. Tổng
3 10
2
1...
2 3 10
U U
U
S U bằng:
A.
29524
59049
. B.
25942
59049
. C.
1
243
. D.
3280
6561
.
Lời giải
Chọn A
Theo đề ta có: 1
1.
3
n n
n
U U
n
11
1 3
n n
U U
n n
mà 1
1
3
U
hay 1
1
1 3
U
Nên ta có
2
2
1 1 1
.
2 3 3 3
U
;
2 3
3
1 1 1
.
3 3 3 3
U
; … ;
10
10
1
10 3
U
.
Hay dãy n
U
n
là một cấp số nhân có số hạng đầu 1
1
3
U
, công bội
1
3
q
.
Khi đó
3 10
2
1...
2 3 10
U U
U
S U 2
1
.2 . 3
3
10
10
3 1
2.3
10
59048
2.3
29524
59049
.
Câu 12. (THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa - 2018 - BTN) Cho dãy số
thỏa mãn
2
6 8 4
ln ln ln 1
u u u
và 1
.e
n n
u u
với mọi
1n
. Tìm
1
u
.
A.
2
e
. B.
3
e
. C.
4
e
. D.
e
.
Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết suy ra dãy số
là cấp số nhân với công bội
e
và
0
n
u
với mọi
1n
. Ta có
5
6 1
.eu u
;
7
8 1
.eu u
;
3
4 1
.eu u
.
Do đó: 2
6 8 4
ln ln ln 1
u u u
2 5 7 3
1 1 1
ln .e ln .e ln .e 1
u u u
2
1 1 1
ln 5 ln 7 ln 3 1
u u u
2
1 1
ln 8 ln 16 0
u u
4
1 1
ln 4 e
u u
.
Câu 13. Cho dãy số
n
u với
nuu
u
nn 1
15.Số hạng tổng quát n
u của dãy số là số hạng nào dưới đây?
Trang 5/8 - Mã đề thi 111
A.
2
)1(
5nn
un
. B.
2
)2)(1(
5
nn
un.
C.
2
)1( nn
un
. D.
2
)1(
5nn
un
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
1
5 1 2 3 ... 1 5
2
n
n n
u n
.
Câu 14. Cho dãy số
n
u
với
1
1
2
1
2
n
n
u
u
u
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.
1
n
n
u
n
. B.
1
n
n
u
n
. C.
1
n
n
u
n
. D.
1
n
n
u
n
.
Lời giải
Chọn C
Ta có: 1 2 3
3 4 5
; ; ;...
2 3 4
u u u Dễ dàng dự đoán được
1
n
n
u
n
.
Câu 15. Cho dãy số
n
u
với 1
1
1
2
2
n n
u
u u
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. 1
2
2
n
u n
. B.
1
2 1
2
n
u n
. C.
1
2 1
2
n
u n
. D. 1
2
2
n
u n
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
1
2 1
3 2
1
1
2
2
2
...
2
n n
u
u u
u u
u u
.
Cộng hai vế ta được
1 1
2 2... 2 2 1
2 2
n
u n
.
Câu 16. Cho dãy số
n
u
với
1
2
1
1
1n
n n
u
u u
. Số hạng tổng quát
n
u
của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A.
1
n
u n
. B.
1
n
u n
. C.
2
1 1 n
n
u . D. n
u n
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
1 2 3 4
1 1 2; 3; 4;...
n
n n n
u u u u u u
Dễ dàng dự đoán được n
u n
Thật vậy, ta chứng minh được n
u n
*
bằng phương pháp quy nạp như sau:
+ Với 1
1 1
n u
. Vậy
*
đúng với
1
n
+ Giả sử
*
đúng với mọi
*
n k k
, ta có: k
u k
. Ta đi chứng minh
*
cũng đúng với
1n k
, tức là: 1
1
k
u k