Trang 1/12 - Mã đề thi 191
TRƯỜNG THPT ………….
TỔ TOÁN
BÀI:………………….
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn: Toán - Lớp 11 - Chương trình chuẩn
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: ……… phút
Mã đề thi
191
Họ và tên:
………………………………………….
Lớp:
……………...……..………
Câu 1. (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho cấp số nhân ,
. Khi đó và số hạng tổng quát là?
A. , . B. , .
C. , . D. , .
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
.
Vậy đáp án đúng là:
C.
Câu 2. (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung
điểm ba cạnh của tam giác
ABC
được gọi là tam giác trung bình của tam giác
ABC
.
Ta xây dựng dãy các tam giác 1 1 1 2 2 2 3 3 3
, , ,...
A B C A B C A B C sao cho
1 1 1
A B C
là một tam giác đều cạnh
bằng
3
và với mỗi số nguyên dương
2
n
, tam giác
n n n
A B C
là tam giác trung bình của tam giác
1 1 1n n n
A B C
. Với mỗi số nguyên dương
, kí hiệu
n
S
tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp
tam giác
n n n
A B C
. Tính tổng 1 2
... ...
n
S S S S
?
A.
15 .
4
S
B.
4 .
S
C.
9.
2
S
D.
5 .
S
Lời giải
Chọn B
Vì dãy các tam giác 1 1 1 2 2 2 3 3 3
, , ,...
A B C A B C A B C là các tam giác đều nên bán kính đường tròn ngoại
tiếp các tam giác bằng cạnh
3
3
.
Với
1
n
thì tam giác đều
1 1 1
A B C
có cạnh bằng
3
nên đường tròn ngoại tiếp tam giác
1 1 1
A B C
có
bán kính 1
3
3. 3
R
2
1
3
3.
3
S
.
Với
2
n
thì tam giác đều
2 2 2
A B C
có cạnh bằng
3
2
nên đường tròn ngoại tiếp tam giác
2 2 2
A B C
có
bán kính 2
1 3
3. .
2 3
R
2
2
1 3
3. .
2 3
S
.
Với
3
n
thì tam giác đều
3 3 3
A B C
có cạnh bằng
3
4
nên đường tròn ngoại tiếp tam giác
2 2 2
A B C
có
bán kính 3
1 3
3. .
4 3
R
2
3
1 3
3. .
4 3
S
.
1
1
u
6
0,00001
u
q
1
10
q
1
1
10
nn
u
1
10
q
1
10n
n
u
1
10
q
1
1
10
n
nn
u
1
10
q
1
1
10
nn
u
5
6 1
. 0,00001
u u q 5
5
1
10
q
1
10
q
1
1
.n
n
u u q
1
1
1. 10
n
1
1
10
n
n
Trang 2/12 - Mã đề thi 191
...................
Như vậy tam giác đều
n n n
A B C
có cạnh bằng
1
1
3. 2
n
nên đường tròn ngoại tiếp tam giác
n n n
A B C
có bán kính
1
1 3
3. .
2 3
n
n
R
2
1
1 3
3. .
2 3
n
n
S
.
Khi đó ta được dãy
1
S
,
2
S
,
... ...
n
S
là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 1 1
3
u S
và
công bội
1
4
q
.
Do đó tổng 1 2
... ...
n
S S S S
1
4
1
u
q
.
Câu 3. (Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – 2017 - 2018 - BTN) Cho dãy số
n
u
được xác định bởi
1
u a
và
14 1
n n n
u u u
với mọi
n
nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị của
a
để 2018
0
u
.
A. 2016
2 1
. B. 2017
2 1
. C. 2018
2 1
. D.
3
.
Lời giải
Chọn A
Do
2018 2017 2017
4 1u u u 2017
2017
0
1
u
u
2016
2016
0
1
u
u
.1
1
0
1
u
u
Trường hợp 1 2 2018
... 0
u u u
0
1
a
a
Xét phương trình 2
4 4 0
x x m
với
0 1
m
có
4 4 0
m
nên phương trình luôn có
2
nghiệm phân biệt
1
x
,
2
x
và 1 2
1
x x
, 1 2
4
m
x x
1 2
, 0;1
x x .
Ta có 2
1
u
2
1 1
4 4 1
u u
1
1
2
u
có
0
2
nghiệm
1
u
.
3
1
u
2
1
2
u
2
1 1
1
4 4 0
2
u u
có
1
2
nghiệm
1
u
.
4
1
u
3
1
2
u
2
2 2
1
4 4 0
2
u u
có
2
nghiệm
2
0;1
u
2
2
nghiệm
1
u
.
.
2017
1
u
có
2015
2
nghiệm
1
u
.
Vậy có
0 1 2 2015
2 2 2 2 ... 2
2016 2016
2 1
2 2 1
2 1
.
Câu 4. Cho dãy số 1
; ; 2
2b. Chọn
b
để dãy số đã cho lập thành cấp số nhân?
A.
1b
. B.
2
b
.
C. Không có giá trị nào của
b
. D.
1
b
.
Lời giải
Chọn C
Dãy số đã cho lập thành cấp số nhân khi
0
.
1
. 2 1
2
b
b
Vậy không có giá trị nào của
b
.
Câu 5. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Ông A vay ngân hàng
300
triệu đồng để
mua nhà theo phương thức trả góp với lãi suất
00
0,5
mỗi tháng. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ
tháng thứ nhất sau khi vay, ông hoàn nợ cho ngân hàng số tiền cố định
5,6
triệu đồng và chịu lãi số
tiền chưa trả. Hỏi sau khoảng bao nhiêu tháng ông A sẽ trả hết số tiền đã vay?
Trang 3/12 - Mã đề thi 191
A.
64
tháng. B.
63
tháng. C.
60
tháng. D.
36
tháng.
Lời giải
Chọn B
Sau tháng thứ nhất số tiền còn nợ (đơn vị triệu đồng) là 1
0,5
300 1 5,6
100
T.
Sau tháng thứ hai số tiền còn nợ là
2
0,5 0,5
300 1 5,6 1 5,6
100 100
T
2
0,5 0,5
300 1 5,6 1 5,6
100 100
.
Ký hiệu
0,5
1
100
t thì số tiền còn lại ở tháng thứ
n
là:
1 2
300 5,6 ... 1
n n n
n
T t t t
1
300 5,6
1
n
nt
t
t
300 1120 1120
n n
t t
820 1120
n
t .
Như vậy để trả hết nợ thì số tháng là 0,5
1100
1120
log 62,5
820
n.
Câu 6. (THPT Yên Lạc - Vĩnh Phúc- Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
41
20
u
và 1
21 1
n n
u u
với mọi
1.
n
Tìm số hạng thứ
2018
của dãy số đã cho.
A. 2018
2018
1
2.21 .
20
u B. 2017
2018
1
2.21 .
20
u
C. 2017
2018
1
2.21 .
20
u D. 2018
2018
1
2.21 .
20
u
Lời giải
Chọn C
Ta có 1
21 1
n n
u u
1
1
2
1
21
20
0
n n
u u
.
Đặt
1
20
n n
v u , ta có 1
21
n n
v v
.
Do đó
n
v
là một CSN với 1
41 1
2
20 20
v
và công bội
21
q
.
Do đó số hạng tổng quát của dãy
n
v
là
1 1
1
. 2.21
n n
n
v v q
1
1
2.21
20
n
n
u
.
Khi đó 2017
2018
1
2.21
20
u .
Câu 7. Cho cấp số nhân
n
u
với 1
3; q= 2
u
. Số 192 là số hạng thứ mấy của
n
u
?
A. Số hạng thứ 6. B. Số hạng thứ 7.
C. Không là số hạng của cấp số đã cho. D. Số hạng thứ 5.
Lời giải
Chọn B
Ta có
1 1
1
1
. 192 3. 2 2 64 1 6 7
n n
n
n
u u q n n
.
Câu 8. (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao
10
m theo
phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng
3
4
độ
cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.
A.
70
m. B.
50
m. C.
80
m. D.
40
m.
Lời giải
Chọn A
Trang 4/12 - Mã đề thi 191
Các quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có 1
10
u
và
3
4
q
.
Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là
1
1
u
S
q
10
3
1
4
40
.
Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn
2 10 70
S
.
Câu 9. (THPT Sơn Tây - Hà Nội - 2018 – BTN – 6ID – HDG) Một gia đình cần khoan một cái giếng để
lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là
80.000
đồng, kể
từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng thêm
5.000
đồng so với giá của mét khoan trước
đó. Biết cần phải khoan sâu xuống
50m
mới có nước. Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái
giếng đó?
A.
4.000.000
đồng B.
10.125.000
đồng C.
52.500.000
đồng D.
52.500.000
đồng
Lời giải
Chọn B
* Áp dụng công thức tính tổng của
n
số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu 1
80.000
u
,
công sai
5.000
d
ta được số tiền phải trả khi khoan đến mét thứ
n
là:
1
12 1
2 2
n
n
n u n d
n u u
S
* Khi khoan đến mét thứ
50
, số tiền phải trả là:
50
50 2.80000 50 1 .5000
10.125.000
2
S
đồng.
Câu 10. Cho cấp số nhân
n
u
với 1
1
1;
10
u q
. Số 103
10
1 là số hạng thứ mấy của
n
u
?
A. Số hạng thứ
104
. B. Số hạng thứ
105
.
C. Không là số hạng của cấp số đã cho. D. Số hạng thứ
103
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
1
1
1103
1 1
. 1. 1 103 104
10 10
n
n
n
u u q n n
.
Câu 11. (THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho dãy số xác định bởi 1
1
u
,
*
12
1 1
2 ;
3 3 2
n n
n
u u n
n n
. Khi đó
2018
u
bằng:
A.
2016
2018 2017
2 1
3 2019
u B.
2018
2018 2017
2 1
3 2019
u
C.
2017
2018 2018
2 1
3 2019
u D.
2017
2018 2018
2 1
3 2019
u
Lời giải
Chọn A
Ta có: 12
1 1
u 2u
3 3 2
n n
n
n n
1 3 2
2
3 2 1
n
un n
2 1 2 1
.
3 2 3 1
n
u
n n
.
1
1 2 1
2 3 1
n n
u u
n n
1
Đặt
1
1
n n
v u
n
, từ
1
ta suy ra: 1
2
3
n n
v v
.
Do đó
n
v
là cấp số nhân với 1 1
1 1
2 2
v u
, công bội
2
3
q
.
Trang 5/12 - Mã đề thi 191
Suy ra:
1
1
1
1 2
. .
2 3
n
n
n
v v q
1
1 1 2
.
1 2 3
n
n
un
1
1 2 1
.
2 3 1
n
n
u
n
.
Vậy
2017
2018
1 2 1
.
2 3 2019
u
2016
2017
2 1
3 2019
.
Câu 12. (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Với giá trị nào của tham số
m
thì phương trình
3 2
6 8 0
x mx x
có ba nghiệm thực lập thành một cấp số nhân?
A.
3
m
. B.
4
m
. C.
1
m
. D.
3
m
.
Lời giải
Chọn D
Ta chứng minh nếu
1
x
,
2
x
,
3
x
là nghiệm của phương trình 3 2
6 8 0
x mx x
thì
1 2 3
1 2 3 8
x x x m
x x x
.
Thật vậy
3 2
1 2 3
6 8
x mx x x x x x x x
3 2 3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
6 8
x mx x x x x x x x x x x x x x x x x
1 2 3
1 2 3 8
x x x m
x x x
.
Điều kiện cần: Phương trình 3 2
6 8 0
x mx x
có ba nghiệm thực
1 2 3
x x x
lập thành một cấp số nhân
2
1 3 2
.
x x x
3
1 2 3 2
. .
x x x x
3
2
8
x
2
2
x
.
Vậy phương trình 3 2
6 8 0
x mx x
phải có nghiệm bằng
2
.
Thay
2
x
vào phương trình ta có
3
m
.
Điều kiện đủ: Thử lại với
3
m
ta có 3 2
3 6 8 0
x x x
4
2
1
x
x
x
(thỏa yêu cầu bài toán).
Câu 13. Cho cấp số nhân
n
u
với 1
1
1;
10
u q
. Số 103
10
1 là số hạng thứ mấy của
n
u
?
A. Số hạng thứ
105
. B. Không là số hạng của cấp số đã cho.
C. Số hạng thứ
103
. D. Số hạng thứ
104
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
1
1
1103
1 1
. 1. 1 103 104
10 10
n
n
n
u u q n n
.
Câu 14. (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Ngân hàng BIDV Việt Nam đang áp dụng
hình thức lãi kép với mức lãi suất: không kỳ hạn là
0,2%
/năm, kỳ hạn
3
tháng là
4,8%
/năm. Ông
A đến ngân hàng BIDV để gửi tiết kiệm với số tiền ban đầu là
300
triệu đồng. Nếu gửi không kỳ
hạn mà ông A muốn thu về cả vốn và lãi bằng hoặc vượt quá
305
triệu đồng thì ông A phải gửi ít
nhất
n
tháng
*
n
. Hỏi nếu cùng số tiền ban đầu và cũng số tháng đó, ông A gửi tiết kiệm có
kỳ hạn
3
tháng thì ông A sẽ nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu (giả sử rằng trong suốt
thời gian đó lãi suất ngân hàng không đổi và nếu chưa đến kỳ hạn mà rút tiền thì số tháng dư so với
kỳ hạn sẽ được tính theo lãi suất không kỳ hạn)
A.
444.711.302
đồng. B.
447.190.465
đồng.
C.
444.785.421
đồng. D.
446.490.147
đồng.
Lời giải
Chọn C
Áp dụng công thức lãi kép:
1
n
n
T a r
Với
305
n
T
triệu đồng là số tiền cả vốn lẫn lãi sau
n
kỳ hạn.
300
a
triệu đồng là số tiền gửi ban đầu,
n
là số kỳ hạn tính lãi,
r
%
là lãi suất định kỳ.