Đề thi Olympic toán sinh viên toàn quốc 2012 - Trường đại học Phú Yên [Kèm Đáp Án]

Typesetting math: 95%

Đ thi Olympic toán sinh viên toàn qu c 2012 ề ố

Toán cao c p ấ

Tác gi : ảBAN BIÊN T P Ậ

Th t , 11 Tháng 4 2012 13:17 ứ ư

Kì thi Olympic Toán Sinh viên 2012

Thi ngày: 11/04/2012

Th i gian làm bài: 180 phút.ờ

MÔN I SĐẠ Ố

Câu 1. Gi i h ph ng trình tuy n tính.ả ệ ươ ế

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 1 =2(4x 1 +3x 2 +2x 3 +x 4 ) x 2 =3(x 1 +4x 2 +3x 3 +2x 4 ) x 3 =4(2x 1 +x 2 +4x 3 +3x 4 ) x 4 =5(3x

Câu 2. M t ma tr n vuông ộ ậ A c g i là l y linh n u t n t i đượ ọ ũ ế ồ ạ k>0

a) Ch ng t r ng ma tr n tam giác trên có ng chéo chính toàn ứ ỏ ằ ậ đườ 0 là ma tr n l y linh và các ma tr n này l p thành m t không gian con ậ ũ ậ ậ ộ

không gian M n (R) các ma tr n vuông c p n trên tr ng s th c.Tính ậ ấ ườ ố ự dimV 0 .

b) Gi s ả ử V là m t không gian con nào ó c a ộ đ ủ M n (R) mà các ph n t c a nó u là ma tr n l y linh.Ch ng minh r ng ầ ử ủ đề ậ ũ ứ ằ dimV

Câu 3. Cho A là ma tr n vuông c p ậ ấ n≥2 có các ph n t là các s chính ph ng l . Ch ng minh r ng ầ ử ố ươ ẻ ứ ằ det(A) chia h t cho ế

Câu 4. Cho A,B∈M 100 (R) là hai ma tr n th a mãn ậ ỏ A 101 =0 và AB=2A+3B .Ch ng minh r ng ứ ằ (A+B) 100 =0 .

Câu 5. Ch ng minh r ng các hàm s :ứ ằ ố

sinx,sin2x,sin3x,sin|x−π|,sin|x−2π|,sin|x−3π|

c l p tuy n tính trong không gian các hàm liên t c độ ậ ế ụ C(−∞,+∞) trên tr ng s th c.ườ ố ự

Câu 6.

Thí sinh ch n m t trong hai câu sau:ọ ộ

6a. Cho a th c đ ứ P(x) v i h s nguyên và ớ ệ ố a 0 là s nguyên cho tr c.V i m i s nguyên d ng ố ướ ớ ọ ố ươ k , t đặ a k+1 =P(a k

t n t i s ồ ạ ố m ho c $|a_m|<||a_{m+1}|để ặ

6b.Cho A là ma tr n vuông c p ậ ấ 5 có các ph n t là 1 ho c -1.Ch ng minh r ng ầ ử ặ ứ ằ |det(A)|≤64 .

MÔN GI I TÍCHẢ

Câu 1. Cho dãy s ố(a n ) th a mãn i u ki n:ỏ đ ề ệ

a n+1 =n+1 n a n −2 n ,a 1 =α,n=1,2,3,...

Tìm α để (a n ) h i t .ộ ụ

Câu 2. Cho P(x) là a th c b c đ ứ ậ n⩾1 v i h s th c và a th c ớ ệ ố ự đ ứ Q(x) cho b i h th cở ệ ứ

Q(x)=(2012x 2 +1)P(x)P ′ (x)+2012x{[P(x)] 2 +[P ′ (x)] 2 }

Ch ng minh r ng n u ph ng trình ứ ằ ế ươ P(x)=0 có úng đn nghi m th c phân bi t trong ệ ự ệ [1 2 ,+∞) thì ph ng trình ươ

2n−1 nghi m th c phân bi t.ệ ự ệ

Câu 3. Tính tích phân

∫ −1 1 dx (2012 x +1)(1+x 2 )

Câu 4. Tìm các hàm s ốf:R→R th a mãn:ỏ

f(x+y 2012 )=1 2 [f(x 2013 )+f(y 2014 )],∀x,y∈R

Câu 5. Gi s hàm s ả ử ố f liên t c trên o n ụ đ ạ [0,2012] và th a mãn i u ki nỏ đ ề ệ

f(x)+f(2012−x)=0,∀x∈[0,2012]

Ch ng minh ứ

∫ 0 2012 f(x)dx =0

và ph ng trình ươ

(x−2012)f(x)=2012∫ 0 2012−x f(u)du

có nghi m trong kho ng ệ ả \left( {0,2012} \right)(0,2012) .

Câu 6. Thí sinh ch n m t trong hai câu sau:ọ ộ

6a. Cho hàm s ốf(x)f(x) kh vi liên t c hai l n trên ả ụ ầ \mathbb{R}R . Gi s ả ử f\left( 1 \right) = 0f(1)=0 và \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 0}

∫ 0 1 f(x)dx=0 . Ch ng minh r ng v i m i ứ ằ ớ ọ \alpha \in \left( {0,1} \right)α ∈(0,1) , ta có

\left| {\int\limits_0^\alpha {f\left( x \right)dx} } \right| \leqslant \frac{2}{{81}}\mathop {\max }\limits_{0 \leqslant x \leqslant 1} \left| {f''\left( x \right)} \right|

∣ ∣ ∣ ∣ ∫ 0 α f(x)dx∣ ∣ ∣ ∣ ⩽2 81 max 0⩽x⩽1 ∣ ∣ f ′′ (x)∣ ∣

6b. Cho f:\left[ {0,1} \right] \to \mathbb{R} là hàm lõm (hay còn g i là l i lên phía trên), kh vi liên t c th a mãn ọ ồ ả ụ ỏ f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 0

Ch ng minh r ngứ ằ

\sqrt {1 + 4\mathop {\max }\limits_{0 \leqslant x \leqslant 1} {f^2}\left( x \right)} \leqslant \int\limits_0^1 {\sqrt {1 + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} } dx \leqslant