Đề thi olympic truyền thống 30/4 môn toán lớp 10

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

487
lượt xem 96
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề thi olympic truyền thống 30/4 môn toán lớp 10', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi olympic truyền thống 30/4 môn toán lớp 10

KỲ THI OLYMPIC TRUY N TH NG 30/4 L N TH XIII T I THÀNH PH HU THI MÔN TOÁN L P 10 Th i gian làm bài: 180 phút Chú ý: M i câu h i thí sinh làm trên 01 t gi y riêng bi t Câu 1 (4 i m). Gi i h phương trình: 2 8 xy 2  x + y + x + y = 16   x + y = x2 − y  Câu 2 (4 i m). Cho các s th c a, b, x, y tho mãn i u ki n ax − by = 3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c F = a 2 + b 2 + x 2 + y 2 + bx + ay . Câu 3 (4 i m). Cho tam giác ABC có các góc A, B th a i u ki n: 3A 3B A− B . sin + sin = 2 cos 2 2 2 Ch ng minh tam giác ABC là tam giác u. Câu 4 (4 i m). Cho t giác l i ABCD. Xét M là i m tùy ý. G i P, Q, R, S là các i m sao cho: MB + MC + MD = 4 MP ; MC + MD + MA = 4 MQ ; MD + MA + MB = 4 MR ; MA + MB + MC = 4 MS . Tìm v trí c a i m M sao cho PA = QB = RC = SD. Câu 5 (4 i m). cho m t ngũ giác l i có các nh là nh ng i m có Trong m t ph ng t a nguyên. Ch ng minh r ng bên trong ho c trên c nh ngũ giác có ít nh t m t ta i m có t a nguyên. -------------------H T--------------------- Ghi chú: Cán b coi thi không gi i thích gì thêm
áp án Toán 10 N I DUNG IM Câu 1: Gi i h phương trình: 2 8xy 2 x + y + x + y = 16 (1)   x + y = x2 − y ( 2)  * i u ki n: x + y > 0 0,5 * (1) ⇔ (x2 + y2)(x + y) + 8xy = 16(x + y) 1 ⇔ [(x + y)2 – 2xy ] (x + y) – 16(x + y) + 8xy = 0 ⇔ (x + y)3 – 16(x + y) – 2xy(x + y) + 8xy = 0 ⇔ (x + y)[(x + y)2 – 16] – 2xy(x + y – 4) = 0 ⇔ (x + y – 4)[(x + y)(x + y + 4) – 2xy] = 0 x + y − 4 = 0 0,5 (3) ⇔ 2 2  x + y + 4(x + y) = 0 (4) T (3) ⇒ x + y = 4, th vào (2) ta ư c: 1  x = −3 ⇒ y = 7 x2 + x – 4 = 2 ⇔ x2 + x – 6 = 0 ⇔  . x = 2 ⇒ y = 2 (4) vô nghi m vì x2 + y2 ≥ 0 và x + y > 0. 0,5 V y h có hai nghi m là (–3; 7); (2; 2) 0,5
áp án Toán 10 N I DUNG IM Câu 2: Cho các s th c a , b , x , y th a mãn i u ki n ax − by = 3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c F = a 2 + b 2 + x 2 + y 2 + bx + ay . 0,5 2 2 Vi t l i F =  x +  +  y +  + a 2 + b 2 . 3 b a ( )     2  2 4 t M = (x; y ) , A =  − ; −  , (∆ ) : ax − by = 3 . Ta có 1,5 b a   2 2 2 2  b  a 3 MA =  x +  +  y +  . Mà M ∈ (∆ ) nên MA 2 ≥ [d ( A; ∆ )] = 2 2 2 . a + b2  2  2 ng th c x y ra khi M là hình chi u c a A trên (∆ ) . 1 3 3 3 3 ( ) ( ) + a2 + b2 ≥ 2 2 . a2 + b2 = 3 . Suy ra F ≥ 2 2 2 4 a +b 4 a +b ưc Vy t ch ng hn khi 1 min F = 3   (a; b; x; y ) =  2 ; 0; 6 ; − 2  .  2 2  
áp án Toán 10 N I DUNG IM Câu 3: Cho tam giác ABC có các góc A, B th a i u ki n : sin  3A   3B   A− B   + sin   = 2cos  . 2 2 2 Ch ng minh tam giác ABC là tam giác u. Ta có: sin( 3 A ) + sin( 3B ) = 2 sin( 3( A + B) ) cos( 3( A − B) ) . 1 4 4 2 2 1 ≥ sin( 3( A + B ) ) > 0; cos( A − B ) > 0 4 2 A− B 3A− B 0≤ 0 1 2 2 2 2 Suy ra : 2sin( 3( A + B) )cos( 3( A − B) ) >0 4 4 Hay cos( 3( A − B ) )>0. 4 1 K t h p v i sin( 3( A + B) ) ≤ 1, ta có sin( 3( A + B) )cos( 3( A − B) ) ≤ cos( 3( A − B) ) 4 4 4 4 Do ó: 2 sin( 3( A + B) )cos( 3( A − B) ) ≤ 2cos( 3( A − B) ) ≤ 2cos( A − B ) 4 4 2 4 sin( 3 A ) + sin( 3B ) = 2cos( A − B ) thì ph 1 Vì v y n u i có: 2 2 2  A− B 3A− B  π 2= ⇔A=B= . 4  3  sin( 3( A + B) ) = 1   4 V y tam giác ABC là tam giác u.
áp án Toán 10 N I DUNG IM Câu 4: Cho t giác l i ABCD. Xét M là i m tùy ý. G i P, Q, R, S là các i m sao cho MB + MC + MD = 4MP ; MC + MD + MA = 4MQ MD + MA + MB = 4MR ; MA + MB + MC = 4MS Tìm v trí c a i m M sao cho PA = QB = RC = SD. Gi s có i m M th a bài toán. G i G là i m sao cho 0,5 5MG = MA + MB + MC + MD . 1 T MB + MC + MD = 4MP , ta có 4 PA = 5GA . Tương t 4QB = 5GB , 4 RC = 5GC , 4SD = 5GD . Do ó PA = QB = RC = SD ⇔ GA = GB = GC = GD. 1 N u ABCD là t giác n i ti p ư c trong ư ng tròn tâm O thì G 1 trùng O và M là i m duy nh t xác nh b i ( ) OM = − OA + OB + OC + OD . Ki m tra l i th y th a PA = QB = RC = SD. N u ABCD không ph i là t giác n i ti p ư c trong ư ng tròn thì 0,5 không t n t i i m M.
áp án Toán 10 N I DUNG IM Câu 5: Trong m t ph ng t a cho m t ngũ giác l i có các nh là nh ng i m có t a nguyên. Ch ng minh r ng bên trong ho c trên c nh ngũ giác có ít nh t m t i m có t a nguyên. Coi nh Ai (xi; yi), i = 1, 2, 3, 4, 5. 1,5 (xi; yi) có th rơi vào nh ng trư ng h p sau: (2k; 2k’), (2k; 2k’+1), (2k+1; 2k’ + 1), ( 2k +1; 2k’) v i k, k’ ∈ Z Do a giác có 5 nh nên theo nguyên lí i rich lê, có ít nh t 2 nh 1,5 có t a thu c m t trong b n ki u trên. Khi ó trung i m c a o n n i 2 nh y s có t a nguyên. 1 Do ngũ giác là l i nên i m này mi n trong ho c trên c nh c a ngũ giác ó.