KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Đề số 13 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
------------------------------ ---------------------------------------------------
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: 3 2
3 3
y x x x
= - +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng có phương trình
3
y x
=.
Câu II (3,0 điểm):
1) Giải phương trình:
6.4 5.6 6.9 0
x x x
- - =
2) Tính tích phân:
0
(1 cos )
p
= +
ò
3) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 2
( 3)
x
y e x
= -
trên đoạn [–2;2].
Câu III (1,0 điểm):
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (BA = BC), cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là
3
a, cạnh bên SB tạo với đáy một góc 600. Tính
diện tích toàn phần của hình chóp.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây
1. Theo chương trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm
(2;1;1)
A và hai đường
thẳng
,
1 2 1 2 2 1
: :
1 3 2 2 3 2
x y z x y z
d d
- + + - - +
¢
= = = =
- - -
1) Viết phương trình mặt phẳng
( )
a
đi qua điểm A đồng thời vuông góc với đường
thẳng d
2) Viết phương trình của đường thẳng
D
đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d
đồng thời cắt đường thẳng
d
¢
Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình sau đây trên tập số phức:
4 2
( ) 2( ) 8 0
z z
- - =
2. Theo chương trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz cho mp(P) và mặt cầu (S) lần lượt có phương trình
( ) : 2 2 1 0
P x y z
- + + =
và 2 2 2
( ) : – 4 6 6 17 0
S x y z x y z
+ + + + + =
1) Chứng minh mặt cầu cắt mặt phẳng.
2) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng.
Câu Vb (1,0 điểm): Viết số phức sau dưới dạng lượng giác
1
2 2
z
i
=+
---------- Hết ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ........................................ Số báo danh:
...............................................
Chữ ký của giám thị 1: .................................. Chữ ký của giám thị 2:
.................................
x
y
2
2
1I
O1
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu I :
3 2
3 3
y x x x
= - +
Tập xác định:
D
=
¡
Đạo hàm: 2
3 6 3
y x x
¢
= - +
Cho 2
0 3 6 3 0 1
y x x x
¢
= Û - + = Û =
Giới hạn: ; lim lim
x x
y y
® - ¥ ® + ¥
= - ¥ = + ¥
Bảng biến thiên
x
–
1 +
y
¢
+
0
+
y
– 1 +
Hàm số ĐB trên cả tập xác định; hàm số không đạt cực trị.
6 6 0 1 1
y x x y
¢¢
= - = Û = Þ =
. Điểm uốn là I(1;1)
Giao điểm với trục hoành:
Cho 3 2
0 3 3 0 0
y x x x x
= Û - + = Û =
Giao điểm với trục tung:
Cho
0 0
x y
= Þ =
Bảng giá trị: x 0 1 2
y 0 1 2
Đồ thị hàm số (như hình vẽ bên đây):
3 2
( ) : 3 3
C y x x x
= - + . Viết của
( )
C
song song với đường thẳng
: 3
y x
D = .
Tiếp tuyến song song với
: 3
y x
D = nên có hệ số góc 0
( ) 3
k f x
¢
= =
Do đó: 2 2 0
0 0 0 0 0
0
3 6 3 3 3 6 0
2
x
x x x x x
é
=
ê
- + = Û - = Û ê
=
ê
ë
Với 0
0
x
=
thì 3 2
0
0 3.0 3.0 0
y
= - + =
và 0
( ) 3
f x
¢
=
nên pttt là:
0 3( 0) 3
y x y x
- = - Û = (loại vì trùng với
D
)
Với 0
2
x
=
thì 3 2
0
2 3.2 3.2 2
y
= - + =
và 0
( ) 3
f x
¢
=
nên pttt là:
2 3( 2) 3 4
y x y x
- = - Û = -
Vậy, có một tiếp tuyến thoả mãn đề bài là:
3 4
y x
= -
Câu II
6.4 5.6 6.9 0
x x x
- - =
. Chia 2 vế pt cho
9
x
ta được
2
4 6 2 2
6. 5. 6 0 6. 5. 6 0
3 3
9 9
x x
x x
x x
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- - = Û - - =
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø (*)
Đặt
2
3
x
t
æ ö
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
è ø
(ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành
60
a3
A
B
C
S
(nhan) , (loai)
23 2
6 5 6 0
2 3
t t t t- - = Û = = -
Với
3
2
t
=
:
1
2 3 2 2
1
3 2 3 3
x x
x
-
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
= Û = Û = -
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
1
x
= -
.
0 0 0
(1 cos ) cos
I x xdx xdx x xdx
p p p
= + = +
ò ò ò
Với
2 2 2 2
10
0
0
2 2 2 2
x
I xdx
p
p
p p
= = = - =
ò
Với 2
0
cos
I x xdx
p
=ò
Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
ì ì
ï ï
= =
ï ï
Þ
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
. Thay vào công thức tích phân từng phần ta được:
0 0
20
0
sin sin 0 ( cos ) cos cos cos 0 2
I x x xdx x x
p
p p p p
= - = - - = = - = -
ò
Vậy,
2
1 2
2
2
I I I p
= + = -
Hàm số 2
( 3)
x
y e x
= -
liên tục trên đoạn [–2;2]
2 2 2 2
( ) ( 3) ( 3) ( 3) (2 ) ( 2 3)
x x x x x
y e x e x e x e x e x x
¢ ¢ ¢
= - + - = - + = + -
Cho
(nhan)
(loai)
2 2 1 [ 2;2]
0 ( 2 3) 0 2 3 0 3 [ 2;2]
xx
y e x x x x
x
é= Î -
ê
¢= Û + - = Û + - = Û ê= - Ï -
ê
ë
Ta có, 1 2
(1) (1 3) 2
f e e
= - = -
2 2 2
( 2) [( 2) 3]
f e e
- -
- = - - =
2 2 2
(2) (2 3)
f e e
= - =
Trong các kết quả trên, số nhỏ nhất là
2
e
-
và số lớn nhất là
2
e
Vậy, khi khi
2
[ 2;2] [ 2;2]
min 2 1; max 2
y e x y e x
- -
= - = = =
Câu III
Theo giả thiết, , , ,
SA A B SA A C BC A B BC SA
^ ^ ^ ^
Suy ra,
( )
B C SA B
^ và như vậy
BC SB
^
Do đó, tứ diện S.ABC có 4 mặt đều là các tam giác vuông.
Ta có, AB là hình chiếu của SB lên (ABC) nên
·
0
60
SBA
=
·
·
3
tan ( )
3
tan
SA SA a
SBA A B a BC
A B
SBO
= Þ = = = =
d
d'
A
B
I
2 2 2 2
2
A C A B B C a a a
= + = + =
2 2 2 2
( 3) 2
SB SA A B a a a
= + = + =
Vậy, diện tích toàn phần của tứ diện S.ABC là:
2
1
( . . . . )
2
1 3 3 6
( 3. 2 . 3. 2 . )
2 2
T P SA B SBC SA C A B C
S S S S S
SA A B SB BC SA A C A B BC
a a a a a a a a a
D D D D
= + + +
= + + +
+ +
= + + + = ×
THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu IVa:
Điểm trên mp
( )
a
:
(2;1;1)
A
vtpt của
( )
a
là vtcp của d:
(1; 3;2)
d
n u= = -
r r
Vậy, PTTQ của mp
( )
a
: 0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
A x x B y y C z z
- + - + - =
1( 2) 3( 1) 2( 1) 0
2 3 3 2 2 0
3 2 1 0
x y z
x y z
x y z
Û - - - + - =
Û - - + + - =
Û - + - =
PTTS của
2 2
: 2 3
1 2
x t
d y t
z t
ì
ï= +
ï
ï
ï
¢= -
í
ï
ï
= - -
ï
ï
î
. Thay vào phương trình mp
( )
a
ta được:
(2 2 ) 3(2 3 ) 2( 1 2 ) 1 0 7 7 0 1
t t t t t
+ - - + - - - = Û - = Û =
Giao điểm của
( )
a
và
d
¢
là
(4; 1; 3)
B
- -
Đường thẳng
D
chính là đường thẳng AB, đi qua
(2;1;1)
A, có vtcp
(2; 2; 4)
u A B
= = - -
uuur
r
nên có PTTS:
2 2
: 1 2 ( )
1 4
x t
y t t
z t
ì
ï= +
ï
ï
ï
D = - Î
í
ï
ï= -
ï
ï
î
¡
Câu Va: 4 2
( ) 2( ) 8 0
z z
- - =
Đặt
2
( )
t z
=, thay vào phương trình ta được
2
2
2
2 2
4 ( ) 4
2 8 0 2
2 2
( ) 2
z z
t z
t t t
z i z i
z
éé é
é= ± = ±
= =
êê ê
ê
- - = Û Û Û Û
êê ê
ê= - = ± =
= -
êê ê
ê
ëë ë
ëm
Vậy, phương trình đã cho có 4 nghiệm:
1 2 3 4
2 ; 2 ; 2 ; 2
z z z i z i
= = - = = -
THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu IVb:
Từ pt của mặt cầu (S) ta tìm được hệ số : a = 2, b = –3, c = –3 và d = 17
Do đó, mặt cầu (S) có tâm I(2;–3;–3), bán kính 222
2 ( 3) ( 3) 17 5
R= + - + - - =