TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Đề số 17 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
------------------------------ ---------------------------------------------------
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số:
2
( 3)
2
x x
y
-
=
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại giao điểm của
( )
C
với trục hoành.
3) Tìm điều kiện của k để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất: 3 2
3 0
x x k
- - =
.
Câu II (3,0 điểm):
1) Giải phương trình:
( )
2
2 6 6
2 2.4
x x x
+ -
+
=
2) Tính tích phân:
3
3
02
1
x
I dx
x
=
+
ò
3) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 5 4 3
3 9
y x x x
= - - +
trên đoạn
[ 2;1]
-
Câu III (1,0 điểm):
Cho khối chóp S.ABC có ABC và SBC là các tam giác đều có cạnh bằng 2,
3
SA a=.
Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây
1. Theo chương trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có toạ độ các
đỉnh:
A(1;1;2), B(0;1;1) và C(1;0;4).
1) Chứng minh ABC là tam giác vuông. Xác định toạ độ điểm D để bốn điểm A,B,C,D
là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.
2) Gọi M là điểm thoả
MB
uuur
= 2
MC
uuur
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M
và vuông góc với đường thẳng BC. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với
mp(P).
Câu Va (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
2 2
( 1) ,
y x x y x x
= - = +
và
1
x
= -
2. Theo chương trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm
(1;2; –3)
M và đường
thẳng
d:
3 1 1
2 1 2
x y z
- + -
= =
1) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d. Viết phương trình
mặt cầu tâm M, tiếp xúc với d.
2) Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M, song song với d và cách d một khoảng bằng
4.
Câu Vb (1,0 điểm): Cho số phức
1 3
z i
= + . Hãy viết dạng lượng giác của số phức
5
z
.
---------- Hết ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ........................................ Số báo danh:
...............................................
Chữ ký của giám thị 1: .................................. Chữ ký của giám thị 2:
.................................
x
y
y = k
-1 2
-2
-1
3O1
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu I:
Hàm số:
2 3 2
( 3) 3
2 2
x x x x
y
- -
= =
Tập xác định:
D
=
¡
Đạo hàm:
2
3 6
2
x x
y
-
¢=
Cho 2
0 3 6 0 0; 2
y x x x x
¢
= Û - = Û = =
Giới hạn: ; lim lim
x x
y y
® - ¥ ® + ¥
= - ¥ = + ¥
Bảng biến thiên
x –
0 2
+ ¥
y
¢
+ 0 – 0 +
y
+ ¥
– –2
Hàm số ĐB trên các khoảng
( ;0),(2; )
- ¥ + ¥
, NB trên khoảng
(0;2)
Hàm số đạt cực đại yCĐ = 0 tại CÑ
0
x
=
đạt cực tiểu yCT = –2 tại CT
2
x
=
.
3 3 0 1 1
y x x y
¢¢
= - = Û = Þ = -
. Điểm uốn:
( )
1; 1
I
-
Giao điểm với trục hoành: hoaëc
3 2
0 3 0 0 3
y x x x x
= Û - = Û = =
Giao điểm với trục tung: cho
0 0
x y
= Þ =
Bảng giá trị: x –1 0 1 2 3
y –2 0 –1 –2 0
Đồ thị hàm số: như hình vẽ bên đây
Giao điểm của
( )
C
với trục hoành: cho 0
00
0
0
3
x
y
x
é
=
ê
= Û ê
=
ê
ë
Với 0 0 0
0, 0 ( ) 0
x y f x
¢
= = Þ =
. Pttt là:
0 0( 0) 0
y x y
- = - Û =
Với 0 0 0
9
3, 0 ( )
2
x y f x
¢
= = Þ =
. Pttt là:
9 9 27
0 ( 3)
2 2 2
y x y x
- = - Û = -
3 2
3 2 3 2 3
3 2 0 3 2
2
x x
x x k x x k k
-
- - = Û - = Û =
Số nghiệm của pt(*) bằng số giao điểm của
( )
C
và đường thẳng :
d y k
=
Dựa vào đồ thị ta thấy, pt(*) có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi:
0
k
>
hoặc
2
k
< -
Câu II:
( )
222
1
2 6 6 (2 6 6)
1 2( 1) 3 3 2 3
2
2 2.4 2 2.2 2 2
x x x x
x x x x x
+ - + -
+ + + - +
= Û = Û =
hoaëc
2 2
3 3 2 3 6 0 3 2
x x x x x x x
+ - = + Û + - = Û = - =
Vậy, phương trình có hai nghiệm: vaø
3 2
x x
= - =
D
AC
B
OM
AC
B
S
3 2
3 3
0 0
2 2
.
1 1
x x x
I dx dx
x x
= =
+ +
ò ò
Đặt 2
2
1
1
x
t x dt dx
x
= + Þ =
+
và 2 2
1
x t
= -
Đổi cận: x 0
3
t 1 2
Vậy,
2
3
22
11
8 1 4
( 1) 2 1
3 3 3 3
t
I t dt t
æ ö æ ö æ ö
÷
ç÷ ÷
ç ç
÷
ç ÷ ÷
= - = - = - - - =
ç ç
÷÷ ÷
ç÷ç ç
è ø è ø è ø
ò
Hàm số 5 4 3
3 9
y x x x
= - - +
liên tục trên đoạn
[ 2;1]
-
4 3 2 2 2
5 4 9 (5 4 9)
y x x x x x x
¢
= - - = - -
2 2
9
0 (5 4 9) 0 0; 1;
5
y x x x x x x
¢
= Û - - = Û = = - =
(chỉ loại nghiệm
9
5
x
=
)
(0) 9
f
=
;
( 1) 10
f- = ;
( 2) 15
f
- = -
và
(1) 6
f
=
Trong các kết quả trên, số –15 nhỏ nhất, số 10 lớn nhất.
Vậy, khi khi
[ 2;1] [ 2;1]
min 15 2 , max 10 1
y x y x
- -
= - = - = = -
Câu III
Gọi M là trung điểm đoạn BC, O là trung điểm đoạn AM.
Do ABC và SBC đều có cạnh bằng 2a nên
2 3
2
a
SM A M SA SA M
= = = Þ D đều
SO A M
^
(1)
Ta có, BC SM
BC SO
BC OM
ì
ï^
ïÞ ^
í
ï^
ï
î
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
( )
SO A BC
^ (do
, ( )
A M BC A BC
Ì)
Thể tích khối chóp S.ABC
3
1 1 1 1 3. 3 3
3 2
3 3 2 6 2 2
a a
V B h A M BC SO a a
= × × = × × × × = × × × = (đvtt)
THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu IVa: A(1;1;2), B(0;1;1) và C(1;0;4)
(1;0; 1) . 1.2 0.( 1) 1.2 0
(2; 1;2)
A B
A B A C A B A C A BC
A C
ì
ï= -
ï
ïÞ = + - - = Þ ^ Þ D
í
ï= -
ï
ï
î
uuur
uuur uuur
uuur
vuông tại A.
Gọi
( ; ; ) ( 1; ; 4)
D D D D D D
D x y z CD x y z
Þ = - -
uuur
Do
A B A C
^
nên A,B,C,D là bốn đỉnh của hình chữ nhật
khi và chỉ khi tứ giác ABDC là hình chữ nhật
1 1 2
0 0.
1 4 3
D D
D D
D D
x x
A B CD y y
z z
ì ì
ï ï
= - =
ï ï
ï ï
ï ï
Û = Û = Û =
í í
ï ï
ï ï
- = - =
ï ï
ï ï
î î
uuur uuur Vậy, D(2;0;3)
Gọi
( ; ; )
M a b c
thì
( ;1 ;1 )
(1 ; ;4 )
MB a b c
MC a b c
ì
ï= - - -
ï
ï
í
ï
= - - -
ï
ï
î
uuur
uuur
Vì
2
MB MC
=
uuur uuur
nên
2(1 ) 2
1 2( ) 1.
1 2(4 ) 7
a a a
b b b
c c c
ì ì
ï ï
- = - =
ï ï
ï ï
ï ï
- = - Û = -
í í
ï ï
ï ï
- = - =
ï ï
ï ï
î î
Vậy,
(2; 1;7)
M-
mp(P) đi qua điểm
(2; 1;7)
M- và vuông góc với BC nên có vtpt
(1; 1;3)
n BC= = -
uuur
r
ptmp (P):
1( 2) 1( 1) 3( 7) 0 3 24 0
x y z x y z
- - + + - = Û - + - =
Mặt cầu tâm A(1;1;2), tiếp xúc với mp(P) có bán kính
2 2 2
( 1) 1 3.2 24
20
( ,( ))
11
1 ( 1) 3
R d A P
- - + -
= = =
+ - +
Phương trình mặt cầu cần tìm: 2 2 2
400
( 1) ( 1) ( 2)
11
x y z+ + - + - =
Câu Va: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2 2
( 1) ,
y x x y x x
= - = +
và
1
x
= -
Cho 2 2 3 2
( 1) 3 0 0; 3
x x x x x x x x
- = + Û Û - = Û = =
L
Diện tích cần tìm là: 3 0 3
3 2 3 2 3 2
1 1 0
3 ( 3 ) ( 3 )
S x x dx x x dx x x dx
- -
= - = - + -
ò ò ò
0 3
4 4
3 3
1 0
5 27
8
4 4 4 4
x x
S x x
-
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
Û = - + - = - + - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
è ø è ø (đvdt)
THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu IVb:
Gọi
M
¢
là hình chiếu của điểm M lên d, thế thì
M d
¢
Î
, do đó toạ độ của điểm
M
¢
là:
(3 2 ; 1 ;1 2 ) (2 2 ; 3 ;4 2 )
M t t t MM t t t
¢ ¢
+ - + + Þ = + - + +
uuuuur
Đường thẳng d đi qua điểm
(3; 1;1)
A-, có vtcp
(2;1;2)
d
u=
r
Và ta còn có,
MM d
¢
^
nên
. 0
d
MM u
¢
=
uuuuur
r
(trong đó
d
u
r
là vtcp của d)
(2 2 ).2 ( 3 ).1 (4 2 ).2 0 9 9 0 1
t t t t t
Û + + - + + + = Û + = Û = -
Vậy, toạ độ điểm
(1; 2; 1)
M¢
- -
và toạ độ véctơ
(0; 4;2)
MM ¢= -
uuuuur
Mặt cầu tâm M, tiếp xúc với d có bán kính 2 2 2
0 ( 4) 2 2 5
R MM ¢
= = + - + =
Vậy, pt mặt cầu: 2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 20
x y z- + - + + =
mp(P) qua M, có vtpt
( ; ; ) 0
n a b c
= ¹
r
r
có pttq:
( 1) ( 2) ( 3) 0
a x b y c z
- + - + + =
(*)
Vì
( ) ||
P d
nên
. 0 2 2 0 2 2
d
n u a b c b a c
= Û + + = Û = - -
r r
(1)