TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Đề số 07 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
------------------------------ ---------------------------------------------------
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: 3 2
1
2 3
3
y x x x
= - + -
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm trên
( )
C
có hoành độ bằng 4. Vẽ tiếp
tuyến này lên cùng hệ trục toạ độ với đồ thị
( )
C
Câu II (3,0 điểm):
1) Giải phương trình: 1 2
9 3 18 0
x x+ +
- - =
2) Tính tích phân: 2
1
ln
e
I dx
x
+
=ò
3) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 5 4 3
( ) 5 5 1
f x x x x
= - + +
trên đoạn [–
1;2]
Câu III (1,0 điểm):
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600.
Tính thể tích của hình chóp.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây
1. Theo chương trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho
(2;1; 1), ( 4; 1;3), (1; 2;3)
A B C- - - - .
1) Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm C
đồng thời vuông góc với đường thẳng AB.
2) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng AB. Viết phương trình
mặt cầu tâm C tiếp xúc với đường thẳng AB.
Câu Va (1,0 điểm): Tìm số phức liên hợp của số phức z biết rằng:
3 9 2 11
z iz i
+ = + .
2. Theo chương trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho
(2;1; 1), ( 4; 1;3), (1; 2;3)
A B C- - - -
1) Viết phương trình đường thẳng AB và tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB
2) Viết phương trình mặt cầu
( )
S
tâm C, tiếp xúc với đường thẳng AB. Tìm toạ độ tiếp
điểm của đường thẳng AB với mặt cầu
( )
S
.
Câu Vb (1,0 điểm): Tính môđun của số phức z =
2011
( 3 )
i+.
---------- Hết ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ........................................ Số báo danh:
...............................................
Chữ ký của giám thị 1: .................................. Chữ ký của giám thị 2:
.................................
x
yd
4
2
-4/ 3
O3
BÀI GIẢI CHI TIẾT.
Câu I :
3 2
1
2 3
3
y x x x
= - + -
Tập xác định:
D
=
¡
Đạo hàm: 2
4 3
y x x
¢
= - + -
Cho 2
0 4 3 0 1 ; 3
y x x x x
¢
= Û - + - = Û = =
Giới hạn: ; lim lim
x x
y y
® - ¥ ® + ¥
= + ¥ = - ¥
Bảng biến thiên
x –
1 3 +
y
¢
– 0 + 0 –
y
+
0
4
3
-
–
Hàm số ĐB trên khoảng (1;3), NB trên các khoảng (–;1), (3;+)
Hàm số đạt cực đại CÑ
0
y
=
tại CÑ
3
x
=
; đạt cực tiểu CT
4
3
y
= -
tại CT
1
x
=
2
2 4 0 2
3
y x x y
¢¢
= - + = Û = Þ = -
. Điểm uốn là
(
)
2
3
2;I
-
Giao điểm với trục hoành: cho 3 2
0
1
0 2 3 0
3
3
x
y x x x
x
é
=
ê
= Û - + - = Û ê
=
ê
ë
Giao điểm với trục tung: cho
0 0
x y
= Þ =
Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4
y 0
4
3
-
2
3
-
0
4
3
-
Đồ thị hàm số: như hình vẽ
0 0
4
4
3
x y
= Þ = -
0
( ) (4) 3
f x f
¢ ¢
= = -
Vậy, tiếp tuyến cần tìm là:
4 32
: 3( 4) 3
3 3
d y x y x+ = - - Û = - +
Câu II
1 2
9 3 18 0 9.9 9.3 18 0
x x x x+ +
- - = Û - - =
(*)
Đặt
3
x
t
=
(ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành
(nhan)
(loai)
22
9 9 18 0 1
t
t t t
é=
ê
- - = Û ê= -
ê
ë
Với t = 2:
3
3 2 log 2
xx= Û =
Vậy, phương trình (*) có nghiệm duy nhất:
3
log 2
x=.
2a
60
M
O
C
B
AD
S
2 2 2
1 1 1 1
ln 1 ln 1 ln
e e e e
x x x x
I dx dx dx dx
x x
x x x
æ ö
+÷
ç÷
= = + = +
ç÷
ç÷
è ø
ò ò ò ò
Xét 1
11
1
ln 1
e e
I dx x
x
= = =
ò
Xét 22
1
ln
e
x
I dx
x
=ò
Đặt
2
1
ln
1
1
u x
du dx
x
dv dx v
x
x
ì
ï
ì
ïï
==
ïï
ïï
ï ï
Þ
í í
ï ï
=
ï ï = -
ï ï
ï
îï
ï
î
. Thay vào công thức tích phân từng phần ta được:
22
1
1 1
1 1 1 1 1 1 2
ln ( ) 1 1
e e
e
I x dx
x e x e e e
x
= - - - = - - = - - + = -
ò
Vậy, 1 2
2 2
1 1 2I I I
e e
= + = + - = -
Hàm số 5 4 3
( ) 5 5 1
f x x x x
= - + +
liên tục trên đoạn [–1;2]
4 3 2 2 2
5 20 15 5 ( 4 3)
y x x x x x x
¢
= - + = - +
Cho
(nhan)
(nhan)
(loai)
2
2 2
2
0 [ 1;2]
5 0
0 5 ( 4 3) 0 1 [ 1;2]
4 3 0 3 [ 1;2]
x
x
y x x x x
x x x
é= Î -
éê
=
êê
¢= Û - + = Û Û = Î -
êê
- + =
êê
ë= Ï -
ê
ë
Ta có, 5 4 3
(0) 0 5.0 5.0 1 1
f
= - + + =
5 4 3
(1) 1 5.1 5.1 1 2
f
= - + + =
5 4 3
( 1) ( 1) 5.( 1) 5.( 1) 1 10
f
- = - - - + - + = -
5 4 3
(2) 2 5.2 5.2 1 7
f
= - + + = -
Trong các kết quả trên, số nhỏ nhất là
10
-
và số lớn nhất là 2
Vậy, khi khi
[ 1;2] [ 1;2]
min 10 1; max 2 1
y x y x
- -
= - = - = =
Câu III
Gọi O là tâm của mặt đáy thì
( )
SO A BCD
^ nên SO là đường cao
của hình chóp.
Gọi M là trung điểm đoạn CD. Theo tính chất của hình chóp đều
·
0
( )
( ) 60
( ) ( )
CD SM SCD
CD OM A B CD SMO
CD SCD A BCD
ì
ï^ Ì
ï
ï
ï^ Ì Þ =
í
ï
ï= Ç
ï
ï
î
(góc giữa mặt
( )
SCD
và mặt đáy)
Ta có,
· ·
0
tan . tan . tan 60 3
2
SO BC
SMO SO OM SMO a
OM
= Þ = = =
Vậy, thể tích hình chóp cần tìm là:
3
1 1 1 4 3
. . . 2 .2 . 3
3 3 3 3
a
V B h A B B C SO a a a
= = = = (đvtt)
THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu IVa: Với
(2;1; 1), ( 4; 1;3), (1; 2;3)
A B C- - - - .
Điểm trên đường thẳng AB:
(2;1; 1)
A
-
vtcp của đường thẳng AB:
( 6; 2;4)
u A B= = - -
uuur
r
Suy ra, PTTS của đường thẳng AB:
2 6
1 2 ( )
1 4
x t
y t t
z t
ì
ï= -
ï
ï
ï= - Î
í
ï
ï= - +
ï
ï
î
¡
Mặt phẳng (P) đi qua điểm:
(1; 2;3)
C-
Vì ( )
P A B
^ nên: vtpt của mp(P) là:
( 6; 2;4)
n A B= = - -
uuur
r
Vậy, PTTQ của mp
( )
P
: 0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
A x x B y y C z z
- + - + - =
6( 1) 2( 2) 4( 3) 0
6 2 4 10 0
x y z
x y z
Û - - - + + - =
Û - - + - =
Thay ptts của AB vào PTTQ của mp(P) ta được:
6(2 6 ) 2(1 2 ) 4( 1 4 ) 10 0
1
56 26 0 0, 5
2
t t t
t t
Û - - - - + - + - =
Û - = Û = =
Thay t = 0,5 vào phương trình tham số của AB ta được:
1; 0; 1
x y z
= - = =
Vậy, toạ độ hình chiếu cần tìm là
( 1;0;1)
H
-
Vì mặt cầu (S) tâm C tiếp xúc với đường thẳng AB nên nó đi qua điểm H
Tâm mặt cầu:
(1; 2;3)
C-
Bán kính mặt cầu: 2 2 2
(1 1) ( 2 0) (3 1) 2 3
R CH= = + + - - + - =
Vậy, phương trình mặt cầu: 2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 12
x y z- + + + - =
Câu Va: Ta có,
3 9 2 11 3 2 9 11
z iz i z iz i
+ = + Û - = - + (1)
Đặt
z a bi z a bi
= + Þ = -
, thay vào phương trình (1) ta được
2
3( ) 2 ( ) 9 11 3 3 2 2 9 11
3 2 9 1
3 2 (3 2 ) 9 11 3 2 11 3
a bi i a bi i a bi ai bi i
a b a
a b b a i i b a b
+ - - = - + Û + - + = - +
ì ì
ï ï
- = - = -
ï ï
Û - + - = - + Û Û
í í
ï ï
- = =
ï ï
î î
Vậy,
1 3 1 3
z i z i
= - + Þ = - -
THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu IVb: Với
(2;1; 1), ( 4; 1;3), (1; 2;3)
A B C- - - - .
Đường thẳng AB: xem bài giải câu IVa.1 của chương trình chuẩn.
Đường thẳng AB đi qua
(2;0; 1)
A
-
, có vtcp
( 6; 2;4)
u A B= = - -
uuur
r