PHÒNG GD&ĐT TP BĂC NINH KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG THCS ĐÁP CẦU NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 08 tháng 06 năm 2011 (Đợt 2)
Đề thi gồm: 01 trang
Câu 1 (3 điểm)
a) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x - 4
b) Giải hệ phương trình
2 3 1
2 3 2
x y
y x
c) Rút gọn biểu thức:
3
2
9 25 4
2
a a a
P
Câu 2 (2 điểm)
Cho phương trình x2 -3x + m = 0 (1) (x là ẩn)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn
2 2
1 2
1 1 3 3
x x
Câu 3 (1 điểm)
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48km. Một canô đi từ bến A đến bến B, rồi quay
lại bến A. Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không kể thời gian nghỉ). Tính vận tốc của canô
trong nước yên lặng, biết vận tốc của nướclà 4km/h.
Câu 4 (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a, M là một điểm thay đổi trên cạnh BC (M
khác B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N khác C) sao cho MAN = 450. Đường chéo
BD cắt AM và AN lần lượt tại P và Q.
a) Chứng minh tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của MQ và NP. Chứng minh AH vuông góc với MN.
c) Xác định vị trí điểm M và điểm N để tam giác AMN có diện tích lớn nhất.
Câu 5 (1 điểm)
Chứng minh: a3 + b3 ab(a+b) với mọi a, b 0. Áp dụng kết quả trên, chứng minh
bất đẳng thức 3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1
a b b c c a
với mọi a, b, c là các số dương
thỏa mãn a.b.c = 1
------------------------------- Hết -------------------------------
Họ tên thí sinh: .......................................................... Số báo danh: ..............................................................
Chữ kí của giám thị 1: ............................................... Chữ kí của giám thị 2: ................................................
Câu 1 (3 điểm)
a) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x - 4
Đồ thị hàm số y = 2x - 4 là đường thẳng
cắt Ox tại điểm (2; 0) và cắt Oy tại điểm (0; -4)
b) Giải hệ phương trình
2 3 1
2 3 2
x y
y x
Thay x = 2y-3 vào (2) ta được y = 2.(2y - 3) -3 y = 3
Thay y = 3 vào (1) ta được x = 2.3 - 3 x = 3
Vậy nghiệm của hệ phương trình
3
3
x
y
hay (3; 3)
1
1
2
3
4
5
2 2 4
y = 2∙x 4
c) Rút gọn biểu thức:
3
2
9 25 4
2
a a a
P
a a
9 5 2
2
a a a a
a a
2 2 2
2
a a
a
a a a
Câu 2 (2 điểm)
Cho phương trình x2 -3x + m = 0 (1) (x là ẩn)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
Với m = 1 ta có phương trình: x2 -3x + 1 = 0
= b2 - 4ac = (-3)2 - 4.1.1 = 5 > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
3 5
2 2
b
x
a
và 2
3 5
2 2
b
x
a
Vậy với m = 1 thì tập nghiệm của phương trình
3 5 3 5
;
2 2
S
b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Thì > 0 9 - 4m >0
9
4
m
Khi đó, theo Vi-et ta có:
1 2
1 2
3
b
x x a
c
x x m
a
Mặt khác:
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 3 3 1 1 2 1 1 27
x x x x x x
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 1 1 25 25 2 25 9 2 2 8
x x x x x x x x m m
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 8 2 16 64
x x m x x x x m m
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 1 16 64
x x x x x x m m
2 2
9 2 1 16 64 18 54 3
m m m m m m
Vậy m = -3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn đ/k 2 2
1 2
1 1 3 3
x x
Câu 3 (1 điểm)
Gọi x (km/h) là vận tốc của ca-nô lúc nước yên lặng. (đ/k x > 4).
Khi đó Vận tốc ca-nô lúc xuôi dòng x + 4 (km/h), vận tốc ca-nô lúc ngược dòng x - 4 (km/h)
Thời gian ca-nô đi xuôi dòng
48
4
x
(h), thời gian ca-nô đi ngược dòng
48
4
x
(h)
Thời gian cả đi và về (không tính thời gian nghỉ) là 5 giừo nên ta có phương trình 48 48
5
4 4
x x
(*)
phương trình (*) 2
5 96 80 0
x x
(
' 2704 ' 52
) x1 = 4
4
5
(loại); x2 = 20
Vậy vận tốc của ca-nô lúc nước yên lặng là 20 km/h.
Câu 4 (3 điểm)
Phần b
Do C/m phần a: ABMQ là tứ giác nội tiếp
AQM + ABM = 180
0
AQM = 90
0
MQ AN MQ là đường cao (1)
C/m tương tự phần a ta được ADNQ là tứ giác nội tiếp
APN + ADN = 180
0
APN = 90
0
NP AM NP là đường cao (2)
H là trực tâm AH là đường cao AH MN
Phần a
A, B cùng nhìn MQ dưới góc 45
0
A, B thuộc cung chứa góc 45
0
dựng trên đoạn MQ A, B, M, Q cùng thuộc 1 đường tròn
ABMQ là tứ giác nội tiếp
Phần c
S
AMN
= S
A
BCD
- S
ABM
- S
ACN
- S
CMN
= a
2
- 1
2a.BM - 1
2a.DN - 1
2CM.CN
= a
2
- 1
2a.BM - 1
2a.DN - 1
2a-BM( ). a-DN( ) =1
2a
2
- 1
2BM.DN
Để S
AMN
đạt giá trị lớn nhất thì BM.DN nhỏ nhất BM = 0 hoặc DN = 0
Do M ≠ B BM ≠ 0 cần có DN = 0 N ≡ D M ≡ C
M
H
P
N
Q
C
B
A
D
Câu 5 (1 điểm)
a) Chứng minh: a3 + b3 ab(a+b) với mọi a, b 0
Ta cần chứng minh: a3 + b3 - ab(a+b) 0
Ta có a3 + b3 - ab(a+b) = (a+b)(a2 - ab + b2) - ab(a+b) = (a+b)(a2 + b2 - 2ab + b2) = (a+b)(a - b)2
Do a, b 0 a + b 0 và (a - b)2 0 (a+b)(a - b)2 0 Vậy a3 + b3 ab(a+b) với mọi a, b 0
b) Áp dụng kết quả trên, chứng minh bất đẳng thức 3 3 3 3 3 3
111
1
1 1 1
a b b c c a
với mọi a, b, c
là các số dương thỏa mãn a.b.c = 1
Ta có a3 + b3 ab(a+b) kết hợp với a.b.c = 1
a3 + b3 +1 ab(a+b) +abc = ab(a+b+c)
3 3
1
1
abc c
a b ab a b c a b c
Tương tự 3 3
1
1
a
b c a b c
và 3 3
1
1
b
c a a b c
Do đó 3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1
c b a a b c
a b b c c a a b c a b c a b c a b c