Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH
LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN
NĂM 2010
MÔN THI: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I 1) Giải phương trình
4133 xx
2) Giải hệ phương trình
.1123
26225 22
yxyxx
xyyx
Câu II 1)Tìm tất cả các số nguyên dương n để 391
2n là số chính phương.
2)Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện 1
zyx . Chứng
minh rằng
.1
1
22 22
xy
yxzxy
Câu III
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác. Kí hiệu H là
hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các
đường thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng.
1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC.
2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp.
Câu IV
Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự 201021 ,...,, aaa ,
ta đánh dấu tất cả các số dương và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên
tiếp liền ngay sau nó là một số dương.
Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất
cả các số được đánh dấu là một số dương.
_____________________________
Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm.
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath
Vòng II
Câu I 1)Giải phương trình
4133 xx
Đk:
1
x
3
Với x=1 là nghiệm của phương trình.
Với x > 1 , vế trái lớn hơn 4. Phương trình vô nghiệm
Với x < 1 , vế trái nhở hơn 4. Phương trình vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình là x=1
2)Giải hệ phương trình
.1123
26225 22
yxyxx
xyyx
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
5x 2y 2xy 26
3x 2x 2xy xy y 11
5x 2y 2xy 26
5x 2y 2xy 2 2x 3x y xy 26 2.11 48
2x 3x y xy 11
x 2
9x 6x 48 0 8
x3
Với x=2. Ta có
2 2 2
y 1
2.2 3.2 y 2y 11 y 2y 3 0
y 3
Với
8
x
. Ta có :
2
2 2
8 8 8 8 43
2 3 y y 11 y y 0
3 3 3 3 9
Phương trình vô nghiệm
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
2;1 ; 2; 3
Câu II 1)Tìm tất cả các số nguyên dương n để 391
2n là số chính phương.
Giả sử
2 2
n 391 a
với a nguyên dương. Ta có
n a 1 n 195
L
n a 391 a 196
n a n a 391 n a 391 n 195
TM
n a 1 a 196
Vậy số nguyên dương n thỏa mãn đề bài là 195.
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath
2)Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện 1
zyx . Chứng
minh rằng
.1
1
22 22
xy
yxzxy
Ta có
2 2 xy z x y z x y x z y z x y
xy z 2x 2y xy z x y
1
1 xy 1 xy 1 xy 1 xy
Dấu “=” xảy ra khi
1
x y z
Câu III
1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC.
Ta có các tứ giác BEPH và PHQM là tứ giác nội tiếp. Từ đó
1 1 2 2
H P P H
mà
2
1
H C
(cùng phụ với
QHC
)
1
1
H C
nên
CM EH CM AB
tương tự
BM AC
. Vậy M là trực tâm của tam
giác ABC.
2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp.
EBH HPF
(cùng bù với góc
HPE
)
HPF PFA EBH PFA
Vậy tứ giác BEFC nội tiếp.
Câu IV
Số các số được đánh dấu
1
Nếu tất cả các số được đánh dấu là số dương ta có đpcm.
Lê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath
Nếu các số đánh dấu có số âm giả sử là
n
a
thì số
n 1
a
là số dương cũng được đánh dấu
và n n 1
a a 0
, mọi số âm đều có số có tổng dương, các cặp số này không trùng nhau.
Vậy tổng các số được đánh dấu là dương.