Đề thi Toán Chuyên lớp 10 An Giang: Tuyển sinh năm 2016-2017 (Sở GD&ĐT)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Khóa ngày 07 - 6 - 2016

Môn : TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

3 − 5 . 2 + 5 − 7 + 3 5 = 0

Câu 1 (1,0 điểm). Không dùng máy tính, chứng minh rằng:

Câu 2 (1,5 điểm).

Giải hệ phương trình 3𝑥 + 2𝑦 = 5 2𝑥 − 3𝑦 = 3 Câu 3 (1,5 điểm).

Cho Parabol (𝑃): 𝑦 = 𝑥2 và đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = 𝑘𝑥 −

a. Vẽ đồ thị của Parabol (𝑃). b. Tìm 𝑘 để đường thẳng (𝑑) tiếp xúc với Parabol (𝑃).

Câu 4 (2,0 điểm).

+ 𝑚 = 0 (𝑚 là tham số).

𝑥 2 + 𝑥 −

Cho phương trình 𝑥2 + 𝑥 a. Khi 𝑚 = −2, giải phương trình đã cho. b. Tìm các giá trị 𝑚 để phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 5 (3,0 điểm).

Từ một điểm 𝑀 ở ngoài đường tròn (𝑂) vẽ hai tiếp tuyến 𝑀𝐴, 𝑀𝐵 đến đường tròn (𝐴, 𝐵 là hai tiếp điểm). Qua 𝐴 vẽ đường thẳng song song với 𝑀𝐵 cắt đường tròn tại 𝐶; đoạn thẳng 𝑀𝐶 cắt đường tròn tại 𝐷. Hai đường thẳng 𝐴𝐷 và 𝑀𝐵 cắt nhau tại 𝐸. Chứng minh rằng:

a. Tứ giác 𝑀𝐴𝑂𝐵 nội tiếp đường tròn. b. 𝑀𝐸2 = 𝐸𝐷. 𝐸𝐴.

c. 𝐸 là trung điểm của đoạn 𝑀𝐵.

Câu 6 (1,0 điểm).

Thùng chở hàng của một chiếc xe tải có dạng hình hộp chữ nhật, chiều dài 4,9 m, chiều rộng 2,1 m. Xe tải dự định chở nhiều thùng phuy, thùng phuy dạng hình trụ có chiều cao bằng đường kính đáy và thể tích 220 lít. Người ta xếp các thùng phuy lên xe tải theo nguyên tắc không để nằm ngang và không chồng lên nhau. a. Tính đường kính đường tròn đáy của thùng phuy. b. Em tính xem có thể xếp 32 thùng phuy lên xe tải được không? Tại sao?

---------Hết--------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . .

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG

ĐÁP ÁN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Khóa ngày 07-6-2016 MÔN TOÁN CHUYÊN

Đáp án Điểm A. ĐÁP ÁN Câu

Ta có

= 3 − 5 9 + 4 5

3 − 5 2 + 5 = (3 − 5) 2 + 5

= 27 + 12 5 − 9 5 − 20

= 7 + 3 5

⇒ 3 − 5 . 2 + 5 − 7 + 3 5 = 0 điều phải chứng minh

1,0 Câu 1

3𝑥 + 2𝑦 = 5 (1)

2𝑥 − 3𝑦 = 3 (2)

Nhân phương trình (1) cho 3 và (2) cho 2 3 ta được

1,5 3 3𝑥 + 6𝑦 = 15 4 3𝑥 − 6𝑦 = 6 Câu 2 Cộng theo vế hai phương trình ta có

7 3𝑥 = 21 ⟺ 𝑥 = 3

Thay 𝑥 = 3 vào phương trình (1) ta được 3. 3 + 2𝑦 = 5 ⟺ 𝑦 = 1 Vậy hệ có nghiệm ( 3; 1)

𝑦 = 𝑥2 1 2 Bảng giá trị

𝑥 𝑦 −2 −1 1/2 2 0 0 2 1/2 2

Đồ thị Parabol như hình vẽ

0,75 Câu 3a

2 1 2

Phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = 𝑘𝑥 − 𝑥2 0,75 Câu 3b 𝑥2 = 𝑘𝑥 − ⟺ 𝑥2 − 2𝑘𝑥 + 1 = 0 (∗) và 𝑃 : 𝑦 = 2 1 2

Để (𝑑) tiếp xúc (𝑃) thì phương trình (*) có nghiệm kép khi đó

∆′ = 0 ⟺ 𝑘2 − 1 = 0 ⟺ 𝑘 = ±1

Vậy 𝑘 = ±1 thì (𝑑) và (𝑃) tiếp xúc nhau Khi 𝑚 = −2 phương trình trở thành

𝑥2 + − 2 = 0 Đ𝐾 𝑥 ≠ 0 1 𝑥2 + 𝑥 − 1 𝑥

𝑥

𝑥 2 − 2 ta được phương trình

Đặt 𝑡 = 𝑥 − ⇒ 𝑡2 = 𝑥2 +

𝑡2 + 2 + 𝑡 − 2 = 0 ⟺ 𝑡2 + 𝑡 = 0 ⟺ 𝑡 = 0; 𝑡 = −1

𝑥

1,0 = 0 ⟺ 𝑥2 − 1 = 0 ⟺ 𝑥1 = 1; 𝑥2 = −1 Câu 4a Khi 𝑡 = 0 ta được 𝑥 − Khi 𝑡 = −1 ta được

−1+ 5

−1− 5

𝑥 − = −1 ⟺ 𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 1 𝑥

−1+ 5

−1− 5

Phương trình có nghiệm 𝑥3 = ; 𝑥4 =

So với điều kiện phương trình có tập nghiệm 1; −1 ; ;

𝑥

𝑥 2 + 𝑥 −

𝑥2 +

𝑥

⇒ 𝑡2 = 𝑥2 + + 𝑚 = 0 Đ𝐾 𝑥 ≠ 0 𝑥 2 − 2

Đặt 𝑡 = 𝑥 − Phương trình trở thành 𝑡2 + 𝑡 + 𝑚 + 2 = 0 (∗) Phương trình (*) có hai nghiệm khi

∆≥ 0 ⟺ 1 − 4 𝑚 + 2 ≥ 0 ⟺ 𝑚 ≤ −7/4 1,0 Câu 4b Mỗi giá trị 𝑡 là nghiệm phương trình (*) ta được phương trình

𝑥 − = 𝑡 ⟺ 𝑥2 − 𝑡𝑥 − 1 = 0 (∗∗) 1 𝑥

Phương trình (**) luôn có hai nghiệm phân biệt 𝑥1; 𝑥2 do 𝑎 và 𝑐 trái dấu Như vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì 𝑚 ≤ −7/4. Tứ giác 𝑀𝐴𝑂𝐵 có 𝑀𝐴𝑂 = 900 (tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm)

1,0 Câu 5a

𝑀𝐵𝑂 = 900 (tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm) Vậy tứ giác 𝑀𝐴𝑂𝐵 có tổng hai góc đối diện là 1800 nên tứ giác đó nội tiếp.

(Hình vẽ 0,5 đ cho câu a)

Xét hai tam giác 𝑀𝐸𝐷 và 𝐴𝐸𝑀 có 𝐷𝑀𝐸 = 𝐴𝐶𝑀 (so le trong) 𝑀𝐴𝐸 = 𝐴𝐶𝑀 (cùng chắn cung 𝐴𝐷) ⇒ 𝐷𝑀𝐸 = 𝑀𝐴𝐸 1,0 Câu 5b Góc 𝐸 chung vậy hai tam giác đồng dạng

⇒ = ⇒ 𝑀𝐸2 = 𝐸𝐷. 𝐸𝐴 (∗) 𝑀𝐸 𝐴𝐸 𝐸𝐷 𝐸𝑀

Hai tam giác 𝐵𝐸𝐷 và 𝐴𝐸𝐵 đồng dạng do + 𝐸𝐵𝐷 = 𝐵𝐴𝐷 (cùng chắn cung 𝐵𝐷); + Góc 𝐸 chung. 1,0 Câu 5c ⇒ = ⇒ 𝐸𝐵2 = 𝐸𝐴. 𝐸𝐷 (∗∗) 𝐸𝐵 𝐸𝐴 𝐸𝐷 𝐸𝐵

Từ (*) và (**) suy ra 𝐸𝑀 = 𝐸𝐵 hay 𝐸 là trung điểm của đoạn 𝑀𝐵. Ta có công thức tính thể tích hình trụ: 𝑉 = 𝜋𝑅2ℎ Do chiều cao gấp 3/2 đường kính đáy nên ta được

ℎ = 3𝑅 ⇒ 𝑉 = 3𝜋𝑅3

3 3𝜋𝑅3 = 220 dm3 ⇒ 𝑅 =

Thùng phuy có thể tích 220 lít nên có thể tích 220 dm3 Ta được: 0,5 Câu 6a

dm ≈ 2,86 (dm) 220 3𝜋

Đường kính đáy của thùng phuy 5,72 dm Có thể xếp được 32 thùng phuy lên xe tải cách như sau

0,5 Ta xếp các thùng phuy theo hàng và xen kẻ như hình vẽ, gồm 4 hàng mỗi hàng 8 thùng phuy. Xét ba thùng phuy đứng cạnh nhau tâm của đường tròn đáy tạo thành tam giác đều có cạnh 5,72 dm. Đường cao của tam giác đều này là Câu 6b

5,72. dm 3 2 Chiều rộng cần có giữa 4 hàng là

5,72. . 3 + 5,72 = 20,58 dm = 2,058 (m) 3 2

Thỏa chiều rộng của thùng xe 2,1m Chiều dài cần có giữa các thùng phuy

8.5,72 + 2,86 = 48,62 dm = 4,882 (m)

Thỏa chiều dài thùng xe 4,9 m Vậy có thể sắp được 32 thùng phuy lên xe tải.

B. HƯỚNG DẪN CHẤM:

1. Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn được điểm tối đa. 2. Điểm số chia nhỏ tới 0,25 điểm cho từng câu trong đáp án, giám khảo chấm bài không dời điểm từ phần này qua phần khác.