SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN THI: TOÁN - CHUYÊN (Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 25/6/2013

Câu 1: (3,0 điểm)

2

2

x

2

x

3

x

10

x

25

1) Giải phương trình: 



 21

10

5

4 y

4 x

2) Giải hệ phương trình:

10

5

4 x

4 y

      

Câu 2: (4,0 điểm)

,

a đều là hợp số.

,

2015

n

a 1

a 2

2015

, a a 1 2 cho 11

ab

bc

ca

 . 2

1) Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho 2015 viết được dưới dạng:  , với các số  a n 2014 2013 2) Tìm số dư khi chia  2012 3) Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn đẳng thức c

a

b

Chứng minh rằng:

1

1

1

1

b a

c b

a c

Câu 3: (1,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa cung AB, M là một điểm bất kỳ trên cung AC. Tia phân giác của COM cắt BM tại điểm D. Chứng minh rằng khi điểm M di động trên cung AC thì điểm D thuộc một đường tròn cố định. Câu 4: (1,5 điểm)

Cho tam giác đều ABC. Lấy điểm P tùy ý trong tam giác ABC. Từ điểm P hạ PD,

PE, PF lần lượt vuông góc tới các cạnh BC, CA, AB. Tính tỉ số

BD CE AF PD PE PF    

SƠ LƯỢC BÀI GIẢI

2

10

x

  

25

x

x

3

x

3

x

7

25

3

 1





2

2

2

2

   x x 4 25 4

       x x x x 9 12 25

 21  21  4

4 12

2

2

 x       

2

2

  x  144 25 4 9

2

2

  x 4 9 169

2

   2 26 x 1    x 2 x x x

     x 4 9 13     x 4 13 9

   x 22 0 4    x 4 4 0    x 2 2   2 26, x 3

Câu 1: (3,0 điểm)  1)  2 x x 2 x     x 3    9     x    x   

2) ĐK:

. Hệ trở thành:

x

,

y

 . Đặt

a

,

b

0

  a

, 0

  b

2 5

2 5

5 2

5 2

1 x

1 y

  

  

2

2

4

a

5

5 4

a

10 4 b 

10 4 b 

 

2

2

b 4

a

5

 10 4

a

 

b 5 4

    

 10 4 2

     2

 25 16

40

a

a

0

, 0

  a

  b

2

2

5 4

5 4

  

2

   

40 b  40

       

2

2

a b 40

  25 16 b 2 2  b a 16 16  

10   0  a

   a 3

10   0  b 3  a b 

  10 4 b   10 4 a  2   b a 4 4  3    a b    

2

2

2

 10 4

a

 25 16

a

  

40

4

a

a

8

a

3 0

+) a b , ta có:

a

2

 a  1      

3 2 1 2

a 3 10  b  a b  3 b  

Với

a b

     (TMĐK) y

4

x

1 2

(không xảy ra). Vì

a  (không TMĐK), 1 a  (TMĐK) 2 1 2 3 2

a +) 3

b 3

10

Vậy hệ có một nghiệm duy nhất

4 4

x    y

0   a , 0   b   3 a b 3   2  10 5 4 5 4 15 15  2 4

Câu 2: (4,0 điểm) 1) Ta có hợp số nhỏ nhất là 4 mà 2015 4 503 3

 

  

n

503

 có ít nhất một

,503

 là số (không thỏa

 

  4 502 9 2017

ia i   1, 2, 2015

 

  

a 1

 a 1

 a 2

a 503  a 503

2015 a  a 1 2     a 9 1

2013

2014

2012

 1

2013

Mà

B

B

  . Vậy n = 502 2014  2013 B

2013

2014

2014

+) Nếu n = 503 thì lẻ, giả sử là mãn) +) Nếu n = 502, ta có: 2015 4 500 6 9  2) Ta có: 2015   1        1 1

2013 2

B

 1

1   2014 

201

2014

 10 201

2

B

 

1 16

 

1 16

  1

B

15

B

4

2013 2   11 (11) 2  B   11

  11

  11

 

1  

(Vì

2012    1 16 2 102

1024 11 93 1

B

1    ). 1 2014

2012

   2012      2012 1   2013 2     B 11      11 2013 2015

Vậy số dư khi chia

2

cho 11 là 4 2

2

a

b

3) Với a, b, x, y là các số dương ta chứng minh

  1

a x

b y

x

 y

2

2

 a y b x

x

y

  1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

 

 

 xy a b b xy

 a xy

a y

b x

 a xy b xy

2

abxy

0

2

2

2

2

2

abxy

0

 ay bx

  

0

ay bx

 (bất đẳng thức đúng). Dấu “=” xảy ra khi

0

a y   

b x 2

a x

b y

2

2

2

2

Áp dụng (1) ta chứng minh

với a, b, c, x, y, z là các số

  2

a x

b y

c z

a x

 b c     y z

dương.

2

2

2

2

2

2

. Dấu “=” xảy ra khi

Thật vậy

a x

b     y

 c z

c z

c z

a x

 

 b y

a x

b y

b y

c  z

2

2

2

2

c

a

b

Áp dụng (2), ta có

a  a b

b  b c

c  c a

  a b c 2

a x     a b c    a b c 2

1

1

1

a c

b a

2

2

2

c

a

    

a b c

0

ab

bc

ca

 2

c

b

a

b

Lại có 

c

 b

a

. Dấu “=” xảy ra khi

Do đó

1

c b  2   2

1

1

1

a c

c b c  c a

a b c    

b a b  b c a b c  

2 3

2

ab

bc

ca

a    a b      Câu 3: (1,5 điểm)

(góc nội tiếp và góc

BOC 

(vì  CA CB OC AB

A

M

F

S

E

P

I

K

B

C

N

L

D

CBM

Ta có   1  COM COD  2 ở tâm, OD là phân giác COM ) Xét tứ giác BCDO, ta có:  CBD COD (cmt), O và B nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ CD  O, B cùng thuộc một cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng OB. Do đó tứ giác BCDO nội tiếp Lại có  090 )    Vậy tứ giác BCDO nội tiếp đường tròn đường kính BC, mà BC cố định nên D thuộc đường tròn cố định đường kính BC (cung OC hình vẽ) Câu 4: (1,5 điểm) Đặt AB = BC = CA = a Qua P kẻ SL // AB (S  AC, L  BC), IK // BC (I  AB, K  AC), MN // AC (M  AB, N  BC). Rõ ràng các tứ giác ABLS, BCKI, ACNM là các hình thang cân và các tam giác PMI, PLN, PKS là các tam giác đều có PF, PD, PE lần lượt là các đường cao  BL = AS, LD = ND, CK = BI, KE = SE, AM = NC, MF = IF  BL + LD + CK + KE + AM + MF = AS + ND + BI + SE + NC + IF  BD + CE + AF = AE + BF + CD Mà (BD + CE + AF) + (AE + BF + CD) = BC + AC + AB = 3a

(*)

2

a

Lại có

S

=S

+S

+S

= a(PD+PE+PF)

PD+PE+PF=

**

ABC

BPC

APC

APB

4

a 3 2

Từ (*) và (**) có

=

:

= 3

3 1 2 BD+CE+AF 3a a 3 PD+PE+PF

2

2

 BD+CE+AF= a 3 2

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247

- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi vào

lớp 10 các trường chuyên.

- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong những

năm qua.

- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học sinh

giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết

quả tốt nhất.

- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.

- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.

 https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/

Trang | 1

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807