Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2012 – 2013  Môn thi : TOÁN CHUYÊN Ngày thi : 22/6/2012 (Thời gian : 150 phút – không kể thời gian phát đề) 

2 6

3 4 2 3

P

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHÁNH HÒA  (Đề thi có 01 trang) Bài 1.(2.00 điểm)

 11 2

6

12

18

 

1) Rút gọn biểu thức .

A 1

  

1 3

1  2n 3

1  2n 1

2) Với n là số nguyên dương, cho các biểu thức

B

1 1.(2n 1)

1 3.(2n 3)

1  (2n 3).3

1  (2n 1).1

và .

A B

2

2

x

2x 1

 

x

2x 1

Tính tỉ số .

 .

  2 1 x

2

 

y 3

Bài 2.(2.00 điểm) 1) Giải phương trình

2

2(x

y

  xy) x 5

   (x y)   2 

2) Giải hệ phương trình .

Bài 3.(2.00 điểm)

. 1) Cho ba số a, b, c thỏa mãn a

 (  là tập hợp các số nguyên).

x

|

A

a2  3x 1

3a 36 và abc 1 . Chứng minh 2 2 2  c ) 3(ab bc ca)   3(b 0 . Tìm số phần tử của tập hợp   

  

2) Cho a   và a

2

Bài 4.(3.00 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Tiếp tuyến tại A của (O; R) cắt đường thẳng BC tại điểm M. Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. 1) Chứng minh AB.AC 2R.AH .

MB MC

AB AC

   

  

2) Chứng minh .

3) Trên cạnh BC lấy điểm N tùy ý (N khác B và C). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông

Trang | 1

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

góc của N lên AB, AC. Tìm vị trí của N để độ dài đoạn EF nhỏ nhất. Bài 5.(1.00 điểm)

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

BH

BC.

1 3

2

2

2

2  AK KH

 BC AB

Cho tam giác ABC có đường cao AH, biết H thuộc cạnh BC và Trên tia đối

của tia HA, lấy điểm K sao cho . Chứng minh

1 3 AK.BC AB.KC AC.BK

Trang | 2

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

.

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

2 6

3 4 2 3

P

HƯỚNG DẪN GIẢI Đáp án Bài Điểm

6

18

 

. Rút gọn biểu thức 1 điểm

6

3

2

3

6

2

12 

P

18

 11 2

0.25

 

3 

  6

2

3

6 

1.1

2

3

6

6

  

2

3

11 2   12   3 1 2   3 1

0.25

  

3

6

0.25

0.25

2  3 1. A B

B

1

1

Tính tỉ số . 1 điểm

1  2n 1

1 3

1  2n 3

1  2n 3

1 3

1  2n 1

1 2n

  

  

  

  

  

  

  

0.25

B

1

1

1   3

1  2n 3

1  2n 1

1   3

1  2n 3

1  2n 1

  

  

  

  

        

     

B

.2A

1.2 0.25

1 2n 1 2n

 . n

0.25

A B

2

2

0.25

x

2x 1

 

x

2x 1

 .

  2 1 x

2

1 điểm Giải phương trình

2x

2x 1 0

  . Đặt t 2t

 

  Phương trình trở thành 

 

2x 1 0. x    0 2 x 1 t 4x

Điều kiện 0.25

  

 t 2 t 2x

2x

 t 2      0 t 

2

2

0.25 2.1

x

2x 1 2

   

x

1

x

6

2,

0

2

x

2x 1

:

 

2x,

0.25 Với t ta có (nhận)

      2x 5 0  x 2

  2x 1 0

Với t ta có vô nghiệm 0.25

     2x 3x  6 .

   1

Trang | 3

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Vậy phương trình có nghiệm x

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

2

y 3

  2

2(x

y

xy) x

 

5

  (x y)   2 

   Dùng phương pháp cộng hoặc thế ta được 2xy 2y x 1 0

Giải hệ phương trình . 1 điểm

y

 

(x 1)(2y 1) 0

     hoặc x

1

1  2

1

2

y

0

y 2

0.25

1  , ta được

y y

  2

         và ( 1;2)

10

2

y

x

    

x

x

0

Với x 0.25 2.2 Ta được hai nghiệm ( 1; 1)

 , ta được

  1 2

1 2

Với

0.25

  1 2

9 4 10 1 ; 2

  1 2

10 1 ; 2

  

  

  

  

Ta được hai nghiệm và

  ; ( 1;2)

  1 2

10 1 ; 2

  1 2

10 1 ; 2

  

  

  

  

Tóm lại hệ có bốn nghiệm ( 1; 1) ; và . 0.25

Chứng minh bất đẳng thức. 1 điểm

1 a

Ta có bc = . Bất đẳng thức được viết lại

2

2

2

b

c

 2bc 3bc a b c

 0

a 3

2

2

0.25

b c

  0

  

 a b c

3 a

2

2

0

b c

0.25 3.1

a 3 3   a

a 12

a 2

     

  

2

3

36

a

0.25

3a

36

b c

0

a 2

 12a

     

  

(hiển nhiên đúng vì ) 0.25

A

x

|

Bất đẳng thức được chứng minh.

0 . Tìm số phần tử của tập hợp

a2  3x 1

  

  .  

Cho a   và a 1 điểm

    3x 1

b 2 ,

a2 (3x 1)

0;1;...;a

 thì

a2  3x 1

0.25 Xét x   . Nếu với b

  k 1

  )  k 2

k

 

2

1 4

4

Nếu b là số chẵn, tức là b 2k (k 3.2

b

2k    phương trình 2 k Ta cũng có

3x 1

   không có

2

2

   ... 1) 3 có nghiệm nguyên duy nhất  phương trình 1) 2

3

 

 1 (4 1)(4 b 3x 1 2   k    (4 1 

  

0.25

Trang | 4

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

nghiệm nguyên

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

 2k 1

k

k

k

b

 2k 1(k

   )

2

 

1 2.4

  1

3.4

(4

1)

3

 

 

b

Nếu b lẻ, tức là 

b

k

k

3x 1

   có 2

(4

3.4

3x 1 2    2k 1    1 

0.25 phương trình phương trình Ta cũng có 2 không có nghiệm nguyên   1) 3

A

I

O

F

E

K

nghiệm nguyên duy nhất Vậy số phần tử của A là a 1. 0.25

C

M

H

B

N

D

Không chấm điểm hình vẽ bài 4

4.1

. Chứng minh AB.AC 2R.AH 1 điểm

Kéo dài AO cắt đường tròn (O) tại D

(nội tiếp cùng chắn có  CDA HBA và ACD 0.25

ACD

Hai tam giác vuông AHB AC )   0.25

0.25

 AHB AB AH  AD AC  AB.AC AD.AH 2R.AH

2

. 0.25

MB MC

  

   

. Chứng minh 1 điểm

AB AC ta có M chung,  ACB MAB (g.g)

 MAC MBA

  2

2

(góc nội tiếp và góc tạo và MBA  0.25 Xét MAC  bởi tiếp tuyến với dây cung)

2

AB AC

   

  

2

MB.MC MA

4.2 0.25

2

Và 0.25

MB MB AB   MA AC MA MB MA  MA MC MB MC

AB AC

   

  

. Suy ra 0.25

0

1 điểm

0 180

90

Trang | 5

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

4.3 nên tứ giác AFNE nội tiếp đường tròn 0.25 Tìm vị trí của N để độ dài đoạn EF nhỏ nhất. Ta có   0  AEN AFN 90 đường kính AN

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

0.25 ta suy ra KE = KF và  BAC KIE

 

 .

  

N H

0.25

0.25

A

H

J

B

C

Gọi I là trung điểm AN, từ I hạ IK EF Trong tam giác vuông IKE ta có  KE IE.sin KIE IE.sin BAC EF AN.sin BAC AH.sin BAC    Vậy EF nhỏ nhất khi và chỉ khi AN AH

I

K

x

Không chấm điểm hình vẽ bài 5

Chứng minh AK.BC AB.KC AC.BK . 1 điểm

2

2

2

2

2

2

2

BI

BJ

JI

 BJ KH

 BC KH

4 9

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

 AI AK KI AK HJ AK

BC

BC AB KH

BC

0.25 Gọi J là điểm thuộc đoạn BC sao cho H là trung điểm BJ. Kẻ đường thẳng Jx qua J vuông góc BC, đường thẳng qua K song song BC cắt đường thẳng Jx tại I. Khi đó, BKIC là hình thang cân và HKIJ là hình chữ nhật. 5

1 9

1 3

1 9

2

2

2

2

2 BC AB KH BI AB

0.25

4 9 ABI

 

2

2

2

2

2

2

2  AC AH HC AB

BC

2  BC AB

BC

4 9

1 3

1 9

2

2

2

2

2

 IC KH JC KH

BC

vuông tại B.

1 9

2

2

2

2

2

2

2  AC IC

2 BC AB KH AB BI AI

4 9 vuông tại C.

 

ACI

S

S

S

S

AK.BC

AB.BI

AC.IC

0.25

ABIC

ABI

  AIC

1 2

Khi đó, ABKC 0.25

1 1 2 2 AK.BC AB.KC AC.BK

.

Trang | 6

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

------- HẾT -------

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247

- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi

vào lớp 10 các trường chuyên.

- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong

những năm qua.

- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học

sinh giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết

quả tốt nhất.

- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.

- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.

 https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/

Trang | 7

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807