Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH.

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2014 - 2015 Ngày thi: 21 tháng 06 năm 2014 Môn thi: TOÁN (chuyên) Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 1 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi)

 

Câu 1: (1 điểm) Cho biểu thức A =

với x 0 và x  4 .

Rút gọn A và tìm x để A =

2 4 x x  1  2 x 2 x

1  1 3

Câu 2: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

4 2 3

x

2 2 3.  x

–

 = 0 3  x 3 2

y   2 a

Câu 3: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên a để hệ phương trình

Có nghiệm (x; y) sao cho T =

là số nguyên.

x  2 y  a 3  1   

y x

Câu 4: (1 điểm) Định m để phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + 1 = 0

có hai nghiệm x1 , x2 sao cho T = x1(x1 – x2) + x2

2 đạt giá trị nhỏ nhất.

2

1

x

  x

1

 x x

  1

Câu 5: (1 điểm) Giải phương trình: 2

Câu 6: (1 điểm) Cho x, y là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T = x2 + 2y2 – 2xy + 10x – 16y + 2048.

Câu 7: (1 điểm) Cho hình thang cân ABCD, có đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ AB bằng đường cao AH (H thuộc CD), đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính độ dài đường cao của hình thang đó.

xy

yz

zx

Câu 8: (1 điểm) Cho đường tròn (0) đường kính AB, một đường thẳng d vuông góc với AB tại I (I nằm trong đoạn AB). Lấy M là một điểm thuộc đường tròn (0), AM, BM cắt d lần lượt tại hai điểm C và D. Gọi E là điểm đối xứng với B qua I. Chứng minh tứ giác ACDE nội tiếp. Câu 9: (1 điểm) Từ điểm C nằm ngoài đường tròn tâm (0), vẽ hai tiếp tuyến CA, CB của (0) trong đó A, B là các tiếp điểm. Đường tròn (I) tâm I đi qua C, tiếp xúc với AB tại B và cắt (0) tại M khác B. Chứng minh rằng đường thẳng AM đi qua trung điểm BC. Câu 10: (1 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện:

 . 1

2

2

2

.

Chứng minh rằng

x 

x

y

y 

1 2

y

z

z

z  x …………. HẾT ………….

Trang | 1

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

HƯỚNG DẪN GỢI Ý

Ta có: A =

x

1 1   2 4 x x  2  x 2  x

 2 2

A =

=

4 

4

x

2 4

x x

4

x

Với A =

x

1 3  2 2

Câu 1

=

x

=

1 3

4  2 x x  4

2   x = 16 (nhận)

Vậy A =

khi x = 16

1 3

x

2 2 3. 

x

3

Ta có: 4 2 3

–

 = 0

2

2

3

x

3

Phương trình đã cho tương đương:

= 0

1 3

 1

2

2

x 

3

3

Câu 2

 x 

   1

 1 3

3

x

3

 3 1

x x

 

2 3 1 1

x

3 1

 

3

  

   

Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là: x = 1

Ta có:

hệ đã cho có nghiệm (x, y) với

  1

= 1 

Mà T =

=

a 1 x  x a    y a

Câu 3

Vì a nguyên, để T nguyên thì điều kiện là

hay

2   x  y x   y  3 2   y 2 a 3 a a  1 1 1a 

  a 1 1      a 1 1   a 0    2 a 

Câu 4

Phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + 1 = 0 Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi:

Trang | 2

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

2

2

  '

m

m

  1

  '

 1 0m

 2

   m  0

x

2

m

 1

x 1

2

Theo hệ thức Vi-et thì:

2

 

1

.

x x m 1 2

  

2 x 2

2 x 1

x x 2. 1

2

  x

1

1

x

  (1) 1

 x x

2

1

x

x  với t > 0

Câu 5

2

x  = 3 1

x

T = T = (x1 + x2)2 – 3x1.x2 = m2 + 8m + 1 Do m  0 nên T  1. Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 1, khi m = 0. Phương trình: 2 Đặt t = Từ (1)  t2 – 2t – 3 = 0 Giải phương trình ta được: t = 3 (nhận) , t = – 1 (loại) Với t = 3 thì ta có phương trình:  x2 + x – 8 = 0

33

Giải phương trình ta được: x1 =

  1 2

33

x2 =

  1 2

2

3

2

3

y

y

x

+ 2014

Ta có: T = x2 + 2y2 – 2xy + 10x – 16y + 2048 T = (x + 2)2 + 2(y - 3)2 - 2(x + 2)(y - 3) + 2014 2 T =   

 

Câu 6

Suy ra: T  2014 , T = 2014 khi và chỉ khi

  2

Giá trị nhỏ nhất của T là: 2014.

3 x    y

Câu 7

C/m: Kẻ BK  CD (K  CD). Đặt AB = AH = BK = HK = a > 0

Do ABCD là hình thang cân nên DH = CK =

10

Trang | 3

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

a 2

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Suy ra: CH = HK + CK = a +

=

10

a 2 a  10 2

.

 a2 =

10

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ADC vuông tại A Ta có: AH2 = DH.CH a 10 2 Giải ta tìm được: a = 2 5 (do a > 0) Vậy độ dài đường cao hình thang là: 2 5 . Cho đường tròn (0) đường kính AB, một đường thẳng d vuông góc với AB tại I (I nằm trong đoạn AB). Lấy M là một điểm thuộc đường tròn (0), AM, BM cắt d lần lượt tại hai điểm C và D. Gọi E là điểm đối xứng với B qua I. Chứng minh tứ giác ACDE nội tiếp

a 2

Câu 8

(1) (cùng phụ CDM ) (2)

Câu 9

C/m: Ta có tam giác DEB cân tại D (vì DI  EB và I là trung điểm EB) Nên:  DEA DBE mà:  DBE DCM Từ (1) và (2)   DEA DCM Mà:   0180 DCM DCA   nên:   0180   DEA DCA vậy: Tứ giác ACDE có tổng hai góc đối bằng 1800 Do đó: Tứ giác ACDE nội tiếp được trong đường tròn.

Trang | 4

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

(cùng chắn AM của (0)) (cùng chắn BM của (I))  AC // BD (1) (cùng chắn BM của (0)) (cùng chắn MC của (I))  AB // CD (2) 

C/m: Đường thẳng AM cắt đường tròn tâm (I) tại D  ABM MAC   ABM BDM Suy ra:  MAC BDM  MBC BAM  MBC MDC  Suy ra:  BAM MDC Từ (1) và (2)  ABDC là hình bình hành Do đó: AM đi qua trung điểm của BC.

2

xy

  x

  x

  x

Ta có:

xy 

y

x

x 

x

y

xy 2

2

xy

2

Tương tự:

và

  z

z 

z

x

zx 2

  y y  z yz 2 y 2

Câu 10

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế thì được:

2

2

2

x + y + z -

x

x 

y 

y

z

x yz +

zx = 1

z y z  vì x + y + z  xy + 2

2

2

nên

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = …

x 

x

y

y 

y

z

z 

z

x

1 2

Hết rồi ! .. ! .. ?

Trang | 5

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

1 2

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247

- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi vào

lớp 10 các trường chuyên.

- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong những

năm qua.

- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học sinh

giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết

quả tốt nhất.

- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.

- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.

 https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/

Trang | 6

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807