SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2015 - 2016 Đề chính thức Môn: TOÁN(CHUYÊN) Ngày thi: 05/06/2015 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

2

x

14

Bài 1: (2 điểm)

1 2

x

3

5

 A x

 B x

a) Cho số thực x > 0 thỏa mãn điều kiện:

1 3

1 5

x

x

Tính giá trị các biểu thức và

8 2 10 2 5

8 2 10 2 5

b) Rút gọn biểu thức A

2

2

Bài 2: (2 điểm)

5y

z

 2(y z)

 4xy 1

2

2

1 y

1 x

a) Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: 2 x

2

2

1 x

1 y

      

b) Giải hệ phương trình:

Bài 3: (2 điểm)

21n 4   14n 3

a) Chứng minh phân số là tối giản với mọi n nguyên dương.

2x mx n

  , biết rằng phương trình có hai nghiệm nguyên dương

0

b) Giải phương trình phân biệt và m, n là hai số nguyên tố.

Bài 4: (3 điểm)

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại I và J (R’ > R). Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó; chúng cắt nhau ở A. Gọi B và C là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với (O’; R’); D là tiếp điểm của tiếp tuyến AB với (O ; R) (điểm I và điểm B ở cùng nửa mặt phẳng bờ là O’A). Đường thẳng AI cắt (O’; R’) tại M (điểm M khác điểm I ).

2KB = KI.KJ ; từ đó suy ra

a) Gọi K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD. Chứng minh KB = KD.

b) AO’ cắt BC tại H. Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn. c) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD

Bài 5: (1 điểm)

3

3

a

b

3 c

+

+

2

2

2

2

2

a + b + c 3

a + ab + b

b + bc + c

2 c + ac + a

GV: Võ.M.Trình – THCS Cát Minh – Phù Cát

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: (2 điểm)

x +

  16

x +

4

1 x

  

21   x 

3

A x +

52

a) Từ giả thiết suy ra: (do x > 0)

4.14

x +

2 x +

3 = x +

1 3

1 2

1 3

1 x

1 x

x

   

  

x

  

  

x

  

 + x +  

  

5

2

3

5

 B x

724

 

14.52

x

x

x

x

1 5

1 2

1 3

1 5

1 x

x

  

x

  

x

  

  

x

  

  

  

2

2

Y

X

Y

 

X ± Y =

±

X + X 2

X 2

2

X 0; Y 0; X

Y

8

64 40 8 5

8

64 40 8 5

A

8

 40 8 5

8

 40 8 5

 2

 2

   

   

8

64 40 8 5

8

64 40 8 5

 2

 2

   

   

8

 24 8 5

2.

2.

 12 4 5

10

10

2

2

b) Ta chứng minh được , với

2

2

8 2 5 2 2

2

2

2

Bài 2: (2 điểm)

x + 5y + z + 2y

2z

4xy

  1

2

2

a) BĐT

x + 5y + z + 2y

2z

4xy

  2

2

2

2   x

2 4xy + 4y + y + 2y + 1 + z

 2z + 1 0

2

2

2

Vì x, y, z nguyên nên: 2

 0

.

   x

 2y + y + 1 + z

 1

x = 2   y= 1 z = 1

    

  x 2y=0  y + 1=0   1=0 z 

x

; y

1 2

1  2

b) Điều kiện:

2

2

1 y

1 x

1 x

1 y

x

  y

 

2

2

Từ hệ suy ra (1)

1 y

1 x

1 x

1 y

x

  y

 

2

2

Nếu VT(1) > VP(1)

1 y

1 x

1 x

1 y

Nếu VT(1) < VP(1)

nên (1) chỉ xảy ra khi x = y thế vào hệ ta giải được x = 1, y = 1

21n 4

14n 3

Bài 3: (2 điểm) a) Gọi d(d 1) là ước chung lớn nhất của hai số  và 

kd

 

   7n 1

   

21n 3 3(k l)d

   21n 4 

với k, l là những số nguyên dương

 

1 (21n 4)

(21n 3)

kd 3(k l)d

 (3l 2k)d

3l 2k

; 14n 3 ld  k l d

 

3l 2k

  d 1

và d là các số nguyên dương Vì 

21n 4   14n 3

x

Vậy phân số tối giản

x ,x là các nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho, giả sử 

x 1

2

2 x + x = m; x .x = n .

. Theo hệ

1

2

2

1; x

 n

x Do n là số nguyên tố nên 1

2

x + x = m 1 n = m

 

b) Gọi 1 thức Viet: 1

2

1; x

 2

 n; m là hai số tự nhiên liên tiếp  n = 2; m = 3. Từ 1

3x 2 0

x   và có hai nghiệm 1

2

Khi đó phương trình là 2x

KBI

Bài 4: (3 điểm)

2KB = KI.KJ ; từ đó suy ra KB = KD. a) Chứng minh Do AO và AO’ là hai tia phân giác của BAC  A, O, O’ thẳng hàng.  Xét: Có:   B J 1 1

và Δ KJB (góc tạo bởi tia tt và dây và góc nt cùng chắn cung BI) ; BKI chung

2 KB

KI.KJ

 Δ KBI ∽ KJB

KI KB

KB KJ

2

(1) (g.g) 

KD

KI.KJ

KDI

KJD

KI KD

KD KJ

Tương tự: (2) ∽

B

K

1

D

M

1

2

I

1

A

O'

1

H

O

J

C

KD . Từ (1) và (2)  KB

b) Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn.

B

K

1

D

M

1

2

I

1

A

O'

1

H

O

J

b) Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn.

C 2AB AH.AO '

Xét tam giác ABO’ vuông tại B, có: (3)

ABI

AMB

BAI chung

và có:

1

2

(góc tạo bởi tia tt và dây và góc nt cùng chắn cung BI); Xét   B M 1

AB

AM.AI

ABI

AMB

AI AB   AM AB

(4). ∽ (g.g)

 AI.AM AH.AO'

AH AM  AI AO'

. Từ (3),(4) 

AHI

AH AM  AI AO'

   M

( vì ∽ AMO' ;MAO' : chung ).

H 1

2

 4 điểm I, H, M, O’ cùng thuộc một đường tròn.

OI

c) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD

OI AO OD R AO' O'B R' O'M O'I

Do: OD // O’B (cùng  AB)

BDI

 sđ BM

1 2

1 2

2

nhưng OI cắt O’I và A, I, M thẳng hàng  OI // O’M.   DOI  BO'M mà  1  DOI .  sđ DI và  1 BIM BO'M 2

 IM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp BID

  BDI BIM Hay AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp BID

.

3

3

3

3

3

3

a

b

b

c

c

a

Bài 5 (1,0 điểm)

+

+

Ta có:

 = a

  b + b

  c + c

 a = 0

2

2

2

2

2

a + ab + b

b + bc + c

2 c + ac + c

3 a

3 c

3 b

3 c

3 a

3 b

2

2

2

2 a

2 ab b

 

2 b

2 bc c

 

2 c

 

ac a

a

2 ab b

 

2 b

2 bc c

 

2 c

 

ac a

Vì thế bất đẳng thức đã cho tương đương với:

3

3

3

3 a + b

3 b + c

3 c + a

+

+

2

2

2

2

2

 2 a + b + c 3

a + ab + b

b + bc + c

2 c + ac + a

2

2

2

2

a

a

2

  

b

0

a b

 a b

Vì (đúng)

 2 a

  

ab + b 2

2

ab + b 2

2

1 3

1 3

a + ab + b

a + ab + b

3

3

a

b

 a b

2

2

1 3

a

 ab b

3

3

3

3

b

c

c

a

hay (1) đẳng thức xảy ra khi a = b

 b c

c

a

2

2

2

2

1 3

1 3

b

bc

c

c

ac

a

3

3

a

b

3 c

Tương tự (2) và (3)

+

+

2

2

2

2

2

a + b + c 3

a + ab + b

b + bc + c

2 c + ac + a

Cộng (1), (2), (3) suy ra

GV: Võ.M.Trình – THCS Cát Minh – Phù Cát

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247

- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi vào

lớp 10 các trường chuyên.

- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong những

năm qua.

- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học sinh

giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết

quả tốt nhất.

- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.

- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.

 https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/

Trang | 1

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807