Câu 1 (2,0 đi mể)
a. Tính
8 2 7 16 6 7A= + + −
b. Rút g n bi u th c: ọ ể ứ
1 1
:
1
x x x x
Mx
x x x
� �
− + +
= −
� �
� �
− +
� �
, (v i ớ
0, 1x x>
).
Câu 2 (1,0 đi mể)
Cho ph ng trình: ươ
2
4 2 3 0x x m− + − =
, (1) v i m là tham s . Tìm các giá tr c a m đ ph ngớ ố ị ủ ể ươ
trình (1) có hai nghi m phân bi t ệ ệ
1 2
,x x
th a mãn: ỏ
( )
1 2 1 2
3 17x x x x+ = +
.
Câu 3 (2,0 đi mể)
a. Gi i ph ng trình: ả ươ
1 5 4 3 2 4x x x x+ + = − + +
.
b. Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
2
( 2 2)(2 ) 2 (5 2) 2
7 3
x y x y x y y
x y
+ − + = − −
− = −
Câu 4 (1,0 đi mể)
a. Ch ng minh r ng trong ba s chính ph ng tùy ý luôn t n t i hai s mà hi u c a chúng chia h tứ ằ ố ươ ồ ạ ố ệ ủ ế
cho 4.
b. Gi i ph ng trình nghi m nguyên: ả ươ ệ
.
Câu 5 (3,0 đi mể)
Cho tam giác ABC nh n n i ti p đ ng tròn (O), AB < AC. Các ti p tuy n t i B và C c a đ ngọ ộ ế ườ ế ế ạ ủ ườ
tròn (O) c t nhau t i E; AE c t đ ng tròn (O) t i D (khác đi m A). K đ ng th ng (d) quaắ ạ ắ ườ ạ ể ẻ ườ ẳ
đi m E và song song v i ti p tuy n t i A c a đ ng tròn (O), đ ng th ng (d) c t các đ ngể ớ ế ế ạ ủ ườ ườ ẳ ắ ườ
th ng AB, AC l n l t t i P và Q. G i M là trung đi m c a đo n th ng BC. Đ ng th ng AMẳ ầ ượ ạ ọ ể ủ ạ ẳ ườ ẳ
c t đ ng tròn (O) t i N (khác đi m A).ắ ườ ạ ể
a. Ch ng minh r ng: ứ ằ
2
.EB ED EA=
và
BA CA
BD CD
=
.
b. Ch ng minh các đ ng tròn ngo i ti p c a ba tam giác ABC, EBP, ECQ cùng đi qua m t đi m.ứ ườ ạ ế ủ ộ ể
c. Ch ng minh E là tâm đ ng tròn ngo i ti p c a t giác BCQP.ứ ườ ạ ế ủ ứ
d. Ch ng minh t giác BCND là hình thang cân.ứ ứ
Câu 6 (1,0 đi mể)
a. Ch ng minh r ng: ứ ằ
3 3
( )a b ab a b+ +
, v i a, b là hai s d ng.ớ ố ươ
b. Cho a, b là hai s d ng th a mãn ố ươ ỏ
1a b+
.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ
( ) ( )
2
3 3 2 2
3.
2
F a b a b ab= + + + +
H tế
S GIÁO D C & ĐÀO T OỞ Ụ Ạ
BÌNH PH CƯỚ KỲ THI TUY N SINH L P 10 THPTỂ Ớ
Năm h c: 2013-2014ọ
Đ CHÍNH TH CỀ Ứ
(Đ thi g m có 01 trang)ề ồ
Đ thi môn: TOÁN (chuyên)ề
Ngày thi: 30/6/2013
Th i gian làm bài: 150 phútờ
Giám th coi thi không gi i thích gì thêmị ả
H và tên thí sinh: ………………….………SBD: ………….ọ
H và tên giám th 1: …………………….. ch kí: .…….…..ọ ị ữ
H và tên giám th 2: …………………….. ch kí: .…….…..ọ ị ữ
G I Ý GI I Đ THI TOÁN CHUYÊN TUY N SINH 10 T NH BÌNH PH CỢ Ả Ề Ể Ỉ ƯỚ
NĂM H C 2013-2014Ọ
Câu 1 (2,0 đi mể)
a. Tính
8 2 7 16 6 7A= + + −
Gi iả
Ta có
( ) ( )
2 2
7 2 7 1 9 2.3 7 7 7 1 3 7 7 1 3 7 4A= + + + − + = + + − = + + − =
b. Rút g n bi u th c: ọ ể ứ
1 1
:
1
x x x x
Mx
x x x
� �
− + +
= −
� �
� �
− +
� �
, (v i ớ
0, 1x x>
).
Gi iả
Ta có
( ) ( )
11 1 1 1 1 1
: : :
11
x x x x x x x
M x
x x x
x x x
x x
� �
−+ + + − +
� � � �
� �
= − = − =
� � � �
� �
−+� � � �
� �
( ) ( ) ( )
1 1 . 1
1
x x xx x
x x
− +
= = −
+
V y ậ
( )
1M x x= −
Câu 2 (1,0 đi mể)
Cho ph ng trình: ươ
2
4 2 3 0x x m− + − =
, (1) v i m là tham s . Tìm các giá tr c a m đ ph ng trình (1) cóớ ố ị ủ ể ươ
hai nghi m phân bi t ệ ệ
1 2
,x x
th a mãn: ỏ
( )
1 2 1 2
3 17x x x x+ = +
.
Gi iả
+) Ph ng trình có hai nghi m phân bi t ươ ệ ệ
1 2
, 0x x
.
+) V i ớ
3 7
2 2
m <
ph ng trình (1) có hai nghi m phân bi t ươ ệ ệ
1 2
, 0x x
.
Áp d ng đ nh lí Viet ta có: ụ ị
1 2
1 2
4
. 2 3
x x
x x m
+ =
= −
+) Ta có
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3 17 3 2 17 3 4 2 2 3 2 3 17x x x x x x x x x x m m+ = + + + = + + − = − +� �
( )
2
1
6 2 3 2 2 3 2 3 1 9 2 3 2 1
m
m m m m m m m
−
− = + − = +� � � − = + +
2
1
12
16 28 0 14
m
mm
m m m
−
−
� � =
� �
− + =
=
So sánh v i các đi u ki n ta có giá tr m th a mãn là ớ ề ệ ị ỏ
2m
=
.
Câu 3 (2,0 đi mể)
a. Gi i ph ng trình: ả ươ
1 5 4 3 2 4x x x x+ + = − + +
.
Gi iả
Cách 1:
+) ĐK:
1
1 0 0
5 0 3
3
4 3 0 4
4
2 4 0 2
x
xx
xx
xx
xx
−
+
� �
�۳
� �
−
� �
� �
+
−
+) Ta có
1 2 1. 5 5 4 3 2 4 3. 2 4 2 4PT x x x x x x x x+ + + + = − + − + + +�
2
3 ( )
1. 5 4 3. 2 4 5 ( 1) (4 3)(2 4) 3 5 12 0 4( )
3
x l
x x x x x x x x x x x n
= −
+ = − + + = − + + − =� � � � =
+) KL: Ph ng trình có m t nghi m ươ ộ ệ
4
3
x=
.
Cách 2:
+) ĐK:
1
1 0 0
5 0 3
3
4 3 0 4
4
2 4 0 2
x
xx
xx
xx
xx
−
+
� �
�۳
� �
−
� �
� �
+
−
+) Ta có:
1 5 4 3 2 4x x x x+ + = − + +
3 3 0
2 4 1 5 4 3
1 1
( 3) 0
2 4 1 5 4 3
3( )
1 1 0
2 4 1 5 4 3
x x
x x x x
xx x x x
x L
x x x x
− −
− =�+ + + + −
� �
− − =�� �
+ + + + −
� �
= −
− =
+ + + + −
+) Ta gi i ph ng trình: ả ươ
( ) ( )
1 1 0
2 4 1 5 4 3
2 4 1 5 4 3
5 2 4 4 3 1 0
3 4 3 4 0
5 2 4 5 2 4
1 1
(3 4) 0
5 2 4 5 2 4
4( )
3
1 1 0
5 2 4 5 2 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x x
xx x x x
x N
x x x x
− =
+ + + − −
+ + + = + −�
− + + − − + =�
− −
+ =�+ + − +
� �
− + =�� �
+ + − +
� �
=
+ =
+ + − +
D th y ể ấ
1 1 0
5 2 4 5 2 4x x x x
+ >
+ + − +
PT chĩ có m t nghi m duy nh t là ộ ệ ấ
4
3
x=
b. Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
2
( 2 2)(2 ) 2 (5 2) 2
7 3
x y x y x y y
x y
+ − + = − −
− = −
Gi iả
+) Ta có
2 2
(1) 2 4 2 4 2 10 4 2PT x xy xy y x y xy x y+ + + − − = − −�
( )
2 2 2 2
2 5 2 0 2 4 (2 ) 0 2 ( 2 ) ( 2 ) 0x xy y x xy y xy x x y y x y− + = − + − = − − − =� � �
2 0 2
( 2 )(2 ) 0 2 0 2
x y x y
x y x y x y y x
− = =
� �
− − =� � �
� �
− = =
� �
+) Tr ng h p 1: ườ ợ
2x y=
, k t h p v i ph ng trình (2) ta có h ế ợ ớ ươ ệ
2
2
7 3
x y
x y
=
− = −
2
1
22
213
4 7 3 0 34
4 3
2
x
x y y
x y xx
y y x
y
=�
=
=
=
=
� � �
� � =
− + =
=
=
+) Tr ng h p 2: ườ ợ
2y x=
, k t h p v i ph ng trình (2) ta có h ế ợ ớ ươ ệ
2
2
7 3
y x
x y
=
− = −
2
7 46
214 2 46
27 46
14 3 0 7 46
7 46 14 2 46
x
x y
y
y x x
x x x
x
y
= +
=
= +
=
� � �
= +
� �
− + = = −�
= −
� �
= −
+) K t lu n: H ph ng trình có 4 nghi m: ế ậ ệ ươ ệ
3
14
,
2 3
2
x
x
yy
=
=
� �
=
=
,
7 46 7 46
;
14 2 46 14 2 46
x x
y y
� �
= + = −
� �
� �
= + = −
� �
� �
.
Câu 4 (1,0 đi mể)
a. Ch ng minh r ng trong ba s chính ph ng tùy ý luôn t n t i hai s mà hi u c a chúng chia h t cho 4.ứ ằ ố ươ ồ ạ ố ệ ủ ế
Gi iả
+) Vì m t s nguyên b t kỳ ph i là s ch n ho c là s l . Do đó theo nguyên lý Đirichlet trong 3 sộ ố ấ ả ố ẵ ặ ố ẻ ố
nguyên b t kỳ luôn ch n ra đ c 2 s có cùng tính ch n l .ấ ọ ượ ố ẵ ẻ
+) Áp d ng ta có trong 3 s chính ph ng b t kỳ luôn ch n ra đ c hai s có cùng tính ch n l . G i 2 sụ ố ươ ấ ọ ượ ố ẵ ẻ ọ ố
chính ph ng đ c ch n ra đó là ươ ượ ọ
2
a
và
2
b
. Khi đó ta có
2 2
( )( )a b a b a b− = − +
.
+) Vì
2
a
và
2
b
cùng tính ch n l nên a, b cũng cùng tính ch n l . Do đó ẵ ẻ ẵ ẻ
a b−
là s ch n và ố ẵ
a b−
cũng là
s ch n ố ẵ
2 2
( )( ) 4a b a b a b− = − + M
, (đpcm).
b. Gi i ph ng trình nghi m nguyên: ả ươ ệ
.
Gi iả
+) Ta có PT
( ) ( )
( )
2 2
3 6 2 2 7x xy y xy x y− + − + + − =�
.
( ) ( ) ( )
3 2 2 2 7x x y y x y x y− + − + − =�
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 1 7 1.7 7.1 1. 7 7. 1x y x y− + + = = = = − − = − −�
Do đó ta có 4 tr ng h p sau:ườ ợ
+) TH1:
13
2 1 2 1 7
3 1 7 3 6 3
7
x
x y x y
x y x y y
=
− = − =
� �
� �
� � �
+ + = + =
� � =
,(lo i).ạ
+) TH2:
1
2 7 2 1 7
3 1 1 3 0 3
7
x
x y x y
x y x y y
=
− = − =
� �
� �
� � �
+ + = + =
� � = −
,(lo i).ạ
+) TH3:
17
2 1 2 1 7
3 1 7 3 8 5
7
x
x y x y
x y x y y
= −
− = − − = −
� �
� �
� � �
+ + = − + = −
� � = −
,(lo i).ạ
+) TH4:
11
2 7 2 7 7
3 1 1 3 2 19
7
x
x y x y
x y x y y
= −
− = − − = −
� �
� �
� � �
+ + = − + = −
� � =
,(lo i).ạ
+) K t lu n: Ph ng trình đã cho không có nghi m nguyên.ế ậ ươ ệ
Câu 5 (3,0 đi mể)
Cho tam giác ABC nh n n i ti p đ ng tròn (O), AB < AC. Các ti p tuy n t i B và C c a đ ngọ ộ ế ườ ế ế ạ ủ ườ
tròn (O) c t nhau t i E; AE c t đ ng tròn (O) t i D (khác đi m A). K đ ng th ng (d) quaắ ạ ắ ườ ạ ể ẻ ườ ẳ
đi m E và song song v i ti p tuy n t i A c a đ ng tròn (O), đ ng th ng (d) c t các đ ngể ớ ế ế ạ ủ ườ ườ ẳ ắ ườ
th ng AB, AC l n l t t i P và Q. G i M là trung đi m c a đo n th ng BC. Đ ng th ng AMẳ ầ ượ ạ ọ ể ủ ạ ẳ ườ ẳ
c t đ ng tròn (O) t i N (khác đi m A).ắ ườ ạ ể
a. Ch ng minh r ng: ứ ằ
2
.EB ED EA=
và
BA CA
BD CD
=
.
b. Ch ng minh các đ ng tròn ngo i ti p c a ba tam giác ABC, EBP, ECQ cùng đi qua m t đi m.ứ ườ ạ ế ủ ộ ể
c. Ch ng minh E là tâm đ ng tròn ngo i ti p c a t giác BCQP.ứ ườ ạ ế ủ ứ
d. Ch ng minh t giác BCND là hình thang cân.ứ ứ
Hình v :ẽ