SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn thi : TOÁN CHUYÊN
Ngày thi : 22/6/2012
(Thời gian : 150 phút – không kể thời gian phát đề)
ĐỀ SỐ 1:
Bài 1.(2.00 điểm)
1) Rút gọn biểu thức
2 6 3 4 2 3
P
11 2 6 12 18
.
2) Với n là số nguyên dương, cho các biểu thức
1 1 1
A 1
3 2n 3 2n 1
và 1 1 1 1
B
1.(2n 1) 3.(2n 3) (2n 3).3 (2n 1).1
.
Tính tỉ số
A
B
.
Bài 2.(2.00 điểm)
1) Giải phương trình
2 2
.
2) Giải hệ phương trình 2
2 2
(x y) y 3
2(x y xy) x 5
.
Bài 3.(2.00 điểm)
1) Cho ba số a, b, c thỏa mãn 3
a 36
và
abc 1
. Chứng minh
2 2 2
a 3(b c ) 3(ab bc ca)
.
2) Cho
a
Z
và
a 0
. Tìm số phần tử của tập hợp
A=
Z
13x
2
Zx a (Z là tập hợp các số nguyên).
Bài 4.(3.00 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Tiếp tuyến tại
A của (O; R) cắt đường thẳng BC tại điểm M. Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC.
1) Chứng minh
AB.AC 2R.AH
.
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
2) Chứng minh
2
MB AB
MC AC
.
3) Trên cạnh BC lấy điểm N tùy ý (N khác B và C). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông
góc của N lên AB, AC. Tìm vị trí của N để độ dài đoạn EF nhỏ nhất.
Bài 5.(1.00 điểm)Cho tam giác ABC có đường cao AH, biết H thuộc cạnh BC và
1
BH BC.
3
Trên tia đối của tia HA, lấy điểm K sao cho
2 2 2 2
1
AK KH BC AB
3
. Chứng minh
AK.BC AB.KC AC.BK
.
HẾT
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC TOÁN CHUYÊN
.
B. Đáp án và thang điểm
Bài
Đáp án Điểm
1.1
Rút gọn biểu thức
2 6 3 4 2 3
P
11 2 6 12 18
. 1 điểm
3 2 3 6 2 3 6
P11 2 6 12 18
0.25
2
2 3 6 3 1
2 3 6
0.25
2 3 6 3 1
2 3 6
0.25
3 1.
0.25
1.2
Tính tỉ số
A
B
. 1 điểm
1 1 1 1 1 1 1
B 1 1
2n 2n 1 3 2n 3 2n 3 3 2n 1
0.25
1 1 1 1 1 1 1
B 1 1
2n 3 2n 3 2n 1 3 2n 3 2n 1
0.25
1
B .2A
2n
0.25
A
n
B
. 0.25
2.1
Giải phương trình
2 2
. 1 điểm
Điều kiện 2
x 2x 1 0
. Đặt 2
t x 2x 1 0.
Phương trình trở thành
2
t 2 x 1 t 4x 0
0.25
t 2
t 2 t 2x 0
t 2x
0.25
Với
t 2,
ta có 2 2
x 2x 1 2 x 2x 5 0 x 1 6
(nhận) 0.25
Với
t 2x,
ta có 2
2
x 0
x 2x 1 2x :
3x 2x 1 0
vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm
x 1 6
.
0.25
2.2 Giải hệ phương trình 2
2 2
(x y) y 3
2(x y xy) x 5
. 1 điểm
Dùng phương pháp cộng hoặc thế ta được
2xy 2y x 1 0
(x 1)(2y 1) 0 x 1
hoặc
1
y
2
0.25
Với
x 1
, ta được 2
y 1
y y 2 0
y 2
Ta được hai nghiệm
( 1; 1)
và
( 1;2)
0.25
Với
1
y
2
, ta được 2
9 1 10
x x 0 x
4 2
Ta được hai nghiệm
1 10 1
;
2 2
và
1 10 1
;
2 2
0.25
Tóm lại hệ có bốn nghiệm
( 1; 1)
;
( 1;2)
;
1 10 1
;
2 2
và
1 10 1
;
2 2
. 0.25
3.1
Chứng minh bất đẳng thức. 1 điểm
Ta có bc =
1
a
. Bất đẳng thức được viết lại
2
2 2 a
b c 2bc 3bc a b c 0
3
0.25
2
2a 3
b c a b c 0
3 a
0.25
22
a a 3
b c 0
2 12 a
0.25
23
a a 36
b c 0
2 12a
(hiển nhiên đúng vì 3
a 36
)
Bất đẳng thức được chứng minh.
0.25
3.2
Cho
a
Z
và
a 0
. Tìm số phần tử của tập hợp A=
Z
13x
2
Zx a. 1 điểm
Xét x
Z. Nếu Z
1
3x
2a
thì a
2 (3x 1)
b
3x 1 2 ,
với
b 0;1;...;a
0.25
Nếu b là số chẵn, tức là b= 2k ( k
Z)
2k k k 1 k 2
2 1 4 1 (4 1)(4 4 ... 1) 3
phương trình
b
3x 1 2
có nghiệm nguyên duy nhất
Ta cũng có 2k k
2 1 (4 1) 2 3
phương trình
b
3x 1 2
không có
nghiệm nguyên
0.25
Nếu b lẻ, tức là 2k 1 k k k
b 2k 1(k ) 2 1 2.4 1 3.4 (4 1) 3
phương trình
b
3x 1 2
không có nghiệm nguyên
Ta cũng có 2k 1 k k
2 1 3.4 (4 1) 3
phương trình
b
3x 1 2
có nghiệm
nguyên duy nhất
0.25
Vậy số phần tử của A là
a 1.
0.25
4.1
Không
chấm
điểm hình
H
F
EO
N
C
D
MB
A
K
I
vẽ
bài 4
Chứng minh
AB.AC 2R.AH
. 1 điểm
Kéo dài AO cắt đường tròn (O) tại D
Hai tam giác vuông
AHB
và
ACD
có
CDA HBA
(nội tiếp cùng chắn
AC
)
0.25
AHB ACD
0.25
AB AH
AD AC
0.25
AB.AC AD.AH 2R.AH
. 0.25
4.2
Chứng minh
2
MB AB
MC AC
. 1 điểm
Xét
MAC
và
MBA
ta có
M
chung,
ACB MAB
(góc nội tiếp và góc tạo
bởi tiếp tuyến với dây cung)
MAC MBA
(g.g) 0.25
2
2
2
MB AB MB AB
MA AC MA AC
0.25
Và
2
MB MA
MB.MC MA
MA MC
0.25
Suy ra
2
MB AB
MC AC
. 0.25
4.3
Tìm vị trí của N để độ dài đoạn EF nhỏ nhất. 1 điểm
Ta có
0 0 0
AEN AFN 90 90 180
nên tứ giác AFNE nội tiếp đường tròn
đường kính AN 0.25
Gọi I là trung điểm AN, từ I hạ
IK EF
ta suy ra KE = KF và
BAC KIE
0.25
Trong tam giác vuông IKE ta có
KE IE.sin KIE IE.sin BAC EF AN.sinBAC AH.sin BAC
0.25
Vậy EF nhỏ nhất khi và chỉ khi
AN AH N H
. 0.25