Trang 1/5WordToan
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
------------
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2019 - 2020
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
---------------------
Câu I (2,0 ñi1m).
1) Gii phương trình 2
5 4 0− + =x x
2) Gii h% phương trình: 3 3
2 7
− =
+ =
x y
x y
Câu II (2,0 ñi1m).
1) Rút g+n bi-u th/c:
( )
2
43 45 5 1
5 1
= − + −
−
A
2) Cho bi2u th/c: 1 1 3
.
3 3
+
= −
− +
x
Bx x x , (v7i
0; 9> ≠x x
).
Rút g+n bi2u th/c và tìm t<t c các giá tr> nguyên cAa
x
ñ2
1
2
>B
.
Câu III (1.5 ñi1m).
Trong mDt phEng t+a ñF
Oxy
cho parabol
( )
P
có phương trình 2
1
2
=y x
và ñưIng thEng
( )
d
có phương
trình
3= − + −y mx m
(v7i m là tham sK).
1) Tìm t+a ñF ñi2m
M
thuFc parabol
( )
P
, bi-t ñi2m
M
có hoành ñF bLng 4.
2) Ch/ng minh ñưIng thEng
( )
d
luôn cNt parabol
( )
P
tOi hai ñi2m phân bi%t. G+i
1 2
,x x
lQn lưRt là hoành ñF
cAa hai ñi2m
,A B
. Tìm m ñ2 2 2
1 2 1 2
2 20+ = +x x x x
.
Câu IV (4.0 ñi1m).
1) Cho nSa ñưIng tròn
( )
;O R
ñưIng kính
AB
. Trên cùng nSa mDt phEng bI
AB
ch/a nSa ñưIng tròn
( )
;O R
vX các ti-p tuy-n
,Ax By
v7i nSa ñưIng tròn ñó. G+i
M
là mFt ñi2m b<t kì trên nSa ñưIng tròn
( )
;O R
(v7i
M
khác
A
,
M
khác
B
), ti-p tuy-n cAa nSa ñưIng tròn tOi M cNt
,Ax By
lQn lưRt tOi
C
và
D
.
a) Ch/ng minh t/ giác
ACMO
nFi ti-p.
b) Ch/ng minh tam giác
COD
vuông tOi
O
.
c) Ch/ng minh 2
.=AC BD R
.
b) KZ
( )
,⊥ ∈MN AB N AB
;
BC
cNt
MN
tOi
I
. Ch/ng minh
I
là trung ñi2m cAa
MN
.
2) Tính th2 tích cAa mFt hình nón có bán kính ñáy
r 4=
cm, ñF dài ñưIng sinh
l 5=
cm.
Câu V (0,5 ñi1m).
Cho
a, b, c
là các sK th\c dương và th]a mãn ñi_u ki%n
1=abc
Ch/ng minh
1 1 1 1
2 2 2
+ + ≤
+ + +abc
.
Trang 2/5 – Di6n ñàn giáo viên Toán
Hư;ng d<n gi=i
Câu I (2,0 ñi1m).
1) Gii phương trình 2
5 4 0
− + =
x x
L?i gi=i
Ta có
(
)
1 2
1 5 4 0 1; 4
+ + = + − + = ⇒ = =
a b c x x
V`y t`p nghi%m cAa phương trình là
{
}
=S
.
2) Gii h% phương trình:
3 3
2 7
− =
+ =
x y
x y
L?i gi=i
Ta có
( ) ( )
3 3 5 10 2 2
; 2;3
2 7 2 7 4 7 3
− = = = =
⇔ ⇔ ⇔ ⇒ =
+ = + = + = =
x y x x x x y
x y x y y y .
Câu II (2,0 ñi1m).
1) Rút g+n bi-u th/c:
( )
2
4
3 45 5 1
5 1
= − + −
−
A
L?i gi=i
Ta có
( )
(
)
2
4 5 1
4
3 45 5 1 9 5 5 1
5 1
5 1
+
= − + − = − + −
−
−
A
5 1 9 5 5 1 7 5
= + − + − = −
.
2) Cho bi2u th/c:
1 1 3
.
3 3
+
= −
− +
x
B
x x x
, (v7i
0; 9
> ≠
x x
).
Rút g+n bi2u th/c và tìm t<t c các giá tr> nguyên cAa
x
ñ2
1
2
>
B
.
L?i gi=i
Ta có
(
)
( )( )
3 3
1 1 3 3
. .
3 3 3 3
+ − −
+ +
= − =
− + − +
x x
x x
B
x x x x
x x
( )( )
2 3 2
.3
3 3
+
= = −
− +
x x
x x
x x
.
(
)
( )
4 3
1 2 1 2 1
0 0
2 2 2
3 3 2 3
− −
> ⇔ > ⇔ − > ⇔ >
− − −
x
Bx x x
( )
( )
1
0; *
2 3
+
⇔ >
−
x
x
Vì
1 0
+ >
x
nên
(
)
* 3 0 3 0 9
⇔ − > ⇔ < ⇔ < <
x x x
Vì
{
}
1;2;3;4;5;6;7;8
∈ ⇒ ∈x x
ℤ
.
Trang 3/5WordToan
Câu III (1.5 ñi1m).
Trong mDt phEng t+a ñF
cho parabol
(
)
P
có phương trình
2
1
2
=
y x
và ñưIng thEng
(
)
d
có phương
trình
3
= − + −
y mx m
(v7i m là tham sK).
1) Tìm t+a ñF ñi2m
M
thuFc parabol
(
)
P
, bi-t ñi2m
M
có hoành ñF bLng 4.
L?i gi=i
Vì
( ) ( )
2
1
.4 8 4;8
2
∈ ⇒ = = ⇒M P y M .
2) Ch/ng minh ñưIng thEng
(
)
d
luôn cNt parabol
(
)
P
tOi hai ñi2m phân bi%t. G+i
1 2
,
x x
lQn lưRt là hoành ñF
cAa hai ñi2m
,
. Tìm m ñ2 2 2
1 2 1 2
2 20
+ = +
x x x x
.
L?i gi=i
Phương trình hoành ñF giao ñi2m cAa
(
)
d
và
(
)
P
là 2
13
2
= − + −
x mx m
2
2 6 0
2⇔ + −+
=
xmx m
Ta có
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 6 2 6 1 5 0,
= − − = − = − > ∀
− + +
m m m m m m
Suy ra ñưIng thEng
(
)
d
luôn cNt parabol
(
)
P
tOi hai ñi2m phân bi%t.
Ta có h% th/c Vieét
1 2
1 2
2
. 2 6
+ = −
= −
x
x m
x
x
m
Yêu cQu
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 20 2 4 20
+ = + ⇔ +
+ = +
x x x x x x x x x x
( ) ( ) ( )
2 2
1 2 1 2
4 20 4 6 20
2 2
⇔ = + ⇔ +
− = −+ mx x x x m
( ) ( )
2
2
4 8 4 0 4 1 0 1 0 1⇔ − + = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = −
m m m m m thoa man
.
V`y
1
=
m
.
Câu IV (4.0 ñi1m).
1) Cho nSa ñưIng tròn
(
)
;
O R
ñưIng kính
AB
. Trên cùng nSa mDt phEng bI
AB
ch/a nSa ñưIng tròn
(
)
;
O R
vX các ti-p tuy-n
,
Ax By
v7i nSa ñưIng tròn ñó. G+i
M
là mFt ñi2m b<t kì trên nSa ñưIng tròn
(
)
;
O R
(v7i
M
khác
A
,
M
khác
B
), ti-p tuy-n cAa nSa ñưIng tròn tOi M cNt
,
Ax By
lQn lưRt tOi
C
và
D
.
a) Ch/ng minh t/ giác
ACMO
nFi ti-p.
b) Ch/ng minh tam giác
COD
vuông tOi
O
.
c) Ch/ng minh
2
.
=
AC BD R
.
b) KZ
(
)
,⊥ ∈
MN AB N AB
;
BC
cNt
MN
tOi
I
. Ch/ng minh
I
là trung ñi2m cAa
MN
.
2) Tính th2 tích cAa mFt hình nón có bán kính ñáy
r 4
=
cm, ñF dài ñưIng sinh
l 5
=
cm.
L?i gi=i
Trang 4/5 – Di6n ñàn giáo viên Toán
a) Ch/ng minh t/ giác
ACMO
nFi ti-p.
Theo tính ch<t ti-p tuy-n ta có
90
90
=
⇒
⊥
⊥=
OACOA AC
OM C OM
MC
Xét t/ giác
ACMO
có tjng hai góc k v> trí ñKi nhau
90 90 180+ = + =OAC OMC
Suy ra t/ giác
ACMO
nFi ti-p.
b) Ch/ng minh tam giác
COD
vuông tOi
O
.
Tương t\ ý a) ta cũng ch/ng minh ñưRc t/ giác
BDMO
nFi ti-p.
Ta có
90=AMB
(góc nFi ti-p chNn nSa ñưIng tròn) suy ra tam giác
ABM
vuông tOi
B
.
Suy ra
90+ =OAM OBM
LOi có
=OAM MCO
(cùng chNn cung
MO
cAa ñưIng tròn ngoOi ti-p t/ giác
ACMO
)
=ODM OBM
(cùng chNn cung
MO
cAa ñưIng tròn ngoOi ti-p t/ giác
BDMO
)
90+ = + = + = ⇒ DCO ODC MCO ODM OAM OBM COD
vuông tOi
O
.
c) Ch/ng minh
2
.=AC BD R
.
Theo tính ch<t hai ti-p tuy-n cNt nhau ta có =
=
D
A
B MD
C MC
Tam giác
COD
vuông tOi
O
có ñưIng cao
OM
Áp dong h% th/c lưRng tam giác vuông ta có
2 2
. .⇔= = ⇒MC MD AC BD ROM
ðpcm.
d) KZ
( )
,⊥ ∈MN AB N AB
;
BC
cNt
MN
tOi
I
. Ch/ng minh
I
là trung ñi2m cAa
MN
.
KZ BM cNt Ax tOi E.
Theo tính ch<t hai ti-p tuy-n cNt nhau ta có CO là ñưIng phân giác trong cAa tam giác cân ACM. Suy ra OC
vsa phân giác vsa là ñưIng cao cAa tam giác ACM.
Suy ra
⊥OC AM
, mà
⊥ ⇒EB AM OC
//
EB
.
LOi có O là trung ñi2m cAa AB suy ra OC là ñưIng trung bình tam giác ABE.
Suy ra C là trung ñi2m cAa AE.
Ta có
EA
//
MN
(vì cùng vuông góc v7i AB).
Áp dong h% qu ñ>nh lý Ta Lét vào tam giác ABE ta có E
=
BA A
BN NM
Trang 5/5WordToan
Áp dong h% qu ñ>nh lý Ta Lét vào tam giác ABC ta có =
BA AC
BN NI
E E E 2⇒ = = ⇒ = ⇒ = = ⇒
A AC BA A AC A NM I
NM NI BN NM NI AC NI là trung ñi2m cAa
MN
.
2) Tính th2 tích cAa mFt hình nón có bán kính ñáy
r 4=
cm, ñF dài ñưIng sinh
l 5=
cm.
Ta có
2 2
AH r 4cm;AO l 5cm OH AO AH 9 3cm= = = = ⇒ = − = =
Th2 tích hình nón là
( )
2 3
1
V .OH. .r 16 cm
3
π π
= = .
Câu V (0,5 ñi1m).
Cho
a, b, c
là các sK th\c dương và th]a mãn ñi_u ki%n
1=abc
Ch/ng minh 1 1 1 1
2 2 2
+ + ≤
+ + +abc.
L?i gi=i
B<t ñEng th/c cQn ch/ng minh 1 1 1 1
2 2 2
+ + ≤
+ + +abc
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2⇔ + + + + + + + + ≤ + + +b c a c a b a b c
( ) ( ) ( )
4 12 2 4 8⇔ + + + + + + ≤ + + + + + + +ab bc ca a b c abc ab bc ca a b c
( ) ( ) ( )
4 12 1 2 4 8⇔ + + + + + + ≤ + + + + + + +ab bc ca a b c ab bc ca a b c
3⇔ + + ≥ab bc ca
Th`t v`y áp dong b<t ñEng th/c CauChy cho 3 sK dương ta có
( )
2
3
3 3⇔ + + ≥ ≥ab bc ca abc
.
D<u “=” xy ra khi
1= = =a b c
.
Hoàn t<t ch/ng minh.