Đôi điều về phương trình và bất phương trình năm 2014

Chia sẻ: Trần Thị Trúc Diễm | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

60
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để giúp cho học sinh có thêm tư liệu ôn tập trước kì thi sắp tới môn Toán lớp 12. Mời các bạn tham khảo đôi điều về phương trình và bất phương trình. Mong rằng bạn sẽ có được điểm cao như mong muốn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đôi điều về phương trình và bất phương trình năm 2014

VÒ ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh ............................................................... A.Më ®Çu: 1.Nh÷ng ®iÒu ph¶i nãi ngay: Ch¶ ph¶i nãi riªng bµi to¸n vÒ ph¬ng tr×nh(ptr) hay bÊt ph¬ng tr×nh(bptr),tríc bÊt kú bµi to¸n nµo mµ b¹n ph¶i tiÕp cËn vµ gi¶i quyÕt nªn tr¶i qua 3 c©u hái kinh ®iÓn sau: (H1) Cã nh÷ng ®èi tîng ®Æc biÖt nµo xuÊt hiÖn trong bµi to¸n cña chóng ta ? (H2) C¸c ®èi tîng ®ã cãliªn quan g× ®Æc biÖt víi nhau? (H3) CÇn sö dông c«ng cô g× ®Ó khai th¸c quan hÖ ®· kh¸m ph¸ trªn? 2.B¶n chÊt bµi to¸n ptr, bptr Khi quan tr¾c cuéc sèng víi nhiÒu ®èi tîng con ngêi n¶y sinh c¸c sù so s¸nh gi¸ trÞ cã 2 lèi rÏ trong t duy con ngêi khi so s¸nh 1) Kh¼ng ®Þnh sù chªnh lÖch gi¸ trÞ gi÷a c¸c ®èi tîng ®· quan tr¾c kh¼ng ®Þnh nµy cã tÝnh ®óng sai minh b¹ch t¹o nªn c¸c ®¼ng thøc vµ bÊt ®¼ng thøc . 2)ThiÕt lËp c¸c ®iÒu kiÖn so s¸nh vµ kiÕm t×m gi¸ trÞ cña ®èi tîng thay ®æi lµm tháa m·n sù so s¸nh ®· thiÕt lËp ®ã. Sù so s¸nh ®îc thiÕt lËp ra ko kÌm theo kh¼ng ®Þnh mµ lµ ®Ó t¹o ra c¸c môc tiªu (®k) t×m kiÕm t¹o nªn c¸c ph¬ng tr×nh bÊt ph¬ng tr×nh. .Kh¸i niÖm ptr 1 Èn sè Lµ mét ®k ®îc thiÕt lËp d¹ng: f(x) = g(x) Víi f(x) vµ g(x) lµ 2 biÓu thøc (hµm sè) biÕn x, trong ptr nã lµ ®èi tîng cha biÕt tríc gäi lµ Èn sè mµ ta cÇn t×m kiÕm (gi¶i tho¸t) khái nh÷ng rµng buéc ®Ó tháa m·n sù so s¸nh. .Chó ý +NÕu thay dÊu ”=” bëi c¸c dÊu ss kh¸c ta cã c¸c bptr. +NÕu cã nhiÒu ®k ss ®îc thiÕt lËp (cïng víi cã thÓ xuÊt hiÖn nhiÒu ®èi tîng t×m kiÕm) ®ång thêi ta cã c¸c hÖ (ptr vµ bptr) Nh÷ng lý lÏ phÝa trªn cña t«i hy väng gióp c¸c b¹n kh«ng bao giê hµm hå mµ ph¸t biÓu r»ng ptr hay bptr nµy lµ ®óng hay sai c¶ mµ chØ cã c¸c ®¼ng thøc hay bÊt ®¼ng thøc sai mµ th«i. +C¸c t×nh huèng x¶y ra víi 1 ptr (bptr): PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2 th1: V« No (ko t×m ®îc gi¸ trÞ tháa ®k thiÕt lËp so s¸nh) th2: Cã duy nhÊt 1 gtrÞ t×m ®îc tháa m·n ..... th3+..: T×m ®îc nhiÒu...thËm chÝ v« sè +VÒ nghiÖm cña ptr : ®ã lµ gi¸ trÞ t×m thÊy cña Èn sè tháa ®¶m sù so s¸nh trong ptr b¹n h·y nhí tríc khi ss ®èi tîng ss cÇn ph¶i ”sèng ®îc” ®·. Vµ ®ã lµ lý do cÇn x¸c lËp sù tån t¹i cña c¸c biÓu thøc bÞ bÕ ®i mµ ss. Víi hÖ ptr nhiÒu Èn sè No cña nã ph¶i lµ 1 bé gi¸ trÞ ®ång thêi lµm tháa m·n sù ss thiÕt lËp, t«i ph¶i nãi vËy v× ®«i khi t«i thÊy r»ng cã b¹n ®i kl 1 hÖ bËc nhÊt 2 Èn cã 2 No ! 3.Bµn vÒ sù so s¸nh phÐp so s¸nh xu«i phÐp so s¸nh ngîc = 6= > < ¸ phÐp so s¸nh ngîc phÐp so s¸nh xu«i +C¸c cÊu tróc ®îc thiÕt lËp nªn ®Ó so s¸nh víi nhau chÝnh lµ c¸c biÓu thøc (hµm sè) mµ biÕn sè chÝnh lµ gi¸ trÞ cha biÕt tríc (cÇn t×m kiÕm) gäi lµ Èn sè. C¸c biÓu thøc Êy ch¼ng qua lµ c¸c c«ng thøc liªn kÕt l¹i tõ c¸c phÐp to¸n c¬ b¶n. V× thÕ vÒ c¬ b¶n c«ng viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh lµ gi¶i tho¸t Èn sè khái nh÷ng rµng buéc r¾c rèi ®· ®îc thiÕt lËp, sù gi¶i tho¸t Êy ¾t h¼n ph¶i ®i kÌm viÖc biÕn ®æi ”t¸c ®éng” vµo ®èi tîng ®a vÒ h×nh thøc dÔ khai tho¸t h¬n(c¬ b¶n) . +Kh«ng ph¶i lóc nµo còng cã thÓ (hay lµ còng nªn) t×m kiÕm (gi¶i tho¸t) trùc tiÕp Èn sè, cã thÓ víi 1ptr( bptr ) qu¸ cång kÒnh ta nªn t×m kiÕm 1 ®èi tîng trung gian chøa Èn sè trùc tiÕp := Èn sè phô, hÖt nh ngêi ta t×m vµng (Èn sè trùc tiÕp), thùc ra lµ t×m ”quÆng chøa vµng” (Èn sè phô) råi tõ quÆng mµ ®·i ra vµng 10.Còng ph¶i nãi ngay lµ ch¼ng ph¶i cø ®¸ quÆng nµo còng ®·i ra vµng,v× thÕ nÕu ®Æt Èn sè phô th× ph¶i ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn phô. +Còng cÇn nhí r»ng do cã c¸c sù so s¸nh gi¸ trÞ := sù ®¸nh gi¸. ThÕ nªn kh«ng ®îc quªn r»ng ®«i khi viÖc t×m kiÕm (gi¶i tho¸t) ph¶i cÇn tíi c¸c kü n¨ng ®¸nh gi¸ ®Ó c¸ biÖt hãa ®iÒu kiÖn so s¸nh. Tãm l¹i : Cã 3 gi¶i ph¸p c¬ b¶n tríc 1 ptr( bptr) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
3 (gp1)B: BiÕn ®æi c¸c ®èi tîng cã mÆt theo nh÷ng môc ®Ých sau: (+)§a vÒ c¸c h×nh thøc c¨n b¶n (+)XuÊt hiÖn ®èi tîng thÓ hiÖn chung (Èn sè phô) (+)B¾t nh©n tö (gp2)a: T×m ra ®èi tîng thÓ hiÖn chung ®Ó ®Æt Èn phô víi môc ®Ých lµm ®¬n gi¶n kÕt cÊu (®Æc biÖt chó ý ®iÒu nµy víi bµi to¸n cã tham sè) (gp3)d:§¸nh gi¸ t¬ng thÝch c¸c ®èi tîng cã mÆt ®Ó c¸ biÖt hãa sù so s¸nh CÇn ph¶i n¾m ®îc ®iÒu nµy nÕu muèn x¸c ®Þnh môc ®Ých bµi to¸n còng nh h×nh thµnh c¸c ph¬ng ¸n gi¶i 4.Sù gi¶i tho¸t khái c¸c phÐp to¸n Do c¸c cÊu tróc ®îc thiÕt lËp nªn ®Ó so s¸nh lµ c¸c biÓu thøc (hµm sè) mµ c¸c hµm sè s¬ cÊp cña chóng ta l¹i lµ c¸c quy t¾c díi h×nh thøc c¸c c«ng thøc cho t¬ng øng gi¸ trÞ ®îc h×nh thµnh trªn c¸c phÐp to¸n c¬ b¶n (quy t¾c ®Þnh trÞ c¬ b¶n). Ta ®· biÕt c¸c phÐp to¸n c¬ b¶n nh sau: B¶ng 2: phÐp to¸n xu«i phÐp to¸n ngîc + - £ ¥ p (::)n n ::: cos(:::) arccos(:::) sin(::) arcsin(:::) a(:::) loga (:::) phÐp to¸n ngîc phÐp to¸n xu«i C¸c phÐp to¸n t¸c ®éng trùc tiÕp vµo biÕn sè ®ã céng víi c¸c phÐp hîp hµm sè gióp h×nh thµnh nªn c¸c líp hµm sè s¬ cÊp sau: 1,Hµm ®a thøc 2,Hµm ph©n thøc 3,Hµm v« tû 4,Hµm lîng gi¸c 5,Hµm sè mò vµ logarit 6,C¸c hµm tæng hîp tõ c¶ 6 phÐp trªn Trong viÖc gi¶i ptr(bptr) b¹n cÇn n¾m ch¾c ®iÒu nµy ®Ó cã ®îc hÖ thèng vÒ c¸c h×nh thøc ptr(bptr) vµ ý tëng (gi¶i ph¸p) c¬ b¶n vÒ kü n¨ng xö lý. VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: p 2: 3x ¡ 2 ¡ 3:px ¡ 1 = 1: 3 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
4 Tríc khi b¾t ®Çu lêi gi¶i cÇn cã nh÷ng nhËn xÐt sau: Cã: c¨n bËc 2 (liªn quan: ®Õn phÐp lòy thõa bËc2) vµ bËc 3 (nghÜ ®Õn phÐp lòy thõa bËc 3) cña nh÷ng lîng bËc nhÊt (rÊt dÔ hãa gi¶i nhê phÐp nh©n chia cho h»ng sè vµ phÐp céng trõ) T¹o quan hÖ: p ( 3x ¡ 2)2 = 3x - 2 p ( 3 x ¡ 1)3 = x - 1 p p 3(x - 1) - (3x - 2) = -1 $ ( 3x ¡ 2)2 - 3( 3 x ¡ 1)3 = 1 (*) p 3 px ¡ 1 + 1 3 Nh vËy nÕu rót bít 1 ®èi tîng c¨n vd: 3x ¡ 2 = ta t×m ra ®èi 2 px ¡ 1) = t ®em thay vµo (*) ®Ó cã tîng thÓ hiÖn chung (Èn sè phô) ( 3 ptr $ ¡4t3 + 3t2 + 2t ¡ 1 = 0 ®©y lµ 1ptr bËc 3 nhng cã no ®Æc biÖt t = 1... —————- Ph¶i nãi lu«n nhîc ®iÓm cña ch¬ng tr×nh phæ th«ng hiÖn t¹i khi v¾ng mÆt hai ”2 viªn thuèc gi¶i” cho 2 phÐp to¸n lîng gi¸c ®ã lµ phÐp lÊy arccos vµ arcsin ch¶ kh¸c nµo ®Î con g¸i ra (nh÷ng ®øa con g¸i siªu viÖt) råi ®Ó nã Õ chång! Ph¸ mÊt sù hµi hßa cña cÊu tróc. 4.VÒ bµi to¸n cã tham sè Xin quay l¹i sù vÝ von viÖc gi¶i ptr nh lµ ®i t×m vµng, sù kiÕm t×m kh«ng chØ phô thuéc c¸ch thøc, c«ng nghÖ t×m kiÕm mµ cßn phô thuéc nhiÒu yÕu tè. Gi¶i ph¬ng tr×nh còng thÕ, trong nh÷ng ®iÒu kiÖn thùc tÕ kh¸c nhau mét ®èi tîng sÏ cã nh÷ng gi¶i ph¸p kiÕm t×m vµ gi¶i tho¸t kh¸c nhau. ViÖc ®ã kh«ng chØ phô thuéc ®èi tîng trùc tiÕp (Èn sè) ta ®i t×m mµ cßn phô thuéc vµo nhiÒu yÕu tè, nh÷ng yÕu tè phô gia (gièng nh chÊt xóc t¸c trong ph¶n øng ®iÒu chÕ chÊt hãa häc) cã thÓ cha têng minh gi¸ trÞ (còng nh mét biÕn sè trong biÓu thøc hµm ®îc thiÕt lËp so s¸nh) nhng ta kh«ng coi nã lµ Èn sè (v× cã ph¶i môc ®Ých lµ ®i t×m nã ®©u!) mµ gäi lµ tham sè vµ øng víi mçi t×nh huèng ®Æc biÖt x¶y ®Õn víi tham sè t×nh huèng vµ ®iÒu kiÖn gi¶i tho¸t l¹i kh¸c ®i buéc ta ph¶i luËn xÐt têng minh (qu¸ tr×nh biÖn luËn). V× lý do trªn t«i nghÜ vÒ b¶n chÊt tham sè lµ: sè tham gia vµo sù thiÕt lËp so s¸nh trong ph¬ng tr×nh cã thÓ g©y ®Õn nh÷ng gi¶i ph¸p kh¸c nhau cho viÖc t×m kiÕm Èn sè Xin ®Æt m×nh vµo xóc c¶m cña mét ngêi chØ huy mét trËn ®¸nh khi gÆp bµi to¸n biÖn luËn nãi riªng hay cã tham sè nãi chung. H·y ®Æt ra nh÷ng ch÷ ”nÕu” cã lý (mét c¸ch tù nhiªn) cho nh÷ng t×nh huèng x¶y ®Õn cho trËn ®¸nh ”gi¶i tho¸t cña PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
5 b¹n”; ®ã thùc chÊt lµ mét qu¸ tr×nh diÔn dÞch c¸c ý tëng gi¶i tho¸t. T«i nhËn thÊy cã nh÷ng c©u hái thêng diÔn ra tù nhiªn víi m×nh nh sau : (B1) B©y giê sÏ tÊn c«ng thÕ nµy...nhng lì...th× sao? vËy nªn xÐt. (B2)NÕu (®iÒu kiÖn) thuËn lîi cho phÐp ”tÊn c«ng kia” kh«ng x¶y ra th× sao?...(chän c¸h tÊn c«ng kh¸c tr¸nh ®i c¹m bÉy ®· nhËn ra hay ®iÒu kiÖn kh«ng cho phÐp võa nhËn ra) (B3) Quay l¹i (B1)....... Cø thÕ qu¸ tr×nh luËn xÐt vÐt hÕt ®îc c¸c t×nh huång x¶y ®Õn ®Ó cuèi cïng cho ta mét kÕt luËn tæng hîp. Nãi chung t«i h¬i khã hiÓu lµ 1 sè hs rÊt ng¸n viÖc gi¶i vµ biÖn luËn ptr, bptr cã tham sè mong b¹n h·y b×nh th¶n h¬n th× tèt. Thùc ra lo¹i bµi tËp nµy cÇn ë b¹n phÈm chÊt cña 1 b¸c n«ng d©n. Nã ko khã nhng r¾c rèi v× nh÷ng suy luËn vôn vÆt kiÓu vÐt c¹n, ngµy cßn hs t«i thêng ®èi diÖn víi nã nh thÓ cÇn ®i qua mét con ®êng ma lÇy vËy. Cßn b¹n h·y xuÊt ph¸t viÖc ”gi¶i vµ biÖn luËn” tõ thuËt gi¶i vµ khi nµo c¸i tham sè ®¸ng ghÐt kia ng¨n c¶n tÝnh cã lý cña gi¶i thuËt th× ta sÏ vËt nã ra mµ mæ xÎ vµ xem xÐt ...vËy th«i! VD1: Gi¶i biÖn luËn víi m lµ tham sè ptr: m + x = 1 + m2 x ————— ptr $ (m ¡ 1) = (m2 ¡ 1)x NÕu m2 ¡ 1 = 0 $ (m ¡ 1)(m + 1) = 0 $ m = 1 hoÆc m = ¡1 m = 1 ptr $ 0x = 0 nhËn R: tËp nghiÖm m = ¡1 ptr $ 0x = ¡2: v« nghiÖm NÕu m2 ¡ 1 6= 0 $ m 6= 1 vµ -1 m¡1 ptr $ x = 2 m ¡1 1 $x= m+1 VËy: +Víi m = 1 tËp nghiÖm ptr lµ R +Víi m = ¡1 ptr v« nghiÖm 1 +Víi m 6= 1 vµ -1 ptr cã nghiÖm duy nhÊt x = m+1 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
6 Còng ph¶i nãi thªm lµ khi dïng kü n¨ng ®Æt Èn sè phô gi¶i ph¬ng tr×nh (bptr) cã tham sè b¹n cÇn ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn sè phô kÎo kh«ng c¸i ®iÒu kiÖn ”tëng bë” mµ b¹n luËn ra cho nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng x¸c thùc. VD3: T×m tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh: ¼ cos2 x ¡ 2m:cosx + 1 = 0 cã 2 ngiÖm ph©n biÖt x 2 (0; ) 2 ————– Tai n¹n x¶y ®Õn lµ ®Æt cosx = t råi th× ptr cã ngiÖm $ ptr t2 ¡ 2m:t + 1 = 0 cã ¼ 2ngiÖm ph©n biÖt (thËm chÝ 2nghiÖm ph©n biÖt 2 (0; ))! 2 lêi gi¶i ®óng ph¶i lµ: ¼ ®Æt cosx = t 2 (0; 1) khi x 2 (0; ) mµ víi mçi t 2 (0; 1) th× cosx = t sÏ sinh ra ¼ 2 duy nhÊt ®óng 1 n0 x 2 (0; ) 2 VËy nªn ®Ó ptr ®Ò ra cã ngiÖm nh yªu cÇu$ ptr t2 ¡ 2m:t + 1 = 0 cã 2ngiÖm ph©n biÖt t 2 (0; 1) ®Õn ®©y b¹n h·y xem l¹i VD2. Tõ VD3 cã thÓ rót ngay ra mét bµi häc lµ: Trong viÖc xö lý viÖc cã nghiÖm (hay luËn xÐt sè c¸c nghiÖm) mét ph¬ng tr×nh cã tham sè mµ ta ®Æt Èn sè phô: (+)®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn sè phô theo ®iÒu kiÖn cña Ên sè gèc, c«ng viÖc nµy chÝnh lµ t×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm t = p(x) : Èn phô trªn miÒn x tháa ®iÒu kiÖn Èn sè (+) Muèn xÐt sè nghiÖm cÇn xÐt c¶ tÝnh c¶m sinh nghiÖm x tõ nghiÖm t cña ph¬ng tr×nh Èn phô (phÐp gi¶i ngîc). B. Mét sè gi¶i ph¸p chi tiÕt: H·y xem l¹i b¶ng(2) c¸c phÐp to¸n c¬ b¶n ®Ó hiÓu ý tëng h×nh thµnh c¸c kü n¨ng c¬ b¶n mµ t«i bµy ra sau ®©y 1. Ph¬ng tr×nh (bptr) bËc nhÊt: T«i xem träng lo¹i nµy khi d¹y cho h/s mÊt c¨n b¶n (phÇn nhiÒu trong nh÷ng ®øa trÎ tõng ngåi tríc t«i ) kh«ng ph¶i v× nã dÔ mµ v× nã b¸o ®éng ®îc cho chóng ®iÒu chóng ®· mÊt. 1.1,Kh¸i niÖm: PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
7 Lµ bµi to¸n liªn quan tíi ®iÒu kiÖn so s¸nh víi c¸c biÓu thøc h×nh thµnh bëi 3phÐp to¸n (+),(-) vµ (.) víi h»ng sè (c¸c hµm bËc nhÊt). 1.2,§iÒu c¬ b¶n cÇn biÕt: (-)sù gi¶i tho¸t: (xem b¶ng 2) (-)luËt lÖ: Nhí lµ (+) vµ (-) th× v« t nhng (:) th× cÇn sè chia (mÉu sè ph©n thøc) 6= 0 2.Ph¬ng tr×nh ®a thøc bËc cao h¬n 1: §©y lµ nÒn t¶ng cho c¸c thÓ lo¹i ptr hay bptr cã thÓ gi¶i ®îc sau nµy 1.1,Kh¸i niÖm: Lµ bµi to¸n liªn quan tíi ®iÒu kiÖn so s¸nh víi c¸c biÓu thøc h×nh thµnh bëi 3phÐp to¸n (+),(-) , (.) víi h»ng sè vµ c¸c hµm lòy thõa bËc tù nhiªn(c¸c hµm ®a thøc). 2.2,§iÒu c¬ b¶n cÇn biÕt: (-)Sù gi¶i tho¸t: T×m c¸ch ph©n tÝch triÖt ®Ó ®a thøc vÒ tÝch c¸c nh©n tö bËc nhÊt vµ bËc 2 v« nghiÖm (-)LuËt lÖ: (+)CÇn n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc vÒ tam thøc bËc 2 (+)Kü n¨ng ph©n tÝch nh©n tö gåm (kng0)C¸ch nhÈm nghiÖm m«t ®a thøc bËc lín h¬n 2 (mß ra gi¸ trÞ lµm ®a thøc triÖt tiªu ) (kng1)§Þnh lý B¬zu: NÕu ®a thøc P(x) cã nghiÖm lµ c (tøc lµ P(c) = 0) th× P(x) cã nh©n tö (x - c), (nghÜa lµ P(x) = (x - c).Q(x) víi Q(x): ®a thøc ) (kng2): 2 D¹ng ph©n tÝch c¬ b¶n cña 1 tam thøc bËc 2 gåm ph©n tÝch chÝnh t¾c vµ ph©n tÝch nh©n tö. (+)Ph¬ng ph¸p xÐt dÊu b»ng b¶ng vµ trôc ®an dÊu PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com