b )m ax ≡≡≡≡ (mod
(mod x9 ≡≡≡≡ )15 6
≡≡≡≡ ≡≡≡≡⇔⇔⇔⇔ x3 (mod (mod x9 )5 2
, tìm x nhờ máy tính bỏ túi như sau
6 )15 : Dùng phím CALC
÷÷÷÷ −−−− ++++ ====
4 (mod x ≡≡≡≡ )5
DÙNG MÁY TÍNH CASIO FX570MS ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ Ở cấp II học sinh đã làm quen “Đồng Dư”, khi lên đại học sinh viên ngành Toán gặp lại “Đồng Dư” ở môn “Số Học”. Nhưng việc tìm nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình “Đồng Dư” đôi lúc gặp khó khăn. Ở đây tôi giới thiệu phương pháp dùng máy tính để giải phương trình và hệ phương trình đồng dư nhờ máy tính bỏ túi Casio 570MS. 1. Phương trình đồng dư bậc nhất: Dạng: Ví dụ: Giải phương trình đồng dư: Giải: Ta biến đổi Cách 1 Ta dùng ô nhớ A để giải Ta nhập vào máy biểu thức: (A→→→→0) 5)2A3(:1AA Nhấp phím Calc màn hình hiện A? ta nhập A ban đầu là 1 rồi nhấn dấu = liên tiếp đến khi A+1 có giá trị bằng 4 thì (3A-2) ÷÷÷÷5 có giá trị 2 là số nguyên. Do đó ta được
x
4
(mod
)15
9
(mod
)15
x
là xong
Nên phương trình có nghiệm:
≡≡≡≡ ≡≡≡≡ ≡≡≡≡
x
14
(mod
)15
: Dùng lập trình nhập từ bàn phím máy tính
÷÷÷÷ ++++ ====
Cách 2 Ta nhập vào máy biểu thức: (A→→→→0) 5)2A3(:1AA
rồi nhấn dấu = liên tục khi nào (3A-2) ÷÷÷÷5 có giá trị
−−−− là số nguyên thì ta chọn giá trị A+1 khi đó x ≡≡≡≡ 4 (mod )5
Do đó ta được
4
(mod
)15
x
x
9
(mod
)15
Nên phương trình có nghiệm:
≡≡≡≡ ≡≡≡≡ ≡≡≡≡
x
14
)15
. Chú ý
(mod
a
x
1
≡≡≡≡ ≡≡≡≡
(mod
a
x
Dạng:
(m1, m2, . . . ,mn) nguyên tố sánh đôi
2 .......... .......... ≡≡≡≡ x a (mod
n
(mod (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) : Thông qua việc giải phương trình đồng dư thì ta có thể áp dụng giải bài toán như sau “Tìm số nguyên dương nhỏ nhất x để nx chia cho m thì được dư là r, trong đó n, m, r đề bài đã cho) 2. Hệ phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn )m 1 )m 2 ...... )m n Ví dụ 1: Bài toán điểm binh của “Hàn Tín”: 2
(mod
)3
x
x
3
(mod
)5
≡≡≡≡ ≡≡≡≡ ≡≡≡≡
x
4
(mod
)7
Giải: Cách 1
: Dùng phím CALC
−−−− ==== ÷÷÷÷ ÷÷÷÷
Cho ô nhớ A chứa số 0 Ta nhập biểu thức như sau: −−−− −−−− 7)4A(:5)3A(:3)2A(:1AA
−−−−
−−−−
++++ ÷÷÷÷ Nhấn CALC thì màn hình hiện A? ta nhập 1 rồi nhấn các lần bằng thì ta
.0
285714285
...
(
)
2,0−−−−
; (A – 4)÷÷÷÷7 là
có kết quả (A – 2)÷÷÷÷3 là 0; (A – 3)÷÷÷÷5 là
2 7
Nhấn = liên tiếp cho đến khi các giá trị của (A – 2)÷÷÷÷3, (A – 3)÷÷÷÷5 và (A –
53 105 ) (mod 7x5x3 105 ====
trong đó
x ≡≡≡≡ : Dùng lập trình nhập từ bàn phím máy tính
4)÷÷÷÷7 là những số nguyên thì ta chọn A+1 khi đó. Ta có: A+1=53 thì các giá trị của (A – 2)÷÷÷÷3, (A – 3)÷÷÷÷5 và (A – 4)÷÷÷÷7 là những số nguyên Do đó Cách 2 Cho ô nhớ A chứa số 0 Ta nhập biểu thức như sau: ++++
÷÷÷÷ −−−− ÷÷÷÷ −−−− ==== ÷÷÷÷ −−−− 7)4A(:5)3A(:3)2A(:1AA
105 ==== 7x5x3 (mod 105 ) 53
trong đó
nhấn dấu bằng liên tục đến khi các giá trị của (A – 2)÷÷÷÷3, (A – 3)÷÷÷÷5 và (A – 4)÷÷÷÷7 là những số nguyên thì ta chọn A+1 khi đó x ≡≡≡≡ Do đó Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất x thoả đồng thời các điều kiện
x
1 (mod
)2
x
2
(mod
)3
x
3
(mod
)4
x
4
(mod
)5
x
5
(mod
)6
x
6
(mod
)7
≡≡≡≡ ≡≡≡≡ ≡≡≡≡ ≡≡≡≡ ≡≡≡≡ ≡≡≡≡ ≡≡≡≡
x
7
(mod
)8
Giải: Ta cũng có hai cách giải giống như trên nhưng tôi chỉ nêu một cách giải như sau: Ta cho ô nhớ A ban đầu là 15 (có thể lớn hơn miễn sao đừng sai số tự nhiên nhỏ nhất thoả điều kiện) Nhập biểu thức:
====
++++
−−−−
÷÷÷÷
−−−− −−−−
−−−− −−−−
÷÷÷÷ ÷÷÷÷
−−−− −−−−
÷÷÷÷ ÷÷÷÷
8)7A(:7)6A(:6)5A(
−−−− 1n
≡≡≡≡
++++
++++
====
(mod
)x(f
)m
...
0
a0 ≡≡≡≡0(modm)
trong đó , n>1,
xa 0
xa 1
n
3
4
3 )5
≡≡≡≡++++ −−−− ++++ ==== 0 (mod 1x9 )x(f x2 x
: Dùng phím CALC
÷÷÷÷ :5)4A(:4)3A(:3)2A(:2)1A(:1AA ÷÷÷÷ Rồi nhấn dấu bằng liên tục đến khi (A – 1)÷÷÷÷2; (A – 2)÷÷÷÷3; (A – 3)÷÷÷÷4; (A – 4)÷÷÷÷5; (A – 5)÷÷÷÷6; (A – 6)÷÷÷÷7; (A – 7)÷÷÷÷8 có giá trị nguyên thì ta nhận A+1 khi đó. Ta có số nguyên cần tìm là 839. Máy tính bỏ túi không dừng ở hai loại phương trình trên, nó còn có thể giải phương trình đồng dư bậc cao rất gọn và nhanh. 3. Phương trình đồng dư bậc cao ++++ n a Dạng: m>1 Ví dụ: Giải phương trình Giải: Cánh 1 Ta cũng cho ô nhớ A chứa số 0
3
4
3
3
4
++++ ÷÷÷÷ ++++ ==== ++++ 5)1A9A2A(:1AA
====++++ ÷÷÷÷ ==== ++++ ====
Nhập vào máy biểu thức: Nhấn phím CALC 1AA
−−−− trên màn hình xuất hiện A? nhập 1 3 5)1A9A2A(:2 12.0
ta có rồi nhấn dấu bằng cho đến khi
4
3
3
−−−− ++++ ++++ ÷÷÷÷ ++++
là số nguyên thì ta chọn A+1 khi đó
giá trị của ≡≡≡≡
3 )5
4
3
3
−−−− 5)1A9A2A( 57 (mod
4
3
3
==== ++++ ++++ −−−− x Ta có Cách 2 : Dùng lập trình nhập từ bàn phím Ta cũng cho ô nhớ A chứa số 0 Nhập vào máy biểu thức:
++++ ÷÷÷÷ 5)1A9A2A(:1AA ++++ ++++ ÷÷÷÷ −−−− 5)1A9A2A(
là
3 )5
≡≡≡≡ x (mod
Rồi ta dùng liên tiếp dấu bằng cho đến khi giá trị của số nguyên thì ta chọn A+1 khi đó 57 Ta cũng có Tóm lại : Dù dùng phím CALC hay lập trình từ bàn phím đưa vào thì kết quả như nhau. Nhưng đôi khi phím CALC có lợi hơn bởi vì ở bước n thì ta có thể thay đổi giá trị của A nhập từ bàn phím, còn cách dùng lập trình nhập từ bàn phím thì không thay đổi giá trị của A được mà nó tuân thủ theo lập trình đã lập. Bài tập áp dụng:
27 x6 ≡≡≡≡ (mod x9 ≡≡≡≡ )33 )52 x91 ≡≡≡≡ 84 (mod 143 )
a.
Bài 1: Giải các phương trình đồng dư sau (mod
b.
c.
≡≡≡≡
5 (mod
x3
x
)3
x
(mod
)6
x2
3
(mod
)5
(mod
)6
x
x7
(mod
)12
42 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau 1 (mod )7
a.
b.
c.
≡≡≡≡ ≡≡≡≡ ≡≡≡≡
5 ≡≡≡≡ 5 ≡≡≡≡
x5
1 (mod
)9
x
≡≡≡≡ ≡≡≡≡ 4 −−−−≡≡≡≡ 5
(mod
)15
19
(mod
)30
x17
)27
a.
0 (mod
)27
b.
2
3
c.
++++ x2 2 ++++ 3 x2 x ++++ ++++
Bài 3: Giải các phương trình sau: ≡≡≡≡++++ 1x3 0 (mod ++++ ≡≡≡≡−−−− 2 2x2 ≡≡≡≡−−−−++++ 1x ++++ ≡≡≡≡++++ 9x3
(mod 0 0 (mod x2 2 x2
) 125 )27
x3 3 x
