DÙNG MÁY TÍNH CASIO FX570MS
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ
Ở cấp II học sinh đã làm quen “Đồng Dư”, khi lên đại học sinh viên ngành Toán
gặp lại “Đồng Dư” ở môn “Số Học”. Nhưng việc tìm nghiệm của phương trình
hoặc hệ phương trình “Đồng Dư” đôi lúc gặp khó khăn. Ở đây tôi giới thiệu
phương pháp dùng máy tính để giải phương trình và hệ phương trình đồng dư
nhờ máy tính bỏ túi Casio 570MS.
1. Phương trình đồng dư bậc nhất:
Dạng:
)m(modbax ≡
≡≡
≡
Ví dụ: Giải phương trình đồng dư:
)15(mod6x9 ≡
≡≡
≡
Giải:
Ta biến đổi
)5(mod2x3)15(mod6x9 ≡
≡≡
≡⇔
⇔⇔
⇔≡
≡≡
≡
, tìm x nhờ máy tính bỏ túi như sau
: Dùng phím CALC
Cách 1
Ta dùng ô nhớ A để giải
Ta nhập vào máy biểu thức: (A→
→→
→0)
5)2A3(:1AA ÷
÷÷
÷−
−−
−+
++
+=
==
=
Nhấp phím Calc màn hình hiện A? ta nhập A ban đầu là 1 rồi nhấn dấu =
liên tiếp đến khi A+1 có giá trị bằng 4 thì (3A-2) ÷
÷÷
÷5 có giá trị 2 là số nguyên. Do
đó ta được
)5(mod4x ≡
≡≡
≡
Nên phương trình có nghiệm:
≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
)15(mod14x
)15(mod9x
)15(mod4x
là xong
: Dùng lập trình nhập từ bàn phím máy tính
Cách 2
Ta nhập vào máy biểu thức: (A
→
→→
→
0)
5)2A3(:1AA ÷
÷÷
÷−
−−
−+
++
+=
==
=
rồi nhấn dấu = liên tục khi nào (3A-2)
÷
÷÷
÷
5 có giá trị
là số nguyên thì ta chọn giá trị A+1 khi đó
Do đó ta được
)5(mod4x ≡
≡≡
≡
Nên phương trình có nghiệm:
≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
)15(mod14x
)15(mod9x
)15(mod4x
: Thông qua việc giải phương trình đồng dư thì ta có thể áp dụng giải
. Chú ý
bài toán như sau “Tìm số nguyên dương nhỏ nhất x để nx chia cho m thì được dư
là r, trong đó n, m, r đề bài đã cho)
2. Hệ phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn
Dạng:
≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
)m(modax
..........................
)m(modax
)m(modax
nn
22
11
(m
1
, m
2
, . . . ,m
n
) nguyên tố sánh đôi
Ví dụ 1: Bài toán điểm binh của “Hàn Tín”:
≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
)7(mod4x
)5(mod3x
)3(mod2x
Giải:
: Dùng phím CALC
Cách 1
Cho ô nhớ A chứa số 0
Ta nhập biểu thức như sau:
7)4A(:5)3A(:3)2A(:1AA ÷
÷÷
÷−
−−
−÷
÷÷
÷−
−−
−÷
÷÷
÷−
−−
−+
++
+=
==
=
Nhấn CALC thì màn hình hiện A? ta nhập 1 rồi nhấn các lần bằng thì ta
có kết quả (A – 2)
÷
÷÷
÷
3 là 0; (A – 3)
÷
÷÷
÷
5 là
2,0−
−−
−
; (A – 4)
÷
÷÷
÷
7 là
)
7
2
(...285714285.0 −
−−
−−
−−
−
Nhấn = liên tiếp cho đến khi các giá trị của (A – 2)
÷
÷÷
÷
3, (A – 3)
÷
÷÷
÷
5 và (A –
4)
÷
÷÷
÷
7 là những số nguyên thì ta chọn A+1 khi đó.
Ta có: A+1=53 thì các giá trị của (A – 2)
÷
÷÷
÷
3, (A – 3)
÷
÷÷
÷
5 và (A – 4)
÷
÷÷
÷
7 là những số
nguyên
Do đó
)105(mod53x ≡
≡≡
≡
trong đó
7x5x3105 =
==
=
: Dùng lập trình nhập từ bàn phím máy tính
Cách 2
Cho ô nhớ A chứa số 0
Ta nhập biểu thức như sau:
7)4A(:5)3A(:3)2A(:1AA ÷
÷÷
÷−
−−
−÷
÷÷
÷−
−−
−÷
÷÷
÷−
−−
−+
++
+=
==
=
nhấn dấu bằng liên tục đến
khi các giá trị của (A – 2)
÷
÷÷
÷
3, (A – 3)
÷
÷÷
÷
5 và (A – 4)
÷
÷÷
÷
7 là những số nguyên thì ta
chọn A+1 khi đó
Do đó
)105(mod53x ≡
≡≡
≡
trong đó
7x5x3105 =
==
=
Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất x thoả đồng thời các điều kiện
≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
)8(mod7x
)7(mod6x
)6(mod5x
)5(mod4x
)4(mod3x
)3(mod2x
)2(mod1x
Giải:
Ta cũng có hai cách giải giống như trên nhưng tôi chỉ nêu một cách giải như sau:
Ta cho ô nhớ A ban đầu là 15 (có thể lớn hơn miễn sao đừng sai số tự nhiên nhỏ
nhất thoả điều kiện)
Nhập biểu thức:
8)7A(:7)6A(:6)5A(
:5)4A(:4)3A(:3)2A(:2)1A(:1AA
÷
÷÷
÷−
−−
−÷
÷÷
÷−
−−
−÷
÷÷
÷−
−−
−
÷
÷÷
÷−
−−
−÷
÷÷
÷−
−−
−÷
÷÷
÷−
−−
−÷
÷÷
÷−
−−
−+
++
+=
==
=
Rồi nhấn dấu bằng liên tục đến khi (A – 1)
÷
÷÷
÷
2; (A – 2)
÷
÷÷
÷
3; (A – 3)
÷
÷÷
÷
4; (A – 4)
÷
÷÷
÷
5; (A
– 5)
÷
÷÷
÷
6; (A – 6)
÷
÷÷
÷
7; (A – 7)
÷
÷÷
÷
8 có giá trị nguyên thì ta nhận A+1 khi đó.
Ta có số nguyên cần tìm là 839.
Máy tính bỏ túi không dừng ở hai loại phương trình trên, nó còn có thể giải
phương trình đồng dư bậc cao rất gọn và nhanh.
3. Phương trình đồng dư bậc cao
Dạng:
)m(mod0a...xaxa)x(f
n
1n
1
n
0
≡
≡≡
≡+
++
++
++
++
++
+=
==
=
−
−−
−
trong đó , n>1,
m>1
Ví dụ: Giải phương trình
)5(mod01x9x2x)x(f
334
≡
≡≡
≡+
++
+−
−−
−+
++
+=
==
=
Giải:
: Dùng phím CALC
Cánh 1
Ta cũng cho ô nhớ A chứa số 0
a0
≡
≡≡
≡
0(modm)
Nhập vào máy biểu thức:
334
5)1A9A2A(:1AA ÷
÷÷
÷+
++
+−
−−
−+
++
++
++
+=
==
=
Nhấn phím CALC trên màn hình xuất hiện A? nhập 1 ta có
12.05)1A9A2A(:21AA
334
=
==
=÷
÷÷
÷+
++
+−
−−
−+
++
+=
==
=+
++
+=
==
=
rồi nhấn dấu bằng cho đến khi
giá trị của
334
5)1A9A2A( ÷
÷÷
÷+
++
+−
−−
−+
++
+
là số nguyên thì ta chọn A+1 khi đó
Ta có
)
5
(mod
57
x
3
≡
≡≡
≡
: Dùng lập trình nhập từ bàn phím
Cách 2
Ta cũng cho ô nhớ A chứa số 0
Nhập vào máy biểu thức:
334
5)1A9A2A(:1AA ÷
÷÷
÷+
++
+−
−−
−+
++
++
++
+=
==
=
Rồi ta dùng liên tiếp dấu bằng cho đến khi giá trị của
334
5)1A9A2A( ÷
÷÷
÷+
++
+−
−−
−+
++
+
là
số nguyên thì ta chọn A+1 khi đó
Ta cũng có
)5(mod57x
3
≡
≡≡
≡
: Dù dùng phím CALC hay lập trình từ bàn phím đưa vào thì kết quả
Tóm lại
như nhau. Nhưng đôi khi phím CALC có lợi hơn bởi vì ở bước n thì ta có thể
thay đổi giá trị của A nhập từ bàn phím, còn cách dùng lập trình nhập từ bàn
phím thì không thay đổi giá trị của A được mà nó tuân thủ theo lập trình đã lập.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Giải các phương trình đồng dư sau
a.
)33(mod27x6 ≡
≡≡
≡
b.
)52(mod42x9 ≡
≡≡
≡
c.
)143(mod84x91 ≡
≡≡
≡
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau
a.
≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
)9(mod1x5
)5(mod3x2
)7(mod5x3
b.
−
−−
−≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
)15(mod5x
)6(mod4x
)3(mod1x
c.
≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
≡
≡≡
≡
)30(mod19x17
)12(mod5x7
)6(mod5x
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a.
)
27
(mod
0
1
x
3
x
2
2
≡
≡≡
≡+
++
++
++
+
b.
)27(mod02x2x2x
23
≡
≡≡
≡−
−−
−+
++
++
++
+
c.
)125(mod01xx2x3
23
≡
≡≡
≡−
−−
−+
++
++
++
+
d.
)27(mod09x3x2x
23
≡
≡≡
≡+
++
++
++
++
++
+