Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt
ðƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. ðường tiệm cận ñứng và ñường tiệm cận ngang:
•
ðường thẳng
0
y y
=
ñược gọi là ñường tiệm cận ngang ( gọi tắt là tiệm cận ngang) của ñồ thị hàm
số
(
)
y f x
=nếu
(
)
lim
x
f x y
→+∞
=
hoặc
(
)
lim
x
f x y
→−∞
=
.
•
ðường thẳng
0
x x
=
ñược gọi là ñường tiệm cận ñứng ( gọi tắt là tiệm cận ñứng) của ñồ thị hàm số
(
)
y f x
=
nếu
(
)
0
lim
x x
f x
−
→
= +∞
hoặc
(
)
0
lim
x x
f x
+
→
= +∞
hoặc
(
)
0
lim
x x
f x
−
→
= −∞
hoặc
(
)
0
lim
x x
f x
+
→
= −∞
.
2. ðường tiệm cận xiên:
ðường thẳng
(
)
0
y ax b a
= + ≠
ñược gọi là ñường tiệm cận xiên ( gọi tắt là tiệm cận xiên) của ñồ thị
hàm số
(
)
y f x
=
nếu
(
)
(
)
(
)
lim 0
x
f x f x ax b
→+∞
= − + =
hoặc
(
)
(
)
(
)
lim 0
x
f x f x ax b
→−∞
= − + =
.Trong
ñó
(
)
( )
lim , lim
x x
f x
a b f x ax
x
→+∞ →+∞
= = −
hoặc
(
)
( )
lim , lim
x x
f x
a b f x ax
x
→−∞ →−∞
= = −
.
Ví dụ : Tìm tiệm cận của hàm số :
( )
2 1
)
2
x
a f x
x
−
=
+
( )
2
1
)x
b f x
x
+
=
Giải :
( )
2 1
)
2
x
a f x
x
−
=
+
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên tập hợp
{
}
\ 2
ℝ
.
( ) ( )
1 1
2 2
2 1 2 1
lim lim lim 2 , lim lim lim 2 2
2 2 2 2
1 1
x x x x x x
x x
x x
f x f x y
x x
x x
→−∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ →+∞
− −
− −
= = = = = = ⇒ =
+ +
+ +
là tiệm
cận ngang của ñồ thị khi
x
→ −∞
và
x
→ +∞
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2 1 2 1
lim lim , lim lim 2
2 2
x x x x
x x
f x f x x
x x
− − + +
→ − → − → − → −
− −
= = −∞ = = +∞ ⇒ = −
+ +
là tiệm cận ñứng của
ñồ thị khi
( )
2
x
−
→ −
và
( )
2
x
+
→ −
( ) ( )
1
2
2 1
lim lim lim 0
2
2
x x x
f x xx
x x
x x
→−∞ →−∞ →−∞
−
−
= = = ⇒
+
+hàm số
f
không có tiệm cận xiên khi
x
→ −∞
( ) ( )
1
2
2 1
lim lim lim 0
2
2
x x x
f x xx
x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
−
−
= = = ⇒
+
+ hàm số
f
không có tiệm cận xiên khi
x
→ +∞
.
( )
2
1
)
x
b f x
x
+
=
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên tập hợp
{
}
\ 0
ℝ
.
( )
2
2
1
11
lim lim lim 1 1, 1
x x x
xx
f x y
x
x
→−∞ →−∞ →−∞
− +
= = − + = − ⇒ = −
là tiệm cận ngang của ñồ thị khi
x
→ −∞
.
( )
2
2
1
11
lim lim lim 1 1, 1
x x x
xx
f x y
x
x
→+∞ →+∞ →+∞
+
= = + = ⇒ =
là tiệm cận ngang của ñồ thị khi
x
→ +∞
.
( ) ( )
2 2
0 0 0 0
1 1
lim lim , lim lim 0
x x x x
x x
f x f x x
x x
− − + +
→ → → →
+ +
= = −∞ = = +∞ ⇒ =
là tiệm cận ñứng của ñồ thị
khi
0
x
−
→
và
0
x
+
→
( )
22
2 2
1
1
1
lim lim lim 0
x x x
x
f x xx
x
x x
→−∞ →−∞ →−∞
− +
+
= = = ⇒
hàm số
f
không có tiệm cận xiên khi
x
→ −∞
( )
22
2 2
1
1
1
lim lim lim 0
x x x
x
f x xx
x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
+
+
= = = ⇒
hàm số
f
không có tiệm cận xiên khi
x
→ +∞
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. Tìm tiệm của ñồ thị các hàm số sau :
( )
2
)
3 2
x
a f x
x
−
=
+
( )
2 2
)
3
x
b f x
x
− −
=
+
( )
1
) 2
3
c f x x
x
= + −
−
( )
2
3 4
)
2 1
x x
d f x
x
− +
=
+
( )
2
2 1
) 3
x
e f x x
x
−
= + −
( )
3
2
2
)
2
x
f f x
x x
+
=−
( )
3
2
1
)
1
x x
g f x
x
+ +
=−
( )
2
2
1
)
5 2 3
x x
h f x
x x
+ +
=
− − +
2. Tìm tiệm cận ñứng và tiệm cận ngang của ñồ thị các hàm số sau :
( )
1
)
2 1
x
a f x
x
+
=
+
( )
1
) 4
2
b f x
x
= +
−
( )
2
)
1
x x
c f x
x
+
=
−
( )
3
)
1
x
d f x
x
+
=
+
( )
1
) 2 1e f x x
x
= − +
( )
2
2
)
3
x x
f f x
x
+
=
−
( ) ( )
2
1
) 3
2 1
g f x x
x
= − +
−
( )
3 2
2
2
)
1
x x
h f x
x
−
=
+
( )
2
2
2 1
)
2
x
i f x
x x
+
=−
( )
2
)
1
x
j f x
x
=−
( )
3
2
)
1
x
k f x
x
=
−
( )
2
)
4
x
l f x
x
=
−
(
)
2
) 1
m f x x x
= − +
(
)
2
) 2
n f x x x x
= + +
(
)
2
) 3
o f x x
= +
( )
2
)p f x x
x
= +
( )
2
2
1
)
1
x x
q f x
x
+ +
=−
3. Tìm tiệm của ñồ thị các hàm số sau :
(
)
2
) 3
a f x x x
= + +
(
)
2
) 2 1
b f x x x
= + −
(
)
2
) 4
c f x x x
= + +
(
)
2
) 4 3
d f x x x
= − +
(
)
2
) 1
e f x x x
= + −
(
)
2
) 4
f f x x
= +
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt