LỚP TOÁN THẦY TUYẾN TẠI LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC THPT
Địa chỉ: Ngõ 106 – Đường Nguyễn Sơn – Long biên – Hà Nội. Sđt lh: 0982929850
Facebook, zalo: Thầy Dạy Toán (Vương Đình Tuyến)
GIẢI CÁC BÀI TOÁN MŨ – LOGARIT CHỨA THAM SỐ BẰNG PHƯƠNG
PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ (mức độ 8+)
Để giải các bài toán dạng này, ta thường đặt ẩn phụ sau đó dùng phương pháp hàm
số hoặc phương pháp đại số lớp 10 để tìm điều kiện của tham số.
I. Lý thuyết
1. Đại số lớp 10
a. Định lý Vi-et thuận
Cho phương trình
0
2 cbxax
, a#0, có hai nghiệm
a
c
xx
a
b
xx
xx
21
21
21
.
;
b. So sánh số
cho trước với nghiệm của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai
0);( 2 cbxaxmxf
có hai nghiệm phân biệt
21,xx
. Tìm
tham số m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
- Để
0)(.
21
faxx
- Để
2
0)(.
0
21
S
faxx
- Để
2
0)(.
0
21
S
faxx
c. So sánh số
,
cho trước với nghiệm của tam thức bậc hai (giả sử
)
Cho tam thức bậc hai
0);( 2 cbxaxmxf
có hai nghiệm phân biệt
21,xx
. Tìm
tham số m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
- Để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng
21
21
;xx
xx
thì điều
kiện là:
0)().(
ff
- Để phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng
21
;xx
thì điều kiện
là:
2
0)(.
0)(.
0
S
fa
fa
LỚP TOÁN THẦY TUYẾN TẠI LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC THPT
Địa chỉ: Ngõ 106 – Đường Nguyễn Sơn – Long biên – Hà Nội. Sđt lh: 0982929850
Facebook, zalo: Thầy Dạy Toán (Vương Đình Tuyến)
- Để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
0)(.
0)(.
21
fa
fa
đkxx
2. Phương pháp hàm số (lớp 12)
a. Áp dụng với giải phương trình
- Với hàm f luôn đơn điệu trên miền xác định của nó thì phương trình
vuvfuf )()(
b. Áp dụng đối với giải bất phương trình
- Với hàm f luôn đơn điều trên miền xác định của nó và có
)()( vfuf
(*)
+ Nếu f luôn đồng biến thì (*)
vu
+ Nếu f luôn nghịch biến thì (*)
vu
3. Nguyên tắc giải
Để giải một bài toán mũ- logarit chứa tham số m bằng phương pháp đặt ẩn phụ, ta
thường thực hiện theo các bước sau:
- B1: Biến đổi bài toán để dễ dàng cho việc đặt ẩn phụ, tìm điều kiện x (nếu có)
- B2: Đặt ẩn phụ, tìm điều kiện chặn (điều kiện biên) cho ẩn phụ mới dựa vào điều
kiện ban đầu của x và yêu cầu của đề bài
- B3: Áp dụng phương pháp giải bằng đại số lớp 10 hoặc phương pháp hàm số để tìm
tham số m
* Đối với phương pháp hàm số, cần thực hiện theo các nguyên tắc sau
Cô lập tham số m (chỉ áp dụng được khi tham số m đồng bậc nhau, thường ở dạng bậc nhất)
+
)(0);( xgmmxf
, khảo sát sự biến thiên của hàm g(x), dựa vào bảng biến
thiên, tìm m để phương trình có số nghiệm theo yêu cầu
+
)(
)(
0);( xgm
xhm
mxf
. Để bất phương trình luôn đúng với
bax ;
thì m phải
thỏa mãn:
)(min
)(max
xgm
xhm
+
)(
)(
0);( xgm
xhm
mxf
. Để bất phương trình có nghiệm với
bax ;
thì m phải
thỏa mãn:
)(max
)(min
xgm
xhm
II. Bài tập áp dụng
Bài 1: (Đề thi HK1 – lớp 12 trường THPT Chuyên Tiền Giang năm học 2019-2020)
Tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
0515).2(45).13( xxx mm
nghiệm đúng với
0x
là:
A.
3
1
;
B.
3
1
;2
C.
2;
D.
2;
LỚP TOÁN THẦY TUYẾN TẠI LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC THPT
Địa chỉ: Ngõ 106 – Đường Nguyễn Sơn – Long biên – Hà Nội. Sđt lh: 0982929850
Facebook, zalo: Thầy Dạy Toán (Vương Đình Tuyến)
LỜI GIẢI THAM KHẢO
Ta biến đổi như sau:
013).2(9).13(0515).2(45).13( xxxxx mmmm
Đặt
10,3 txt x
. Bài toán trở thành: Tìm tham số m để bất phương trình
(*)01)2()13( 2 tmtm
đúng với
1t
Ta sẽ cô lập tham số m để sử dụng phương pháp hàm số:
12)3((*) 22 ttttm
, do t > 1 nên
03 2 tt
, chia 2 vế cho
tt
2
3
tt
tt
m
2
2
3
12
. Xét hàm
tt
tt
tf
2
2
3
12
)(
, tìm max, min của
1),(ttf
1,0
)3(
167
)3(
)1)(16()3)(22(
)(' 22
2
22
22
t
tt
tt
tt
ttttt
tf
Hàm số đồng
luôn đồng biến. Để bất phương trình (*) luôn đúng thì:
2)1()(min ftfm
2; m
. Chọn đáp án C
Bài 2: (Thi thử THPTQG trường THPT Ngô Sĩ Liên năm 2019-2020 – Bắc Giang)
Số giá trị m nguyên thuộc khoảng
2020;2019
để phương trình :
xxmmxx 93).33()333(log3
có đúng hai nghiệm là:
A. 2018 B. 4036 C. 2019 D. 2020
LỜI GIẢI THAM KHẢO
Ta biến đổi như sau:
xxm
x
xmx
93).33(
3
3.319
log3
13log3.313.39)3.319(log 33 xxxmxxmx
xxxmxxmx 3.3log3.313.39)3.319(log 33
. Xét hàm đặc trưng:
0;log)( 3 ttttf
.Xét tính biến thiên của hàm số:
0
3ln.
1
1)(' t
tf
Hàm
luôn đồng biến. Áp dụng nguyên tắc hàm số:
)3.3()3.319( xxmx ff
(*)3.33.319 xxmx
, đặt
0,3 uu x
. Phương trình (*):
uuu m331
2
)1(01).33(
2 uu m
, bài toán đưa về tìm tham số m để phương trình (1) có
đúng 2 nghiệm.
Cách 1: Dùng phương pháp hàm số
Cô lập tham số m:
3
113
32
u
u
u
uu
m
. Xét hàm số
3
1
)( u
utg
, có
đạo hàm
10
1
1)(' 2 u
u
ug
. Lập bảng biến thiên, ta được:
LỚP TOÁN THẦY TUYẾN TẠI LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC THPT
Địa chỉ: Ngõ 106 – Đường Nguyễn Sơn – Long biên – Hà Nội. Sđt lh: 0982929850
Facebook, zalo: Thầy Dạy Toán (Vương Đình Tuyến)
u
0 1
g’(u)
- 0 +
g(u)
-1
Vậy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
01313 m
mm
Vậy số giá trị nguyên của m thuộc khoảng
2020;2019
là m = -1;-2;...,-2018. Vậy
có 2018 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án A
Cách 2: Dùng phương pháp đại số 10
Từ phương trình (1), buộ điều kiến để phương trình có 2 nghiệm dương là
0
0
0
S
P
0
1
0
5log
1
233
233
033
01
04)33( 3
2
m
m
m
m
m
S
Pm
m
m
m
. Từ đây ta tìm
được giá trị nguyên của m thuộc khoảng
2020;2019
Bài 3: (Đề khảo sát THPT chuyên Lê Hồng Phong -2019 – Nam Định)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:
123).1( 22)(4 24 mmxxx mxx
A.
3
1
;
3
1
m
B.
4
1
;
4
1
m
\{0}
C.
3
1
;
3
1
m
\{0} D.
1;1m
\{0}
LỜI GIẢI THAM KHẢO
Ta biến đổi như sau:
(*)3.1)(3).1( 24 )(24 mxx mxx
. Xét hàm đặc trưng:
t
ttf 3.1)(
với
0t
. Khi đó ta có
03ln.3.13)(' tt ttf
hàm đồng biến.
Vậy từ (*) ta có:
)2)((
)1(
)()( 2
2
24
2
4
mxx
mxx
mxxmxfxf
. Để
phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt phương trình (1) và (2) đồng thời phải có 2 nghiệm
phân biệt và không trùng nhau. Khi đó ta có
0#0#
4
1
4
1
#
041
041
22
2
1
mx
m
xxxx
m
m
LỚP TOÁN THẦY TUYẾN TẠI LỚP BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC THPT
Địa chỉ: Ngõ 106 – Đường Nguyễn Sơn – Long biên – Hà Nội. Sđt lh: 0982929850
Facebook, zalo: Thầy Dạy Toán (Vương Đình Tuyến)
4
1
;
4
1
m
\{0}. Vậy chọn đáp án B
Bài 4: (Đề sát hạch lần 1 trường THPT Thuận Thành số 2- Bắc Ninh)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình
0622.92.38 12 m
xxx
có ít nhất hai nghiệm phân biệt
A. 3 B. 1 C. 4 D. 2
LỜI GIẢI THAM KHẢO
Ta biến đổi:
0622.92.62 23 m
xxx
, đặt
0:.3 tđktx
. Theo cách đặt ta
được:
mtttmttt 269606296 2323
(*). Sau khi đặt, ta có điều kiện
mới là: Tìm m để phươn trình có ít nhất 2 nghiệm dương phân biệt. Ta xét hàm số:
3;109123)(';696)( 223 tttttfttttf
. Lập bảng biến thiến:
t
0 1 3
)(' tf
+ 0 - 0
)(tf
10
6 6
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*) có ít nhất 2 nghiệm dương phân biệt là:
5,4,3531026 mmm
. Vậy chọn đáp án A.
Bài 5: (Đề thi thử THPTQG trường THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang)
Cho hàm số
x
x
xxf
1
33log)(
. Tổng bình phương các giá trị của tham số m để
phương trình
022
12
12
xxf
mx
f
có đúng 3 nghiệm bằng
A.
2
5
B.
2
7
C. 3 D. 2
LỜI GIẢI THAM KHẢO
Ta biến đổi phương trình như sau:
(*)
12
1
22
2
mx
fxxf
, đặt
12 mxt
, vậy phương trình (*)
t
fxxf 1
22
2
.
Xét hàm
tfxxftft
tt
ft
tt
t
22)(33log33
1
log
12
11
Ta lại có
03ln.
3
3ln.3
10ln.
1
)('
2
1
x
x
xf
x
x
hàm số luôn đồng biến