L I NÓI Đ UỜ Ầ
Trong quá trình d y h c, tôi đã nghiên c u và tham kh o các tài li u v chuyên đ đ iạ ọ ứ ả ệ ề ề ạ
s và gi i tích c p trung h c ph thông. Tôi th y r ng vi c h th ng l i các d ng c b nố ả ở ấ ọ ổ ấ ằ ệ ệ ố ạ ạ ơ ả
và ph ng gi i ph ng trình ch a căn cho h c sinh l p 10 là th c s c n thi t, nh m giúpươ ả ươ ứ ọ ớ ự ự ầ ế ằ
cho h c sinh l p 10 ( h c theo ch ng trình m i ) ti p c n v i vi c gi i m t ph ng trìnhọ ớ ọ ươ ớ ế ậ ớ ệ ả ộ ươ
có d u căn b c hai m t cách hi u qu và có h th ng. v i lí do đó, tôi đã vi t đ tài này.ấ ậ ộ ệ ả ệ ố ớ ế ề
Đây là m t đ tài nh nh m ph c v cho vi c d y h c môn toán cho h c sinh l p 10ộ ề ỏ ằ ụ ụ ệ ạ ọ ọ ớ
ch ng trình nâng cao và b tr ki n th c cho h c sinh l p 10 ban c b n trong ti t h c tở ươ ổ ợ ế ứ ọ ớ ơ ả ế ọ ự
ch n ( có th th c hành trong 2 ho c 3 ti t d y ), trong chuyên đ này tôi đ c p đ nọ ể ự ặ ế ạ ề ề ặ ế
d ng toán:ạ
GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH COÙ CHÖÙA DAÁU CAÊN BAÄC HAI
Đ i v i ph n này, tôi h th ng l i m t s d ng toán c b n th ng th y khi gi iố ớ ầ ệ ố ạ ộ ố ạ ơ ả ườ ấ ả
ph ng trình có d u căn b c hai g m có các n i dung sau:ươ ấ ậ ồ ộ
1. Tìm t p nghi m c a ph ng trình thông qua t p xác đ nh c a ph ng trình.ậ ệ ủ ươ ậ ị ủ ươ
2. D ng c b n c a ph ng trình có ch a d u căn b c haiạ ơ ả ủ ươ ứ ấ ậ
3. Gi i m t ph ng trình ch a d u căn b c hai b ng cách đ i bi nả ộ ươ ứ ấ ậ ằ ổ ế
4. Dùng ph ng pháp b t đ ng th c và đánh giá c l ng hai v c a ph ngươ ấ ẳ ứ ướ ượ ế ủ ươ
trình
5. Ph ng pháp bi n thiên h ng sươ ế ằ ố
6. M t s d ng toán khácộ ố ạ
7. Ph ng trình ch a d u căn b c hai có ch a tham s .ươ ứ ấ ậ ứ ố
Xin c m n các th y cô tr ng THPT Ph c Thi n đã chân thành góp ý ki n cho tôiả ơ ầ ở ườ ướ ề ế
hoàn thành đ tài.ề
M t dù có nhi u c g ng, nhặ ề ố ắ ưng do kinh nghi m không nhi u nên thi u sót là đi uệ ề ế ề
không tránh kh i, mong các th y cô chân thành góp ý đ tôi có kinh nghi m t t h n trongỏ ầ ể ệ ố ơ
công tác d y h c môn toán.ạ ọ
Chân thành c m nả ơ
ngày 25 tháng 3 năm 2009
Trang 1
PHÖÔNG TRÌNH COÙ CHÖÙA DAÁU CAÊN BAÄC HAI
(chuû ñe à ñaù p öùn g lôùp kie á n thö ù c lôùp 10 – ba n kho a hoïc töï
nhie â n va ø phuï c vuï tie á t daï y töï choïn cho hoïc sinh lôùp 10 ban
--------------------------o0o--------------------------
1. TÌM T P NGHI M C A PH NG TRÌNH THÔNG QUA T P XÁC Đ NHẬ Ệ Ủ ƯƠ Ậ Ị :
Trong ph n này, tôi nêu ra hai ví d mà ph ng trình ch a d u căn có t p xác đ nh làầ ụ ươ ứ ấ ậ ị
m t ph n t , nh m làm rõ v i h c sinh ý nghĩa t p xác đ nh c a ph ng trình ch d u cănộ ầ ử ằ ớ ọ ậ ị ủ ươ ứ ấ
và t p nghi m c a ph ng trình.ậ ệ ủ ươ
Ví d ụ : Tìm t p nghi m c a ph ng trình :ậ ệ ủ ươ
a.
2 2
4 2 2− + − − + =x x x
b.
2 2
9 3 3 4 2− + − + − + =x x x x
Gi iả
a.
2 2
4 2 2− + − − + =x x x
(1)
đk :
2
2
x 2
x 4 0 x 2
x 2
x x 2 0 2 x 1
−�
−
� �
= −� �
� �
− − +
−
V i x = – 2ớ
(1) ⇒ 0 = 2 nên ph ng trình đã cho vô nghi mươ ệ
b.
2 2
9 3 3 4 2− + − + − + =x x x x
(2)
đk
2
2
9 x 0 3 x 3
x 3 0 x 3
x 3
x 3x 4 0
− −
− =���
� �
− +
V i x = 3, (2) ớ⇒ 2 = 2
V y x = 3 là nghi m c a ph ng trình (2)ậ ệ ủ ươ
Nh n xét: ậ
- Trong hai ví d trên, h c sinh c n n m đ c m t ki n th c là: n u t p xác đ nhụ ọ ầ ắ ượ ộ ế ứ ế ậ ị
c a m t ph ng trình là t p h u h n giá tr đ m đ c, thì ta có th l n l t thủ ộ ươ ậ ữ ạ ị ế ượ ể ầ ượ ế
các ph n t trong t p xác đ nh đó vào ph ng trình đ xác đ nh t p nghi m c aầ ử ậ ị ươ ể ị ậ ệ ủ
ph ng trình đó.ươ
- H c sinh không nên sai l m khi t p xác đ nh là m t ph n t thì ph n t đó chính làọ ầ ậ ị ộ ầ ử ầ ử
nghi m c a ph ng trình.ệ ủ ươ
Trang 2
2 . DAÏNG CÔ BAÛN PH NG TRÌNH CÓ CH A D U CĂN B C HAIƯƠ Ứ Ấ Ậ :
Trong ph n này tôi nêu ra hai d ng ph ng trình ch a d u căn b c hai th ng th yầ ạ ươ ứ ấ ậ ườ ấ
đ h c sinh tham kh o và v n d ng khi g p các d ng c b n đó.ể ọ ả ậ ụ ặ ạ ơ ả
Giaû söû f(x) vaø g(x) laø hai bieåu thöùc chöùa x ( f(x), g(x) là m tộ
bi u th c có nghĩa ) ể ứ . Khi ñoù:
1.
[ ]
2
0g(x)
f(x) g(x) f(x) g(x)
= =
(I)
2.
( )
0g(x) hay f(x) 0
f(x) g(x) f(x) g(x)
= =
(II)
Ví du ï: Giaûi caùc phöông trình sau:
a.
2 1 1x x+ = −
b.
2
2 1 2 5 4+ = − +x x x
c.
d.
3 7 4 6x x x+ − − = +
e.
4 4 2
2
x x
x
+ + − =
+
Giaûi
a. Caùch giaûi 1 : (aùp duïng coâng thöùc (I) ñeå giaûi )
2 1 1x x+ = −
⇔
( )
22
1
1 0 14
0
4 0
2 1 1 4
x
xxx
x
x x
x x x
−
� � =� � �
=
� � �
− =
+ = −
=
Vaäy phöông trình coù nghieäm x = 4
Caùch gi aûi 2 :
2 1 1x x+ = −
(1)
Ñieàu kieän: 2x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥
1
2
Neáu x < 1 ⇒ phöông trình voâ nghieäm.
Neáu x ≥ 1 ⇒ (1) ⇔ x2 – 4x = 0 ⇔ x = 0 hoaëc x = 4
So ñk: phöông trình coù moät nghieäm x = 4
Nh n xétậ:
- Trong nhi u tr ng h p, h c sinh hay nh m l n công th c ( I ) và cách tìm t p xácề ườ ợ ọ ằ ẫ ứ ậ
đ nh c a ph ng trình, nên khi giáo viên d y cho h c sinh cách gi i ph ng trình b ng côngị ủ ươ ạ ọ ả ươ ằ
th c (I) c n làm rõ cho h c sinh hi u đ c đâu là đi u ki n xác đ nh c a ph ng trình, đâuứ ầ ọ ể ượ ề ệ ị ủ ươ
là v n d ng công th c đ gi i bài toán.ậ ụ ứ ể ả
Trang 3
b.
2
2 1 2 5 4+ = − +x x x
cách 1:
pt
2
2
1x 3
2x 1 0 x21
x
2x 1 2x 5x 4 2x 7x 3 0 2
=
+ −
� � �
� � =
+ = − +
− + =
V y ph ng trình có hai nghi m ậ ươ ệ
1
x 3, x 2
= =
cách 2:
pt
2 2
2 2
x 3
2x 5x 4 0 2x 5x 4 0 1
x
2x 1 2x 5x 4 2x 7x 3 0 2
=
� �
− + − +
� �
� � �
� � =
+ = − + − + =
� �
� �
V y ph ng trình có hai nghi m ậ ươ ệ
1
x 3, x 2
= =
Nh n xétậ:
- Trong ví d này h c sinh c n chú ý: vi c bi n đ i ph ng trình d n đ n đi uụ ọ ầ ệ ế ổ ươ ẫ ế ề
ki n 2x + 1 ≥ 0 ho c 2xệ ặ 2 – 5x + 4 ≥ 0.
- Trong tr ng h p đi u ki n c a m t ph ng trình có tính ph c t p, ta khôngườ ợ ề ệ ủ ộ ươ ứ ạ
c n gi i đi u ki n đó mà ta thay các giá tr nghi m c a ph ng trình tìm đ c vàoầ ả ề ệ ị ệ ủ ươ ượ
và nh n nghi m th a đi u ki n.ậ ệ ỏ ề ệ
c.
2
2
(2) 5 12 8 4
2
5 12 4 0 2
5
x x
x
x x x
− + =�
=
− + =� � =
Vaäy phöông trình coù hai nghieäm x = 2, x =
2
5
Nh n xétậ:
- Trong ví d này ta không th y đi u ki n g(x) ≥ 0 là vì v ph i b ng 2 là m tụ ấ ề ệ ế ả ằ ộ
s d ng.ố ươ
d.
3 7 4 6x x x+ − − = +
(3)
Trang 4
ñk:
7
3 7 0 37
4 0 4 4
3
6 0 6
x
x
x x x
x x
−
+
− −� �� �
� �
� �
+ −
V i đi u ki n trên, hai v c a ph ng trình đ u d ng nên ta có:ớ ề ệ ế ủ ươ ề ươ
( ) ( )
2
(3) 3 7 4 6 3 3 2 4 6
1
133
13 10 87 0 29
13
x x x x x x
x
xxx
x x x
+ = − + + − = − +� �
= =� � �
� �
− − =
= −
Vaäy phöông trình coù ngieäm x = 3
Nh n xétậ:
- Trong nhi u tr ng h p, khi gi i m t ph ng ch a d u căn b c hai ta ph iề ườ ợ ả ộ ươ ứ ấ ậ ả
bình ph ng hai v c a ph ng trình nhi u l n m i có th đ a v d ng c b n.ươ ế ủ ươ ề ầ ớ ể ư ề ạ ơ ả
- Khi bình ph ng hai v c a m t ph ng trình, h c sinh c n chú ý là đang v nươ ế ủ ộ ươ ọ ầ ậ
d ng phép bi n đ i t ng đ ng hay phép bi n đ i đ i đ đ a ra ph ng trìnhụ ế ổ ươ ươ ế ổ ổ ể ư ươ
h qu . Thông th ng khi bình ph ng hai v c a m t ph ng trình, ta c n chú ýệ ả ườ ươ ế ủ ộ ươ ầ
đ n tính ch t hai v c a ph ng trình cùng d u hai khác d u.ế ấ ế ủ ươ ấ ấ
e.
5 5 1
x x
x
+ + − =
(4)
ñk:
5 0 5 5
5 0 0
0
xx
xx
x
+
−
−
� �
( )
( )
2 2
222 2
4 2
(4) 5 5
0 0
0010 0 25 160 0 4
5 5 2 25 10 0
16 0
4
4
+ + − =�
> >
>
>
� � − − =� � � � � � �
� � � �
+ + − = − = −
� � �
=
− =
=
= −
x x x
x x
xxx x x
x x x x x x
x x
x
x
Vaäy phöông trình coù nghieäm x = 4
Trang 5