Giải tích 12 – Các dạng toán về hàm ẩn f(x) và f’(x)

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

CHỦ ĐỀ

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN

f x VÀ 



f x 



MỤC LỤC

DẠNG I.1: ĐƠN ĐIỆU .......................................................................................................................................................... 2

DẠNG I.2: CỰC TRỊ............................................................................................................................................................ 22

DẠNG I.3: CỰC TRỊ VÀ ĐỒNG BIẾN ................................................................................................................................ 40

DẠNG I.4: GTLN – GTNN .................................................................................................................................................. 45

DẠNG I.5: ĐỒ THỊ .............................................................................................................................................................. 53

DẠNG I.6: THAM SỐ M...................................................................................................................................................... 62

CHỦ ĐỀ I: BIẾT ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ ............................................................................2

CHỦ ĐỀ II: BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ f(x) HOẶC BIẾT HÀM SỐ f(x) HOẶC BIẾT BẢNG BIẾN

THIÊN ...................................................................................................................................................... 66

DẠNG II.1: TIỆM CẬN ....................................................................................................................................................... 66

DẠNG II.2: CỰC TRỊ .......................................................................................................................................................... 68

DẠNG II.3: BẢNG BIẾN THIÊN ......................................................................................................................................... 75

DẠNG II.4: TƯƠNG GIAO (CHỨA THAM SỐ M) .................................................................................................................... 81

DẠNG II.5: ĐỒ THỊ VÀ THAM SỐ M ................................................................................................................................. 84

DẠNG II.6: TÌM M ĐỂ CÓ N ĐIỂM CỰC TRỊ ...................................................................................................................... 93

CHỦ ĐỀ III: BIẾT HÀM SỐ CỦA ĐẠO HÀM ................................................................................... 102

DẠNG III.1: ĐƠN ĐIỆU .................................................................................................................................................... 102

DẠNG III.2: CỰC TRỊ ....................................................................................................................................................... 104

DẠNG III.3: THAM SỐ M .................................................................................................................................................. 106

HẾT......................................................................................................................................................... 110

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

y

CHỦ ĐỀ I: BIẾT ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

'f

'f

 f x có đạo hàm



  x xác định, liên tục trên  và

  x có

3;

1

  .

O

3

-1

x

-4

'f

  x nằm phía trên trục hoành.

DẠNG I.1: ĐƠN ĐIỆU Mức 1: đơn điệu Câu 1. Cho hàm số

'f

f

y

  x có

  và   ; 1   x f x có đạo hàm



Câu 2. xác định, liên tục trên  và Chọn B Trên khoảng  Cho hàm số đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?  A. Hàm số đồng biến trên  .  1;   và   B. Hàm số đồng biến trên  ; 1 C. Hàm số nghịch biến trên     ; 1 .    D. Hàm số đồng biến trên      . 3; ; 1 Lời giải  3;  đồ thị hàm số 

đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số

1;

x

  .

O

1

B. Hàm số

C. Hàm số

f x đồng biến trên    f x đồng biến trên  f x đồng biến trên    f x đồng biến trên

   

D. Hàm số

;1 .  ;1 và   1;  . . Lời giải 'f

1;  đồ thị hàm số



'f



y

  x nằm phía trên trục hoành.   f x có đạo hàm

  x

Câu 3. liên tục và xác định trên  . Biết

'

y

và hàm số có đồ thị như hình vẽ, khẳng định nào sau đây đúng? Chọn C Trên khoảng    f x Cho hàm số   x

.

A. Hàm số

.

B. Hàm số

C. Hàm số

 f   f x đồng biến trên   f x nghịch biến trên f x chỉ nghịch biến trên khoảng    f x đồng biến trên khoảng   

0;1 .  0;  .

D. Hàm số



f

nằm phía dưới trục Lời giải 0;1 đồ thị hàm số y

  x 0;1 . 'f

  x là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào

Cho hàm số Câu 4.

Chọn C Trong khoảng  ' f x nghịch biến trên khoảng    hoành nên hàm số   f x xác định trên  và có đồ thị hàm số dưới đây đúng?

A. Hàm số B. Hàm số

  f x nghịch biến trên khoảng f x đồng biến trên khoảng    

1;1 .  2;1 .

  f x đồng biến trên khoảng  f x nghịch biến trên khoảng   

 1; 2 .  0; 2 .

C. Hàm số D. Hàm số

y



f

'

  x

Lời giải Chọn D Cách 1: sử dụng bảng biến thiên. Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên như sau:

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

y

'

  x

Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số

Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số

'f

  f x đồng biến trên K .   f x nghịch biến trên K .

 f   x nằm trên trục hoành (có thể tiếp xúc) thì 'f   x nằm dưới trục hoành (có thể tiếp xúc) thì 'f

  x vừa có phần nằm dưới trục hoành vừa có phần nằm trên trục

Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số



y

f

'

  x



nằm bên dưới trục hoành.

f

0; 2 ta thấy đồ thị hàm số   f x xác định trên  và có đồ thị của hàm số

 x



Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số hoành thì loại phương án đó. Trên khoảng  Cho hàm số Câu 5. như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

y



 

y



  .

A. Hàm số B. Hàm số 

y



3;

y





  f x   f x

  ; 2 ; 0;    .

  f x   f x

 2; 0 .  ; 0

3;  ta thấy đồ thị hàm số



C. Hàm số D. Hàm số đồng biến trên khoảng  đồng biến trên khoảng  nghịch biến trên khoảng  nghịch biến trên khoảng 

f

 nằm trên trục hoành.  x



Chọn C Trên khoảng  Cho hàm số Câu 6. như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?



y

A. Hàm số



y

B. Hàm số



y

4; 2 .    ; 1 . 0; 2 .

C. Hàm số



y

2;

 f x  f x  f x  f x

   

  và   ; 4

  .

D. Hàm số Lời giải  x f   f x xác định trên  và có đồ thị của hàm số đồng biến trên khoảng   đồng biến trên khoảng  đồng biến trên khoảng  nghịch biến trên khoảng 

Lời giải

  đồ thị hàm số

f

 x



3

4

2





 ; 1    . ; 1 bx

ax

cx

dx

e

'f

nằm trên trục hoành nên

a  . Biết rằng hàm số

  f x

  

0

f x có đạo hàm là  

x và hàm số  



y

f

'

Chọn B Trong khoảng  hàm số đồng biến  Cho hàm số  Câu 7.

  x

y

4

x

-2

-1 O

1

có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó nhận xét nào sau đây là sai?

2;1

f x luôn tăng.  

f x giảm trên đoạn   

1;1

thì hàm số B. Hàm . A. Trên 

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

1; .

f x đồng biến trên khoảng   



f x nghịch biến trên khoảng 

   ; 2

C. Hàm D. Hàm  

'f

Lời giải đồ thị hàm số Chọn C Trên khoảng 

y



'f

x nằm phía trên trục hoành.     f x có đạo hàm

  x

Câu 8. Cho hàm số liên tục và xác định trên  . Biết

y

'

1;1   f x   x có đồ thị như hình vẽ, khẳng định nào sau đây đúng?

và hàm số

.

A. Hàm số

.

B. Hàm số



. C. Hàm số

; 0   0;  .

D. Hàm số

nằm phía dưới trục hoành nên hàm số

 f   f x đồng biến trên   f x nghịch biến trên   f x chỉ nghịch biến trên khoảng  f x nghịch biến trên khoảng    Lời giải 0;  đồ thị hàm số

'

f

y



  x

  f x

 0;  .



  f x có

Câu 9. liên tục và xác định trên  . Biết



'

f

y

  x

'f ;π π

có đồ thị như hình vẽ. Xét

đạo hàm trên  A. Hàm số

B. Hàm số

;

;

π

  f x nghịch biến trên khoảng

   

   

π 2

C. Hàm số và .

f x đồng biến trên khoảng   

D. Hàm số Chọn D Trong khoảng  nghịch biến trên khoảng    f x y Cho hàm số   x và hàm số , khẳng định nào sau đây đúng? ;π π f x đồng biến trên khoảng    . ;π π f x nghịch biến trên khoảng    .    π  π      2 0; π .



y

'

0; π đồ thị hàm số

  f x đồng

f x

y

y

nằm phía trên trục hoành nên hàm số Lời giải   x f

x   f

Câu 10. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai? Chọn D Trong khoảng  0; π . biến trên khoảng   .

1; .



2;1 .

B. Hàm số A. Hàm số

f x đồng biến trên    f x nghịch biến trên   

   ; 2 .

D. Hàm số C. Hàm số

f x đồng biến trên      f x nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 . Lời giải

y

  x f '

x

1



f

'

Chọn C Dựa vào đồ thị của hàm số ta thấy:

1; . Suy ra A đúng, B đúng.

  x  khi 0

f x đồng biến trên các khoảng   

2;1 , 



'

f

2

  . Suy ra D đúng.

   2    x 1 x     

  x  khi 0

f x nghịch biến trên khoảng 

 ; 2

●

● Dùng phương pháp loại trừ, ta chọn C

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

x '( )



y

f



y

có đồ thị như hình bên. Hàm Hàm số

 f x 

. x )



2

(

f

đồng biến trên khoảng

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12 Mức 2: đơn điệu Câu 11. Cho hàm số   g x

 2;     ; 2





số y  1;3 A.  2;1 C.  B.  D. 



2



x

.

f

2



x

 

f

x

2



  g x





 









Chọn C Ta có:

g

  0

f

2



x

  0



  x





4

3 x   

 2

x

1

  

y

f x

y

Hàm số đồng biến khi . Lời giải   2    x 1   1 2    x 

 .

x   f



f

x

 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

  g x

 3 2



1;

Câu 12. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới

0;2 .

1;3 .

   ; 1 .

   .

Hàm số A.  B.  D. 

2

x





 2

f

x

f

.

0

C.  Lời giải

   g x

  3 2 .

     x

2

x

x



Chọn C Dựa vào đồ thị, suy ra Ta có



.

  0

f

 3 2

x

  0

   g x





5 2

   2    x 5     2 3 2     3 2 x 5 

 

1

 1     2  x 

Xét

  g x nghịch biến trên các khoảng

   ; 1 .

   

   

1 5 ; 2 2

2

f theo do thi

  x '



  0

f

x

.

0

x

Vậy và 

   g x

  3 2



3 2

5

    3 2 x         3 2 2 x     x 

5 2 1 2   1

x

   x        

Cách 2. Ta có Bảng biến thiên

x

,

1;

0

2

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C

x  3

g x  

  1          2

f theo do thi

  x '











g

 f

f

x

0.

f

 Khi đó

 0.

  0

  3

  3 2



Chú ý: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ ta chọn suy ra 3

  3 g x  

Nhận thấy các nghiệm của là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

f x

y

y

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12 Câu 13. Cho hàm số

x   f

 .



f

x

  g x

  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? 1 2



1;

như hình bên dưới Đồ thị hàm số

1;0 .

;0 . 

 .

0;1 .

Hàm số A.  B.  D. 





 2

f

x

f

0

.

C.  Lời giải

   g x

  1 2 .

     x

   x 1     1 x 

1



Chọn D Dựa vào đồ thị, suy ra Ta có



.

  0

f

x

  0

   g x

  1 2



2

x

0

    1 2 x 1      1 2 1 x 

2   x   1      2

1;

Xét

. Chọn D

  g x đồng biến trên các khoảng



   

 ;0   

1 2

1

1 0

f

'

  x



Vậy và 

  

theo do thi     

0

2

f

x

0

.

   g x

  1 2



   x

4 nghiem kep





    1 2 x     1 2 x 1     x 1 2 2     1 2 x 

1 2 3 2

  x    x          x 

Cách 2. Ta có

2

Bảng biến thiên

  3

g x  

 x    suy ra 1 2 , x

 1;

f theo do thi









  x '  



g

 2

f

f

x

f

  2

    0. 3

 1 2



 3

 

x

;

x

 và 0

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D Chú ý: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ chọn

x  của 1

g x  

   Khi đó 0. 1 2

x   là nghiệm kép nên qua nghiệm không đổi dấu.

3 2

Nhận thấy các nghiệm là các nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu; nghiệm

y



y



y

 f x



  g x

Câu 14. ĐỀ CHÍNH THỨC 2018 - 103 Cho hai hàm số , . Hai hàm số và

 .

y

y

  g x

 x f   g x

có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

y

y

  x f

10 8 5 4 O

x

3

8 1011

y

  g x





4



g

2

x



 h x



 f x



  

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

5;

; 3

;

 

6;

31 5

9 4

31 5

25 4

  

  

     

3 2   

  

  

  

A. . . B. C. . D. .

   Lời giải



Y

x 2

 . Ta có

X x  ,

4





2

   h x

  f X



  g Y .

3 2

Chọn B Cách 1: Đặt



0





4



g

2

x



   h x

 h x



 f x



3 2

  

x



Để hàm số đồng biến thì





2

3;8X Y

,

  f X



 g Y với







x

8

   3     3 2  

   4 8 3   2

x

x

1

1

.

; 3



9 4

9 19 ; 4 4

9   x 4

19 4

x

2





x  

  

  

  

  

4 19 2

    

   9 2

4 19 4 cắt đồ thị hàm số

.Vì nên chọn B

y

;10

a 

8;10

y 

10



 





4

10, khi 3

  

4

x

a



4

 A a 10, khi 1

    

x

4

, .







2

g

x

g

2

11

5, khi 0 2



x

x





5, khi

  x

Khi đó ta có .

       9  4 Cách 2: Kẻ đường thẳng  3 2

25 4

3 4

3   2

 f x   

  

 x f  f x   

  

    

    





tại  3 2

x  .

4



f

x



4



2

g

2

x





0

  h x







3 2

3 4

  

  





Do đó khi



f

x



4



2

g

2

x



  h x







3 2

  

  

Cách 3: Kiểu đánh giá khác: Ta có .

x   ,

4 7



4



f



10

;3

 f x



  3

9 4

25 4

    x 

  

; Dựa vào đồ thị, , ta có

x 3 2

g

2

x





f



5

  8

9   , do đó 2

3 2

  

  





.



f

x



4



2

g

2

x



  

0,

x

;3

;3

  h x







3 2

9 4

9 4

3 2   

  

  

  

  

  

Suy ra . Do đó hàm số đồng biến trên .

Mức 3: đơn điệu

y



y



y

 f x



 x f



 f x

2

Câu 15. Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đồng biến trong khoảng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

y



y

f

'(

x

)

O

x

1

1

4

;0

 0; 2 .

   . 2; 1

 1 1 ;  2 2 

  

2

C. . A. . B.  D.    

,



x

 thì 0



nên Chọn C Đặt

 1  2  Lời giải     x f u 2 .

  f u u

   g x

   g x

  g x x      0

0

u

u



4

x

  2

0   f u

 x 0     x 1; 

 Lập bảng xét dấu của hàm số

     g x

1; 

 g x



2

x



2

x



4

Lưu ý: cách xét dấu



f

  0



  1

x



2

 f u



  u

1

x



1

x

 

4  1 loai



  u 1     u 

    

  1  2 

B1: Xét dấu : ta có

 . 0

 x    

 2; 1

 1; 2



  f u

   x

2 x     1

1

   

2 x B2 : xét dấu x (trong trái ngoài cùng). B3 : lập bảng xét dấu rồi nhân dấu của

và ngược lại tức là những khoảng còn lại

y

f x

y

và x ta được như bảng trên

 .

  f u x   f

  g x

 f x

2

Câu 16. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Hỏi hàm số đồng biến trên

1;

khoảng nào trong các khoảng sau?

   ; 1 .

   .

0;1 .

A.  B.  D.  1;0 .





2

xf

x

C.  Lời giải

   g x



2 .

0

0

2

2

2



x

0



0

x

x

1

f theo do thi

'

  x



  0

.

Chọn C Ta có

  g x

  g x đồng biến

x

0

0

x

0

  x 1     1 

2

2

     0

1

x

x

1



x

0



  x          1        x    2 

  x       f              f  

0

0

  1

x

f theo do thi

  x '





0

     g x

Hàm số

2

2





 0  

f

x

0

x x

. 1

0



   

  x     

2

1

  x   2    x    x

Cách 2. Ta có

Bảng biến thiên

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

g x  

 1;

0.

x

được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 

     1 x

2

  x '

2

2

1

x

theo do thi f  

x

f

    . Với x



 

  2 0.

 x

2

0

 Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C Chú ý: Dấu của  1;  1;

  trên khoảng 

 1; nên

g x  

    g x

2

mang dấu  . Từ  1 và  2 , suy ra

1  xf x là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu.

g x  

Nhận thấy các nghiệm của

y



y

  f x

  x f

Câu 17. Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ.

y



 f x

2

Hàm số có bao nhiêu khoảng nghịch biến.

2

2

C. 4 . A. 5 . B. 3 . D. 2 . Lời giải

y

 



2 .

 f x



 x f x



 

  

0

0

2



0



    1 1

x



4

f theo dt

x '( )

y

Chọn B Ta có

1   x 2        2 x x

1

0

0



2

2

x

  1

x



4



0

  x  2 x     x 0    1 



  x   2  f x      0  x   2  f x 

Hàm số nghịch biến

y



 f x

2

0

0

 

1

x

f theo do thi

  x '



0

     g x

Vậy hàm số có 3 khoảng nghịch biến.

2

2





f

x

0

1



  x     

1. 2

  x 0      x     x 

2

4

  x   2    x    x

Cách 2. Ta có

Bảng biến thiên

g x  

0.

x

x

được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 

 2;  1

 Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B Chú ý: Dấu của       2;

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

2

'

  x

2

2

x

2;

4

x

f

0.

    . Với x





  2

 x

2

0



  2; nên

 trên khoảng 

g x  

    g x

4 2

mang dấu  . Từ  1 và  2 , suy ra

theo do thi f    xf x là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.

g x  

4

3

2

Nhận thấy các nghiệm của







bx



cx



dx e

 , đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số

y

 x f



. Xét



  f x  2 2  f x

ax 

hàm số . Mệnh đề nào dưới đây sai? Câu 18. Cho hàm số y   g x

A. Hàm số B. Hàm số

 ; 2 .



  g x nghịch biến trên khoảng  g x nghịch biến trên khoảng   

  1; 0 .

   g x đồng biến trên khoảng   . 2; 0; 2 . g x nghịch biến trên khoảng   

C. Hàm số D. Hàm số

0

0

0

2

  0

1

2

x

Lời giải

g x

 '( ) 2 . x f

'

x



2

  g x '

2





f

'

x



2



0



2

 x   

x

 x         x 1     x 2 

2

2

Chọn C Ta có: ;

 ( f x



2) 0

          và ngược lại.

2 2

x

x

 x  2    ; 2

2;

y

x ( ) f



2 2   





y

f x

y

Từ đồ thị của suy ra

 .

x   f

2

Câu 19. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới

 có bao nhiêu khoảng nghịch biến?

  g x

 f x

Hỏi hàm số

A. 2.

 5 B. 3.



x

0



x

0

2

x

0

x

   4

5

f theo do thi

'

  x

2







0

.



2

xf

x

     g x

D. 5. C. 4. Lời giải

   g x

2



  5 ;

2

f

x

0

x

   1

5

    

 5

    

2

 

x

7

5

2

     x 1     x 2   

          x 

Chọn C Ta có

Bảng biến thiên

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12





f x

y

y

f

x

x   f

  g x

 1

2

 . trên khoảng nào trong các khoảng sau?

0; .

Câu 20. Cho hàm số Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C Đồ thị hàm số như hình bên. Hỏi hàm số nghịch biến

1;2 .





1;1 .

2; 1  . A.  B.  D. 

0

2



f

x

0







  0

.



  2

xf

x

C.  Lời giải

  g x

  g x nghịch biến

   g x

 1

2 .

0

2



f

x

0



  x 2     1    x 2     1 

0

.

Chọn B Ta có Hàm số

2





0

x

   x

1

2 : vo nghiem

  x

0.

 Trường hợp 1:

0 2

2





x

0

     1 1

x

x

2

0 2 0 2

  x    1    x    1 

  x 2       f 1     x 2       f 1  

0

x

0

f theo do thi

'

  x

2

  0

0.

1

x

x

 Trường hợp 2: Chọn B

   g x

2



f

x

0

    1



    

2   x

2

  x        1   1 

Cách 2. Ta có Bảng biến thiên

g x  

  x    . 0;

x

0.

1

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B 1 Chú ý: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ chọn

    1 x 2

f theo do thi

  x '

2













f

x

x

1

0

1

2      x

2

f

f



   2 0.

  0



0;



 .

Từ  1 và  2 , suy ra



y

y

   0 1 g  trên khoảng   1 0 g x  là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.   0 Nhận thấy nghiệm của .

 x f

 f x





f

3



x



2



 

Biết rằng hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Câu 21. Cho hàm số

y 0;1 .

2;3 .

 2; 1 .

Hàm số A.  đồng biến trên khoảng 1; 0 . B.  D. 

C.  Lời giải

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

0



2

2



f

3



x

  0

f

3



x

 2

x

0



2







  .

 

 

f

x



0

 x    3



   

2

x

6

 

x

 

3

2

2

Chọn B Cách 1: Ta có: .



f

3



x

  

0

x

3

1





2

2 1



3

x



2

  x          x 

  3    

Từ đồ thị hàm số suy ra .

Bảng biến thiên

y



f

3



x



2

x

0

2



f

x

0

 3







  0

 



2

xf

x

Lập bảng xét dấu của hàm số . ta được hàm số đồng biến trên  1;0

  g x

  g x đồng biến

   g x

 3

2 .

0

x

2



f

x

0

 3



         

x

0

x

0

2

2

x

6

3

x

9



x

2

2

x

2

3

1

x

4

1

1

  x '

f theo do thi  

.

3

0

0

2

1

0

x

x

1

9

 3     2 x        x 2       

2

2

3

2

1

              x    2   4 x    x

Cách 2: Lời giải. Ta có Hàm số

                  x 6 3     x  f x ( )

y



y



f

x '( )

2

Câu 22. Cho hàmsố có đạo hàm trên  . Đường cong trong hình vẽ dưới là đồ thị của hàm số

g x ( )



f

(3



x

)

y

-1

O

x

3

. Xét hàm số .

B. Hàm số

  .

)

g x đồng biến trên (0; 3) . g x nghịch biến trên (

( ) ( )

  và (0;2) .

; 2)

2

  1

x

  2

2

C. Hàm số D. Hàm số Mệnh đề nào dưới đây là đúng?  . g x đồng biến trên ( A. Hàm số ;1) ( ) g x nghịch biến trên ( 1; ( ) Lời giải

f



x

  0



 



x

  g x '

 xf 2 ' 3

2

 ' 3



2

0 (nghiemkep)



x



3 (nghiemkep)

x    x 

  3  3 

Chọn D Ta có ;

∞

x

0

2

2

+

∞

x

+

0

+

f(3-x2)

0

0

+

+

0

g'(x)

+

+

Ta có bảng xét dấu:

g x nghịch biến trên (

( )

0   và (0;2) .

0 ; 2)

Hàm số

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

f x

y

y

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12 Câu 23. Cho hàm số

x   f

 .

như hình bên dưới Đồ thị hàm số

  g x

 f x

3

1;

Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

   ; 1 .

1;1 .

 .

0;1 .

A.  B.  D. 

2

0

2

3

0

f theo do thi

3

  x '





3

2 x f

x

;

   



  0

C.  Lời giải

   g x

   g x





3

3



 0  

x x

. 1



x

f

0

 

1

0 

   

  x     

3

1

  x   x   x     x

Chọn C Ta có

Bảng biến thiên

2

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C

y



 f x x (

)

y



f x

( ).

y



f

x '( )

Câu 24. Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình bên. Hàm số nghịch biến trên khoảng?



;





;



;



3 2

1 2

1 2

  

  

  

  

  

  

  

A. . B. . . C. D. . 3 2

  ;  Lời giải

x

2



f

0





  0

.



x

x

  g x

  g x nghịch biến

  g x '

   1 2

 x f



2 .

x

2



x

x

f

0

0  0 

   1 2     x x     1 2     

x

  x

.

; Hàm số Chọn D Ta có





x

x

0

1 2

2

0 2

   1 2       f  

    

1 2 2 x

x

1

x

x

2

x

.

 Trường hợp 1:





x

x

0

2

0 2

   1 2       f  

  

1 2 x

x

2 : vo nghiem

.

 Trường hợp 2:

x  Chọn D

   x         x     1  1 2

Kết hợp hai trường hợp ta được

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

f theo do thi

  x '

   

0

1: vo nghiem

  x

.

1 2 2 x

x

     g x

2



f

x

0

1 2

0 

   1 2 x      x  

x

2   x

2 : vo nghiem

   x       

f theo do thi

  x '

2

2



   

  





x

x

x

f

x

x

0.

Cách 2. Ta có Bảng biến thiên





   

2    

1 2

1 4

1 4

1 2

0

0

x

Cách 3. Vì

'g x phụ thuộc vào dấu của 1 2 .x

      x .

 

  g x '

1 2

2

Suy ra dấu của Yêu cầu bài toán cần

y



f

 (1 2

 x x

)

y

x f ( )

f x



y

( ). trên khoảng dưới đây?

1;  .

Hàm số có đồ thị như hình bên. Hàm số đồng biến Câu 25. Cho hàm số

;1 .



1; 2 .

A. B.  D. 0;1 . C. 

1

1

2

2

y

 x x



1

Lời giải Chọn D

y

'



 2 2

  (1 2

x



x

)



 x f

2

0 2

 x x



2

x    x   x

 x     ' 0 1 2    1 2 

Ta có: . Nhận xét:

Bảng biến thiên



Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) .

y



f x ( )

f

x ( )

f

x ( )

có đạo hàm trên và đồ thị của hàm số như hình vẽ. Hàm số





2

x

 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

1)

  g x

Câu 26. Cho hàm số 2( f x

1;  .

;1 .



0; 2 .

1;0

. A. B.  C.  D.

Lời giải Chọn D

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

1

2

0

2

x

   1 1



(2

x



2)

f

'(

x



2

x

 . Nhận xét:

1)

 g x '



  g x '

2



3

2

x

 

1 2

 x 0    x 1    x x 2; 

 x  2 x       x 

Ta có:

Ta có bảng biến thiên:

1;0

. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng 

y



f

y



 có đồ

2

  f x

 x f

2

Mức 4: đơn điệu Câu 27. Cho hàm số có đạo hàm là hàm số trên  . Biết rằng hàm số

  x   f x nghịch biến trên khoảng nào?

y

2

x

2

3

1

O -1

thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số



; 2

2;  .



1;1



3 5 ; 2 2

  





. . C. . A.  B.  D.    

    2,

2

x



f

x



2

  

0,

x

 1; 3







 1;3







*

x

f

.





Chọn B Cách 1: Dựa vào đồ thị  Đặt * x

Vậy: Hàm số .

f

  x

Lời giải C ta có:  f  x 2   x     * 1;1 0, . x  thì 2 1;1 f x nghịch biến trên khoảng    Phân tích: Cho biết đồ thị của hàm số sau khi đã tịnh tiến và dựa vào đó để xét sự đồng biến của hàm

  f x .

f

'

2

f

'

x   tịnh tiến xuống dưới 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số



 2



 x  2

số

y

x

2

1

3

O

-3

f

'

x  sang trái 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số

'f x (tham khảo hình



 2

 

Cách khác. Từ đồ thị hàm số (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số vẽ bên dưới).

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

y

x

1

-1

3

O

f

'

  x  khi 0

Từ đồ thị hàm số

1;1 . trên  . Biết rằng hàm số

y



f

y



 có đồ

2

  'f x , ta thấy   f x

 x f

2

Câu 28. Cho hàm số có đạo hàm là hàm số

-3  x     x   f x nghịch biến trên khoảng nào?

thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số

 



 



  3; 1 , 1;3



  1;1 , 3;5



  5; 3 ,

 1;1

. . . . A.  B.      ; 2 , 0; 2 C.  D. 

 Lời giải









2,



2

x

0,



2

x

    







 3; 1



. Chọn B Dựa vào đồ thị  x f 2



f

0,



 Đặt * x

C ta có:    1;3        3; 1       * x x *

   1;1

 x  3;5



   1;1 , 3;5

y

f  . Đồ thị hàm số có đạo hàm liên tục trên

.Vậy: hàm số .

x  suy ra: 2   f x

  1;3 f x đồng biến trên khoảng    x   f y



như hình bên dưới Câu 29. Cho hàm số





g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

Đặt

  g x   2

  f x      1

 khẳng định nào sau đây là đúng?     1

, x   1 .

  1

  2 .

  2 .

  1

  1

   

 1

  2 .







  0

f

 1.

A. B. D.

   g x

   g x

  x

y

Chọn C Ta có

và đường thẳng

    1 C. Lời giải     x f 1 g x  chính là số giao điểm của đồ thị hàm số   0

x   f

1

:

Số nghiệm của phương trình d y  (như hình vẽ bên dưới).

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

1 . 2

Dựa vào đồ thị, suy ra

   

g

g

   x 1         x g x 0   x



 1

  2

  1 .

2;

Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên Chọn C

, ta thấy đồ thị hàm số nằm

g x  



 f

Chú ý: Dấu của

 mang dấu

y  nên 1

.

g được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng     1   g x x có đạo hàm liên tục trên

phía trên đường thẳng

y



f x ( )

y

x ( ) f

. Bảng biến thiên của hàm số

Câu 30. Cho hàm số được cho như

y



f

1





x

x 2

  

  

hình vẽ dưới đây. Hàm số nghịch biến trên khoảng





A. (2; 4). B. (0; 2). D. ( 4; 2).   C. ( 2; 0).  Lời giải

y



f

x

1





1





x

 

f

1





1

f

y



x 2

x 2

1 2

x 2

  

  

  

  

  

   





Chọn D Hàm số . có

1



   1 0

f

1





2



f

y   0

x 2

   x 2

1 2

  

  

  

Để hàm số nghịch biến thì .

        2.

3

4

x

y

y

      x 2 có đạo hàm liên tục trên

Khi đó, dựa vào bảng biến thiên ta có 2 1

. Đồ thị hàm số

  f x

x   f

2



2

x

  f x

2;

Câu 31. Cho hàm số như hình bên dưới

  g x    ; 2 .

Hàm số A. 

 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? D. 

2;2 .

2;4 .

 .

B. 

C.  Lời giải

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12







 

2

f

x

2

  0

f

 x .

   g x

  x

   g x

Chọn B Ta có

  x g x  chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

  0

y

:d y

Số nghiệm của phương trình

x (như hình vẽ bên dưới).

x   f

và đường thẳng

2 . 4

f

Dựa vào đồ thị, suy ra

 x  

x  

   x 2         x g x 0   x Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với thì đồ thị hàm số

x nên

2;2 g x  )  hàm số

  0

2;2 .

y

y

phía trên đường thẳng y Chọn B nằm g x đồng biến trên   

. Đồ thị hàm số

x   f



2

x

  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

  g x

  f x

  f x có đạo hàm liên tục trên 2 1



3;

Câu 32. Cho hàm số như hình bên. Hỏi hàm số

3;1 .

1;3 .

 .







2

f

f

A.  ;3 .  B.  D. 

  1. x

   g x

  x

   g x

  x

Chọn B Ta có

     2 x 1   0

y

d y :

1

Số nghiệm của phương trình C.  Lời giải   0 g x  chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

x   (như hình vẽ bên dưới).

x   f

và đường thẳng

1 . 3



  0

Dựa vào đồ thị, suy ra

'f x nằm phía

 

  g x

3

y

1

Yêu cầu bài toán (vì phần đồ thị của    x 3         x g x 0   x   x 3     1 x  trên đường thẳng



'f

  x . Hàm số

2

Câu 33. Cho hàm số có đạo hàm trên  và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm

 

x

 

2

f

2



x   ). Đối chiếu các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn. Chọn B  f x  x

y 

  g x

nghịch biến trên khoảng

   . 3; 2

   . 2; 1

 0; 2 .

1;0

. A.  B.  D. 

C.  Lời giải

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12









2

f

2



x



2

x



  0

f

2



x

   x

f

2



x



2



x

 2

   g x





   g x













Chọn C Ta có :

'

f

'f

2

3

x

2

    x x ta có :   y x nằm phía dưới đường thẳng

     (vì phần đồ thị x 2 2;3 còn x  , chỉ xét khoảng 

'f các khoảng khác không xét dựa vào đáp án). Hàm

(thêm bớt) Từ đồ thị hàm số

  0





2

2

3

1

2

2

x

x

x

   g x







số nghịch biến

.

  g x    x  f 2          0 1;0 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng  y Lưu ý : Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng

x  cắt đồt thị

2

f

 x





2





tại 2 điểm có hoành độ nguyên liên

  2

x

f

x

x

 nên

3





x

x 1 3



2



2



f

2



x

x

2

1

x

x

 . 0

1     



tiếp là và cũng từ đồ thị ta thấy trên miền 2

 y

y



 2  trên miền 2   f x

3         x f

2

có đồ thị hàm số như hình vẽ Câu 34. Cho hàm số

y



f



x



 nghịch biến trên khoảng

x

 1



x 2

Hàm số

1;

2;0

3;1

1;3 .

3 2

  

  

A. . . . B.  C.  D. 

x

    1 x 1.



f

t

1.

0

x

f

1

t

  , bất phương trình trở thành

Lời giải

    t .

 f       Đặt x

   g x   1

 

 

x

x 3;

x 1;

'f x lần lượt tại ba điểm

 3.

x  cắt đồ thị hàm số

x  







f

t

.

      t

   3   

Để Chọn D Ta có    g x

3

3

x

2

x

0

 1 x   1 1 

 4 x      



Kẻ đường thẳng y Quan sát đồ thị ta thấy bất phương trình   3   t

 t   1  Đối chiếu đáp án ta chọn B Cách khác: - Từ đồ thị hàm số

y

f

x

   0

x

  x f





x

1



f

 

x

  x

   3     2 x

2



, có

 y

 

f



x

  x

1

y



f



 , có

x

x



 1



 1







 

f

x

x

 

f



x

x

 1

x 2      1



 1



   1



 

 .

- Xét hàm số

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

1

x

4

f

x





x

  0

   1



 1



x

1

x

4



Như vậy



f



x

x

  0

 1



   1



 

 

x

    3 1     2 1  3 1         2 1 

0   x      x 1  0   x      1 x 

2

Hay .

y





x



x

f

 nghịch biến trên các khoảng 

  và   ; 1

0;4 .

 1



Suy ra hàm số



0;4

y





x



x

f

 cũng sẽ nghịch biến trên khoảng 

 1;3





 1



x 2 2 x 2

Suy ra hàm số .

y



f

f



2

 và đồ thị của hàm số

0

y



f

'

 f x



  2





  x

Câu 35. Cho hàm số có đạo hàm trên  thoả có

y



 f x





2

dạng như hình bên. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?



 

1;

.

1;1 .

 2; 1 .

1; 2 .

3 2

  

  

A. B.  C.  D. 

f

'

  

0

x

1;

x

  ; 2

f

 . Ta có bảng biến thiên :

0

  x





  2



 f x

 0;     x 2.

0

2

  2

Chọn D Ta có Lời giải  f 2

y



  y

'

2

.

f

'

x

y

  ' 0



  f x

 f x











1;

x

  2

f



0

   f x   x '

x    x 

  

Xét ;



0



 2 f



  0

f

  0

.

Bảng xét dấu :

   g x

    x f x . .

   g x

  x .

  f x

2



0

  x   f x

  f     

Hoặc Ta có Xét    2 x     1 x 

g x nghịch biến trên các khoảng   

    ; 2 ,

1;2 .

y

f x

y

f

f

Suy ra hàm số

 0.

 .

x   f

    2

  2

Câu 36. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới và

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12





f

x

 3

 

 2  

5;

  g x    2; 1 .

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

1;2 .

2;5 .

 .

A.  B.  D. 

y

x f

C.  Lời giải

 ,

  f x như sau

.

Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số suy ra bảng biến thiên của hàm số

    x

  0, f x





 2

f

Từ bảng biến thiên suy ra

   g x

 3

  x f . 3

  x .

0

x

1

  x

5





  





  0

f

0

x

.

Ta có

   g x

 3

 x f .

 3





2

x

1

f

0

 3  3

   x    x

 2      

  f     

Xét

g x nghịch biến trên các khoảng   

     2 3     3 x    ;1 ,

2;5 .

y

f x

y

Suy ra hàm số

 .

x   f



f

3

x

Câu 37. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới

 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

  g x





2;3 .

Hàm số

   ; 1 .

1;2 .

4;7 .

A.  B.  D. 

f

0

f

0

.

     x

     x

4

   1    x 4

3

1

4







  



f

x

0

3

C.  Lời giải x 1 Chọn B Dựa vào đồ thị, suy ra và

x  khi đó

  g x

 f x

   3

   g x



 3

4

x

2 x

  x  7

   x 1     1 x       1 x     3 

   

 hàm số







  

x

f

f

x

0

f

x

3

 Với

x  khi đó

  

3;4 ,  7;   3

 . 

 3

   0



4

x

loaïi

g x đồng biến trên các khoảng        g x 3 

 Với

g x đồng biến trên khoảng   

1;2 .

x

4

  g x  x

2

    x 1 3      1 3 

f x

y

y

 hàm số

       1   .

x   f

2



f

x

2

2

x

Câu 38. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới

  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

  g x





Hàm số

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

  

1;2 2

2 2

1;

;1 . 

 ; 1 2 2 .

 1 .

   .



x

1

2





f

x

  2 x

f

B.  A.  C.  D. 

   g x



 2 ;

2

x

  2 x

2

1 . 3

Chọn A Dựa vào đồ thị, suy ra Ta có

 

x

1 nghiem boi ba

0





x

0

f theo do thi

  x '

2



x

  0

       1

1 2 2

2

2

x

x

.

   g x

2



f

x

2

2

x

0

  1 

   

2

    

  

x

1 2 2

  

x

2

2

x

3

   x 1      

       

   1; 1

2 2

0.

Lời giải    x 1         x x 0   x

x  Khi đó

g x  



1







g

f

2

0

f

x  

2

f 

0.

 vì dựa vào đồ thị

Lập bảng biến thiên và ta chọn A Chú ý: Cách xét dấu ta chọn như sau: Ví dụ xét trên khoảng 

 Các nghiệm của

  0

x  

  1;3





2



2

ta thấy tại thì

g x  là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu.

f x

y

y

phương trình

  0  .

x   f

2

2



  

f

x

2

3

x

x

2

2

x

Câu 39. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới

  đồng biến trên khoảng nào sau đây?

  g x





1;

Hàm số

   ; 1 .

   .

  1   . ;     2

B. C. A.  D. 

  1   . ;     2 Lời giải

1

1

2

2





  

f

x

2

3

x

x

  x 2

   g x

   x



 2 .

2

2

    1   

     

x

  2 x

3

x

  2 x

2

1

1





0

Chọn A Ta có

x    1 .

2

2

x

  2 x

3

x

  2 x

2

f theo do thi

'

1

  x

2

2



0,

x

.

  

  



0

  u

x

x 2

3

x

x 2

2

 1

 với mọi

     2

   f u

2

2

1  2 1

x

     1

2

x





 1

 1

1



x  (ngược dấu)

g x  

phụ thuộc vào dấu của nhị thức

Từ  1 và  2 , suy ra dấu của Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A



y

y

  x f

DẠNG I.2: CỰC TRỊ Mức 1: Cực trị Câu 40. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên  và hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh

x   1.

x  1.

đạt cực đại tại điểm B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm

  f x đề nào sau đây đúng? y A. Hàm số



y



  f x

  f x

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

x   D. Hàm số

2.

x   .

2

y



y



  f x

  f x

y

'f

  x

4

2

x

-2

-1

-1 O

C. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm đạt cực đại tại điểm

-2 Lời giải

y

x   .

2

 x f



Chọn C Giá trị của hàm số



y

f

'

 f x



 y Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 41. Cho hàm số xác định trên  và có đồ thị hàm số là đường cong trong hình bên. đổi dấu từ âm sang dương khi qua   x

y



y

2x  .

0x  .

A. Hàm số đạt cực đại tại B. Hàm số đạt cực tiểu tại 

y



y



x 

2

 f x  f x

 

 f x  f x

 

C. Hàm số có 3 cực trị. D. Hàm số đạt cực đại tại .

Lời giải

f

y



'

x  .

2

Chọn A Giá trị của hàm số đổi dấu từ dương sang âm khi qua

f

 x



Câu 42. Cho hàm số

  x   f x xác định trên  và có đồ thị của hàm số như hình vẽ bên. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. 0.

x 

x   2.

B.

  f x đạt cực tiểu tại   f x đạt cực tiểu tại   f x đạt cực đại tại

C.

x   2.   f x nhỏ hơn giá trị cực đại của

  f x .

D. Giá trị cực tiểu của



y

f

x   .

2

Chọn B Giá trị hàm số đổi dấu từ dương sang âm khi qua

Lời giải   x ' Nói thêm: theo bảng biến thiên sau suy ra phương án D là Đúng.

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

y

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12 Câu 43. Hàm số

y





y

f

'

  f x

  x

liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số

y



  f x

trên K .

trên K như hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số A. 1. C. 3. B. 2. D. 4.

1

x

Lời giải

y



f

'

Chọn B Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị cắt trục O x

y



f

  x   x '

tại mấy điểm mà thôi, không kể các điểm mà đồ thị tiếp xúc với trục O x (vì đạo hàm ko đổi

dấu).

'f

 'f

   x trên khoảng K . Hình vẽ bên là đồ thị f x có đạo hàm     x trên khoảng K . Hỏi hàm số f x có bao nhiêu điểm của hàm số

Câu 44. Hàm số

x   .

1



cực trị? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải cắt trục hoành tại điểm

 x xác định trên  và có đồ thị hàm số



y

y



f

'

f 

  x

Câu 45. Cho hàm số là Chọn B Đồ thị hàm số  f x



y

2x  và

0x  .

đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đạt cực tiểu tại

y



B. Hàm số có 4 cực trị.

y



x   .

1

C. Hàm số đạt cực tiểu tại

y



x   .

 f x  f x  f x  f x

   

D. Hàm số đạt cực đại tại

y



f

'

đổi dấu từ âm sang dương khi qua

1 Lời giải   x



x   . 1 f x ( )

f x ( ) như hình vẽ. Tìm điểm cực tiểu của hàm số

Câu 46. Cho hàm số Chọn C Giá trị của hàm số y



x  2.

y x  3.

xác định và liên tục trên  . Biết đồ thị của hàm số f x ( ) trên đoạn [0;3] ?

0x  và x  2.

1x  và x  0.

f

 x



A. C. B. D. Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm, ta thấy đổi dấu từ

  x f x  . 2

y

x f

y

âm sang dương khi qua

 .

  f x

Câu 47. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số Số điểm cực trị của hàm số là

f

x

; 0;

x

;

A. 2. B. 3. D. 5.

x  

1

x nhưng chỉ cắt thực sự 3

2

C. 4. Lời giải có 4 điểm chung với trục hoành

3.x . Bảng biến thiên

Chọn A Ta thấy đồ thị hàm số tại hai điểm là 0 và

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

y

  f x

'f x có 4 điểm chung với trục hoành nhưng cắt và băng qua luôn

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Chọn A

,K hàm số

f

y



Câu 48. Cho hàm số của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi đó trên

  Cách trắc nghiệm. Ta thấy đồ thị của trục hoành chỉ có 2 điểm nên có hai cực trị.  Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại.  Cắt và băng qua trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu.   x

 f x



  f x có đồ thị có bao nhiêu điểm cực trị?

f

 x

 . Hàm số

A. 1. B. 4. D. 2. C. 3. Lời giải



y

y

y

y



Câu 49. Cho hàm số có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên. Chọn A Đồ thị hàm số   f x cắt trục hoành tại 1 điểm.   x f

 f x



 f x



3x .



y

 

có hai điểm cực trị. . Hàm số đạt cực đại tại

y

D. 2 . Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng ?  I . Trên K , hàm số II     f x III . Hàm số A. 3 . đạt cực tiểu tại 1x . B. 0 . C. 1. Lời giải

  x f

y



 f x



Chọn D Dựa vào đồ thị của hàm số , ta có bảng xét dấu:

3x không phải là điểm



y

y

2x , có điểm cực tiểu là 1x và điểm cực đại là



  x f

Câu 50. Cho hàm số . Hàm số có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên. Như vậy: trên K , hàm số cực trị của hàm số.  f x

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

y

y = f'(x)

O

x

x1

x2

x3

y

y



 f x

II



 f x



3x .



y

 

2x .

có ba điểm cực trị. . Hàm số đạt cực tiểu tại

y

D. 2 . Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng ?  I . Trên K , hàm số     f x III . Hàm số đạt cực tiểu tại B. 0 . A. 3 . C. 1. Lời giải

  x f

y



 f x



Chọn C Dựa vào đồ thị của hàm số , ta có bảng xét dấu:

3x không phải là điểm



y

y

2x , có điểm cực đại là 1x và điểm cực tiểu là



  x f

Câu 51. Cho hàm số . Hàm số có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên. Như vậy: trên K , hàm số cực trị của hàm số.  f x

y

y = f'(x)

O

x

x1

x4

x2 x3



y



y



y



Chọn khẳng định đúng ? y A. Hàm số có 2 cực đại và 2 cực tiểu. B. Hàm số có 3 cực đại và 1 cực tiểu.

 f x  f x

 

  f x   f x

y

C. Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu. D. Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu.

3x thì

3x .

Chọn C Qua Lời giải không đổi dấu, nên ta coi như không xét

  x f   x f y

y



Dựa vào đồ thị của hàm số , ta có bảng xét dấu:

 f x



4x .

có điểm cực đại là Như vậy: trên K , hàm số 2x và điểm cực tiểu là 1x ,



'f

y



f

'

  f x có đạo hàm

  x

   x và hàm số đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

Mức 2: Cực trị Câu 52. Cho hàm số . Biết có đồ thị như hình vẽ. Hàm





y  f x

 f x 1

 g x



số

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

x 

2.

x 

4.

x 

3.

x  1.

 

1 3

4



A. B. D.



0

  g x '

 f x '

  g x '

 f x '

 1

  x  6

1    x      1 0    1 5 x 

2    x 

1 1 1 3 1 5

 

Chọn B Cách 1 : ;

    



x

f

'

 là phép tịnh tiến đồ thị hàm

 g x '

 1



C. Lời giải  x 2 x          x 4 x    x 6 x 

 theo phương trục hoành sang phải 1 đơn vị.



y

f

'

số

'

f



x

 cắt trục hoành tại các điểm có hoành



 1

Ta chọn đáp án B Cách 2 : đồ thị hàm số   x Đồ thị hàm số

x



2;

x



4;

 g x '  và giá trị hàm số

 6

x

'g

  x đổi dấu từ dương sang

độ



y



f

'

  x

x  . 4  liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số cực trị của hàm số

Câu 53. Hàm số trên K như hình vẽ. Tìm số âm khi qua điểm  f x y





 g x



 f x

1

trên K ?

A. 0. B. 1. D. 3.



x

f

'

y



f

'

 g x '

 1



  x

 hoành sang trái 1 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số



f

'

x

 vẫn cắt trục hoành tại 1 điểm.

 g x '





 1

Chọn B Ta có theo phương trục C. 2. Lời giải  có đồ thị là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số

y

  x có bao nhiêu điểm cực trị?

  f x có đồ thị 

2018



y

 f x

Câu 54. Cho hàm số của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi đó trên

,K hàm số A. 1. C. 3.

f  B. 4. D. 2.

x

O

f

'

x 

2018

f





  x

Chọn A Đồ thị hàm số

2018

x 

f

'



theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số vẫn cắt trục hoành 1 điểm. Lời giải là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số 

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12 Câu 55. Cho hàm số

f

  x

y



f

  x

như hình vẽ

2018

  f x xác định trên  và có đồ thị của hàm số  f x 



bên. Hàm số

O

x

có mấy điểm cực trị? B. 2 . D. 4 . A. 1. C. 3 .

f

'

x 

2018

f



  x

Chọn C Đồ thị hàm số Lời giải 

2018

x 

f

'



theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số vẫn cắt trục hoành tại 3 điểm. là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số 

f

  x

Mức 3: Cực trị Câu 56. Cho hàm số như hình vẽ.

y





  f x xác định trên  và có đồ thị của hàm số   g x

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1. C. 3.

  4  f x x B. 2. D. 4.

'

'

f

x

y





 có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị hàm



Lời giải  4

'f

số

'g

g x bằng số nghiệm bội lẻ của phương trình

   0

 



4

4

x

f

'

  g x '

'f



y

y

Khi đó đồ thị hàm số

    ' x f   x ta thấy phương trình trên có một nghiệm đơn.   x f

có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số Câu 57. Cho hàm số như hình vẽ sau. Số điểm

  g x ' Chọn A Cách 1:   x theo phương Oy lên trên 4 đơn vị.   x cắt trục hoành tại 1 điểm, ta chọn đáp án A Cách 2: Số cực trị của hàm   Dựa vào đồ thị của hàm  

 f x y

x

 f x

 2 

cực trị của hàm số là



f

x

A. 4 . B. 1. D. 2 .

 . Từ đồ thị hàm số

 g x



  2 x

  x

 f x

g x

  2

Chọn B Xét hàm số . Ta có ta thấy: C. 3 . Lời giải     f g x

  0 

  x f

x  





0



x

g x

  2

+ .

  0 

  x f

 2    x 1         1

x

g x

. +

  0 

x

  x f y



. +

   x    2 

  2  f x

Từ đó suy ra hàm số liên tục và có đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua giá trị x  .



y



f

'



  x



 . Tìm số cực trị của hàm số

x

xác định và liên tục trên  , có đồ thị của hàm số như hình vẽ sau. Đặt Vậy hàm số đã cho có đúng một cực trị.  f x

 g x



y 

  g x ?

Câu 58. Cho hàm số  f x

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

'

x

1

 . Đồ thị của hàm số

'g



  x là phép tịnh tiến đồ thị

 theo phương Oy lên trên 1 đơn vị, khi đó đồ thị hàm số

 g x ' f



y

  f   x '

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn BTa có

'g



'f

của hàm số   x cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

 f x



  x . Hàm số



x

 đạt cực tiểu tại điểm:

có đạo hàm trên  và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm

 g x



y 

Câu 59. Cho hàm số  f x

0x  .

1x  .

x  . 2

A. B. D. Không có điểm cực tiểu.

 f

 . Tịnh tiến đồ thị hàm số

   g x

  1 x

  x

 g x



Chọn B Cách 1: lên trên 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số C. Lời giải f









f

1;

  0

f

1.

Bảng biến thiên

   g x

  x

   g x

g x    0

f

Cách 2: Ta có  Suy ra số nghiệm của phương trình

y   1.

  x x  

0

0

1 .

chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số và đường thẳng

   g x

2

  x      x    x

1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra

x  Chọn B

  g x ta thấy

  g x đạt cực tiểu tại

Lập bảng biến thiên cho hàm

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

f

;0 ta thấy đồ thị hàm

x  

nằm phía Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng 

.

g x  

'f

dưới đường mang dấu

  x . Hỏi hàm



Câu 60. Cho hàm số có đạo hàm trên  và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm

 g x



y   nên 1    f x  3  x có bao nhiêu điểm cực trị ?

y  f x

số









f

3;

  0

f

A. 2. B. 3. D. 7.

 Suy ra số nghiệm của phương trình

   g x

  x

   g x

g x    0

f

Chọn B Ta có

y   3.

 



x

x 1,

x 0,

1

0

.

chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số và đường thẳng C. 4. Lời giải   x 3. x  

 là các nghiệm đơn và

x  là 2

   g x

 có 3 điểm cực trị. Chọn B

   1 x    x 0      1 x   2 x   3  x f x

  g x







x

Dựa vào đồ thị ta suy ra Ta thấy

  g x

  f x

f

  x

xác định trên Câu 61. Cho hàm số và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số đạt nghiệm kép nên đồ thị hàm số   f x

cực đại tại

x  

1.

x 

0.

x 

2.

x 

1.











f

1;

1.

. A. B. D.

   g x

  x

   g x

  x

0

f

y 

1.

C. Lời giải   0 Chọn A Cách 1 Ta có Suy ra số nghiệm của phương trình

  g x 

f   x

chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số và đường thẳng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

0

1 .

   g x

2

x  

1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra Bảng biến thiên

  g x

f

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy    x 1      x    x đạt cực đại tại

  x

.

ta thấy đồ thị hàm nằm Chọn A     ; 1



1

x

f

'

'f

 . Đồ thị của hàm số

phía trên đường mang dấu nên

'g x là phép tịnh tiến đồ thị của hàm số

 

  x

y  1   g x ' theo phương Oy xuống dưới 1 đơn vị.

'g x đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm

 

Cách 2 : Ta có Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng   g x  

f

1 x   .   x

Câu 62. Cho hàm số như hình vẽ. Hàm số





y

x

 g x



có bao nhiêu điểm cực trị? Ta thấy giá trị hàm số   f x xác định trên  và có đồ thị của hàm số   3  f x

'

y





3

x

f

'

 g x '







A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải

'g

 có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị của hàm số   x cắt

theo phương Oy xuống dưới 3 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số Chọn C   x

có đạo hàm liên tục trên  .Đồ thị hàm số như

f trục hoành tại 3 điểm. Câu 63. Cho hàm số

f x ( )



y

y

 x f



hình vẽ sau:

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

f x

 ( ) 5

x

là

Số điểm cực trị của hàm số: A. 2.

 y B. 3.





x ( )

 f

y

D. 1 C. 4. Lời giải:

dịch chuyển xuống dưới theo trục Oy 5 đơn vị

 .Khi đó đồ thị hàm số x ( ) 5 y  cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.Vậy số điểm cực trị là 1. 0 liên tục trên  . Hàm số

Chọn D  f y Khi đó:



y

f

'

  x

 f x

x

y







có đồ thị như hình vẽ. Hàm số Câu 64. Cho hàm số

  g x

 y    2017 2018 f x

 2017

có bao nhiêu cực trị?

y

'





f

'

x

A. 1. B. 2. D. 4. C. 3. Lời giải Chọn D

'g

  g x '



 2018  2017

Ta có . Suy ra đồ thị của hàm số   x là phép tịnh tiến đồ thị hàm số

y



f

'

  x

2018 2017

1



2

đơn vị. theo phương Oy xuống dưới

 và dựa vào đồ thị của hàm số

y



f

'

  x

2018 2017

Ta có , ta suy ra

y

y

  x cắt trục hoành tại 4 điểm. có đạo hàm trên

. Đồ thị hàm số

đồ thị của hàm số

'g   f x

  x f '









x 2018

2019

Câu 65. Cho hàm số như hình vẽ bên dưới

 f x

 2017

Số điểm cực trị của hàm số là

  g x B. 2.

A. 1. C. 3. D. 4.

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12











f

'

2018;

2018.

x

'

x

   g x

   g x







f

'

x 

y

2018

Chọn A Ta có

 2017   x f '

 2017  2017

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra phương trình có 1 nghiệm đơn duy nhất. Suy Lời giải   f 0 

  g x có 1 điểm cực trị. Chọn A

y

y

ra hàm số

. Đồ thị hàm số

  f x

x   f

2



2

x

 đạt cực tiểu tại điểm

có đạo hàm trên như hình vẽ bên dưới. Hàm số

  g x

Câu 66. Cho hàm số   f x

x   1.

x  0.

x  2.

x  1.









2

f

x 2 ;

  0

A. B. D.

 x .

   g x

  x

f

g x  chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số

Chọn B Ta có C. Lời giải   x f

   g x   0

x  

y

và đường

x  .

0

.

Suy ra số nghiệm của phương trình thẳng

   g x

1 2

Dựa vào đồ thị ta suy ra Bảng biến thiên

0.

x  Chọn B

  g x đạt cực tiểu tại

f

  ta thấy đồ thị hàm

   x 1    x 0      x   x

 ; 1

x  

nằm

.

y



f

phía trên đường y Dựa vào bảng biến thiên ta thấy Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng  g x  

x  nên   f x





Câu 67. Cho hàm số có đạo hàm như hình vẽ. mang dấu   x

  g x

 f x



31 x 9

Số điểm cực tiểu của hàm số là

A. 1. B. 2 . D. 4 . C. 3 . Lời giải

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12



 f

  0

f



   g x

  x

   g x

  x

21 x 3

21 x 3

y

f

Chọn B Ta có: . Khi đó .

  x

21 x 3



f





Vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng toạ độ đã có đồ thị .

  x

x có ba nghiệm đơn 1

x 2

 x 3

21 x 3

'g như sau

Dựa vào hình vẽ trên ta thấy phương trình

y

Ta lập được bảng xét dấu của Dựa vào bảng xét dấu ta thấy dấu của g  thay đổi từ 

. Đồ thị hàm số

  f x

 hai lần. Vậy có hai điểm cực tiểu.  sang  x   f y

3

2



x

x

Câu 68. Cho hàm số có đạo hàm trên như hình vẽ bên dưới.

    đạt cực đại tại 2

  g x

  f x

x 3

1

Hàm số

x   .

x  . 0

x  . 2

x  . 1

2





  

A. B. D.

f

x

f

   g x

  x

   g x

  x

2 1 .

f

C. Lời giải    0 Chọn C Ta có

   x 2 x 1; g x  chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số   0

x  

  P y :

 x 

2 1 .

0

0

1 .

Suy ra số nghiệm của phương trình và parapol

   g x

2

  x      x    x

1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra Bảng biến thiên

  g x đạt cực đại tại

f

x  Chọn C

;0 ta thấy đồ thị hàm

x  

y

nằm phía

.

21 x  nên



trên đường mang dấu Dựa vào bảng biến thiên ta thấy Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng  g x  

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12





x

x 0;

x 1;

2

 là các nghiệm đơn nên qua nghiệm

g x  

'f

y



Nhận thấy các nghiệm đổi dấu.

  x . Tìm số điểm cực trị của hàm số





 g x



và đồ thị hình bên là đồ thị của đạo hàm

 f x  2 3  .

Mức 4: Cực trị Câu 69. Cho hàm số  f x

2





2

xf

x

A. 2. B. 3. D. 5. C. 4. Lời giải

   g x



  3 ;



x

0



0

f theo do thi

  x '

2

     

  0

3

x

x 0    x

1

   g x

2



f

x

0

   3

2

  x    

 

x

2 nghiem kep

x

  3

1 nghiem kep



. 

2 



     

      

Chọn B Ta có

Bảng biến thiên

g x  

0.

x

x

được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 

 2;  1

f theo do thi

  x '

2

2

2

       

x

3 1

4

x

x

f

 Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B Chú ý: Dấu của       2;

 2;



   2 0.

 x

 3

2





2

xf

0

x



  trên khoảng 

 2; nên

g x  

   g x

 3

0

mang dấu  . Từ  1 và  2 , suy ra

 x  là các nghiệm bội lẻ nên x   và 1

g x  

f

2

Nhận thấy các nghiệm qua nghiệm đổi dấu; các nghiệm

x  



y

'f

tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ

x   là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy bằng 1) nên qua nghiệm không đổi dấu.  f x



  x như sau :

Câu 70. Cho hàm số có đạo hàm trên  và có bảng biến thiên của đạo hàm



2 2 

x

  g x

 f x

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A. 1.

 B. 2.

2









2

x

2

f

x

   g x







 x 2 ;



1

x



x

1

2

0

x

2

x

2

x

  1

2 nghiem kep



  x '

f theo BBT   



  0

 .

   g x

2

2







x

f

2

x

0

x

  2 x

   x 2  1 nghiem kep



 

1



   2    

2

3

x

  2 x

3

     x     x 

        

D. 4. C. 3. Lời giải Chọn A Ta có

Bảng biến thiên

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

g x  

 3;

2 0.

x

x

     2

f theo BBT

'

  x

2

2



x

      x 2

3

x

f

x

x

2

 Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A Chú ý: Dấu của   3; được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng   1

 0.

 3;



 2



2







 

2

x

2

2

0

x

x

f



 trên khoảng 

 3; nên

g x  

   g x







3

  x  là các nghiệm bội lẻ nên

x   và 1

g x  



y

'f

mang dấu  . Từ  1 và  2 , suy ra

Câu 71. Cho hàm số có đạo hàm trên  và có bảng biến thiên của đạo hàm qua nghiệm đổi dấu.   x như đồ thị hình bên



f



x

2 3 

x





dưới. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực đại ? Nhận thấy các nghiệm   f x   g x



   2

x

f

A. 3. B. 4. D. 6. C. 5. Lời giải

   g x



 3 .

 2   x

 x 3 ;



x

0

3

3 2 3

17

theo do thi

  f x

3 2 2        

  0

2

3

x

x

x

.

   g x



f

3

x

0

 2



2

   x 2    2    x  

3

x

x

0

0

   x          

3

          x    x

Chọn A Ta có

Bảng biến thiên

3

17

g

x

  4

;

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A

  x

     

    

0.

3

5

Chú ý: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ chọn

x    

 2  1

theo do thi

  f x

2

f 

4

3

4

0

x

x

 2



        ( vì f đang tăng).  2

3

17



   2

x

f

3

x

0

;

.

 trên khoảng

   g x



 3



 2   x



 2

    

     

g

Từ  1 và  2 , suy ra

 là các nghiệm bội lẻ nên

  g x

  x

Nhận thấy các nghiệm của phương trình qua nghiệm đổi dấu.

0 

y



f x ( )

f

'( )

x trên

f

'( )

x như hình vẽ.

Câu 72. Cho hàm số có đạo hàm và đồ thị của hàm số

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12



2( f x

x

1)

 g x



Xét hàm số  . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số có sáu cực trị.

 2 B. Hàm số có năm cực trị.

1

0



(2

x



2)

2 f x '(



2

x

 . Nhận xét:

1)

  g x '

  g x '

C. Hàm số có bốn cực trị. D. Hàm số có ba cực trị. Lời giải



3

 x 0    x 1    x x 2; 

 x  2      1 x 2 x 1      2 x 2 x 1 2 

Chọn D Ta có:

Ta có bảng biến thiên:

y

0,

y

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có đúng ba cực trị.

  f x

 0 f  đồng thời đồ thị hàm số

x   f

có đạo hàm liên tục trên  và như hình

2



f

Câu 73. Cho hàm số vẽ bên dưới

  x

là

Số điểm cực trị của hàm số A. 1.

  g x B. 2.

2



f

0

C. 3. D. 4.

  x

1

x

nghiem kep



. 

y

Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta có

   x     

  f x





x

1 nghiem kep

2 



f

0

theo BBT

  f x



Bảng biến thiên của hàm số



2

f

;

  0

 .

   g x

    x f x

   g x





0

  x   f x

   



0

 a a  b b

  2 

   x        x     x 

Xét

  g x

Bảng biến thiên của hàm số

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

  g x có 3 điểm cực trị. Chọn C

x

1;

0

b

Vậy hàm số

    

g x     x '

x

0

Chú ý: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ chọn

  0

0

  1 theo do thi f f    0. f   2  0 0.  Theo giả thiết  0 Từ  1 và  2 , suy ra

g  trên khoảng 

1; .b



x

x 2;

b



 là các nghiệm đơn nên

x  1

g x  

Nhận thấy đổi dấu khi qua các nghiệm này. Nghiệm

x  1

 ; a x g x  

g x

 .

'f

là nghiệm kép nên không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm

  x . Hàm số

có đạo hàm trên  và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm



x

f

  g x

có bao nhiêu điểm cực trị ? vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của    f x y  2018  Câu 74. Cho hàm số 

f

f

A. 2. B. 3. D. 7. C. 5. Lời giải

x  

x  



x

f

ta thấy cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1 điểm có



x

f

có 5 điểm cực trị

có 5 điểm cực trị với mọi m (vì tịnh tiến lên trên hay xuống dưới không ảnh hưởng đến Chọn C Từ đồ thị hàm số hoành độ âm)    f x   có 2 điểm cực trị dương   2018 

y

'f

 f x

  x . Hỏi đồ thị của hàm số

số điểm cực trị của hàm số). Chọn C  Câu 75. Cho hàm số



2



x



1

  g x

  f x



 và đồ thị hình bên là đồ thị của đạo hàm 2

có tối đa bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 9. B. 11. D. 7. C. 8. Lời giải Chọn B

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12



2



x



f 2 '



2

x

 . Ta vẽ thêm đường thẳng

y

x  .

1

  h x

  f x



2    1

 h x '



  x



 1

'

f

0;

x

x

x

x



Đặt

  h x '

 1;2





  x   0 f

x

'



a ;2

3;

Ta có

1;  

  0;1

2; 

3; 

x     1   0     x h x ' Lập bảng biến thiên của hàm số

x     1   h x .

Theo đồ thị  x a a       .

∞

0

1

2

a

3

x

+∞

+

0

+

0

0

0

0

+

h'(x)

h(x)



 h x có nhiều giao điểm với trục hoành nhất, vậy đồ thị hàm  g x có tối đa 11 điểm cực trị. 'f



số

. Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm

 g x có nhiều điểm cực trị nhất khi Đồ thị hàm số   h x cắt trục hoành tại nhiều nhất 6 điểm, suy ra đồ thị hàm số   f x Câu 76. Cho hàm số bậc bốn

  x . Hàm số

2



f

x



2

x



2

  g x

y 



có bao nhiêu điểm cực trị ?



x

1

2





f

x

  2 x

A. 1. B. 2. D. 4.

   g x



2

x

  2 x

2

0

2

0

   

x

2

2

x

1

f theo do thi

'

  x





   

0

x

1

2 .

Chọn A Ta có C. 3. Lời giải  2 .

   g x

2

2



x

f

2

2

x

0

  

x

2

2

x

1

   

   1 x     

1

2

   1 x         x 

2

  

x

2

2

x

3

   1 x         

Suy ra

2



f

x

2

2

x

Bảng xét dấu

  có 1 điểm cực đại. Chọn A.

  g x





Từ đó suy ra hàm số

'g x để cho nhanh nhất ta lấy một giá trị

 

1





 



x

0

g

0

2

f

g x

   1; 1

2

Chú ý: Cách xét dấu  hay  của

 vì dựa vào

  0

 .

0

0x thuộc khoảng đang xét rồi 





2

f 

thay vào ta chọn Chẳng hạn với khoảng 

 0.



2

đồ thị ta thấy

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

f

như hình vẽ bên. Khẳng định nào dưới

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12 DẠNG I.3: CỰC TRỊ VÀ ĐỒNG BIẾN Mức 1: Cực trị và đồng biến   f x xác định trên  và có đồ thị của hàm số Câu 77. Cho hàm số

  x

đây đúng?

y







 ; 2 .

A. Hàm số B. Hàm số y

y



y



 f x  f x

 

 f x  f x

 

 ; 1 .   0;1 .

  x

C. Hàm số đồng biến trên khoảng  có ba điểm cực trị. D. Hàm số đồng biến trên khoảng  nghịch biến trên khoảng 

  .

Lời giải nằm phía trên trục hoành nên hàm số đồng biến trên khoảng 

f

1;1   ,   ; 1

Đồ thị ,  2; 1; 2

f nằm phía dưới trục hoành nên hàm số nghịch biến trên khoảng  f

Chọn C Đồ thị   x Đồ thị hàm số

f

y



y

  x

 x f



  x cắt trục hoành tại 3 điểm.     f x có đạo hàm là f x bên. Kết luận nào sau đây là đúng?

y

4

x

5

O 1

2 3

và hàm số có đồ thị như hình vẽ Câu 78. Cho hàm số . Biết

y



y

1; 3 .

A. Hàm số B. Hàm số 

y





; 2

y



 f x  f x

 

 f x  f x

 

 4;  .

C. Hàm số . D. Hàm số chỉ có hai điểm cực trị. đồng biến trên khoảng  đồng biến trên khoảng nghịch biến trên khoảng 

nằm trên trục hoành.

 Lời giải   x f



y

'

Câu 79. Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Mệnh đề nào sau đây sai?



y

có 2 cực trị. A. Hàm số Chọn B Trên khoảng  1; 3 ta thấy đồ thị hàm số   x 

.



f

f

1 2

B.

      C. Hàm số

   

y





y

1;1 .  

f  f x  1   2   f x  f x

 

'f

x nằm phía trên  

D. Hàm số giảm trên khoảng  giảm trên khoảng   ; 1 .

Lời giải    đồ thị hàm số ; 1

Chọn D Trên khoảng  trục hoành.

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12 Câu 80. Cho hàm số

y



f

 f x



  x

f

xác định và có đạo hàm . Đồ thị của hàm số

  x A. Hàm số

y







y

;2 .    . ; 1

B. Hàm số



y

C. Hàm số



y

 f x  f x  f x  f x

   

D. Hàm số như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng? đồng biến trên khoảng  đồng biến trên khoảng  có ba điểm cực trị. nghịch biến trên khoảng 

0;1 . Lời giải

  x . Biết

y

'f

f Chọn C Đồ thị hàm số   f x

  x và hàm số



y

f

'

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.   f x có đạo hàm

Câu 81. Cho hàm số   x A. Hàm số

1;3 .

B. Hàm số

; 2 .

C. Hàm số

  f x chỉ có hai điểm cực trị và chúng nằm về hai phía

có đồ thị như hình vẽ. Kết luận nào sau đây đúng?   f x có hai điểm cực trị. f x đồng biến trên khoảng    f x nghịch biến trên khoảng    D. Đồ thị hàm số

của trục hoành.



y

'

1;3 đồ thị hàm số

  f x đồng

nằm phía trên trục hoành nên hàm số Lời giải   x f

y

'f

y



f

'



  x và hàm số

  x



 g x

. Biết có đồ thị như hình vẽ. Đặt

Chọn B Trong khoảng  1;3 . biến trên khoảng  Mức 2: Cực trị và đồng biến    f x có đạo hàm f x Câu 82. Cho hàm số   f x . Kết luận nào sau đây đúng? A. Hàm số

1;3 .

B. Hàm số

2; 4 .

C. Hàm số

 1    g x có hai điểm cực trị. g x đồng biến trên khoảng      g x nghịch biến trên khoảng    g x có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

D. Hàm số

 

  

1 3

x

  x

2



f

'

x

   0



Lời giải Chọn C



f

'

x

0

  g x '



 1

  g x '



 1

x

 

1 5

x



4

1   

0   

 x        x  x

1 1 1 3 1 5

x x x

 

0 2 4

    

    

Cách 1 : ;



f

'

x

 là phép tịnh tiến đồ thị hàm số



y

f

'

 g x '





 1

  x

Cách 2: Đồ thị hàm số theo phương trục

hoành sang trái 1 đơn vị.

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12



f

'

x

 nằm bên dưới trục hoành nên hàm số

2; 4 đồ thị hàm số



 1

  g x

y

  g x ' 2; 4 , ta chọn đáp án C  f x



2

Ta thấy trên khoảng  nghịch biến trên khoảng   như hình vẽ dưới đây. Khi đó phát biểu nào là đúng đối với hàm số

 1   trong các phát biểu sau:

 f x

Câu 83. Cho đồ thị hàm số   g x

 g x nghịch biến trên khoảng 

1;1

A. Hàm số . ;1 . B. Hàm số

1x  .

 g x đồng biến trên khoảng   g x đạt cực đại tại

 g x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

C. Hàm số D. Đồ thị hàm số

Lời giải Chọn B Cách 1: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị:

 i

Thực hiện các phép biến đổi đồ thị lần lượt là : tịnh tiến đồ thị sau đó tịnh tiến đồ thị theo

 m

 j

  2

  f x theo vec tơ  g x như hình vẽ. Do đó hàm số nghịch biến trên 

1;1

  0

f

'

x



f

'

x

vec tơ ta được đồ thị hàm số .

  g x '



 g x '





  , 1

1  x        1 0 1 x



Cách khác: Ta có . Từ đó lập bảng biến

 g x .

thiên của hàm số

y



y

 f x



 x f



Câu 84. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị hàm số như hình vẽ bên.

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12



2 3  và các mệnh đề sau:

 f x

Xét hàm số

 g x có 3 điểm cực trị. (II) Hàm số

g x đạt cực tiểu tại

(I) Hàm số



2; 0 .

 

x  0. g x đồng biến trên khoảng  Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?



  g x     x  2. g x đạt cực đại tại g x nghịch biến trên khoảng   

  (IV) Hàm số 1;1 .

(III) Hàm số

x

0



0

 2

2



  0

2

3

x



x f 2 .

x



3

(V) Hàm số A. 1. B. 4. D. 2. C. 3. Lời giải

  g x



  g x



2





f

x



3



0



2

 x    

 

3 1

x

x 0   1        x     x 2 

    

2

2



y

f

x



3

x

Chọn D Cách 1: Ta có ;

  x f





2  x         0 3 1 2 x



và từ đồ thị của ta có

  g x

2







x f 2 .

x



3

Ta có bảng xét dấu

x   (kép). Ta có

2

f

   (đơn),

1

0

x

  g x



  x





0

x   , hoặc

2 3 x    (kép)

2

0x  , 2 3 1

0x  (đơn),

x (đơn), 2

x  (kép) 1

   g x

2

0

 x   f x

   3

   0  Ta có BBT thu gọn như sau

III

Suy ra các mệnh đề I và IV đúng, còn lại sai. Cách 2: Dựa vào đồ thị, ta có



V sai.



x

 y

'

Do đó,  I sai,  sai, 

 . Mệnh đề nào

 g x



 f x



II 

IV đúng,     x f

Câu 85. Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình bên. Đặt

g

g



g

g



g



g

g



g

g



g

g

đúng,    f x y dưới đây đúng?



   1

  1

  2

  2

  1



  . C. 1

  2



   1

  1

  1



   1

  2

g A. . B. . D.

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12



f

'

x

f

 ; 1

 . Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng

y  1

 g x '







  g x '

  x

y



f

'

Hướng dẫn giải   0 1 ' Chọn B Ta có:

x

 

1;

x

 và 1

2x  . Vậy

0

  x

  g x '

1

 x 2     x 1    x 

g





g

  1

  . 1

cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm là

   g 2 có đạo hàm trên  . Đồ thị của hàm số



y

y



f

x '( )

2

Câu 86. Cho hàm số như hình vẽ. Tìm các khoảng Dựa vào BBT ta thấy: f x ( )

g x

f x ( ) 2 ( )





x



2

x



2017 y

2

-1

1O

x

3

-2

đơn điệu của hàm số .

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số B. Hàm số

 g x nghịch biến trên   g x đồng biến trên 

1;3 . 1;1 .

 g x có 2 điểm cực trị đại.  g x nghịch biến trên 

 3;  .

g x

'( ) 2 '( ) 2

f x





x

 

2 2

x

(



1)

C. Hàm số D. Hàm số

Chọn C Ta có .

 

1

y



 f x '( )

y

2

-1

1O

x

3

-2

Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng tại 3 điểm: ( 1; 2), (1;0), (3;2). Lời giải   f x '( ) y x  cắt đồ thị hàm số

1

1

1    x 

 

Dựa vào đồ thị ta có

g x '( )

  0

f

x '( )



(

x



1)

2

0

g x '( )

  0

f

x '( )



(

x



1)

2

0









3

x

   

  1 3

g x '( )

  0

f

x '( )



(

x



1)

2





x    x   x x   1       0 1 x 

.

 y g x ( )

3 đồng biến trên các khoảng ( 1;1)

Vậy hàm số

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12 Mức 3: Cực trị và đồng biến Câu 87. Cho hàm số

 và đồ thị hàm số



0

y

f

 f 

2

 f x



  x

như hình vẽ xác định, liên tục trên  và có

2018

2018

bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

y





x

f

f

x



  . B. Hàm số

; 2





2018

2018

A. Hàm số có hai cực tiểu. nghịch biến trên khoảng   1

y





x

y



f



x

f

 2; .

 1  1

 

y  1

 

C. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu. D. Hàm số đồng biến trên khoảng 

f

Lời giải

  x

2018

2018

Chọn C Từ đồ thị của ta có bảng biến thiên sau:

x

1



x

   f

1

 và 0

 f 

2



 1

2018

2018

3;

x



0 khi

t



  t



2018

Từ giả thiết

1t

 

x

2018

2018



0  với mọi x .        2;1          2;

; 2

x

;



0 khi

t

3



3;



f









  t

3 







2017

2018.

x

.

f

.

f

  t

t

2018

 

Đặt , ta có



f



x

   g x

  g x

  tf     

 1

2

2

f

   t   t

Đặt , ta có

y



 g x



Do đó , ta có bảng biến thiên của như sau:



y

Từ bảng biến thiên chọn C



 x f



2;2



y

DẠNG I.4: GTLN – GTNN Mức 1: GTLN – GTNN y Câu 88. Cho hàm số , có đồ thị của hàm số như hình bên.

 f x

2;2

 f x 0x để hàm số

. Tìm giá trị xác định và liên tục trên   đạt giá trị lớn nhất trên 

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

y

x

O12

1

2

1

2 B.

x  . A. 0 2

x   . 0

x  . D. 0 1

x   . C. 0 Lời giải 1 (nghiem kep)



f

  x

1

x        0 x

y



. Chọn D Từ đồ thị ta có Bảng biến thiên:

 f x



Câu 89. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:

f

y



,M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

0;2 . Khi đó M m là

x     2  

Gọi trên đoạn  3 2

y



B. 1. A. 3 . D. 0 . C. 2 . Lời giải Chọn A Cách 1: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị:

y



3

f

 f x



x 2

  

  

Ta suy ra đồ thị hàm số từ đồ thị hàm số bằng cách thực hiện phép dãn theo trục

3 2

hoành với hệ số dãn 2 . Sau đó thực hiện phép dãn theo trục tung với hệ số dãn

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

M



3,

m

  

M m

0

 . 3

0

  0

f

'

  0

Vậy



f

'

 g x '



  g x '

3 4

x 2

4

x 2

  

  

  

  

 x   x 

Cách khác: Ta có , . Từ đó lập bảng biến thiên

 g x .

của hàm số

 a t

Mức 2: GTLN – GTNN Câu 90. Người ta khảo sát gia tốc của một vật thể chuyển động (t là khoảng thời gian tính bằng giây từ lúc vật

 a t

thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ 3 và ghi nhận được là một hàm số liên tục có đồ thị

như hình bên dưới. Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 3 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có vận tốc lớn nhất?

a(t) 6

3

t

3

O

2

1

1,5

-6

A. giây thứ 2. B. giây thứ nhất. C. giây thứ 1,5. D. giây thứ 3.

  0

   t 2

0

  a t

  v t

   v t

Chọn A Phương pháp: . Từ đồ thị ta có: Lời giải   a t

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12 Câu 91. Người ta khảo sát gia tốc

 a t

của một vật thể chuyển động (t là khoảng thời gian tính bằng giây từ lúc vật

 a t

thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 và ghi nhận được là một hàm số liên tục có đồ thị

như hình bên dưới. Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có vận tốc lớn nhất?

A. giây thứ 7. B. giây thứ nhất. C. giây thứ 10. D. giây thứ 3. Lời giải

  a t

  v t

f

y

Chọn D Phương pháp: . Từ đồ thị ta có bảng biến thiên sau:

  x

 x f



  f x có đạo hàm là  f



f

f



f

Mức 3: GTLN – GTNN Câu 92. Cho hàm số . Đồ thị của hàm số

  2

  5

  0

  3

0;5 ?

 m f

 M f

 m f

 M f

. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của được cho như hình vẽ bên. Biết rằng f x trên đoạn   

  2 ,

  0 .

 m f

 M f

 m f

 M f

A.

  0 ,   1 ,

  5 .   5 .

  2 ,

  5 .

C. B. D.



f

f

Lời giải Chọn D

  2

  f x

  2

min   0;5    

f



f

f

f









f



f



f

và   f 3

f

f

  0

  0

  5

  2

  5

f

y

Mà .

      3 0  x f

0 



f

f





f

f

. Đồ thị của hàm số

  0

      5 2 3   f x có đạo hàm là      f 4 2 2

f   x   3

. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của Câu 93. Cho hàm số   1 được cho như hình vẽ bên. Biết rằng 0;4 ? f x trên đoạn   

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

 m f

 M f

 m f

 M f

 m f

 M f

 m f

 M f

A. B.

  4 ,   0 ,

  2 .   2 .

  1 .   2 .

C. D.   4 ,   1 ,

Lời giải Chọn A

f

f

f





2

f

f

2

 0













f

f

f

2

f



f

f

f

  0

f



f

M f   3    2

 2   2   4

  3    f 0

 0f    2   4

Dựa vào BBT ta có , GTNN chỉ có thể là hoặc

  3 f   1

  0

  4 .

Ta lại có:   0

y

    f 1 ; 1      2 1 3  f x có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm số

f 

như hình vẽ. Câu 94. Cho hàm số  4f     1 f  2 f       f 3 2    x f '

f

f

A

f

1;0

   1



Biết rằng thuộc đồ thị. Giá trị nhỏ nhất và giá  B 

f  B.



f

f

f

f

f

f

   2 trị lớn nhất của hàm số   f  . 1

  1 ;

      4 1 , các điểm f x trên đoạn  1;4      f 2 0 ; .

  1;0 , lần lượt là 

 1 ;

  4

  1 ;

  4

A. C. . D. .

f

f



f

f

  1 f

 

f



  2 ,  f

  1 

f

  4  f



f

  

0

f



f

 1 ,   1

   1   f 4

f   2

 f   1

Lời giải Chọn D Bảng biến thiên:



 1

  4



  1

y



y

mà   4

 x f



như hình bên. Đặt liên tục trên R . Đồ thị của hàm số



2



x









  f x 2 1

. Mệnh đề nào dưới đây đúng.  Ta có:       f 2 1 Mức 4: GTLN – GTNN Câu 95. Cho hàm số   f x g x

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

y

4

2

3

x

3

O 1 2



g

(1).



g

(1).

Max g x ( )  3;3 

Min g x ( )  3;3 

B. A.



g

(3).

g x trên  ( )

3;3 . 

Max g x ( )  3;3 



  ( ) 2 g x

f

x



x



D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của C.

y



g x ( )

g x ( )







 1





Chọn B Ta có . Để xét dấu

x ( ) f

y

x  . 1 y

4

2

3

x

3

O 1 2

A

ta xét vị trí tương đối giữa và Lời giải là hàm số liên tục trên  và có y

y

1



 ( ) 0 g x

3;

 ( ) 0 g x

x

  và

Từ đồ thị ta thấy ; đồng thời

y      x

x ( ) f  3;1

x  có ba điểm chung là 

      

 3;3

ta có BBT: và        B 3; 2 , 3;4 1;2 , C . Trên đoạn     1;3 ; 3



y

y

x

  f

 f x





6

Câu 96. Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên  . Biết rằng đồ thị hàm số như dưới đây. Từ BBT suy ra B đúng. 

y

5

4

3

2

-1

x

O 1

2

-1

2

2





x

x

 f x



g

g

g

g

g

g

2

g

g

   1

  g x   1

 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 

   1

  1

  1





  1



 2

A. . C. . B. . D. . Lập hàm số 

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

Lời giải



x

x

1



f



 g x 

 Ta thấy đường thẳng

Chọn D Ta có .

A

 

B

C

y

 2   là đường thẳng đi qua các điểm 1

 1; 1 ,



 2;5

.

y

x

y

x 2

   1;3 ,  ta có bảng biến thiên

1

  f

 x 2  

Từ đồ thị hàm số và đường thẳng

y

y

 f x

 x f



3

2





x



x



x



2018

Suy ra đáp án đúng là D  Câu 97. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Xét hàm số

  g x

 f x



 3 2

1 3

3 4

y

3

1

1

x

1

O

3

2

g

g



  1

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?





g



g



g

3

  g x



  . B. 1

  g x

  1

  g x

  . D.

  g x

min    3; 1

min    3; 1

min    3; 1

   3 2

A. . . C. 

min    3; 1 Lời giải

3

2

2







x



x



x



2018





f



x



x

Chọn A

  g x

  f x

   g x

  x

1 3

3 4

3 2

3  2





2

f

g

0

y

Ta có:





f

1



g

0

 x f







f



g



0

     1    1    3

    1    1    3

    

3 2     

3 y

3



P

1

1

x

1

3

2

Căn cứ vào đồ thị , ta có:

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

2

y



x



x

 trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ bên (đường nét

P của hàm số

Ngoài ra, vẽ đồ thị 

I



;



P đi qua các điểm 

3;3

1;1 với đỉnh

3 3 2 2   ,   1; 2

3 4

33 16

  

  

2



f



x



x



0

 x

. Rõ ràng đứt ), ta thấy  , 

 , nên

  x

1;1

   g x

  

 1;1

3 2

3 2

2



f

x



x



x



0

 x

 , nên





thì o Trên khoảng 

   thì 3; 1

   g x

  

  3; 1

3 2

3 2

o Trên khoảng 

  y g x

3;1

Từ những nhận định trên, ta có bảng biến thiên của hàm như sau: trên 



g

  g x



  1

min    3; 1

y



y

  f

. Vậy

  f x

  x

3

2





x



x



x



2017

Câu 98. Hàm số có đồ thị như hình vẽ.

  g x

 f x



1 3

3 4

3 2

g

g

Xét hàm số . Trong các mệnh đề dưới đây:



g

  0

  1

  g x



min     x 3;1



max



g

g

(I) (II)

 g x





 3 ;

 g x nghịch biến trên 

   3; 1

   1

  1 

max     x 3;1

(III) Hàm số (IV)

2



Số mệnh đề đúng là A. 2. B. 1. D. 4. C. 3. Lời giải



f



x



x



   g x

  x

3 2

3 2

  

2

y



x



x

f

Chọn D Ta có

     x

3 2

3  . 2

Trên mặt phẳng toạ độ đã có đồ thị hàm số ta vẽ thêm đồ thị hàm số

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 52 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

2

2





f



x



x



f



x



x



  x

 x    thì 3; 1



 x  

1;1

3 2

3 2

y



Khi , khi thì . Do đó ta có Dựa vào đồ thị hàm số ta có   x

3 2   g x

3 2 trên đoạn 

3;1

  1

  0



g

 , do đó (II), (III) đúng.

bảng biến thiên của hàm số như sau



 1

min     3; 1

max





g

g

Dựa vào bảng biến thiên ta có: Vì trên  0;1 hàm số Dựa vào bảng biến thiên dễ thấy  , do đó (I) đúng.   g x

  g x



 3 ;

 g x đồng biến nên    hàm 3; 1 

g g  g x nghịch biến nên    1

max    3;1

. Và dễ thấy rằng

DẠNG I.5: ĐỒ THỊ

'f

  x cắt trục hoành tại những điểm là các điểm cực trị của đồ thị hàm số

  f x .

Phương pháp: sử dụng 1 trong 2 phương pháp hoặc kết hợp cả 2 phương pháp. PP1: Đồ thị hàm số

   

f

'

x K

0,

   

PP2: Tìm giao điểm của các đồ thị hàm số với trục hoành (nếu có). Sau đó dựa vào tính chất sau.

f

'

0,

  x   x

tăng trên K . giảm trên K .

  f x   f x x sin

x K y

. Minh hoạ bằng hàm số

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 53 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12



y

y



f

'



  x

 f x như trong hình bên.

y



Mức 1: Đồ thị Câu 99. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên  , sao cho đồ thị hàm số là parabol có dạng

 f x



'

f

y



y



Hỏi đồ thị của hàm số cò đồ thị nào trong bốn đáp án sau?

 . 1

x CT



y

suy ra hàm có

 f x

 f a 

 0

Câu 100. Cho hàm số như trong hình vẽ bên. Biết , Lời giải     1; x f x CD   x f , đồ thị hàm số

hỏi phương trình có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

  x Chọn B Từ đồ thị  có đạo hàm trên   0 f x 

A. 0. B. 1. D. 4. C. 2. Lời giải Chọn A

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 54 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

0

  f a 

y



y

y

Do nên chọn đáp án A

  x f

y



y

y

Mức 2: Đồ thị Câu 101. Cho đồ thị của ba hàm số , được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị

 f x



  f x   x f

  x f ,   x f

các hàm số , và theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?

C . D. 



  ;

  ;

  ;

  ;

  ;



  ;

  ;

1

C 1

C 3

 C . 2

C 3

C 2

 C . 1

C 2

3

C 1

C 3

0;  thì  

  ; A.  B. 

C . C.  C 2 Lời giải 2C nằm trên trục hoành và 

3C “đi lên”.

;0 thì 

2C nằm dưới trục hoành và 

3C “đi xuống”.

1C nằm hoàn toàn trên trục hoành và 

2C “đi lên”.

2C cắt trục Ox tại 1 điểm là điểm cực trị của của đồ thị hàm số 

2C đồng biến trên  mà đồ thị 

y

y



y

Chọn A Trong khoảng  Trong khoảng  Đồ thị  Hoặc: Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị  Đồ thị 

  x f

y

y



y

được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị , Câu 102. Cho đồ thị của ba hàm số

 và

3 .C 1C lại nằm hoàn toàn trên trục hoành.Ta chọn đáp án A   x f ,   x f

 f x   x f

 f x



theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào? các hàm số ,

  ;

  ;

  ;

  ;

  ;

C . D. 



  ;

  ;



C 3

C 2

 C . 1

C 2

C 1

C 3

1

C 1

C 2

 C . 3

3

A.  B.    ;

C . C.  C 2 Lời giải

2C cắt trục Ox tại 3 điểm là 3 điểm cực trị của của đồ thị hàm số 

1 .C

Chọn D Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị 

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 55 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

3C

2 .C



y

y

y

Đồ thị 

  x f



y

y

y

Câu 103. Cho đồ thị của ba hàm số , được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị

 và

 f x   x f

 f x



các hàm số , theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào? cắt trục Ox tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số    x f ,   x f

y

(C1)

(C2)

x

1

(C3)

  ;

  ;

  ;

  ;



  ;

  ;



  ;

  ;

C 3

C 2

 C . 1

C 2

C 1

3

C 3

1

C 1

C 2

 C . 3

A.  B.  C . D. 

C . C.  C 2 Lời giải

2C

.

3C đồng biến trên  mà đồ thị 

3C cắt trục Ox tại 1 điểm là điểm cực trị của của đồ thị hàm số  1C lại nằm hoàn toàn trên trục hoành.

y



y

y

Chọn C Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị  Đồ thị 



  x f

y



y

y

Mức 3: Đồ thị Câu 104. Cho đồ thị của ba hàm số , được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị

 f x



 f x   x f

  x f ,   x f

các hàm số , và theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?

  ;

  ;

  ;

  ;

  ;





C . D. 

  ;

  ;

C 3

C 2

 C . 1

C 2

C 1

C 3

1

3

C 1

C 2

 C . 3

A.  B.    ;

C . C.  C 2 Lời giải

2C cắt trục Ox tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số 

3C

1C

2C .



y

y

y

Chọn A Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị  Đồ thị 

  x f





y

y

y

Câu 105. Cho đồ thị của ba hàm số được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị ,

 f x   x f

 f x



và , các hàm số theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào? cắt trục Ox tại 1 điểm là điểm cực trị của của đồ thị hàm số    x f ,   x f

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 56 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

  ;

  ;

  ;

  ;

  ;





C . D. 

  ;

  ;

C 3

C 2

 C . 1

C 2

C 1

C 3

1

3

C 1

C 2

 C . 3

A.  B.    ;

C . C.  C 2 Lời giải

y



y

y

Chọn A



  x f

y



y

y

Câu 106. Cho đồ thị của ba hàm số được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị ,

 f x



 f x   x f

  x f ,   x f

các hàm số , và theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?



  ;

  ;



  ;

  ;

  ;

  ;

  ;

C 3

C 1

 C . 2

3

C 1

C 1

C 2

C 2

C 2

 C . 3

1



  ;

C 2

C 1

C 1

3

C . D.    ; B.  A. 

  ; C 2 1C nằm trên trục hoành thì đồ thị 

   C . Quan sát đồ ; 3C “đi lên” và ngược lại;



y

y

hoặc 

1C “đi lên” và ngược lại. được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị

  x f



y

y

y

2C nằm trên trục hoành thì đồ thị   y và

, Câu 107. Cho đồ thị của ba hàm số

các hàm số , theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?

C . C.  C 3 Lời giải    C ; Chọn A Dựa vào phương pháp 1 có hai khả năng : 3 thị ta thấy ứng với các khoảng mà đồ thị  còn ứng với các khoảng mà đồ thị   f x   x f

  x f ,   x f

 f x





  ;

  ;

  ;

  ;

  ;

  ;

C . D. 

  ;

  ;

C 1

C 1

C 3

C 2

 C . 3

2

C 2

1

C 2

C 3

 C . 1

  ;

  ;



C 2

C 3

1

B.  A.  

hoặc     C C . Quan sát C ; 2 3 3C nằm trên trục hoành thì đồ thị  2C “đi lên” và ngược lại;

C . C.  C 3 Lời giải    C ; Chọn A Dựa vào phương pháp 1 có hai khả năng : 1 đồ thị ta thấy ứng với các khoảng mà đồ thị  còn ứng với các khoảng mà đồ thị 

1C nằm trên trục hoành thì đồ thị 

3C “đi lên” và ngược lại.

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 57 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay



y

y

y

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12 Câu 108. Cho đồ thị của ba hàm số

  x f



y



y

y

được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị ,

 f x



 f x   x f

  x f ,   x f

các hàm số , và theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?

a b c , .

,

b a c , . ,

a c b . ,

b c a . , ,

A. B. D.

, C. Lời giải

y

y



y

Chọn A

  x f

y



y

y

Câu 109. Cho đồ thị của ba hàm số , được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị

 và

 f x



 f x   x f

  x f ,   x f

các hàm số , theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?

a b c , .

,

b a c , . ,

a c b . ,

b c a . , ,

A. B. D.

, C. Lời giải

y

y



y

Chọn C

  x f

y



y

y

Câu 110. Cho đồ thị của ba hàm số , được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị

 và

 f x



 f x   x f

  x f ,   x f

các hàm số , theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?

a b c , .

,

b a c , . ,

a c b . ,

b c a . , ,

A. B. D.

, C. Lời giải

Chọn C

y



y

y

y



f

'''

Câu 111. Cho đồ thị của bốn hàm số , , , được vẽ mô tả ở hình dưới

y



y

y

y



f

  f x   f x ,

  x f   x f ,

  x f   x f và

  x   x '''

đây. Hỏi đồ thị các hàm số theo thứ tự, lần lượt tương

ứng với đường cong nào?

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 58 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

c d b a , . ,

,

d c b a , .

,

,

d b c a . ,

,

,

d c a b . ,

,

,

A. B. D.

y



y

y

y



f

'''

C. Lời giải Chọn B Câu 112. Cho đồ thị của bốn hàm số , , , được vẽ mô tả ở hình dưới

y



y

y

y



f

'''

 f x  f x

 

  x f   x f

 x f  x f

 

  x   x

đây. Hỏi đồ thị các hàm số , , , theo thứ tự, lần lượt tương

ứng với đường cong nào?

c d b a , . ,

,

d c a b , .

,

,

d c b a . ,

,

,

d b c a . ,

,

,

A. B. D.

C. Lời giải Chọn C Câu 113. Một vật chuyển động có đồ thị của hàm quãng đường, hàm vật tốc và hàm gia tốc theo thời gian t được mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số trên theo thứ tự là các đường cong nào?

b c a , . ,

c a b , . ,

a c b . ,

c b a . , ,

A. B. D.

, C. Lời giải

y

y



y

Chọn D

 x f



y



y

y

Câu 114. Cho đồ thị của ba hàm số , được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị

 và

 f x



 f x   x f

  x f  x f

các hàm số , theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào? , 

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 59 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

  ;

  ;

  ;

  ;

  ;

  ;

C . D. 

  ;

  ;



C 3

C 2

 C . 1

C 2

C 1

C 2

C 3

1

C 1

C 3

 C . 2

3

A.  B.  

C . C.  Lời giải

1C cắt trục Ox tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số

3C cắt trục Ox tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số 

1C .



y

y



f



Chọn B Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị  2C ; đồ thị  

 f x



  x

   y h x

  g x

  g x  vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

y

x

2

2

0, 51

0, 5 1

1, 5

O

 2

 1

g

h

f

 3 h

g

f

, , Mức 4: Đồ thị Câu 115. Cho 3 hàm số có đồ thị là 3 đường cong trong hình

h

f

g

h

A. B.

    1     1

 

   1    1

 

  . 1   . 1

    1     1

 

  . 1   . 1

C. D.     1     1 g

f Lời giải



f



y

  g x

  x

 f x



  g x

 Hàm số       1 ; 2 ; 3 .

, , có đồ thị là 3 đường theo thứ tự là Chọn B Kết hợp 2 phương pháp ta tìm được.    y h x  y

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 60 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

g

h

f

   1





  . 1

   1 như hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?

Từ đồ thị ta thấy:

 Câu 116. Cho đồ thị của hàm số f và

'f

f

f

f

f

f

f

f

f

    ' 1

  '' 1 .

    ' 1

  '' 1 .

  '' 1 .

  '' 0

  '' 1 .

A. B. C. D.     ' 1

'f

f

f

f

f

f

f

f

Lời giải Chọn A như hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng? Câu 117. Cho đồ thị của hàm số f và

    ' 1

  '' 1 .

    ' 1

  '' 1 .

    ' 1

    ' 1

  2 '' 1 .

A. B. D. C.   '' 1 .

f Lời giải



y

y



f



Chọn B

 f x



  x

   y h x

  g x

  g x  vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

g



h



f

h



g



f



f



f



g



h

h

, , Câu 118. Cho 3 hàm số có đồ thị là 3 đường cong trong hình

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

g A. . B. . D. . . C.

  1 Lời giải

Chọn D

Câu 119. Một vật chuyển động có đồ thị của hàm quãng đường  s t , hàm vật tốc  v t và hàm gia tốc  a t theo

thời gian t được mô tả ở hình dưới đây. Khẳng định nào dưới đây đúng?

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 61 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12















  v π

 . a π

  v π

 . s π

  a π

 . v π

  a π

 . s π

 A.   s π B.   a π D.   v π

C.   s π Lời giải Chọn A

Câu 120. Một vật chuyển động có đồ thị của hàm quãng đường  s t , hàm vật tốc  v t và hàm gia tốc  a t theo



v



a

a



v



s



a



v



a



s

thời gian t được mô tả ở hình dưới đây. Khẳng định nào dưới đây đúng?

  4

  4 .

  4

  4

  4 .

  4

  4

  4 .

B. A.   s 4 D.   v 4   4 .

y



f

'

C.   s 4 Lời giải Chọn A

 f x xác định trên R và hàm số



  x

DẠNG I.6: THAM SỐ M Mức 1: Tham số m Câu 121. Cho hàm số có đồ thị như hình bên



2018

dưới: Xét các khẳng định sau: y (I) Hàm số

y



(II) Phương trình có nhiều nhất ba nghiệm.

  f x có ba cực trị.   f x m   nghịch biến trên khoảng   1 f x

0;1 .

(III) Hàm số

y



f

'

y



Số khẳng định đúng là: B. 2 A. 1 C. 0 D. 3 Lời giải

  x

 f x



1

f

'

Chọn B Phương pháp: Từ đồ thị hàm số lập BBT của đồ thị hàm số và kết luận.

  x

2 3

 x     x 0   x

Cách giải: Ta có

BBT:

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 62 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

   x



x

x

f

'

0

y



   Hàm số

 1;2

 0;1







 f x

 nghịch biến trên khoảng 1

0;1 .

 1 1 => (III) đúng. Vậy có hai khẳng định đúng.

y



'

f

f

'

Từ BBT ta thấy (I) đúng, (II) sai.  Với

  x  0



5

Mức 2: Tham số m Câu 122. Cho hàm số xác định trên R và hàm số có đồ thị như hình bên dưới và

 . Có bao nhiêu giá trị dương của tham số

  . Đặt

9;

  y  x    f x mx







  f x  x    ; 3, 4  m để hàm số

  g x  g x có đúng hai điểm cực trị?

với mọi

 

 f

  0

 f



y

A. 4. B. 7. D. 9.

 ;

 . Để hàm số

   g x

  x m

   g x



 x m

 g x

g x

Chọn D Ta có C. 8. Lời giải    x m f

  có hai nghiệm bội lẻ phân biệt

0   0

5

m

có đúng hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình



 0;1;2;3;4;5;10;11;12

13

 m     10 m 

. Khi đó . Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

y

y f

  f x

  x

3



2



2

x



4

x m 3 



6 5

Mức 3: Tham số m Câu 123. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:

g x

5; 5

  f x



 m

  0

 x   

 

 g x m

m

f

5

m

f

5

m



f



2 5

m



f



5



4 5

Xét hàm số với thì . Để

  0

 là 









2 3

2 3

2 3

2 3

A. . B. . C. . D. . điều kiện của 

Lời giải Chọn A

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 63 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

2

2

2









2

f

6



x



4

f

  0



3

x

   0

2

f



3

x

  2

0

   g x

  g x

 max ( )

g x 

  x 0

Ta có ;

0

5; 5

5; 5

  g x

  x  x   

 

 x   

  x  

y



23 x



2



Để với thì với

y f

f



x

5; 5

  x

  x

      2 0

 

Dựa vào đồ thị hàm số và ta thấy 23 x



g x

5; 5

5; 5

 g x



  0

 

 



2

f



m 3

  

m

0

f

5

5

nên hàm số luôn đồng biến trên .

Max



g

5



2

f

5



m 3

 x       g x





  











2 3

y





y

f

'

Suy ra .



  x



f

 x m

 f x . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

 g x có 5 điểm cực trị?





xác định trên R và hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Đặt



Mức 4: Tham số m Câu 124. Cho hàm số   g x

f

f

D. Vô số. A. 3. B. 4. C. 5. Lời giải

x  

x  



x

f

ta thấy cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1 điểm có



 x m

f

có 5 điểm cực trị có 2 điểm cực trị dương 



x m

f

có 5 điểm cực trị với mọi m (vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh hưởng đến số Chọn D Từ đồ thị hàm số hoành độ âm)    f x  

f

có được bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến. điểm cực trị của hàm số). Chọn D  Chú ý: Đồ thị hàm số

x m có được bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng.

 



y





y

f

'

Đồ thị hàm số



  x



f

 x m

 g x có đúng 5 điểm cực trị?



 g x



xác định trên R và hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Đặt

 f x  . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Câu 125. Cho hàm số 

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 64 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

A. 2. B. 3. D. Vô số.



f

f

1 .

0

C. 4. Lời giải 2

x  

  f x

  x

2

   x      x    x

 f x m có 2 điểm cực trị dương (vì khi đó lấy đối xứng qua Oy ta được đồ



f

Chọn B Từ đồ thị ta có Suy ra bảng biến thiên của

x m có đúng 5 điểm cực trị).



 f x m luôn có 2 điểm cực trị dương  tịnh tiến

  f x (sang trái



1.m 

m   2.

m

2

1

thị hàm số Yêu cầu bài toán  hàm số 

 2; 1;0 .



 , f x suy ra Từ bảng biến thiên của hoặc sang phải) phải thỏa mãn  Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị  Tịnh tiến sang phải không vượt quá 2 đơn vị  m m       

Suy ra Chọn B.

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 65 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

4

2

g x ( )



CHỦ ĐỀ II: BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ f(x) HOẶC BIẾT HÀM SỐ f(x) HOẶC BIẾT BẢNG BIẾN THIÊN DẠNG II.1: TIỆM CẬN

f x ( )



ax



bx



c

f x ( )

2018 x    ( ) 1 f x

Câu 126. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số có

bao nhiêu đường tiệm cận?

y

2

x

O

2

9

3

. B. D. . . A. .

4 C. Lời giải là hàm phân thức hữu tỷ với bậc của tử nhỏ hơn bậc cảu mẫu nên



0

( )g x

g x lim ( )  x

, do Chọn B Ta có

đó đồ thị hàm số

( ) 0 & ( ) 1

f x

( )g x

4

0

Mỗi phương trình đều có nghiệm phân biệt khác nên đồ thị hàm số có có đúng một tiệm cận ngang.  

8

đúng

y



 f x



2

Câu 127. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số



  g x

2

f

( )g x f x tiệm cận đứng.    f x  1    4 f x

x   x

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

0



2

A. 4. B. 3. D. 2. C. 1. Lời giải

f

4

0



  x

  f x



4

Chọn A Xét .

1x  .

0

  f x  có 2 nghiệm

  f x   f x x  là nghiệm bội (do đồ thị tiếp xúc với trục hoành tại 2 1

y  4

4

     x   và 1 1 Trường hợp này có 2 tiệm cận đứng. x   và 1 Xét 3

x   là nghiệm bội (do đồ thị tiếp xúc với đường thẳng 4

1 x   . Trường hợp này có 2 tiệm cận đứng.

  f x  có 2 nghiệm 1

3

2

Xét



ax



bx



 cx d

2



3

x

có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số



 g x



2

 x .

x

f

x  f x

 

x 

 

 

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? Câu 128. Cho hàm số bậc ba  2 .  tại Vậy đồ thị có 4 tiệm cận đứng.   f x  1 

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 66 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

4

5

3

A. . B. . . D. .

6 C. Lời giải

 x

2

x .

f



0

1x 

  x

  f x

2

 

 

f





0

0   x

 f x



  l   *

   



0

Chọn D Điều kiện: . Ta có

  *



1

  f x   f x

  a   b

   

. Dựa vào đồ thị ta có:

x

2 3 x

 

2 0

2x 

2x 



a

0x

 0 1 x 2

+ Phương trình (loại: ; loại vì ) nhưng là có hai nghiệm

2x  có ba nghiệm:

nghiệm kép của mẫu nên

2;



 1; 2







x  2

x  3

(loại), (thỏa) và (thỏa).

3

2

Vậy đồ thị + Phương trình   g x

bx

ax







 cx d

2

x     x thỏa.  b x  1 1 ba đường tiệm cận đứng.   f x  x



có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số



  g x

2





x

f

3

 x  3 .



  f x

 

 

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? Câu 129. Cho hàm số bậc ba  x 2 . 1   x

4

5

3

A. . B. . . D. .

6 C. Lời giải

3

2

Chọn B



ax



bx



 cx d

  f x

2



có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số



  g x

2

x

f



2

  x   4 .

x 



. 2 

x  f x



 

 

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? Câu 130. Cho hàm số bậc ba  x

4

2

3

B. . C. . D. .

5 . A. Chọn C

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 67 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

2

2

x



3

x



y



y



f x ( )

2

  2

 x 4   x

 x   f x

 x f 

 

Câu 131. Cho đồ thị hàm số bậc ba như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số có bao

nhiêu đường tiệm cận đứng?

4

6

3

A. . B. . D. . .

2 C. Lời giải

3

2

Chọn D

a b c d   , ,

,



ax



bx



 cx d

0a 

  f x

x

  3

Cách 1: Giả sử (với và ).

  f x

x

1;0



    x 3

    0 

Dựa vào đồ thị ta thấy .

x









 f x

 a x

x 1

. Do đó, ta viết

2

  f x

thời, Đồng . Do đó, ta viết

  2



x

  f x



 x x 2

2

2

2



3

x

x





3



x

 a x x  1 

.





y

2

2

x



x

x



x







x 2

x 3

Xét hàm số .





0;

D

3;

 x    f x       ; 3

  

x 4   x f     x ; 1

 2 a x x   x 2

 x   3  x 2

x 1

0,



 

3,

x





2    3 . x 3   x     ; 3     x       3; 1 x  2    x 1    1    x x 1   2  x 1  x 1        ; 1 x x Từ đó suy ra đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận đứng là

Tập xác định .

x x , 1

x 2



y



.

 f x





2

x

DẠNG II.2: CỰC TRỊ Mức 1: Cực trị Câu 132. Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như sau

 g x







 



 4; 2 .

(I) Hàm số (II) Hàm số

f 2?  Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong số các mệnh đề sau đối với hàm số   0;2 . g x nghịch biến trên khoảng    g x có giá trị cực đại bằng -3.

(IV) Hàm số (III) Hàm số

  g x đồng biến trên khoảng    g x đạt cực tiểu tại điểm -2. B. 2 .

2

  x

0

x



2

D. 4 . A. 3 . C. 1. Lời giải Chọn C

  0

f



x

  0



 

f



x

  g x '

 ' 2



  g x '

 ' 2



2

  x

2

x



0

  

  

Cách 1: Ta có , .

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 68 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12



Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số .

 g x Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị.



f

2



x

2

 , ta thực hiện phép biến đổi đồ

 f x để thu được đồ thị của hàm số



 g x







Từ đồ thị của

f

thị như sau:



 x .

x

f

 x theo vec tơ

- Lấy đối xứng đồ thị

 k

 2 i

 2f





 j

. - Tịnh tiến đồ thị

  2

 m

1;0  x

0;1







2

2

x

f

- Cuối cùng thực hiện phép tịnh tiến đồ thị theo vec tơ (với là vectơ đơn vị) là vectơ đơn vị ) thu được đồ thị hàm số  j

 f x qua trục Oy ta thu được đồ thị hàm số  (với   i  2f  

 g x





ta thu đươc đồ thị hàm số

Thay vì thực hiện trên đồ thị ta có thể biến đổi dựa trên bảng biến thiên, ta thu được bảng biến thiên của

  g x như sau:

hàm số

y



Do đó chỉ có phát biểu IV là đúng. Mức 2: Cực trị



f



x

2 3 

x

 f x



  g x





Câu 133. Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại ?



   2

x

f

A. 3. B. 4. D. 6. C. 5. Lời giải

   g x



 3 .

 2   x

 x 3 ;



x

0

3

3 2 3

17

theo do thi

  f x

3 2 2        

  0

2

3

x

x

x

.

Chọn A Ta có

   g x



f

3

x

0

 2

x 2  2    x



2

      

3

x

x

0

0

   x          

3

          x    x

Bảng biến thiên

3

17

x

  4

;

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A.

g x  

     

    

0.

3

5

Chú ý: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ chọn

x    

 2  1

theo do thi

  f x

2

f 

4

0

3

4

x

x

 2

       ( vì f đang tăng).  2 





ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 69 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

3

17



   2

x

f

x

0

3

;

.

 trên khoảng

   g x



 3



 2   x

    

     

 2 g x  là các nghiệm bội lẻ nên

  0

g x  

Từ  1 và  2 , suy ra

y



2 2 

x

 



y



Câu 134. Cho hàm số . Hỏi hàm số có bao nhiêu có đúng ba điểm cực trị là 2; 1;0 Nhận thấy các nghiệm của phương trình  f x qua nghiệm đổi dấu.   f x



f

2 1.

0

B. 4 . điểm cực trị. A. 3 . D. 6 . C. 5 . Lời giải

  x

0

2

Chọn A Từ giả thiết suy ra



,



x



2

x

x



2

 g x



  f u u

 1 .

   f u

   x       x    x     g x



1

 

x

2

1

   g x

2

x

   

0



x      0  f u 

2

x

2



2(VN)   1 1 1;0   0 2

x

x 0;

 nên phương trình

2

 1x  ; phương trình  2 có hai nghiệm đơn là  và một nghiệm bội ba là x 0;

2

0

1x  nên hàm số đã cho có ba cực trị.

Đặt thì nên

 x  2  x     x 2 u 2; u       x  Phương trình  1 có nghiệm kép là   x g x  có hai nghiệm đơn là Mức 3: Cực trị

y



 g x



 f x

 f x



  

 2   có bao nhiêu điểm cực đại,

Câu 135. Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số

bao nhiêu điểm cực tiểu ?

a

0

  a





f

0

x

1

 1 .

0

A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. B. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. Lời giải

  x

  f x



x

b

  b

3

0  1 nghiem kep 3

 1



  x      x   x

  x        

Chọn C Dựa vào đồ thị, ta có và

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 70 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

  a

a

 0

 1

1





f

0

  b

b

 1

 3





2

f

;

  0

.

   g x

  x .

  f x

   g x



0

0

  x   f x

   

1 nghiem boi 2





3

  x    x   x      x    x   x

Ta có Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận

y



  g x có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. Chọn C. f x trên  . Đồ thị của hàm số '( )

f x ( )



y

có đạo hàm như hình vẽ. Đồ thị của



y

f x ( )

( ) f x 3

hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? Câu 136. Cho hàm số 

2

A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 8 .

y



f x ( )

  y

x f ' 3 '( ). f

3

Chọn B Ta có . Lời giải x ( )

 . Bởi

 

1,

1

x

x

f

2( )

x không đổi dấu trên  .

Từ đồ thị ta có:

x

x

 . 1

có hai điểm cực trị là

 y Từ đó suy ra  y

 '( ) 0 f x  tại 3  f x ( ) f x ( ) luôn dương và có đạo hàm

  1, f x trên  . có đạo hàm '( )

f x trên  . Đồ thị hàm số

'( )

Câu 137. Cho hàm số

y



f x ( )

y



f x ( )

như hình vẽ. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu?

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 71 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

y

'



A. 1 điểm cực tiểu, 2 điểm cực đại. C. 1 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại. B. 1 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. D. 1 điểm cực tiểu, 0 điểm cực đại. Lời giải

y



f x ( )

0

f x  , x   , nên ta suy ra ( )

'( ) f x f x ( )

2

Chọn B Ta có xác định trên  và . Bởi

y



f x ( )

y



f x ( )

được số điểm cực trị của bằng số điểm cực trị của .

y



f x ( )

Từ đồ thị trên ta thu được có 1 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.



y



 f x

 g x



 f x

 4 

 các điểm cực trị bằng ?

Câu 138. Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Đồ thị hàm số có tổng tung độ của



A. 2. B. 3. D. 5. C. 4. Lời giải

  g x

  4  f x

4

Chọn C Đồ thị hàm số có được bằng cách

  f x

  4. f x 

,Ox

Ox

 Tịnh tiến đề thị hàm số lên trên đơn vị ta được

  4 f x 

  4 . f x 

f x

 Lấy đối xứng phần phía dưới của đồ thị hàm số qua ta được

  g x

  4 , 

 

 1;0 , 0;4 , 2;0

 

  



Dựa vào đồ thị hàm số suy ra tọa độ các điểm cực trị là  

0

0

4

4.

tổng tung độ các điểm cực trị bằng Chọn C

y





2



3

 f x



  g x

  f x

Câu 139. Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 72 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12





 



A. 4. B. 5. D. 9.

2

3

2

f

  g x

  f x

   g x

  x

1

1

g

theo do thi

  f x



  0

f

0

.

C. 7. Lời giải ; Chọn C Xét

   g x

  x

  

  a

2

a

 1

. 



1

2



1

g

   x    x 0       x    x

     1 g      7 0   g a    2 

Ta tính được

  g x

4

Bảng biến thiên của hàm số

3

Ox

Dựa vào bảng biến thiên suy ra  Đồ thị hàm số có điểm cực trị.

  g x   g x





2

3

7

 Đồ thị hàm số cắt trục tại điểm phân biệt.

  f x

có điểm cực trị. Chọn C.



f

x



y

  h x 

  h x



 2018 

Câu 140. Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Đồ thị hàm số có bao nhiêu Suy ra đồ thị hàm số  f x

điểm cực trị ?

2

  f x



5

A. 2. B. 3. D. 7. C. 5. Lời giải có điểm cực trị dương



x 

f

5

hàm số điểm cực trị

 có  2018

hàm số có điểm cực trị (vì phép tịnh tiến không làm thay đổi cực trị). Chọn C Từ đồ thị ta thấy hàm số  f x 

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 73 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

y





f

x



 f x



 g x





2

Câu 141. Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?

f

A. 1. B. 3. D. 7.

  f x

2

Chọn C Trước tiên ta phải biết rằng, đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số bằng cách C. 5. Lời giải  x 

2

tịnh tiến sang phải đơn vị rồi mới lấy đối xứng.

  g x

 f x 

2 ,

suy ra hàm số có 5



f

x





1



y

 f x

  g x

2

Câu 142. Cho hàm số có bao nhiêu có đồ thị như hình bên dưới. Đồ thị hàm số Dựa vào đồ thị hàm số  điểm cực trị. Chọn C. 

điểm cực trị ?



f

x

1

A. 2. B. 3. D. 7. C. 5. Lời giải

  f x



2  

Oy

Chọn B Đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số như sau:

nhưng vì đồ thị đã đối xứng sẵn nên bước này bỏ qua.

2 đơn vị.

đơn vị.

  g x

3

bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số

  g x Bước 1: Lấy đối xứng qua Bước 2: Tịnh tiến đồ thị ở Bước 1 sang phải Bước 3: Tịnh tiến đồ thị ở Bước 2 lên trên 1 Vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị nên ta không quan tâm đến Bước 2 và Bước 3. Từ   nhận xét Bước 1 ta thấy số điểm cực trị của đồ thị hàm số f x là



f

y

 g x



 f x



 f x







điểm cực trị. Chọn B.  Câu 143. Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 74 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

x

x 0,

A. 3. B. 4. D. 6. C. 5. Lời giải

 2.

  f x đạt cực trị tại





0

f

0 nghiem don







f

0

Chọn B Cách 1: Dựa vào đồ thị ta thấy



f

f

;

.

  x

   g x

  x .

   g x

 

   f x 





0

f

x

2 nghiem don

 

 . 

  x  

   f x 



0 nghiem don





f

0

f

Suy ra . Ta có

  x

 

   f x 



x

2 nghiem don

 . 

     0     0 1 .   2 2

  f x   f x

  x         x      

     0 

x

0

 

 a a

2 . 



x

Dựa vào đồ thị suy ra:

x  (nghiệm kép) và .  a

 b b





x

x 0,

x 2,

a

x

.

 Phương trình  1 có hai nghiệm  Phương trình  2 có một nghiệm

g x  có 4 nghiệm bội lẻ là

 và

b Suy ra hàm số

  0

    có 4 điểm cực trị. Chọn B f x

Vậy phương trình

     g x f Cách 2:



0

u



f



0



2

u



' u

  f x   f x

f

'





.

f

u





f

'

  0



 f x



  f x

' f u . u x

' f u

' x

 f x











x

f



0

0

' x

  

2

    x    x

+) Ta có với thì

x

0

2

   . x 3

x 3 x



2,

+) Ta thấy

x  bậc 3,

0

f



  f x

x x , 3 4

  0 f x  có hai nghiệm 1,2   2 x f x  có hai nghiệm 4   có nghiệm 0



bậc 1  hàm số có 4 cực trị.

 f x





3

1

+) Ta thấy  ' DẠNG II.3: BẢNG BIẾN THIÊN Mức 1: Bảng biến thiên y Câu 144. Cho hàm số xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau ?

  f x

Hàm số

  g x x   . 1

 đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây ? x   . 1

1x  .

0x  .

A. C. B. D.

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 75 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12





3

f

Lời giải

   g x

  x

y



Chọn C Ta có

 f x



  g x trùng với điểm cực tiểu của hàm số x   . 1

Do đó điểm cực tiểu của hàm số .

y

 f x





f

3



x

Vậy điểm cực tiểu của hàm số là  Câu 145. Cho hàm số xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau ?

  g x





Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?

 f

A. 2. B. 3. D. 6. C. 5. Lời giải

   g x

 3

  x .



3

0

x

3

theo BBT



  



  0

f

0

x

.

Chọn C Ta có

   g x

 3





3

  x   x

2

x

1

   

   

2.

3

x

x



     1

g x    Bảng biến thiên



f

x

không xác định

 có 3 điểm cực trị. Chọn B.

  g x

 3





Vậy hàm số

 f x



Mức 2: Bảng biến thiên y Câu 146. Cho hàm số xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau ?



  g x

 f x

 2 1  có bao nhiêu điểm cực trị ?

Hàm số

2



x

x f 2 .

   g x

 

0

x

0



x

theo BBT

  0

1

  x

A. 0. B. 1. D. 3. C. 2. Lời giải Chọn B Ta có

   g x

  0 nghiem boi 3

f



x

0 nghiem kep

 0 nghiem don 

 

  2   x

 1

2

   

    

1 1

x

  1 ;   x   2     x 2   

0

  g x  có duy nhất nghiệm bội lẻ

.

x  nên hàm số

  0

  g x có 1 điểm cực trị. Chọn B.

Vậy

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 76 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12 Câu 147. Cho hàm số

y



 f x



có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:



2 2 

 f x



nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

y 2;0

 2; 

 0; 2

   ; 2

Hàm số A.  B.  D. 

2

0

x

   2 2



x

0;

2

2

2

2



x



2



0

f

0



x

 

2 2



2





y



2

xf

x



2

  0



C.  Lời giải Chọn B





2

0

x

  2

2

0;



2

  x

0

   x     4 x   

2

2



f

x

2





0

 

     

      x  

 x           x      

Ta có: .





 

2;2

 đồng biến trên các khoảng 





x   2   ; 4 ,

2 0   2;0 ,

 f x   4;

  .

2 2      2 , 0; 2 , 2;

và nghịch biến Do vậy hàm số

y trên các khoảng  

y

y

 f x



 x f



Câu 148. Cho hàm số có đạo hàm trên  và có bảng xét dấu như sau.

y



2 2 

x

 f x

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu.

D. 4 .

 B. 2 .

2



A. 1. C. 3 . Lời giải



2

x



2

f

x

x

2









1

2 0

x 2

  2

x 2

  2

Ta có . Chọn A  y



2

  0



   x

1

2

 2  f x

 x





0

3

x 2



1



x 2



3

1 x      x 

 x 2

2   x  2 x 

2   x     y 0  2  f x 

x

 

1;

x



3

 x    

x 2



3

  x 1  2 x     2 x  2   x 

và

Bảng xét dấu

y

2 2 



x



y

 f x có bảng biên thiên như hình vẽ

Từ bảng xét dấu suy ra hàm số có một cực tiểu.

  f x

Câu 149. Cho hàm số

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 77 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

2

x

  g x

  2 f  

5 2

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

 3    x   2    

 ;1 .   

 .   

  1   . 1;     4

1 4

  9   . ;     4

5 4

A. B. D. C.

  1;   Lời giải

f

0

f

2

x

     x

       0 x 3.

4

x

0

5   2

  x 2    3 x  

2



f

x

2

x

0

    

5 2

 3      2

2







4

x

f

x

.

Chọn C Dựa vào bảng biến thiên, suy ra và

   g x

   g x

    

    

  2   

  .   

5 2

5   x 2

3 2

4

x

0

5 2

2



2

x

f

x

0

    

5 2

 3      2

          0          

4

x

0



x

5   2

5 8

  

1

x

.

Ta có Xét

9 4

2

2



f

x

x

0



2

x

x

3

  2   

5 2

 3       2

5 2

3   2

           2   

           

x

5 8

 

 

x

1

2



x

x

3

4

x

0

5 2

3   2

5   2



.



2



f

x

x

0

  2   

5 2

 3       2



x

  x

          

5 8

1 4

5 8

         

2



x

2

x

5 2

3    2

   2                2 



f

Đối chiếu các đáp án, ta chọn C

. Bảng biến thiên của hàm số

  f x có đạo hàm liên tục trên

x  

Mức 3: Bảng biến thiên Câu 150. Cho hàm số như hình vẽ

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 78 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

x

  g x

  1 f  

 x     2

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? Hàm số

2;4 .

   4; 2 .

2;0 .

0;2 .

D.  A.  B. 





 

f

1.

  0

f

2

C.  Lời giải

   g x

   g x

  1  

  1  

1 2

 x     2

 x     2

f

2

2

1

2.

3

4

x

Chọn A Ta có Xét

4; 2  .



x 2

f

1 1

2 2

2

2

0

a

a

x

4

 TH1: Do đó hàm số nghịch biến trên 

             1                  1  

       

x 2 x 2

x 2



 2 2 ;4a

 TH2: nên hàm số chỉ nghịch biến trên khoảng

2;4 .

x

chứ không nghịch biến trên toàn khoảng 

  Chọn A

  g x

 4; 2 .

  1 f  

 x     2

Vậy hàm số nghịch biến trên 



Chú ý: Từ trường hợp 1 ta có thể chọn đáp án A nhưng cứ xét tiếp trường hợp 2 xem thử.

 f x



Mức 4: Bảng biến thiên y Câu 151. Cho hàm số xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau ?





2017



2018

 g x



Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? 

A. 2.

 f x B. 3.





2018

D. 5.

 f x

  u x

  f x bằng cách tịnh tiến đồ thị

  f x

C. 4. Lời giải có được từ đồ thị

 2017 Chọn B Đồ thị hàm số sang phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị. Suy ra bảng biến thiên của   u x

  g x

  u x

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn B.

y



f x ( )

Câu 152. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ

f

(1 3 x) 1

  có bao nhiêu nghiệm.



Phương trình

A. 4 .

3 B. 3 .

C. 6 . D. 5 . Lời giải

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 79 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

x

   

1

x

g x ( )



f

x (1 3 ) 1

 



g x '( )

 

 3. (1 3 ) 0

x

f

  1 3    

x

   

3

x

2 3 2 3

  1 3 

Chọn A Đặt

Bảng biến thiên

3

( )

R \ 0 và có bảng biến thiên như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình

 

3

2

f

g x  có bốn nghiệm.   f x xác định trên 10 0

 là

x 



Vậy



Câu 153. Cho hàm số  1

A. 2. B. 1. D. 3.

f

t

x 2

 , ta có phương trình trở thành

1

10 3

t

1

Chọn C Đặt . Với mỗi nghiệm của t thì có một nghiệm C. 4. Lời giải   t 

3

f

2

x 



10 0

 . Bảng

f

x





 1

  t 

 2

10 3

bằng số nghiệm của nên số nghiệm t của phương trình

y



  f x

biến thiên của hàm số là

3

f

2

x 



10 0

 có 4

f



 1

  t 

10 3

Suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt nên phương trình

y



nghiệm phân biệt.

 f x



Câu 154. Cho hàm số xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau ?

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 80 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12



f

x

  g x



Hỏi đồ thị hàm số có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 5.

 B. 7.

y

C. 11. D. 13. Lời giải

  f x

 f x cắt trục hoành tối đa 4 điểm.



có điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung nên đồ thị hàm số cắt trục

 f x có 3 điểm cực trị.



f

x

 Hàm số Chọn B Ta có đồ thị hàm số hoành tại tối đa 2 điểm có hoành độ dương. Khi đó  Đồ thị hàm số 

  g x





2

Suy ra hàm số sẽ có tối đa 7 điểm cực trị. Chọn B.

bx











0

f

 f x



 cx d a





 0   f x 

Câu 155. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Phương trình

DẠNG II.4: TƯƠNG GIAO (chứa tham số m) 3  ax y có bao nhiêu nghiệm thực?

D. 5. A. 3. B. 7.

f

f

t



  0 *

 f x









Chọn C Đặt C. 9. Lời giải   f x  trở thành 0

  f x

, với mỗi giá trị t như vậy phương trình (số nghiệm phương trình  *   t  , phương trình f x với trục Ox ) . Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình  * có 3 nghiệm t  t có 3 nghiệm phân biệt. Vậy phương

t là giao điểm của đồ thị

  f x

  f x

thì nghiệm phương trình

t

  

2; 2  (là hàm hằng song song trục Ox )

là số giao điểm của đồ thị thuộc khoảng  2; 2     f x  có 9 nghiệm. f 0 trình Lưu ý: khi t có 3 giá trị thuộc  y 2; 2 và đường thẳng

y



,  t   f x

Câu 156. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn

f

f

cos 2

0





  x  ?

nghiệm của phương trình

A. 3. B. 4. D. 1.

x

f

cos 2

x

 



f

cos 2



 a a

 1



 x  0

Chọn B Từ đồ thị ta có hoặc C. 2. Lời giải     và suy ra được

cos 2

x

a

f

   1, f x  thì phương trình này vô nghiệm. 1

TH1: Nếu

f

cos 2

x

a    thì cos 2 1

x  , phương trình này vô nghiệm.

1

 

 

TH2: Nếu

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 81 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

x  có 4 điểm trên vòng tròn lượng giác.

0

cos 2

x

  0

cos 2

x

  (vô nghiệm) và cos 2

a

f





TH3: Nếu

3

Vậy có 4 điểm.



23 x



x

m



f

 g x





  x m

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để đồ thị hàm số cắt Câu 157. Cho hàm số

B. . . . D. .

  f x trục hoành tại 4 điểm phân biệt? 4 A.

3

0



f

0



f

x



23 x



6

x

  x





  f x

Chọn A ; . Bảng biến thiên của hàm số :

2 C. Lời giải 0 2

 x     x

f

x





*) Bảng biến thiên của hàm số :

f



cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt *) Đồ thị hàm số

 có

0



  x m 4

Phương trình nghiệm phân biệt.



m 

f

4

Phương trình có

x

f



  g x   g x    x m  :d y

4

Đường thẳng tại điểm phân biệt.

f

       0

m

m

4

0

4

Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số Điều kiện là: . nghiệm phân biệt.    x  cắt đồ thị hàm số 

Do có giá trị.



3

m

m



y

     1; 2;3   f x có bảng biến thiên như sau

Câu 158. Cho hàm số

m

x m

f

 0 

Với các giả trị thực của tham số , phương trình có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

4.

5.

3.

A. B. D.

y

f

 x m

Chọn C Phân tích: Nhận thấy rằng đồ thị hàm số có được bằng cách tính tiến đồ thị hàm

 6. C. Lời giải  



m

m

f

x

y





 có số nghiệm

đơn vị. Do đó, ta chỉ cần chọn giá trị tham số để phương trình số

x m

f

có số nghiệm nhiều nhất. qua trái hay qua phải  0  

Áp dụng

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 82 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

Oy

 x m



y

f

2m  



 thì đồ thị sẽ tịnh tiến qua trái theo trục

là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng nhau qua trục . Chẵng hạn, chọn Vì hàm số

Ox

hai đơn vị, phần đồ thị ứng với

Oy

0x  y



x

f

0x 



với thì giữ nguyên, rồi lấy đối xứng qua trục ta được đồ thị hàm số . Do vậy, số bỏ đi, phần đồ thị ứng 2 

f

x 



0



2



nghiệm nhiều nhất của phương trình sẽ là 6 nghiệm.



f

m

  f x

 g x





  x m

1 2

x x

4

  điểm phân biệt? .

Câu 159. Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên của để đồ thị hàm số cắt

2

0

6

B. trục hoành tại . A. . D. .

4 C. Lời giải

3



f

x

 

  

0,

x

2

D  





  \ 2

x



2



2

Chọn A TXĐ: ; .

Bảng biến thiên:

f

x





Bảng biến thiên của hàm số :

f



cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt *) Đồ thị hàm số

 có

  x m 4

0



Phương trình nghiệm phân biệt.



m 

f

4

Phương trình có

x

f



  g x   g x    x m  :d y

4

Đường thẳng tại điểm phân biệt.

f

m

Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số không tồn tại giá trị nào của thỏa mãn. nghiệm phân biệt.    x  cắt đồ thị hàm số 





f

m

  f x

 g x





  x m

x x

 

1 2

Câu 160. Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên của để đồ thị hàm số cắt

2

3 3 ; 2 2

  

trục hoành tại điểm phân biệt có hoành độ thuộc đoạn ?

2

0

6

A. . B. . D. . .

   4 C. Lời giải

3



f

x

 

  

0,

x

2

D  





  \ 2

x



2



2

Chọn C TXĐ: ; . Bảng biến thiên:

f

x





Bảng biến thiên của hàm số :

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 83 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12



f

2

 g x





  x m

3 3 ; 2 2

  

  

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt có hoành độ thuộc đoạn

2

0



  g x 

3 3 ; 2 2

  

Phương trình có nghiệm phân biệt thuộc đoạn .



m 

f

x

2





   3 3 ; 2 2

  

  

Phương trình có nghiệm phân biệt thuộc đoạn .

f

x



:d y

m 

2





  

Đường thẳng cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt có hoành độ thuộc đoạn tại .

f

        1

m

5

1

   m

3 3 ; 2 2 5



 x 

Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số Điều kiện là: .

giá trị. có Do



4

m

m

 2;3; 4;5



10

và có đồ thị như hình vẽ. Đặt hàm số trên

m

32 x





y

f

m

   g x  

  g x

. Tìm để .

    DẠNG II.5: ĐỒ THỊ VÀ THAM SỐ M Mức 1: Đồ thị và tham số m y Câu 161. Cho hàm số 

  f x có đạo hàm     x 1

max   0;1

m  

13

3m 

m  

1

m  

2



A. . B. . D. . . 12

bx

 cx d



f



x



 bx c 2

 là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

C. Lời giải 3   y ax . Ta có: .

  f x và

  y

23 ax   f x

. Theo đồ thị, hai điểm

b c

 y 1;3 0



2

a

1

a



 

b c 2

0

0

Chọn A Cách 1: Hàm số  A   

3

1

3   3   a b c d      3        1 a b c d 

Ta có hệ: .





có dạng:   B  1; 1  a   b   c      d



x

3 3  x



1

f

x



23 x



3

f

  f x





  x

1

x  1      0 x 

2

3



Do đó: . Ta có: ;



6

x



f

2

x

  x

  g x





 1



3

 1 x

2

    1

x

1

3







  0

f

2

x

x

0

   g x



    1

3

2

x

  

1 1

x

0 x 0

x     x 

3

Lại có:

2

   1 1

 

x 0

x 0

x  0

với

g

f

    m

3

m

g



f

  

m

3

m



f

   

m

1

m

  0;1    0

  2



  1

 g x 0

Ta có: ; ; . và thỏa   1 .   1

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 84 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

2

3 Theo đề bài, ta có: 3 x 2

m x

t



6

x

x

1 0,

13 .   t x '

, hàm số t(x) đồng biến.



 f

  3

  3

m

x

t

      t

 0;1   2

   t m

     m  10   1,     x 0;1         1;2 0;1

 

max f    1;2

max f      1;2



         m

10

m

m

3

3

13

Dó đó . Từ đồ thị hàm số ta có Cách 2: Đặt 

   t m

 

1;2



  max g x max f     0;1





Suy ra . Chọn A.

  f x



có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số





có 3 điểm cực trị là

y Câu 162. Cho hàm số   f x m

 g x



y

1

O

x

3

m   hoặc 1

3m  . B.

3m   hoặc

1m  . C.

m   hoặc 1

3m  . D. 1

3m  .

  f x bằng A B với

A. Lời giải Chọn A Cách 1: Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số

  f x

 A là số điểm cực trị của hàm

 B là số giao điểm của

  f x đã cho có 2 điểm cực trị nên

Áp dụng: Vì hàm

  f x với trục hoành (không tính các điểm trùng với A ở trên)   f x m cũng luôn có 2 điểm cực trị.   f x m với trục hoành là 1.

Do đó yêu cầu bài toán  số giao điểm của đồ thị

  f x m với trục hoành là 1, ta cần

Để số giao điểm của đồ thị

m   1.

  f x xuống dưới tối thiểu 1 đơn vị

m  3.

 Tịnh tiến đồ thị

  f x lên trên tối thiểu 3 đơn vị 3.m  Chọn A.

 Hoặc tịnh tiến đồ thị m  hoặc 1

y





y



  f x m

 f x



Vậy Cách 2: - Đồ thị hàm số có được khi ta tịnh tiến (lên trên hoặc xuống dưới) đồ thị hàm số

theo phương trục tung m đơn vị

y





  f x m

- Đồ thị hàm số gồm hai phần.





y

Phần 1: Là phần đồ thị nằm phía trên trục hoành của hàm số

  f x m Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành của hàm số

y





  f x m

qua trục hoành.

y





  f x m

y





  f x m

Nhận xét: - Ứng với mỗi điểm cực trị của đồ thị hàm số sẽ cho ta một điểm cực trị của đồ thị hàm số

y





  f x m

(các điểm cực trị tương ứng đó của hai đồ thị sẽ trùng nhau hoặc đối xứng nhau qua trục hoành) - Mỗi giao điểm của đồ thị của hàm số với trục hoành sẽ tạo thành một điểm cực trị của hàm

y





  f x m

số

y





y





  f x m

  f x m

Do đồ thị hàm số đã có hai điểm cực trị nên để đồ thị hàm số có ba điểm

 0



y

  f x m

y y . CD CT

có đúng một điểm chung với trục hoành cực trị, xảy ra hai trường hợp sau:  TH1: Đồ thị hàm số

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 85 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

m



3



0

   m

  1 .



3

.

 0



y



y y . CD CT

TH2: Đồ thị hàm số có một điểm cực trị thuộc trục hoành

m



3



0

   m

  1 .



m   1     m   f x m m   1     m

3 3m  hoặc

m   là giá trị cần tìm.

1

.

 f x



Kết hợp cả hai trường hợp ta có  có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số





có 5 điểm cực trị là

y Câu 163. Cho hàm số   f x m

 g x



m   hoặc 1

3m  . B. 1

3m 

3m  . D. 1

3m  .

 .

m   hoặc 1

A.

 f x đã cho có 2 điểm cực trị nên



Chọn B Vì hàm cũng luôn có 2 điểm cực trị.

với trục hoành là 3 giao điểm. Do đó yêu câu bài toán  số giao điểm của đò thị

C. Lời giải   f x m   f x m với trục hoành là 3, ta cần đồng thời

m   .

1

Tịnh tiến đồ thị

3m  .

  f x m  

Tịnh tiến đồ thị Để số giao điểm của đồ thị  f x xuống dưới nhỏ hơn 1 đơn vị =>  f x lên trên nhỏ hơn 3 đơn vị =>

 

 3m

3

Vậy 1

y



x



23 x



9

x

  5

m 2

có 5 điểm cực trị bằng Câu 164. Tổng các giá trị của tham số m để hàm số

3



x



5

A. -2016. B. -496. D. 2016. C. 1952.

 như hình bên dưới

 f x



Lời giải 23  x x 9 Chọn D Cách 1: Vẽ đồ thị hàm số

  f x có 2 điểm cực trị nên

  f x  cũng luôn có 2 điểm cực trị.

m 2

Ta thấy hàm số

  f x  với trục hoành là 3 .

m 2

Do đó yêu cầu bài toán  số giao điểm của đồ thị

  f x lên trên nhưng phải

  f x  với trục hoành là 3, ta cần tịnh tiến đồ thị

m 2





m

        0

32

64

m

m

0

Để số giao điểm của đồ thị

  1; 2; 3; ...; 63

m 2



2016.

nhỏ hơn 32 đơn vị

 m

Chọn D.

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 86 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

3

y



x



23 x



9

x

  5

m 2

3



Cách 2: Biện luận. Đồ thị hàm số có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số

y



x



23 x



9

x

 lên trên

5

0m  hoặc tịnh tiến xuống dưới

0m  .

m 2

m 2

đơn vị nếu đơn vị nếu

0m  , ta có đồ thị như sau

3

Có 3 trường hợp: TH1.

y



x



23 x



9

x

  5

m 2





32

Hàm số có ba cực trị. Không thỏa yêu cầu bài toán.

m 2

3

TH2. 0 , ta có đồ thị như sau

y



x



23 x



9

x

  5

m 2



32

Hàm số có năm cực trị. Thỏa yêu cầu bài toán.

m 2

3

TH3. , ta có đồ thị như sau

y



x



23 x



9

x

  5

m 2

Hàm số có ba cực trị. Không thỏa yêu cầu bài toán.

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 87 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12



m 

  1, 2,...63



0



32

 m   

3

2

. Vậy tất cả các giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là

m 2 Vậy tổng các giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là 2016 . x 3

f x ( )





x

  3

m có ba điểm cực trị.

Câu 165. `Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

m   .

1

1m



m

3.

3m

3m  hoặc

m   B. 1.

A. hoặc D. hoặc

m   . C. 1 3 Lời giải

3

2

g x

m

x







( )

x 3

a  

1 0.

0

2

y



y

g x

Phân tích: Xét hàm số trên  . Hệ số Chọn D Nhận xét: Dùng phép biến đổi đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và nhận xét hình dạng đồ thị thông qua bảng biến thiên để kết luận về cực trị hàm số. y   3



( )

y

g x

x





x  ( ) 3

6

  x x

    0 

Hàm số có ; . Hàm số luôn có hai cực trị.

  2 g x  có 3 nghiệm hay trục hoành giao với đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt thì hàm số

( ) 0

y

g x

Nếu



( )

y

g x

có năm cực trị.



( )

g x  có một hoặc hai nghiệm thì hàm số

( ) 0

3

m

m



  ( 3

)(1

g

g

Nếu sẽ có ba cực trị.

 

  hay

g x (

g x ). (

) 0

(0). ( 2) 0

cd

ct

  m m

.   1

   ) 0 

3

Điều kiện:

y





y



x



23 x

9

 . Tìm m để đồ thị hàm số

Câu 166. Cho hàm số có ba điểm cực tiểu.

  f x m 9m  .

5m  .

9m  .

9m  .

0

m



A. B. 5 D. 5 C. 5 Lời giải Chọn B



  F x

  f x m . Đặt 

  y F x

   5    9

m





0

  F x   F x

  khi F x    khi F x

y ct y c d

  

    



0

  5

m



0



Đặt . Xét hàm số

  5

m



9



0

  9

m



0

y c d y ct

  

  

y



Để hàm số có 3 điểm cực tiểu (Minh họa đồ thị bên dưới)

 f x



Câu 167. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới.





 g x



  f x m

Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị khi

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 88 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

2m   .

2m  .

2m  .

2

m   2    m

B. C. D. . A. 2

  f x đã cho có 3 điểm cực trị nên

Chọn C Vì hàm

2.

m

m

2



y

Do đó yêu cầu bài toán  số giao điểm của đồ thị Lời giải   f x m cũng luôn có 3 điểm cực trị.   f x m với trục hoành là 2.

    f x m với trục hoành là 2, ta cần tịnh tiến đồ thị f x xuống dưới ít nhất 2 Để số giao điểm của đồ thị đơn vị (bằng 2 đơn vị vẫn được vì khi đó điểm cực trị trùng với điểm chung của đồ thị với trục hoành nên ta chỉ tính một lần)  f x

     Chọn C 

có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Câu 168. Cho hàm số



m

  g x

  2  f x

m 

Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị khi

m

2;

m

2;

3m  .



 4;11

11 2

11 2

   

  

  

  

A. . B. . C. . D.

Lời giải

m cũng luôn có 2 điểm cực trị.

  f x đã cho có 2 điểm cực trị nên

  2 f x

Chọn C Vì hàm

m với trục hoành là 3 .

  2 f x

Do đó yêu cầu bài toán  số giao điểm của đồ thị

m với trục hoành là 3, ta cần tịnh tiến đồ thị

  2 f x

  f x xuống dưới lớn hơn

4 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 11 đơn vị

Để số giao điểm của đồ thị



2 2

4 11

   m        m 

2 .11 2

  m     m 

Chọn C

y



m

S

  f x

. Gọi là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số để hàm số

m



y

S

1  

có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của bằng Mức 2: Đồ thị và tham số m Câu 169. Hình vẽ là đồ thị hàm số  f x

12

15

9

A. . B. . . D. .

y





y



y



 f x

1

  f x

 f x

Chọn B Số cực trị của hàm số hay

0(*)

m

cộng với số nghiệm đơn của phương trình

18 C. Lời giải m bằng số cực trị của hàm 1   

1    f x

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 89 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

m

m

0

f

 

m t ,

  x

1

 f x

         f x

 1

 1

  t

Phương trình (*):

Yêu cầu bài toán xẩy ra khi phương trình (*) có hai nghiệm đơn phân biệt

m 

6

m

2  m

  3; 4;5 có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Do đó hoặc . Vậy .



y

3        f x

Câu 170. Cho hàm số

m



m

  g x

 f x

1  



Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc đoạn để hàm số có 5 4; 4

m

3

3

điểm cực trị ? A. 3. B. 5. D. 7.

  f x

1  



2.

m

đã cho có điểm cực trị nên cũng luôn có điểm cực trị (do phép C. 6. Lời giải  f x

 f x

1  

2,

m

Chọn B Vì hàm tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị). Do đó yêu cầu bài toán số giao điểm của đồ thị với trục hoành là

 f x

1  

m  

2.

2

Để số giao điểm của đồ thị với trục hoành là ta cần

  f x

   3

m

6.

3

6

 Tịnh tiến đồ thị đơn vị

     m

 Hoặc tịnh tiến đồ thị lên trên tối thiểu đơn vị nhưng phải nhỏ hơn đơn vị xuống dưới tối thiểu   f x

 4; 3; 2;3;4 .



 4;4

m

 m   



6

   m 2     3 m 

Vậy Chọn B.

y



 f x



Câu 171. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới.





2018



m

  g x

 f x



Đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị khi





m

3

3

A. 2. B. 3. D. 6.

  f x

 2018





4.

m

đã cho có cũng luôn có điểm cực trị (do C. 4. Lời giải  f x

 f x

 2018





m

4,

với trục hoành là

 f x

m   2

2

Để số giao điểm của đồ thị với trục hoành là ta cần đồng thời Chọn A Vì hàm điểm cực trị nên phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị).  số giao điểm của đồ thị Do đó yêu cầu bài toán  2018

3

3.m 

 Tịnh tiến đồ thị xuống dưới nhỏ hơn đơn vị

  f x   f x

 

m

    

m

m

2

3

 Tịnh tiến đồ thị lên trên nhỏ hơn đơn vị

  1; 2 .

Vậy Chọn A.

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 90 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay



y

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12 Mức 3: Đồ thị và tham số m Câu 172. Cho hàm số

 f x



2

có đồ thị như hình vẽ bên dưới.





2018



m

  g x

 f x



Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị khi

2



m cũng luôn có 3 điểm cực trị (do

A. 2. B. 3. D. 6.

 2018

2



C. 4. Lời giải  f x

  f x đã cho có 3 điểm cực trị nên Chọn B Vì hàm phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị). Do đó yêu cầu bài toán  số giao điểm của đồ thị

m với trục hoành là 2.

 f x

 2018

2



m với trục hoành là 2, ta cần

 f x

 2018

2

  m

2 :

Để số giao điểm của đồ thị

  f x xuống dưới tối thiểu 2 đơn vị

 Tịnh tiến đồ thị vô lý

m

2

6

2

m 

 

  

2

m

  6

m

 Hoặc tịnh tiến đồ thị

 2; 2 .



m

2

6

  f x lên trên tối thiểu 2 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6 đơn vị          

Chọn B



y



có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mức 4: Đồ thị và tham số m  f x Câu 173. Cho hàm số

f

 x m



m   1





Với thì hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1.

  g x B. 2.

f

x m

D. 5. C. 3. Lời giải

  f x





Chọn C Đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số bằng cách lấy đối xứng trước rồi

 f x





f

mới tịnh tiến. Lấy đối xứng trước ta được đồ thị hàm số như hình bên dưới

3

3

 f x







 x m Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy có điểm cực trị cũng luôn có điểm cực trị (vì

y



phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị). Chọn C.

 f x



Câu 174. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 91 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

 x m

f





có 5 điểm cực trị. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 

m   . 1

m   . 1

 1m  .

1m  .

A. B. D.

 g x C. Lời giải



f

x m

0

 là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục Oy

x  là









x m

.

f

Chọn A Nhận xét: Hàm

x  0.

   g x



  với

  g x một điểm cực trị của hàm số. x x

 

x m

1

  1

m

x

theo do thi

  f x





   



  0

f

x m

0

.

 *

   g x





  

x m

1

   1

m

x

    

    

0

   m

1.

Ta có

g x có 5 điểm cực trị   * có 4 nghiệm phân biệt khác 0  

m

   1 m     0 m 1       1 m 1 

f

Để hàm số

x m được suy ra từ đồ thị hàm số

  f x bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng.





f

Cách 2. Đồ thị hàm số

x m có 5 điểm cực trị  hàm số

 f x m có 2 điểm cực trị dương. Do đó ta phải tịnh







Để hàm số

  f x

  f x qua phía bên phải trục tung nghĩa là tịnh tiến đồ thị hàm số m  1.

tiến điểm cực đại của đồ thị hàm số

  f x

2





sang phải lớn hơn 1 đơn vị y Câu 175. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới

 có đúng 3 điểm cực trị.

  h x

  x

  f x m

f Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

m  .

m  .

m  1.

1.m 

1 4

1 4

2





 



f

f

A. B. C. D.

  x

  g x

  x

  f x m

   g x

  f x

2





 

f

f

m m

g

  1

  1

1





f

0

theo do thi



m

.

g

  0

3

Chọn B Xét Lời giải    2 

  1   3

   g x



2

  1

  x   f x

   



x

0

. 

 a a

  x    f x   x   

  m

  g a

1 2

 1 .     

Ta tính được

  g x

Bảng biến thiên của hàm số

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 92 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

  g x có 3 điểm cực trị.

2

2





 



f

  m

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số

  h x

  x

  f x m

  f x

1 2

1 4

   

   

Suy ra đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ

  g x nằm hoàn toàn phía trên trục Ox (kể cả tiếp xúc)

1 m  Chọn B . 4

3

2

mx 3

m 3





x

thị hàm số

  với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên



DẠNG II.6: TÌM m ĐỂ CÓ n ĐIỂM CỰC TRỊ Mức 3 Câu 176. Cho hàm số



10;10

 2    g x

2 m   f x

   f x mx  m  



của tham số để hàm số có đúng 5 điểm cực trị ?



0

A. 7. B. 9. C. 10. D. 11. Lời giải

 có 3 nghiệm phân biệt.

  f x

 *

  g x

  f x

1

2





0

mx

2

mx m

0

Chọn C Cách 1: Để có 5 điểm cực trị

  f x

   x

 1



  

mx

2

mx m

2

.   0 1

  x        2 2 

0

m

2

1

0

Xét

   2

 m m m    2 0

f

  1

        

m

m

0

  1; 2; 3; ...; 10 .

  m        10;10 m



3

2

Do đó  *  phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt khác

2



 y mx



mx 3



  2

m

2



x

3  y mx



m

2

 đồ thị hàm số

  cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

3

2

Cách 2: Hàm số có 5 điểm cực trị

x

 3 m   

2

mx



mx 3



m 3

  

m

0 (1)

 phương trình

m 3 

mx 3 

2

Chọn C.  x  2 2 có 3 nghiệm phân biệt.

(1)

mx



2

mx m

 

2



0

   x

2

 1





mx m 2

  

2 0(2)

 x 1    f x mx

   

0

2



2



0



Ta có .

  m m m    2 0

 m         f 1 

10;10

m

Yêu cầu bài toán  phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt khác 1

  1, 2,3,...,10

 m 



0m  . Vì m nguyên và yêu cầu bài toán.

3

2

, nên . Vậy có 10 giá trị của m thỏa mãn

,



x



ax



 bx c

 

8 4

a



b c 2

 

0

  f x

Câu 177. Cho hàm số bậc ba với và



 8 4

a



2

c

  c

0

a b c   ,   g x

. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số là , biết   f x

3

2     ax

bx

x

c

.

  f x

A. 1. B. 2. D. 5. C. 3. Lời giải Chọn D Hàm số (là hàm số bậc ba) liên tục trên

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 93 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12



 

  f x

8

b 2

4

a

c

0





0

.

3

  f x 

    

b 2

4

0

a

c

f

lim  x  f 2   2

 

8   f x

lim 

x

            

5

3

Ta có có đúng nghiệm phân biệt trên

  f x

  g x

  f x

Khi đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt nên hàm số có đúng điểm

cực trị. Chọn D

y





.

f

a 8 4

 

 



0

f

0

 

 

Ta có ; (là hàm số bậc ba) liên tục trên  2

3

  f x 2  b c a 8 4   f x

2   b c   0 f x 

lim  x

và nên phương trình có đúng nghiệm thực phân biệt. Do Cách 2: Hàm số  2       f x

; lim  x  y

y



5

3

  f x

 f x



đó, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt nên hàm số có đúng điểm

3

2

cực trị.



2018



ax



bx





  f x

  cx d a

Câu 178. Cho hàm số bậc ba và



a b c d

   

2018



0

 0  g x



0, a d   2018 

. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số là

f x

.

biết  f x D. 5. A. 1. B. 2.

  g x

  2018 

 

  g x



  d

2018

0



0

.

3

C. 3. Lời giải (là hàm số bậc ba) liên tục trên Chọn D Hàm số

  g x 

    



g

d

b

c

2018

0

lim  x   g 0   1

 

a   g x

lim 

x

      

f x

3

  2018 f x 

Ta có có đúng nghiệm phân biệt trên

  g x

  2018 

5

Khi đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt nên hàm số có

đúng





(là hàm số bậc ba) liên tục trên .



g

     a b c d







Ta có .

 

 

0 :

0

1:

0



d  

g  g x

  x 1

2018 0   f x 1

  x 2

 f x 2

lim  x



Vì và nên điểm cực trị. Chọn D.   2018    f x g x  1 2018 0 ;  Cách 2: Hàm số  0  g x và

nên phương trình có đúng nghiệm phân biệt trên .

3

lim x    0 g x     g x

3   2018  f x

Khi đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt nên hàm số

y



5

  2018  f x

4

2

điểm cực trị.

a



0,

c



2018





bx



c

a b c

  

2018

Câu 179. Cho hàm số bậc ba biết và . Số cực trị của đồ thị



  g x

hàm số là có đúng   f x ax   2018  f x

2

4





A. 1. B. 3. D. 7.

2018

    bx

ax

c

  f x

0

0





2018

  h x

 1

3

C. 5. Lời giải 2018. Chọn D Đặt

0

  a     b 

c

2018

  h x   a   c        a b 

Từ giả thiết đồ thị hàm số có điểm cực trị.

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 94 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12



h

    b

a

c

2018

0



0

    h h 1 . 0



0;1

  0 h x 

4



h

  c

2018

0

  1   0

    

 2

Ta có có nghiệm thuộc có nghiệm phân

 1

 2 ,



7

biệt (dáng điệu của hàm trùng phương).

  g x

  2018  f x

a

1

2







2018

4   x

4

x

1 .

4

  g x

  f x

Từ và suy ra hàm số có điểm cực trị. Chọn D.

b 

2019

c

      

Cách 2. Trắc nghiệm. Chọn

Vẽ phát họa đồ thị ta thấy có

0a 

c 

7 2018

2018

  b

2018

   a c

0

  2018 f x 

3 Vì

Cách 3: Ta có , nên nên hàm số có điểm cực trị. a c 

f

2018

  c

2018 0



f

2018 0





1  

và và

4





2018

 

2018  f x 

a b c      2018 0

lim  x

nên phương trình có đúng nghiệm. Do đó, đồ thị hàm cực trị.  0     f x 

y



7

 f x

   2018 

ab



0

4

2

số có cực trị.

y





ax



bx



c

  f x

2



4

ac



0

 ac b



  

Câu 180. Cho hàm số thoả điều kiện . Số nghiệm lớn nhất có thể

m

m  

  f x

có của phương trình , là

12

6

4

B. . D. . A.

8 . C. Lời giải

0

2

Chọn C Do nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị và tính toán được ba điểm cực trị đó lần lượt

B

 

;





B

;



Δ



b



4

ac

0;A  c

b a 2

Δ a 4

b a 2

Δ a 4

ab     

   

   

2

b

ac

2

2

là , , với .

 

c .



0



4

ac



0



c .



a .

0

 ac b



     4 a

Lại có . Do đó đồ thị hàm số có hai điểm

Δ a 4 so với trục hoành. Suy ra dạng đồ thị của hàm số

, B C

A

  f x

cực trị nằm khác phía với lúc này là

m

8

  f x

Dựa vào các đồ thị trên ta thấy số nghiệm lớn nhất của phương trình có thể có là

m

4

2

Câu 181. Gọi là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

[0;2]

y



x



x



30

x m

 

20

20.

S

19 2

trên đoạn không vượt quá Tổng các phần tử của bằng

S 1 4 210

195

300

105

4

2

4

2

A. . B. D. . . .

t



x



x



30

x

x



x



30

x

g x ( )



x 



0; 2

1 4

19 2

19 2

Chọn C Đặt , ta xét hàm với . C. Lời giải 1 4

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 95 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

3

( )g x



x



x





x



2

x



5

x



3

  

0;

x

0; 2













do đó là hàm số đồng biến trên

t 

0; 26

30 

; suy ra .

 ( ) g x Có 0; 2  f

t ( )

19  

 

t m

20

t 

0; 26

f

0 26 ;

  t





( )



20 ;



6

  m

Đặt , khi thì liên tục trên



.

 nên  

0;26

 max f t max m   t





20 ;

m



6



m



6

( )

7m 

m

    20

6

26



m



14





 max f t max m   t

, do đó ta có Nếu thì

m 

( )



20 ;

m



6



m



20

. nên

m



20

  

20

0

m



40

 0;26   7;8;...;14 7m 





0;26

 max f t max m   t



thì Nếu , do đó ta có

m 



 0;1; 2;3; 4;5;6



nên .

1 2

 



14





105

Vậy tổng các giá trị nguyên thỏa mãn là .

y





h m (

)

x

14.15 2 f x ( )

 ; a b

Tìm công thức cho bài toán tổng quát: Cho hàm số với ; hãy tìm gtln của

;

( )

y



f x ( )



h m (

)

h m (

) ;





thì , và liên tục trên hàm số theo x Giả sử khi

u

h m ) (

  ;   g u max

( )





u

;





u

  f x    h m ( )





m . ;  a b    max y max    x a b ; được mô phỏng như hình vẽ:

. Đặt , đồ thị của hàm nên ta có 

A

    ;

( )g u

B





C

 

; 0



 ;0 ;





 2

 2

  

  

Trong đó đồ thị của được mô phỏng là đường liền nét; ;

u

 

( )g u

u





;

u

 

g u ( )

, dễ thấy hàm số đạt gtnn bằng tại .

  2    



;

u

 

  2    2    2

Cũng từ mô phỏng trên ta suy ra

4

20 m

Vận dụng vào bài toán trên: ta có kết quả.

m



m



x



16

  u  26;   1 m 2 .

m

x



4

  f x

u m     2. 4 2

0;     4   1 là

Câu 182. Cho hàm số với là tham số thực. Số cực trị của đồ thị



   1  f x

  g x

hàm số



  1



  f x



f

.

B. 5. A. 3. D. 7.

f

1  

y

 

y

 

1 0

  f x    x   f x



    f x

  x 

y   2 1

4

2

m

C. 6. Lời giải 2 1  0 Chọn A Cách 1: Ta có:  f x Suy ra ;



m





4



0

f

3

  0 x 

      0  

 m 1 m 1 2 .



có nghiệm đơn phân biệt vì với mọi .

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 96 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

2

2

4

m

2

4

m

 

m 2 .

m



2



m





15



m 4.2 .

m

 

4 15

m



4



15







  1 . 4



4

m m 

 11 0

 

11

m





2

 1 0  f x   

.



a

  1  f x

3

b

3

vô nghiệm do 22 Vậy hàm số đã cho có cực trị.

3   f x có   1 0 f x  

Cách 2. Hàm số điểm cực trị (do hệ số và trái dấu) cũng có điểm cực trị.



3

Phương trình vô nghiệm (đã giải thích ở trên).

  g x

  1  f x

4

Vậy hàm số có cực trị.



x



24 x



16

0m 

 1  f x 

0

4

Cách 3: Đặc biệt hóa ta cho , khi đó ta được hàm .





34 x



8

x

g x



x



24 x



16

34   x

8

x



0

2

  g x 

 1  f x 

  g x

  0 

2

 x  x      x 

Đặt ; .

Ta có BBT

y



y



Do đồ thị hàm số cũng chính   g x

y



3

  g x nằm hoàn toàn bên trên trục hoành nên đồ thị hàm số    g x

  g x

2018

4

2018

2018

2

2

2018

là đồ thị của hàm số là .













m

m

x

m

m

2

x

m

  f x

 3

 

  1  f x  2018

Câu 183. Cho hàm số , với là tham số.



y  y

Số cực trị của hàm số là

3.

7.

A. B. D. . Khi đó số điểm cực trị của hàm số     2 1   2017  f x 5.

6. C. Lời giải

2018

4

2018

2018

2

2

2018

Chọn D







x

m

2

m



3



m



  g x

 1

   2



 1

2

2018

2

2018

2018

2

2018

.





0

x

t

t



m

t



m



m



3



  h t

  f x 

2018

2

2018

2018

2

m



m



  t m m



5

  2

 x  1 0



2  1 4

 

Đặt ta có Cách 1: Xét hàm số 

  0 h t 



S

2017   1     

Nhận thấy phương trình có nên luôn có hai

g x 

 m    2  2  P 0 0;   0

nghiệm dương phân biệt. Do đó, phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

y





  g x

  2017  f x

2018

4

2018

2018

2

2

2018

Từ đó suy ra hàm số có 7 điểm cực trị.





2017



m



x

m



2

m



3

x



m



  g x

  f x



 1

   2





 1

2018

  1

0

Cách 2: Xét hàm số .

m

3

  g x

2018

2018

2



m

2

m

  3

0

Nhận xét rằng, vì , với mọi nên hàm số có điểm cực trị.

  a m     b 2  34 ax

bx 2





   g x

Ta có . Suy ra

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 97 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

x

  0

g

  

0,

a

m

2018

2

2

2018

  0

2

 a b

2

m



3

   g x





2

2

x



 

  a

  0,

m

 g x



2 2018

b    2 a

b a 4

  a b 2 a 4

  0  m

2

2

2018

2018

2018

2

     m

a b 2

4

2

a b

 

1 0

   m 2 có 7 điểm cực trị.

2     y Từ đó suy ra hàm số

m    1 5 0 m     2017  f x

2

3

(vì và )

m 2



x



2





2



m

m

 1



 m x

với là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của Mức 4 Câu 184. Cho hàm số

x

f

x 

  

  2

m



m



2

m



2

m



2

để hàm số có 5 điểm cực trị.

  f x    g x 5 4

5   4

5 4

A. . B. . C. . D. .

5 4 Lời giải



f

23 x

m

   x

2

m .

 2 2

 1



5

  f x

Chọn C Ta có

  g x

    x   x f

0

 3 2

   m



m

2    1  1



  

x f

0

m

2.

Hàm số có điểm cực trị hàm số

  0 

5 4

0

  0       S 0      P

3 m



0

3

2



ax



bx





0

có hai nghiệm dương phân biệt

B

A

 f x



  cx d a





  2; 1

2

có hai cực trị dương   m 2     2 2         2  3 có đồ thị nhận hai điểm và Câu 185. Cho hàm số bậc ba



2 ax x



bx



d

0;3   c x

  g x

là làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số

2







2 ax x

bx

c x

  d

f

A. 5. B. 7. D. 11.

  f x có hai điểm cực trị trong đó có một

  g x



Chọn B Ta có Hàm số C. 9. Lời giải  x .

 1

 f x có 3 điểm cực trị.

Oy

B  thuộc góc phần tư thứ IV nên đồ

điểm cực trị bằng 0 và một điểm cực trị dương  hàm số

  f x có điểm cực trị

0;3A 

 2; 1

 

và điểm cực trị

thị



f

x

số Đồ thị hàm số   f x cắt trục hoành tại 3 điểm (1 điểm có hoành độ âm, 2 điểm có hoành độ dương)  đồ thị hàm f x cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.  2  

  g x





f

x

có 7 điểm cực trị. Chọn B. Từ  1 và  2 suy ra đồ thị hàm số

  f x rồi suy ra đồ thị



 .

 f x , tiếp tục suy ra đồ thị



3

2

Cách 2. Vẽ phát họa đồ thị

y



x



2

m



x



m x 3

 có ba điểm cực trị?

5



 1

Câu 186. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

0;

   1;



 1; 

;0

1 4

1 4

  ; 

  

 

  

3

2

A. B. C.  D. 

x



2

m



x



m x 3

 có ba điểm cực trị

5



 1

3

2

y



x



m 2



x



mx 3

5

Chọn B (Học sinh tự vẽ hình tưởng tượng) Hàm số Lời giải  y

 có hai điểm cực trị không âm.



 1

2

 

1 0



m



0



23 x



m



 x m 3

0

khi và chỉ khi hàm số

 khi:

1 4

 2 2

 1

m



m 5  1



S



0;

 P m



0

1

    m

3

  Δ 4 m    2 2  

Vậy phương trình .

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 98 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

2

3  x mx



Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12 Câu 187. Cho hàm số bậc ba

m n  và

0

 m n



 . Khi

0

 f x



 7 2 2



x

f



nx    g x

 với 1 

,m n   , biết 

đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số là

f

  1

f

   m n

0

2

A. 2. B. 5. D. 11. C. 9. Lời giải

     sao cho p

  f x

  0. f p 

lim  x

   

m n

4

7

2

f

0

  0   1   2

0

c

Chọn D Cách 1: Ta có và



 0;1 ,

c  1

3





x

c

Suy ra và

       f x  có ba nghiệm phân biệt   f x có hai điểm cực trị

c  2 

  1;2 

  p . 2;   .

 1  2

x 1

c c 2; 1

2

c 3;

2

và

  f x có dạng như hình bên dưới

f

Suy ra đồ thị hàm số Từ  1 và  2 , suy ra đồ thị hàm số





 f x có 5 điểm cực trị  hàm số



f

x Từ đó suy ra hàm số có 11 điểm cực trị.





0

f



0

0   m n

  1   2

    

f

f

0 Cách 2: ta có

 f x không thể đồng biến trên  . Vậy hàm số



 f x có hai



  m n  7 2 2    2

2

f

m n

0

f

 

7 4

 m n 2

nên hàm số Vì

  , 1

   ,

 và 0

     sao cho p



       0 1 điểm cực trị.  0 f

 1

 2

0



2;

p

Ta có



 f p  . Suy ra phương trình

 f x  0;1





c  2

c 3





x 2

lim x  c  1 c c 3; 2

, và

  1;2 2, x x là các số dương,

  (vì hệ số cao nhất là 1).

, dễ thấy 1

  0 f x  có ba nghiệm phân biệt    c c 2; 1    0 f x 2

và  . Do đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  f x 1

x 1   f x có hai điểm cực trị 1x , 2x là các số dương nên đồ thị hàm số

 f x sẽ có 5 điểm cực trị.



f

1

Đồ thị hàm số hơn nữa hai giá trị cực trị này trái dấu 

  nên phương trình

f

0

 f x có hai giá trị cực trị trái dấu và



 0



 x  có 6 nghiệm

Do

f

 



 x có 5 6 11

phân biệt nên đồ thị hàm số điểm cực trị.

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 99 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

f



 x trong đó số điểm cực trị

Bình luận: Đây là dạng bài tập về đếm số điểm cực trị của hàm số dạng



 f x và những điều kiện liên quan bị ẩn đi. Để giải quyết bài toán này bạn đọc cần dựa vào giả thiết bài toán để tìm:

của hàm số

  f x



 

Số điểm cực trị n của hàm số Số điểm cực trị dương m (với m n ) của hàm số Số giao điểm p của đồ thị hàm số với trục hoành trong đó có q điểm có hoành độ dương Bây giờ giả sử ta tìm được các dữ kiện trên khi đó ta suy ra

1m  điểm cực trị

 Đồ thị hàm số

p điểm cực trị

 Đồ thị hàm số

f

m q

2

 điểm cực trị.

1

  f x có 2   f x có n   x có 2

 Đồ thị hàm số

a b c

    1

3

2

a 4

8



x



ax



bx

c

Ngoài vấn đề tìm số điểm cực trị, bài toán còn có nhiều hướng để ra đề khác ví dụ như hỏi số giao điểm với trục hoành, tính đồng biến nghịch biến của hàm số.

 . Số điểm cực trị của

a b c thoả mãn

, ,

  f x

b c    2  0 bc

    

Câu 188. Cho các số thực . Đặt

f



 x lớn nhất có thể có là

hàm số

f

A. 2 . C. 11 B. 9. D. 5 .

 , 0

  ,

  ta suy

  f x

 1

lim  x

Chọn C Từ giả thiết bài toán ta có Lời giải 2  f   và 0

  0 f x  có ba nghiệm phân biệt, suy ra hàm số

  f x lim x   f x có hai điểm cực trị



1x ,

2x (

x

ra phương trình

x 1

0

0

f

  0

và hai giá cực trị trái dấu nhau.

c  nên 0

 0

  0 f x  có hai nghiệm

x 1

x 2

0

2 )  b   c

Khi thì ta có và

f

b x x   nên 1 2 3 

 x có 7 điểm cực trị.

0

f

0

0

dương. Do đó đồ thị hàm số

x x  và

c  nên hàm số có hai điểm cực trị dương và ba giao điểm

 0

2.

0

 b   c

Khi thì ta có 1

f



 x có 11 điểm cực trị

3   x

2 ax

bx

2

với trục hoành có hoành độ dương. Khi đó đồ thị hàm số

  thỏa mãn

y



  f x

 f x



0

a b     3 2  

Câu 189. Cho hàm số . Số điểm cực trị của hàm số bằng

A. 11 D. 5 B. 9

1 a b   C. 2 Lời giải

y



f

 f x    , 2 0

Chọn A Hàm số (là hàm số bậc ba) liên tục trên  .

f

     , b

1 0

a

f



2

a b

   .

3 0

  1

 2

 

Ta có





2;

 . 0

 0   f x

 f x



x 0

0

lim  x

  0 f x  có đúng 3 nghiệm dương phân biệt trên  .

và nên



y

x

f

y



f

x







Hàm số là hàm số chẵn. Do đó, hàm số có 5 điểm cực trị. Do đó, phương trình 

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 100 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

y



f

x

3

2

bx





 đạt cực trị tại các điểm

có 11 điểm cực trị. Vậy hàm số

   f x



,x x thỏa mãn 1

2

x  1

 0; 1 . Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ

x

,

 Câu 190. Cho hàm số bậc ba  1; 2



ax  cx d . Biết hàm số đồng biến trên khoảng 



,x 1

2

x  2 âm. Khẳng định nào sau đây đúng? c A. c C.

0  .  . 0

0, 0,

0, 0,

0, 0,

 

 

 

d d

a a

b b

 

0, 0,

b b

 

0, 0,

c c

 

0, 0,

d d

0  .  . 0

a B. a D. Lời giải

3

2





cx

d

y

ax

bx

  đạt cực trị tại các điểm

1,x

2x và hàm số đồng biến trên

a  0.

2;x x 1

2

 



ax

bx

2

3

y

c

nên suy ra

 . Hàm số đạt cực trị tại các điểm

 1;0 ,

  1;2

 x   1

x  2

2x thỏa mãn

d  0. 1,x

0

ac

c

nên suy Chọn A Vì hàm số hàm số khoảng   Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên Ta có

y   có hai nghiệm trái dấu

    0. 0







a

b 0,

c 0,

d 0,

0.

ra

 Chọn

      

x

0

0

x

b

0.

 1;0 ,

 x   1

  x  2 1;2

1

2

2 3

b a

Mặt khác nên Vậy

A.

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 101 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

CHỦ ĐỀ III: BIẾT HÀM SỐ CỦA ĐẠO HÀM



DẠNG III.1: ĐƠN ĐIỆU Mức 1: Đơn điệu

f



x

x





x

 f x

  x





f

f



f

f

f

f

Câu 191. Cho hàm số

. A.

 2 1  B.



f

f



f



f



f

.

y    4   1

 có đạo hàm   2   4

  1   2

 1 5   1    4

 . Mệnh đề nào sau đây đúng?   2    2

  4   1

. C. D. .

f Lời giải

1;4 .



Chọn B Dựa vào sự so sánh ở các phương án, ta thấy chỉ cần xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng 

f

x

x

x









  1;4    1 2 4

f



f



f

 y

 

. Ta có:

0, x    1;4 mà

  1

  2

  4

21     1 5 x đồng biến trên  

4

2





f



f



f



f



. Nên hàm số

f

  2

  1

  4

  2

  x dx

2

1







f

f

thấy dương . thấy dương Bấm: ; Bấm:

Vậy: .

  f x Lưu ý: Có thể dùng máy tính casio   x dx   2

 f   f 1

  4





f

'

2018

0

y

t x  với mọi

  x

   1

 x x

   t x 2 .





x

2019

f

.

có đạo hàm Mức 2: Đơn điệu Câu 192. Cho hàm số với mọi x   và  

  f x   g x

 1

1;

3;

 .

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

 .

D. 

x   Hàm số A. 

;3 . 

   x B. 

2018 0;3 .

f

C.  Lời giải





2018

x

f

x

2018.

Chọn D Ta có

    ' 1



 3

  x t . 1

   x

    ' 1 x  x x

  g x '   ' f x   g x '

    1    x 3

   x t . 1



       

0,

t

x

0,

x

 nên dấu của

2018.    t x 2 .   x . 

 

 3

3;

Theo giả thiết

x x , ta kết luận được hàm số  

 x 'g x cùng dấu với . g x nghịch biến trên các khoảng 



;0 , 

 .

4

x

f

x

x

.

Từ đó suy ra Mà    t x 1 x Lập bảng xét dấu cho biểu thức  3x

x   Hàm số

  g x

  f x có đạo hàm

2 2    với mọi   x

  1 f  

 x     2

6 2;

Câu 193. Cho hàm số đồng biến trên

   ; 6 .

6;6 .

 6 2;6 2 .

  .

2

 

   





  



f

4

4

.

khoảng nào trong các khoảng sau? A.  B.  D.  

   g x

  1   

    

2     

1 2

x 2

1 2

9 2

x 8

x 2

x 2

    1      

         

2

2

36

6.

6

0

x

x

Chọn B Ta có C.   Lời giải   2 1   

       Chọn B

9 2

x 8

Xét

2



Mức 3: Đơn điệu

f

x



x

x



9

x



4

  g x

y

 f x

2









2

 f x



2; 2

   ; 3

0;3

Câu 194. Cho hàm số có đạo hàm . Khi đó hàm số đồng biến

 trên khoảng nào?  A. 

 3; 

   ; 3







2

2

4

2

2



B.  D. 

f

x



x

x



9

x



4



x

 f

2

xx

x



9

x



4









2





2

Chọn B Ta có . C.  Lời giải  

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 102 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

5

2

2





  0

2

x

x

9

x

4

3.

0

x 

0;

x   không đổi dấu

2

   g x





2

2

  x 0       x     x 

. Do

y



3;  .

2

x

x

x

y

Vậy hàm số

2 có đạo hàm

t x  với mọi 0

x   .

    x



     t x 4 .

Câu 195. Cho hàm số đồng biến trên khoảng    f 1 với mọi x   và  

  g x

 f x   f x 2  f x

Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

   ; 2 .

   2; 1 .

1;1 .

1;2 .

A.  B.  D. 

.

x

 2 xf

   g x



2

2

4

2

2

2













f

x

x

f

x

x

x

x

x

C.  Lời giải Chọn B Ta có

  x



 1

   t x 4 .







 1

  t x 4 .

 .

5

2

2

2





2

x

x

Theo giả thiết

   g x

5

2

2

2      



0,

x

x

2

x

x

    t x . 4 .  nên dấu của

'g x cùng dấu

 

x  t x

   1 2    0,



 x 1

  4 .

Từ đó suy ra

Mà   t x Bảng biến thiên

2

2

f

x

2

x

x

.

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B

x   Hỏi số thực nào dưới đây thuộc

  f x có đạo hàm



2



2

2

x

Câu 196. Cho hàm số với mọi

  g x

        x 1    ? f x

 

.

khoảng đồng biến của hàm số

A. 2. B. 1. C. D. 3.

3 2 Lời giải

2





2

f

x

2

2

   g x

 1





   x

2

2

5

2

2

2





  





2

x

x

   x

2 1

2

2

2

x

2

x

  x 2

2

2

x

x

x





4    1





 x   

   1  

 1 .  

   1  

    

5

4

2

x

x

0

1 .

Chọn B Ta có



 1

    1  

     1  

   0 x    x 2

2;

Xét

0;1 , 

 .

 . g x







y

f

x

2

.

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng  Vậy số 3 thuộc khoảng đồng biến của hàm số Mức 4: Đơn điệu

 với mọi

x   Hàm số

  g x

  f x

  x

 x x

21  



  f  

 5 x   2  4

x

Câu 197. Cho hàm số có đạo hàm đồng

   ; 2 .

2;1 .

0;2 .

2;4 .

0

2



  

f

0

x

1 .

2

biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A.  B.  D. 

  x

 x x

  1



2

Chọn D Ta có

C.  Lời giải   x       x 0    x

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 103 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

2



x

0



0

2

4







f

;

  0

.

   g x

   g x

2

2

1 nghiem boi chan

    

 5 x    2  4

x



1



x

4

 20 5 

x 

4

4 nghiem boi chan

 

 

   x 2    0 x    x    x 



2

4

  20 5   5 x    2 x   x 5    2 x   5 x    2 x

Xét

Bảng biến thiên

4; ta chọn

x  5

g x  



2

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D Chú ý: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 



x

  5

0.

2

2



x

4

 20 5 

x 





 



x

  5

f

0.

  1

    

2     1      

    2   

5 x 2 

4

4;

25 29 x Từ  1 và  2 , suy ra

  25 25 25         29 29 29 g x  trên khoảng 

  0

25 29  .



y



f



x





x

y



  2

 f x



  x



 1 3

 f x



có đạo hàm đạt cực đại tại với mọi x . Hàm số

 2x  .

1x  .

3x  .

A. B. D. DẠNG III.2: CỰC TRỊ Mức 1: Cực trị Câu 198. Cho hàm số 0x  .

  

0

f

x

x

.

      x 0



 1 3



3

y

x 

3.

C. Lời giải 1 Chọn D Ta có Bảng biến thiên

  x    x   f x

đạt cực đại tại



Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số Chọn D.

f

x



x

x



4



f

3



x

x 

y









  g x





 f x





 2 1 

Câu 199. Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Hàm số có bao

2



 





x

4

f

x

x

nhiêu cực đại ? A. 0. B. 1. D. 3.

   g x



 x x

 1 ;

 3

 2





 3

  1 4   

  g x

Chọn B Ta có C. 2. Lời giải       x 

x 

2.



2

x

4

2 .

      g x 0





 x x

 1

4

      3     x 1       x 0    x

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại

2



y



Mức 2: Cực trị

f

x



x

x



x



4



 f x









 1

2

 g x



 f x

2

Câu 200. Cho hàm số có đạo hàm có với mọi x . Hàm số

2

2

2

2

5

2

2





x

0

2

x

x

x

4

.

bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3. D. 5. C. 4. Lời giải

   g x

     g x

  xf x 2



 5 x x 2

  1

2 4 ;



  1



0      0 1 2

x

0

  2

2    2

  x  x      x 

0

Chọn B Ta có

x   và 1

x  là các nghiệm bội lẻ  hàm số

  g x có 3 điểm cực trị. Chọn B

Ta thấy

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 104 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12



f



x

2 2 

x

y





2 8 

x

  x



  g x

 f x



có đạo hàm có bao Câu 201. Cho hàm số với mọi x . Hàm số

 f x nhiêu điểm cực trị ? A. 3.

2

2

2

2



















2

x

4

f

x

8

x

2

x

2

x

2

x

2

x

;

4

x

B. 4. D. 6.

   g x















   

4

0

2

2

2

2

  







    

0

2

x

4

x

2

x

2

x

2

x

0

0

x

2

x

.

   g x







0 2

    

   

2

x

  2 x

2

   4 x     

x

  1

3

  x    x    x   

4

x

  1

3,

x

Chọn C Ta có C. 5. Lời giải     

 và 2

g x có 5 điểm cực trị. Chọn C

2



Ta thấy











2

1

x

x

x

f

y



x

 0, x   f x

x  đều là các nghiệm đơn  hàm số    1

  1

  x





có đạo hàm với mọi . Hàm số





x

 f x

đạt cực trị ?

2



x

x

1

 f

Câu 202. Cho hàm số    g x A. 1. B. 2. D. 4.

  1

   

   g x

  x

2

  



2

0

x

x

x



   g x



 1

  1

x   1

x 

2

x 

1

Chọn B Ta có C. 3. Lời giải   x 2 ;

2



  g x

2

 1    x 1       x 1 . 0    x điểm cực trị. Chọn B

Ta thấy và là các nghiệm đơn còn là

2

3



y



có nghiệm kép





x



4

  f x f .

  x

 x x

  1



2





Câu 203. Cho hàm số có đạo hàm cấp 3, liên tục trên  và thỏa mãn hàm số   f x



f



2

  x

  f x f .

 

 

có bao nhiêu điểm cực trị ?

với mọi x . Hàm số A. 1.

  g x B. 2.

















2

f

2

f

 2

;

D. 6.

   g x

  x f

  x

  x f .

  x

  f x f .

  x

Chọn B Ta có

  x C. 3. Lời giải    x 2

0

0

3

2

2



4

0

0

x

  0

0

x



   g x

  f x f .

  x

     1

 x x

 1   4

  x          x 1 .     x 4 

  f x f .   x      x  

4

x  và 0

  g x có 2 điểm cực trị. Chọn B

2





y



Ta thấy

f





415 x



12

x

  x

  f x f

  x

x   là các nghiệm đơn  hàm số  f x

 

 

Câu 204. Cho hàm số

  f x f .

có bao nhiêu điểm cực trị ? có đạo hàm cấp 2, liên tục trên  và thỏa mãn   x

 với mọi x . Hàm số A. 1.

   g x B. 2.

0

2

4

4















f

15

x

x 12 .

f

  0

15

x

12

x

  0

D. 4. C. 3. Lời giải

   g x

  f x .

  x

   g x

 

   x 

3

.4 5

  x      x  

3

Chọn B Ta có ;

x  và 0

x   là các nghiệm bội lẻ  hàm số

  g x có 2 điểm cực trị.

4 5

Nhận thấy

3

2

3



Mức 3: Cực trị





2

x

x

x

f

x



2

x

y



x









 có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị ?



f



x

 1 2018

  f x 

Câu 205. Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Hàm số

  g x A. 9.

B. 2018. C. 2022. D. 11.

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 105 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

3

2



Lời giải

f

x

x

2







0

2

y





  f x



Chọn A Ta có có 4 nghiệm và đổi dấu 4 lần nên hàm số có 4

 có tối đa 5 điểm phân biệt. Do đó



f



x

  x x    0 f x 

  g x

 1 2018



cực trị. Suy ra có tối đa 9 cực trị.

4

3

5



Mức 4: Cực trị

f

x



x



x



3

f

x

2



 f x có đạo hàm









  1





 x là

Câu 206. Cho hàm số . Số điểm cực trị của hàm số

D. 2 . A. 5 . B. 3 .

  C. 1. Lời giải

4

5

3

f

x



2

x



3



0

  0 x 

   x

  1

 



f

2x  nên hàm số

x   và 3

x   1    x 2    x 3  

  x

 f x có 2 điểm cực trị

x   và 3 chỉ đổi dấu khi x đi qua Do 2x  trong đó chỉ có 1 điểm cực trị dương. Do

. Chọn B Cách 1: Ta có



0x  và

2x  ,

0x  .

  f x

 f x





 x

 f x là hàm số chẵn nên hàm số f

x   , 2   f x

4

2





4

x

x

f

x



 . Số điểm cực trị của hàm số

nếu

y



     x

 1





 f x có 3 điểm cực trị là 2a + 1, trong đó a là số điểm cực trị dương của hàm số 

là có đạo hàm Câu 207. Cho hàm số Cách 2: Số điểm cực trị của hàm số   y f x .  f x

4

2





4

0

x



2

x

f

B. 2 . A. 3 . D. 5 .

   x

 1

  0 x 

. Chọn D Ta có

  2 C. 4 . Lời giải 

 

f

1 x      2 x  x   nên hàm số

2

1x  và

 f x có 3 điểm cực trị nhưng có



  x

1x  và

Do

f

x

f

0x  và

 x là hàm số chẵn nên hàm số



 x có 5 điểm cực trị đó là

 x   , 1

4

2



f





4



x

2



y

nếu Do đổi dấu khi x đi qua 3 điểm 2x  .  f

y



f

x

  x

 x x

2 điểm cực trị dương     f x x   và 2  f x

0x  . 







có đạo hàm Câu 208. Cho hàm số . Số điểm cực trị của hàm số là

B. 2 . D. 1. A. 3 .

  C. 0 . Lời giải

4

2

2

x



4



0

f

   x x

  0 x 

 



f

Chọn D Ta có .

0x  nên hàm số

0x  .



Do



f

f

f

0x  và

0x  .

  x   x



x  0     x 2   f x có 1 điểm cực trị   x có 1 điểm cực trị

2

2

y

 

  f x

f

x mx

x   .

nếu Do chỉ đổi dấu khi x đi qua điểm  x là hàm số chẵn nên hàm số

  f x DẠNG III.3: THAM SỐ m Mức 2: Tính đơn điệu Câu 209. Cho hàm số

    x

 x x

   1





f

x

m

  g x



 9   3;

có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu số nguyên

 3 6.

8.

5.

đồng biến trên khoảng ?

2



 f

x



   g x

 3

 .

f

x

2

m

x

dương A. để hàm số B. D.

      3 x

 3



 3

   x

2    x

0,

  g x

  3;

 9 .           x g x

 3;

Chọn B Từ giả thiết suy ra Ta có C. 7. Lời giải    3  

Để hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 106 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

2



 f

0,

x

x

x

2

x

m

x

x

 3

        3;

 3







 3

       0,

 3;



2    x

   3  

x

9

x

9







.

,

x

  m

  m

    3;



  h x

  h x

min    3;

 9   23    3

x

x

x

9

23     3 

m

    

m

m

6



  







x

2

x

6.

với

  1;2;3;4;5;6 .

  h x

 3





 3 .

x

2

9  2





y

f

x

x

mx

x

.

Ta có Vậy suy ra

x   Có bao nhiêu số nguyên

23     x 3   f x

9  3    x



3    với mọi 5

Câu 210. Cho hàm số

x  1 1; ?

  g x

âm m để hàm số đồng biến trên 

2

4

2

2











x

x

f

x

x

2

xf

x

có đạo hàm 2  f x B. 4. A. 3. D. 7.

 C. 5. Lời giải 4  mx

 Ta có

   g x





 5 .

2 .

0,

1; khi và chỉ khi

 g x đồng biến trên khoảng   

 1 

        x g x

  1;

2

4

2

4

2

4

2



 2 xf

x

    x

0,

1

x x 2 .

x

x

mx

      x

0,

1

x

mx

5

x

    0, 1





  1

 5

4

4

x

5

Chọn B Từ giả thiết suy ra

5

 

.

   m

,

  x

1

  m

  h x

  h x

max    1;

 2 x

 2 x

4

x

5

 

 

2 5.

1; ta được

Để hàm số  x với



  h x

max    1;

 2 x

 

m

m

        m

2 5

trên  Khảo sát hàm   h x

 4; 3; 2; 1 .



2

3

4



f

 x mx

y

.

Suy ra

 với mọi

x   Có bao nhiêu số nguyên

    x

 x x

  f x

 1

Câu 211. Cho hàm số Chọn B   3 1

0; ?



  g x

âm m để hàm số đồng biến trên khoảng 

2

A. 3. D. 6. có đạo hàm  2 f x B. 4.

2

2

2

8









f

x

x

x

x

mx











2

xf

x

C. 5. Lời giải 6 Chọn B Từ giả thiết suy ra

0; khi và chỉ khi

    3 1 1 . g x đồng biến trên khoảng   



   g x



2



0,

0;

x

0,

xf

x

x

2

0;

   g x

2 .      



     

Ta có



2

3

1

2

2

6

6



x x 2 .

x

8  x mx

8 x mx

0,

3

x

0,

m

1

x

,

x

        0;



         0;



    0;





   1 3

 1

 6

8 x x

8

3

1

 

.

  m

Để hàm số 

  h x

  h x

 6

max    0;

x x

8

3

1

 

0; ta được

  4.

với



  h x

 6

max    0;

x x

 

m

m

        m

4

trên  Khảo sát hàm   h x

 4; 3; 2; 1 .



2

2



  f x

f

x

x

2

x

m 

100

x   .

Suy ra



2





 4;

  8

x m

Câu 212. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu số nguyên Chọn B         x 1

  g x

 f x

18.

 82.

84.

để hàm số đồng biến trên khoảng ?

2

2



f

x

x

2

x

  0

.

A. B. D. C. 83. Lời giải

     x



  1



0 2

2



  x    x   g x

x

4





Chọn B Ta có

2

x

f

x

  8

x m



 4;

      0, g x

   g x



 8 .



 .

2

8

x m

4;

x

2

2





     

     

x

f

x

x m

0,

4

8

x

f

x m

0,

4

8

x

x

  m

18.

   2

 8 .









2

      2,

x m

4;

8

x

x

 

 

       x 0,   

18

m 

100.

Xét Để hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi

Vậy Chọn B

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 107 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12 Mức 3 Cực trị

2

2



f



x

x



x



2

mx



  x



 1

 5 .

m

Câu 213. Cho hàm số có đạo hàm Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

  f x   f x

7

0

5

để hàm số có đúng một điểm cực trị?

A. . B. . . D. .

6 C. Lời giải

0

2

2

f



x

x



x



2

mx



5



0

 x

 0 



 1



1

2



x

2

mx

 

  5 0 1

  x     x   

Chọn C

 

5

  m

5

m  

2 5 0

Để hàm số có đúng một điểm cực trị có các trường hợp sau:

  f x  1

5

m

1

m 

+ Phương trình vô nghiệm: khi đó .

 1



2 5 0     m 2

6 0

  

   m     m 3

m

1

+ Phương trình có nghiệm kép bằng : khi đó .

 1



2 5 0     m 2

6 0

  

5

3m 

+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng :

 m   

 2; 1;0;1;2;3 .

 

5

3

  m    m    m

2

2



x

f



x



x

. Vậy giá trị nguyên

y

f x ( )

x



m

Câu 214. Cho hàm số có đạo hàm . Có bao nhiêu giá trị nguyên với mọi

 có 5 điểm cực trị?



  1 2 8  x m 

   g x

 x  f x

dương của tham số để hàm số

A. 15. B. 16.

2   C. 17.

1 nghiem boi 2



2

2

D. 18. Lời giải



  



f

0

x

x

2

x

 .

0

  x



  1



x x

0 2

  x       

2







2

x

4

f

x

  8

x m

;

Chọn A Cách 1: Xét

   g x









4

x m

1 nghiem boi 2



2



  

2

0

x

4

f

x

8

x m

0

 .

Ta có

   g x







2

2

x m

  0 1   2 2

  x      2 x 8           x x m 8       x 8  

5

4.

Yêu

  0 

    1 , 2

 *

 

:

y

m d ,

:

y

   m

2

2   x

8

x

nghiệm bội lẻ cầu bài toán có mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt khác

g x  C

d 1

2

     

16

m

m

16.

của hàm số và hai đường thẳng (như hình vẽ).

y  C

Khi đó cắt tại bốn điểm phân biệt

2

2



f



x



x



2

x

Xét đồ thị   * 15 Vậy có

x m 



  x



  1



, d d 1 2 nguyên dương thỏa. Chọn A. giá trị m    g x

2

2

2

2





2

x

8

x





8

x m 



x



8





8

x m 



2

  g x '



 2 8 f x  

  1

 x m x



Cách 2: Đặt . Ta có

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 108 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

4

x



8

 x m



1

 1

 2

 3



g

x

0





2

x



8

 x m



0

2

x



8

 x m

  2

0

  1   2   3

 x  2       

. Các phương trình , , không có nghiệm chung

2 8 

x

x m 



2



0

  m

  g x

 1

 2



2

16

từng đôi một và với nên có 5 cực trị khi và chỉ khi và

m

4

 m

16.

 

18 16

0 0

18

m   16 0      m 16 2 0   m 16 32         m 16 32 

m    m  m   m

có hai nghiệm phân biệt và khác Vậy nguyên dương và

m

16m

2

2



nên có 15 giá trị cần tìm. Mức 4: Trị tuyệt đối

f

x



x

x



2

5



mx

y

f x ( )







5

Câu 215. Cho hàm số có đạo hàm với mọi x . Có bao nhiêu giá trị

 điểm cực trị?



f

  g x

nguyên của tham số có

A. 6.

m   để hàm số 10 B. 7.

D. 9.

 1  x   x C. 8. Lời giải

  f x

 f x nên yêu cầu bài toán



Chọn B Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số

 *

2



0

f

0

1

có 2 điểm cực trị dương.

1 có hai nghiệm dương phân biệt

 

  x

2

2





2

x

mx

  5

0

mx

  5

x

2

.   0 1

  x 0     x    

2

0

5

m

m

   m

5

Xét Do đó   *

 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3 .



        

 10  m

  x 0       1 x         m     2 S 0 m     P 5 0 

2

2



Chọn B .

f

x

x

2

5









mx

y

f x ( )

x

  x





Câu 216. Cho hàm số có đạo hàm . Có bao nhiêu giá trị với mọi

f

x



m

  g x

x 

nguyên âm của tham số để hàm số

2



A. 2. B. 3. D. 5.

f

0

0

1

  x

2

2





2

x

mx

  5

0

  5

mx

2

x

.   0 1

  x 0       x 1   

Chọn A Xét Theo yêu cầu bài toán ta suy ra

 1  có đúng 1 điểm cực trị? C. 4. Lời giải   x 0     x    

2

0

5

 1

  m

5.

     m     2 S 0 m     P 5 0 

Trường hợp 1. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

2

m  

  5

0

m thỏa yêu cầu bài toán.

 

m

       

m

m

5

5

Trường hợp này không có giá trị  1 Trường hợp 2. Phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm kép



 2; 1 .

3

2

5

2



Chọn A.

f

x



x



x

4





m 3



3

y

f x ( )









  có 3 điểm cực trị?

x

f

Câu 217. Cho hàm số có đạo hàm với mọi x . Có bao

  1    g x



nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

A. 3. B. 4. D. 6.

2 x m   C. 5. Lời giải

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 109 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hàm số - Giải tích 12

0

x

  1

2



f

         m 3 3

x

0

4

0

 1 có hai

  x

2

2

0

x

4

m

m

    3

m

   1 x   2 m x     3 x  m

2 3

m

4

Chọn B Xét Yêu cầu bài toán

               4 0

5

3

4



nghiệm trái dấu Chọn B.

x

f



x

3





y

f x ( )

Câu 218. Cho hàm số với mọi x . Có bao nhiêu giá trị

1   để hàm số



x

m   g x



 m 

nguyên của tham số có 3 điểm cực trị?





0

f

x m

0

A. 3. có đạo hàm 5;5 B. 4. D. 6.

0 0

Chọn C Xét

.   0 1 m     0;1;2;3 .      x m x 1    f C. 5. Lời giải 1 nghiem boi 4   nghiem boi 5 .  3 nghiem boi 3



   1 x            x m x     3 x 

   x       x 



x 3;

x

1

1

m   thì hàm số

f x chỉ có 1

 ). Khi đó, hàm số 



0.

m   không thỏa yêu cầu đề bài.

3

0.

 Nếu

x  Do đó, m   thì hàm số

f x chỉ có 1 cực trị là

x  Do đó,

  f x có hai điểm cực trị âm ( 1   f x không có cực trị. Khi đó, hàm số 



3

m   không thỏa yêu cầu đề bài.

1

cực trị là  Nếu

x    0. 3

  f x có hai điểm cực trị là x m và

3

   m     m 

 Khi thì hàm số

  f x phải có hai điểm cực trị trái dấu

 f x có 3 điểm cực trị thì hàm số



m

m

0

Để hàm số

  1; 2; 3; 4; 5 .

    m

Chọn C.

 5;5

 m   



HẾT

ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 110 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay