§ 3 Hai phương pháp chứng minh toán học ở Tiểu học
1) Phương pháp chứng minh tổng hợp:
Nội dung: Phương pháp chứng minh tổng hợp là phương pháp chứng minh
đi từ điều đã cho trước hoặc điều đã biết nào đó đến điều cần tìm, điều cần chứng
minh.
Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận
Sơ đồ: A
B
C
...
Y
X
Trong đó A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước; B là hệ quả lôgíc của A; C
là hệ quả lôgíc của B; ..... ; X là hệ quả lôgíc của Y.
Vai trò và ý nghĩa:
+ Phương pháp chứng minh tổng hợp dễ gây ra khó khăn đột ngột,
không tự nhiên vì mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát nếu là mệnh đề đúng đã
biết nào đó thì nó hoàn toàn phụ thuộc vào năng lực của từng học sinh.
+ Phương pháp chứng minh tổng hợp ngắn gọn vì thường từ mệnh đề
tiền đề ta dễ suy luận trực tiếp ra một hệ quả logic của nó.
+ Phương pháp chứng minh tổng hợp được sử dụng rộng rãi trong
trình bày chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở trường phổ thông.
Ví dụ: Bài toán
“ Hiện nay tuổi của bố gấp 4 lần tuổi của con và tổng số tuổi của hai bố con
là 50 tuổi. Hỏi sau bao nhiêu năm nữa thì tuổi của bố gấp 2 lần tuổi của con?”
“ Cho tứ giác lồi ABCD và M, N, P, Q lần lượt là điểm giữa của các cạnh
AB, BC, CD, DA. Biết diện tích của của MNPQ là 100 cm2, hãy tính diện tích của
rứ giác ABCD? ”
2) Phương pháp chứng minh phân tích đi lên:
Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich đi lên là phương pháp chứng
minh suy diễn đi ngược lên đi từ điều cần tìm, điều cần chứng minh đến điều đã
cho trước hoặc đã biết nào đó.
Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận.
Sơ đồ: X
Y
...
B
A
Trong đó: X là mệnh đề cần chứng minh; Y là tiền đề lôgíc của X ; ..... ;
A là tiền đề lôgíc của B; A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước;
Vai trò và ý nghĩa:
+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên tự nhiên, thuận tiện vì
mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng
minh, hay mệnh đề kết luận.
+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên thường rát dài dòng vì
thường từ mệnh đề chọn là mệnh đề kết luận ta có thể tìm ra nhiều mệnh đề khác
nhau làm tiền đề logic của nó.
+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên được sử dụng rộng rãi
trong phân tích tìm ra đường lối chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở
trường phổ thông.
Ví dụ: Bài toán
“ Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước sau 12 giờ thì đầy
bể. Biết rằng lượng nước mỗi giờ chảy vào bể của vòi 1 gấp 1, 5 lần lượng nước
của vòi 2 chảy vào bể. Hỏi sau mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?”