Hạt chuyển động trên một mặt cầu.
Mô-men góc
Lý Lê
Ngày 15 tháng 8 năm 2009
Tóm tắt nội dung
Mô-men góc (angular momentum) là một thuộc tính vật lí rất quan
trọng đối với các hạt vi mô. Trong nguyên tử, khi chuyển động xung
quanh hạt nhân, electron sẽ sinh ra hai kiểu mô-men góc là mô-men
góc orbital và mô-men góc spin. Trong phần này, chúng ta chỉ đề cập
đến mô-men góc orbital và để đơn giản ta gọi là mô-men góc.
1 Mô-men góc trong cơ học cổ điển
Xét một hạt khối lượng mchuyển động trong hệ tọa độ Oxyz. Gọi rlà
vector từ gốc tọa độ đến vị trí tức thời của hạt. Ta có
r=ix+jy+kz(1)
Trong đó, x, y, z là tọa độ của hạt tại thời điểm đang xét; i,j,klà những
vector đơn vị.
Vector vận tốc của hạt được xác định dựa vào sự biến đổi vector vị trí
của hạt theo thời gian
v=dr
dt =idx
dt +jdy
dt +kdz
dt (2)
vx=dx
dt vy=dy
dt vz=dz
dt
Vector động lượng pđược xác định bởi
p=mv(3)
px=mvxpy=mvypz=mvz
Theo cơ học cổ điển, một hạt có khối lượng mkhi quay quanh gốc tọa
độ với vận tốc vsẽ sinh ra một vector mô-men góc Ltỉ lệ thuận với vận tốc
quay vvà khoảng cách r
L=mrv =r×p(4)
1
Đây là tích hữu hướng của hai vector nên Lsẽ là một vector. Độ lớn của nó
được xác định bởi
L=|L|=|r||p|sin α(5)
với αlà góc tạo bởi rvà p. Vector mô-men góc nằm trên trục vuông góc với
mặt phẳng được tạo bởi vector vị trí rvà vector vận tốc v; chiều được xác
định theo qui tắc bàn tay phải. Độ lớn L= 0 khi sin α= 0, nghĩa là khi r
và p(hoặc v) song song với nhau.
Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai vector Avà Bđược xác định như sau
A=iAx+jAy+kAz
B=iBx+jBy+kBz
Tích hữu hướng của hai vector Avà Blà
A×B= (iAx+jAy+kAz)×(iBx+jBy+kBz)
Đối với các vector đơn vị, ta có
i×i=j×j=k×k= sin(0) = 0
i×j=k j ×i=−k
j×k=i k ×j=−i
k×i=j i ×k=−j
Do đó
A×B=i(AyBz−AzBy) + j(AyBx−AxBz) + k(AxBy−AyBx)(6)
Như vậy, với
r=ix+jy+kz
p=ipx+jpy+kpz
ta có
L=r×p=i(ypz−zpy) + j(zpx−xpz) + k(xpy−ypx)(7)
Hoặc viết dưới dạng định thức
L=
i j k
x y z
pxpypz
=i
y z
pypz−j
x z
pxpz+k
x y
pxpy(8)
Đặt
Lx=ypz−zpy
Ly=zpx−xpz
Lz=xpy−ypx
Ta có
L=iLx+jLy+kLz(9)
Theo cơ học cổ điển, nếu một hạt có mô-men góc là Lthì tất cả các thành
phần Lx, Ly, Lztương ứng sẽ được xác định đồng thời.
2
2 Mô-men góc trong cơ học lượng tử
2.1 Sự xác định đồng thời các thuộc tính vật lí
Như chúng ta đã biết, nếu hàm trạng thái ψlà một đặc hàm của toán tử b
A
với đặc trị αthì phép đo thuộc tính vật lí Ađược mộ tả bởi b
Asẽ cho ta kết
quả là α. Như vậy, nếu ψlà một đặc hàm đồng thời của hai toán tử b
A1và
b
A2với đặc trị α1và α2
b
A1ψ=α1ψ
b
A2ψ=α2ψ
thì ta có thể xác định đồng thời những giá trị của các thuộc tính vật lí A1
và A2được mô tả bởi b
A1và b
A2. Nếu tồn tại một đặc hàm đồng thời của hai
toán tử b
A1và b
A2thì
[b
A1,b
A2] = 0
Thật vậy, gọi ψlà đặc hàm đồng thời của b
A1và b
A2. Ta có
b
A2(b
A1ψ) = b
A2(α1ψ) = α1(b
A2ψ) = α1α2ψ
b
A1(b
A2ψ) = b
A1(α2ψ) = α2(b
A1ψ) = α2α1ψ
Do đó b
A1(b
A2ψ)−b
A2(b
A1ψ) = α2α1ψ−α1α2ψ= 0
⇒b
A1b
A2−b
A2b
A1= [ b
A1,b
A2] = 0 (10)
Ngược lại, nếu các toán tử b
A1và b
A2giao hoán với nhau thì ta có thể
tìm được ít nhất một đặc hàm đồng thời cho hai toán tử b
A1và b
A2. Nói cách
khác, nếu b
A1và b
A2giao hoán với nhau thì các thuộc tính vật lí độc lập A1
và A2được mô tả bởi hai toán tử này sẽ được xác định đồng thời.
Ví dụ: Xét hai toán tử
bx=xvà bpx=~
i
d
dx
Ta có
[bx, bpx] = [x, ~
i
d
dx] = ~
i[x, d
dx ]
Với
[x, d
dx]f= (xd
dx −d
dx x)f
=xd
dxf−d
dxxf
=xf′−(f+xf ′)
=−f
3
Do đó
[x, d
dx] = −1
⇒[bx, bpx] = ~
i[x, d
dx] = −~
i=i~6= 0
Ta thấy [bx, bpx]6= 0 nên không thể tìm được một đặc hàm đồng thời của các
toán tử bxvà bpx. Như vậy, hai đặc tính tọa độ xvà động lượng pxkhông
thể được xác định đồng thời. Điều này hoàn toàn phù hợp với nguyên lí bất
định Heisenberg.
2.2 Các toán tử mô-men góc và tính giao hoán của chúng
Cũng giống như các đặc tính vật lí khác, trong cơ học lượng tử, thuộc tính
vật lí mô-men góc được đặc trưng bởi một toán tử
b
L= (b
Lx,b
Ly,b
Lz)(11)
với
b
Lx=bybpz−bzbpy=y(−i~∂
∂z )−z(−i~∂
∂y ) = −i~(y∂
∂z −z∂
∂y )(12)
b
Ly=bzbpx−bxbpz=z(−i~∂
∂x )−x(−i~∂
∂z ) = −i~(z∂
∂x −x∂
∂z )(13)
b
Lz=bxbpy−bybpx=x(−i~∂
∂y )−y(−i~∂
∂x) = −i~(x∂
∂y −y∂
∂x)(14)
Theo cơ học cổ điển, các thành phần Lx, Ly, Lzcó thể được xác định
đồng thời. Còn theo cơ học lượng tử liệu chúng ta có thể xác định đồng
thời b
Lx,b
Ly,b
Lz? Nếu các thuộc tính Lx, Ly, Lzđược xác định đồng thời thì
b
Lx,b
Ly,b
Lzsẽ giao hoán với nhau. Khi b
Lxvà b
Lygiao hoán với nhau ta sẽ tìm
được ít nhất là một đặc hàm chung cho chúng. Nếu b
Lxvà b
Lycó chung một
đặc hàm thì những thuộc tính vật lí của chúng sẽ được xác định đồng thời.
Do đó, chúng ta sẽ khảo sát tính giao hoán của các toán tử này.
Ta có
[b
Lx,b
Ly] = [bybpz−bzbpy,bzbpx−bxbpz]
= [ybpz−zbpy, zbpx−xbpz]
= [ybpz, zbpx] + [zbpy, xbpz]−[ybpz, xbpz]−[zbpy, zbpx]
Vì
ybpz=bpzy;xbpz=bpzx
zbpy=bpyz;zbpx=bpxz
nên
[ybpz, xbpz] = 0; [zbpy, zbpx] = 0
4
Do đó
[b
Lx,b
Ly] = [ybpz, zbpx] + [zbpy, xbpz]
=ybpxbpzz−ybpxzbpz+xbpyzbpz−xbpybpzz
=ybpx(bpzz−zbpz) + xbpy(zbpz−bpzz)
=−ybpx(zbpz−bpzz) + xbpy(zbpz−bpzz)
= (zbpz−bpzz)(xbpy−ybpx)
= (zbpz−bpzz)b
Lz
(zbpz−bpzz) = [z, bpz] = [z, ~
i
∂
∂z ] = −~
i[∂
∂z , z] = i~[∂
∂z , z] = i~
Như vậy
[b
Lx,b
Ly] = i~b
Lz(15)
Tiến hành tương tự như trên, chúng ta cũng sẽ tìm được
[b
Ly,b
Lz] = i~b
Lx(16)
[b
Lz,b
Lx] = i~b
Ly(17)
Tóm lại, chúng ta thấy các thành phần của toán tử mô-men góc không
giao hoán với nhau. Điều này có nghĩa là chúng ta không thể biết một cách
đầy đủ về toán tử mô-men góc. Đây là một kết quả có nhiều ý nghĩa, và
rõ ràng là khác với lí thuyết cổ điển. Tuy nhiên, vấn đề vẫn chưa kết thúc.
Chúng ta sẽ khảo sát tính giao hoán của b
L2với các thành phần của nó.
[b
L2,b
Lx] = [b
L2
x+b
L2
y+b
L2
z,b
Lx] = [b
L2
x+ (b
L2
y+b
L2
z),b
Lx]
Ta có
[b
A+b
B, b
C] = [ b
A, b
C] + [ b
B, b
C]
với b
A=b
L2
x,b
B= (b
L2
y+b
L2
z),b
C=b
Lx, ta được
[b
L2,b
Lx] = [b
L2
x,b
Lx] + [b
L2
y+b
L2
z,b
Lx] = 0 + [b
L2
y+b
L2
z,b
Lx]
Với
[b
L2
y+b
L2
z,b
Lx] = [b
L2
y,b
Lx] + [b
L2
z,b
Lx] = [b
Lyb
Ly,b
Lx] + [b
Lzb
Lz,b
Lx]
Mặt khác, ta có
[b
Ab
B, b
C] = b
A[b
B, b
C] + [ b
A, b
C]b
B
Do đó
[b
Lyb
Ly,b
Lx] + [b
Lzb
Lz,b
Lx] = b
Ly[b
Ly,b
Lx] + [b
Ly,b
Lx]b
Ly+b
Lz[b
Lz,b
Lx] + [b
Lz,b
Lx]b
Lz
Vì
[b
Ly,b
Lx] = −[b
Lx,b
Ly] = −i~b
Lz; [b
Lz,b
Lx] = i~b
Ly
5